Bất đẳng thức

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Bất đẳng thức + bất phương trình

Bất đẳng thức $a < b, a \leq b, a > b, a \geq b$ — so sánh 2 số (số thực). Bất phương trình 1 ẩn: $A(x) < B(x)$ (hoặc $\leq, >, \geq$). Nghiệm: $x_0$ làm bất phương trình đúng. Tập nghiệm: biểu diễn dưới dạng khoảng/đoạn/nửa đường thẳng.

§2. Tính chất(2)

2.1

Tính chất bất đẳng thức

Cho $a < b$ (tương tự cho $\leq, >, \geq$):

Cộng cùng số: $a + c < b + c$ (giữ chiều).
Nhân với số dương $c > 0$: $a c < b c$ (giữ chiều).
Nhân với số âm $c < 0$: $a c > b c$ (đổi chiều).
Bắc cầu: $a < b$ và $b < c \Rightarrow a < c$.
Bình phương (khi $a, b \geq 0$): $a < b \Leftrightarrow a^2 < b^2$.

2.2

Quy tắc biến đổi bất phương trình

Áp dụng cho bất phương trình $A(x) < B(x)$: 1. Chuyển vế + đổi dấu hạng tử. 2. Nhân/chia 2 vế với số dương → giữ chiều. 3. Nhân/chia 2 vế với số âm → đổi chiều. 4. Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều → giữ chiều (KHÔNG được trừ hoặc nhân chéo).

Bài tập

1. So sánh hai biểu thức số học, chọn dấu thích hợp ($<, >, =$)Trắc nghiệm`compare_arithmetic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.So sánh hai số $23$ và $28$. Dấu nào sau đây đúng?

A.$23 > 28$

B.$23 = 28$

C.$28 < 23$

D.$23 < 28$

Câu 2.So sánh hai số $23$ và $21$. Dấu nào sau đây đúng?

A.$23 > 21$

B.$23 < 21$

C.$23 = 21$

D.$21 > 23$

Câu 3.So sánh hai số $8$ và $6$. Dấu nào sau đây đúng?

A.$8 < 6$

B.$6 > 8$

C.$8 > 6$

D.$8 = 6$

2. So sánh hai biểu thức số đơn giảnTrắc nghiệm`ineq_compare_simple`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.So sánh $-2$ và $-1$.

A.$-2 > -1$

B.$-2 < -1$

C.$-2 = -1$

D.$-2 < -1 \text{ và } 0$

Câu 5.So sánh $2^3$ và $3^2$.

A.$2^3 < 3^2 \text{ và } 0$

B.$2^3 = 3^2$

C.$2^3 > 3^2$

D.$2^3 < 3^2$

Câu 6.So sánh $-3$ và $-5$.

A.$-3 = -5$

B.$-3 < -5$

C.$-3 > -5 \text{ và } 0$

D.$-3 > -5$

3. Cho $a < b$, tìm khẳng định ĐÚNG trong các bất đẳng thức suy raTrắc nghiệm`ineq_property_apply`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho hai số thực $a, b$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

B.Nếu $a < b$ thì $-2a < -2b$.

C.Nếu $a < b$ thì $2a < 2b$.

D.Nếu $a < b$ thì $a^2 < b^2$.

Câu 8.Cho hai số thực $a, b$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Nếu $a < b$ thì $-2a < -2b$.

B.Nếu $a < b$ thì $a^2 < b^2$.

C.Nếu $a < b$ thì $a + 2 < b + 2$.

D.Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

Câu 9.Cho hai số thực $a, b$. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Nếu $a < b$ thì $a^2 < b^2$.

B.Nếu $a < b$ thì $a + 4 < b + 4$.

C.Nếu $a < b$ thì $4a < 4b$.

D.Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$.

4. $a < b$ và $b < c$ ⇒ $a < c$ (tính bắc cầu)Trắc nghiệm`ineq_transitive_property`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Nếu $a < b$ và $b < c$ thì?

A.$a < c$

B.$ac > bc$

C.$a > c$

D.$ac < bc$

Câu 11.Nếu $a < b$ và $c > 0$ thì?

A.$a < c$

B.$a > c$

C.$ac < bc$

D.$ac > bc$

Câu 12.Nếu $a < b$ và $c < 0$ thì?

A.$ac < bc$

B.$ac > bc$

C.$a > c$

D.$a < c$

5. Khẳng định BĐT nào ĐÚNG VỚI MỌI $x$ — xét hiệu đưa về bình phương ($A^2\ge0$)Trắc nghiệm`prove_inequality_perfect_square`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho số thực $x$ bất kì. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG với MỌI giá trị của $x$?

