Trung vị và mốt

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Trung vị $M_e$

Sắp mẫu theo thứ tự không giảm. Trung vị:

$N$ lẻ: số ở giữa, vị trí $\dfrac{N+1}{2}$.
$N$ chẵn: trung bình cộng 2 số ở giữa, vị trí $\dfrac{N}{2}$ và $\dfrac{N}{2} + 1$.

Vd: $\{2, 4, 5, 7, 9\}$ ($N=5$ lẻ): $M_e = 5$. Vd: $\{2, 4, 6, 8\}$ ($N=4$ chẵn): $M_e = (4+6)/2 = 5$.

1.2

Mốt $M_o$

Mốt là giá trị có tần số lớn nhất.

Có thể 1 mốt, 2 mốt (lưỡng mốt), hoặc nhiều mốt.
Có thể không có mốt nếu mọi giá trị xuất hiện cùng số lần.

Vd: $\{2, 3, 3, 5, 7\}$: mốt = 3 (xuất hiện 2 lần). Vd: $\{2, 3, 3, 5, 5, 7\}$: 2 mốt = 3 và 5.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy trình tính

Trung vị: 1. Sắp xếp mẫu (bắt buộc!). 2. Đếm $N$. 3. Áp dụng công thức theo $N$ lẻ/chẵn. Mốt: 1. Lập bảng tần số của các giá trị. 2. Tìm giá trị có tần số lớn nhất.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: chọn loại trung bình phù hợp

Trung bình $\overline{x}$: dữ liệu phân bố đều, không có ngoại lai. Trung vị $M_e$: dữ liệu có ngoại lai hoặc lệch — ổn định hơn. Mốt $M_o$: dữ liệu định tính (màu, loại) hoặc khi cần biết 'giá trị phổ biến nhất'. Bài thường yêu cầu cả 3 → tính riêng từng cái.

Bài tập

1. Trung vị của dãy số chẵn phần tử = trung bình hai số giữaTrắc nghiệm`median_even_simple`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tìm trung vị của dãy số: $1; 2; 3; 4; 5; 6$.

A.$M_e = 3$

B.$M_e = \dfrac{7}{2}$

C.$M_e = 6$

D.$M_e = 1$

Câu 2.Tìm trung vị của dãy số: $10; 20; 30; 40$.

A.$M_e = 40$

B.$M_e = 10$

C.$M_e = 25$

D.$M_e = 30$

Câu 3.Tìm trung vị của dãy số: $10; 20; 30; 40$.

A.$M_e = 30$

B.$M_e = 40$

C.$M_e = 10$

D.$M_e = 25$

2. Tìm trung vị từ bảng tần số (qua tần số tích luỹ)Trắc nghiệm`median_from_frequency_table`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Cho bảng tần số: giá trị $3$ có tần số $3$; giá trị $6$ có tần số $6$; giá trị $7$ có tần số $4$; giá trị $9$ có tần số $5$. Tìm trung vị $M_e$ của mẫu số liệu này.

A.$M_e = 6$

B.$M_e = 3$

C.$M_e = 9$

D.$M_e = \dfrac{13}{2}$

Câu 5.Cho bảng tần số: giá trị $4$ có tần số $2$; giá trị $5$ có tần số $4$; giá trị $6$ có tần số $5$; giá trị $9$ có tần số $6$. Tìm trung vị $M_e$ của mẫu số liệu này.

A.$M_e = 4$

B.$M_e = 6$

C.$M_e = 17$

D.$M_e = 9$

Câu 6.Cho bảng tần số: giá trị $3$ có tần số $2$; giá trị $6$ có tần số $4$; giá trị $7$ có tần số $3$; giá trị $8$ có tần số $2$. Tìm trung vị $M_e$ của mẫu số liệu này.

A.$M_e = 6$

B.$M_e = 7$

C.$M_e = 3$

D.$M_e = 8$

3. Tìm giá trị còn thiếu để mẫu có trung vị và mốt cho trước (suy ngược)Trắc nghiệm`median_mode_inverse_find_x`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Một mẫu số liệu gồm 7 giá trị, trong đó 6 giá trị đã biết là $1, 2, 4, 6, 7, 12$ và một giá trị còn lại bằng $x$ (với $x$ là số nguyên dương). Biết mẫu số liệu này có trung vị $M_e = 4$ và có mốt duy nhất $M_o = 4$. Tìm $x$.

A.$x = 5$

B.$x = 4$

C.$x = 1$

D.$x = 0$

Câu 8.Một mẫu số liệu gồm 7 giá trị, trong đó 6 giá trị đã biết là $1, 4, 6, 8, 9, 11$ và một giá trị còn lại bằng $x$ (với $x$ là số nguyên dương). Biết mẫu số liệu này có trung vị $M_e = 8$ và có mốt duy nhất $M_o = 11$. Tìm $x$.

A.$x = 1$

B.$x = 11$

C.$x = 15$

D.$x = 8$

Câu 9.Một mẫu số liệu gồm 7 giá trị, trong đó 6 giá trị đã biết là $2, 3, 5, 6, 11, 12$ và một giá trị còn lại bằng $x$ (với $x$ là số nguyên dương). Biết mẫu số liệu này có trung vị $M_e = 6$ và có mốt duy nhất $M_o = 6$. Tìm $x$.

A.$x = 15$

B.$x = 6$

C.$x = 2$

D.$x = 7$

4. Tìm trung vị của một dãy số có số phần tử lẻTrắc nghiệm`median_odd_count`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tìm trung vị của dãy số đã sắp xếp tăng dần: $1, 10, 26, 28, 28$.