A.$x^2 + 6x + 16 < 0$

B.$x^2 + 6x + 16 > 0$

C.$x^2 + 6x + 16 \leq 0$

D.$x^2 + 6x + 16 = 0$ với một giá trị $x$ nào đó.

Câu 14.Cho số thực $x$ bất kì. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG với MỌI giá trị của $x$?

A.$x^2 + 8x + 21 = 0$ với một giá trị $x$ nào đó.

B.$x^2 + 8x + 21 > 0$

C.$x^2 + 8x + 21 \leq 0$

D.$x^2 + 8x + 21 < 0$

Câu 15.Cho số thực $x$ bất kì. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG với MỌI giá trị của $x$?

A.$x^2 + 2x + 6 \leq 0$

B.$x^2 + 2x + 6 > 0$

C.$x^2 + 2x + 6 < 0$

D.$x^2 + 2x + 6 = 0$ với một giá trị $x$ nào đó.

6. Giải BPT nhiều ngoặc $a(x+p) - b(x-q)\ op\ c$ — khai triển, gộp, chia (xét dấu) + trục sốTrắc nghiệm`solve_linear_inequality_multistep`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Bất phương trình $7(x - 5) - 5(x + 3) < -44$ có nghiệm là:

Tập nghiệm trên trục số với mốc 3.0

A.$x < -3$

B.$x > 3$

C.$x < 4$

D.$x < 3$

Câu 17.Tìm tập nghiệm của bất phương trình $4(x + 5) - 2(x + 6) > 10$.

Tập nghiệm trên trục số với mốc 1.0

A.$x > -1$

B.$x > 1$

C.$x > 2$

D.$x < 1$

Câu 18.Tập nghiệm của bất phương trình $3(x + 5) - 2(x - 1) > 20$ là:

Tập nghiệm trên trục số với mốc 3.0

A.$x > -3$

B.$x > 3$

C.$x > 4$

D.$x < 3$

7. Cho hai số $a, b$ cụ thể với $a < b$ — kiểm tra tính chất BĐT khi cộng, nhân, đổi dấuĐúng / Sai`ineq_intro_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai số thực $a = -5$ và $b = -1$ (vậy $a < b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu $a^2 < b^2$ thì $a < b$ (luôn đúng).

b)Vì $a < b$ và $c = -2 < 0$ nên $ac = 10 < 2 = bc$.

c)Nếu $a < b$ và $b \leq c$ thì $a < c$ (tính bắc cầu).

d)Nếu $a > b > 0$ thì $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

Câu 20.Cho hai số thực $a = 3$ và $b = 6$ (vậy $a < b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vì $a < b$ và $c = 3 > 0$ nên $ac = 9 < 18 = bc$.

b)Nếu $a^2 < b^2$ thì $a < b$ (luôn đúng).

c)Vì $a = 3 < 6 = b$ nên $-a = -3 > -6 = -b$.

d)Nếu $a < b$ và $b \leq c$ thì $a < c$ (tính bắc cầu).

Câu 21.Cho hai số thực $a = -2$ và $b = 0$ (vậy $a < b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vì $a = -2 < 0 = b$ nên $a + 5 = 3 < 5 = b + 5$.

b)Bất đẳng thức $x^2 \geq 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

c)Nếu $a^2 < b^2$ thì $a < b$ (luôn đúng).

d)Nếu $a > b > 0$ thì $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$.

8. Cho cặp số cụ thể; 4 ý so sánh trực tiếp và áp dụng tính chấtĐúng / Sai`inequality_concrete_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hai số $a = 7$ và $b = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$a = 7$ và $b = 2$ thì $a > b$.

b)$-7 > -2$.

c)$5 > 3$.

d)Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ (tính bắc cầu).

Câu 23.Cho hai số $a = 7$ và $b = -2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu $a > b$ thì $a + 5 > b + 5$ (cộng cùng số bảo toàn chiều).

b)Nếu $a > b$ thì $-a > -b$ (đổi dấu).

c)$-7 > -2$.

d)Nếu $a < b$ và $b < c$ thì $a < c$ (tính bắc cầu).

Câu 24.Cho hai số $a = -5$ và $b = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$a = -5$ và $b = 2$ thì $a + b = -3$.

b)$5 > 3$.

c)$a = -5$ và $b = 2$ thì $a > b$.

d)$(-3)^2 < 0$.

9. Cho $a > b$, hỏi $a + k$ vs $b + k$ hoặc $-a$ vs $-b$ — đáp án là dấuTrả lời ngắn`apply_inequality_property`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Biết $a > b$. So sánh $-a$ và $-b$.

Câu 26.Biết $a > b$. So sánh $a + 4$ và $b + 4$.

Câu 27.Biết $a > b$. So sánh $4a$ và $4b$ (với $a, b > 0$).

10. So sánh hai biểu thức số học, đáp án dưới dạng dấu <, >, =Trả lời ngắn`compare_two_numbers`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.So sánh hai số $11$ và $4$. Điền dấu thích hợp ($<, >, =$) vào chỗ chấm: $11\ \ldots\ 4$.

Câu 29.So sánh hai số $3$ và $4$. Điền dấu thích hợp ($<, >, =$) vào chỗ chấm: $3\ \ldots\ 4$.

Câu 30.So sánh hai số $27$ và $28$. Điền dấu thích hợp ($<, >, =$) vào chỗ chấm: $27\ \ldots\ 28$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(2)

Bài tập

1. So sánh hai biểu thức số học, chọn dấu thích hợp ($<, >, =$)Trắc nghiệmcompare_arithmetic(3 câu)

2. So sánh hai biểu thức số đơn giảnTrắc nghiệmineq_compare_simple(3 câu)

3. Cho $a < b$, tìm khẳng định ĐÚNG trong các bất đẳng thức suy raTrắc nghiệmineq_property_apply(3 câu)

4. $a < b$ và $b < c$ ⇒ $a < c$ (tính bắc cầu)Trắc nghiệmineq_transitive_property(3 câu)

5. Khẳng định BĐT nào ĐÚNG VỚI MỌI $x$ — xét hiệu đưa về bình phương ($A^2\ge0$)Trắc nghiệmprove_inequality_perfect_square(3 câu)

6. Giải BPT nhiều ngoặc $a(x+p) - b(x-q)\ op\ c$ — khai triển, gộp, chia (xét dấu) + trục sốTrắc nghiệmsolve_linear_inequality_multistep(3 câu)

7. Cho hai số $a, b$ cụ thể với $a < b$ — kiểm tra tính chất BĐT khi cộng, nhân, đổi dấuĐúng / Saiineq_intro_facts(3 câu)

8. Cho cặp số cụ thể; 4 ý so sánh trực tiếp và áp dụng tính chấtĐúng / Saiinequality_concrete_facts(3 câu)

9. Cho $a > b$, hỏi $a + k$ vs $b + k$ hoặc $-a$ vs $-b$ — đáp án là dấuTrả lời ngắnapply_inequality_property(3 câu)

10. So sánh hai biểu thức số học, đáp án dưới dạng dấu <, >, =Trả lời ngắncompare_two_numbers(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. So sánh hai biểu thức số học, chọn dấu thích hợp ($<, >, =$)Trắc nghiệm`compare_arithmetic`(3 câu)

2. So sánh hai biểu thức số đơn giảnTrắc nghiệm`ineq_compare_simple`(3 câu)

3. Cho $a < b$, tìm khẳng định ĐÚNG trong các bất đẳng thức suy raTrắc nghiệm`ineq_property_apply`(3 câu)

4. $a < b$ và $b < c$ ⇒ $a < c$ (tính bắc cầu)Trắc nghiệm`ineq_transitive_property`(3 câu)

5. Khẳng định BĐT nào ĐÚNG VỚI MỌI $x$ — xét hiệu đưa về bình phương ($A^2\ge0$)Trắc nghiệm`prove_inequality_perfect_square`(3 câu)

6. Giải BPT nhiều ngoặc $a(x+p) - b(x-q)\ op\ c$ — khai triển, gộp, chia (xét dấu) + trục sốTrắc nghiệm`solve_linear_inequality_multistep`(3 câu)

7. Cho hai số $a, b$ cụ thể với $a < b$ — kiểm tra tính chất BĐT khi cộng, nhân, đổi dấuĐúng / Sai`ineq_intro_facts`(3 câu)

8. Cho cặp số cụ thể; 4 ý so sánh trực tiếp và áp dụng tính chấtĐúng / Sai`inequality_concrete_facts`(3 câu)

9. Cho $a > b$, hỏi $a + k$ vs $b + k$ hoặc $-a$ vs $-b$ — đáp án là dấuTrả lời ngắn`apply_inequality_property`(3 câu)

10. So sánh hai biểu thức số học, đáp án dưới dạng dấu <, >, =Trả lời ngắn`compare_two_numbers`(3 câu)