A.$M_e = 1$

B.$M_e = 18$

C.$M_e = 28$

D.$M_e = 26$

Câu 11.Tìm trung vị của dãy số đã sắp xếp tăng dần: $2, 9, 9, 12, 14, 14, 16, 18, 29$.

A.$M_e = 14$

B.$M_e = 2$

C.$M_e = 29$

D.$M_e = 13$

Câu 12.Tìm trung vị của dãy số đã sắp xếp tăng dần: $4, 11, 18, 21, 28$.

A.$M_e = 18$

B.$M_e = 28$

C.$M_e = 16$

D.$M_e = 4$

5. Tìm mốt (giá trị xuất hiện nhiều nhất) của một dãy sốTrắc nghiệm`mode_of_list`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tìm mốt của dãy số sau: $5, 8, 5, 3, 2, 5, 3$.

A.$M_o = 4$

B.$M_o = 5$

C.$M_o = 8$

D.$M_o = 2$

Câu 14.Tìm mốt của dãy số sau: $10, 10, 8, 7, 3, 10, 2$.

A.$M_o = 2$

B.$M_o = 10$

C.$M_o = 8$

D.$M_o = 7$

Câu 15.Tìm mốt của dãy số sau: $8, 4, 9, 2, 9, 9, 5$.

A.$M_o = 8$

B.$M_o = 2$

C.$M_o = 6$

D.$M_o = 9$

6. Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất; có thể có nhiều mốt hoặc không cóTrắc nghiệm`mode_unique_or_multiple`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Tìm mốt của dãy số: $1; 2; 3; 4; 5$.

A.không có mốt

B.$5$

C.$2$

D.$3 \text{ và } 4$

Câu 17.Tìm mốt của dãy số: $2; 3; 3; 4; 4; 5$.

A.$5$

B.không có mốt

C.$3 \text{ và } 4$

D.$2$

Câu 18.Tìm mốt của dãy số: $1; 2; 2; 3; 4$.

A.$5$

B.$3 \text{ và } 4$

C.$2$

D.không có mốt

7. Mẫu chẵn phần tử — kiểm tra cách tính trung vị bằng trung bình hai giá trị giữa, đồng thời so sánh trung vị / mốtĐúng / Sai`med_mode_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho mẫu số liệu: $8, 1, 5, 3, 5, 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mẫu có $6$ phần tử (số chẵn) nên trung vị bằng trung bình cộng của hai phần tử ở giữa sau khi sắp xếp.

b)Mọi mẫu số liệu đều có duy nhất một mốt.

c)Trung vị của mẫu bằng $4$.

d)Trung vị bị ảnh hưởng nhiều bởi giá trị bất thường (ngoại lệ).

Câu 20.Cho mẫu số liệu: $1, 2, 4, 4, 3, 7, 1, 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trung vị của mẫu là $3$.

b)Trung vị của mẫu bằng $\dfrac{7}{2}$.

c)Trung vị bị ảnh hưởng nhiều bởi giá trị bất thường (ngoại lệ).

d)Mọi mẫu số liệu đều có duy nhất một mốt.

Câu 21.Cho mẫu số liệu: $2, 2, 2, 2, 1, 6, 8, 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi mẫu số liệu đều có duy nhất một mốt.

b)Sau khi sắp xếp tăng dần, hai phần tử giữa là $2$ và $2$.

c)Trung vị của mẫu là $2$.

d)Trung vị của mẫu bằng $2$.

8. Mẫu số liệu cụ thể có một mốt rõ — kiểm tra trung vị, mốtĐúng / Sai`median_mode_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho mẫu số liệu: $5, 6, 3, 5, 4, 6, 6, 4, 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trung vị và mốt của mẫu bằng nhau.

b)Sắp xếp tăng dần ta được dãy: $2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6$.

c)Mốt của mẫu là $6$.

d)Mẫu có nhiều hơn một mốt.

Câu 23.Cho mẫu số liệu: $6, 6, 1, 6, 5, 6, 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mẫu có nhiều hơn một mốt.

b)Trung vị của mẫu bằng $1$.

c)Trung vị và mốt của mẫu bằng nhau.

d)Mốt của mẫu là $6$.

Câu 24.Cho mẫu số liệu: $2, 3, 2, 5, 4, 3, 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trung vị của mẫu bằng $3$.

b)Trung vị của mẫu bằng $2$.

c)Mẫu có nhiều hơn một mốt.

d)Mốt của mẫu là $3$.

9. Cho 7-9 số, hỏi trung vị hoặc mốtTrả lời ngắn`median_or_mode`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho mẫu số liệu: $1, 1, 2, 4, 4, 6, 7, 8, 9, 10$. Tìm mốt.

Câu 26.Cho mẫu số liệu: $1, 2, 3, 3, 3, 7, 8, 9$. Tìm mốt.

Câu 27.Cho mẫu số liệu: $2, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 10$. Tìm mốt.

10. Tính khoảng biến thiên (max - min) của mẫu số liệuTrả lời ngắn`range_of_data`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Cho mẫu số liệu: $10, 22, 19, 17, 13, 4, 1, 4$. Tính khoảng biến thiên $R$.

Câu 29.Cho mẫu số liệu: $30, 11, 15, 16, 20, 26, 12, 3, 29, 16$. Tính khoảng biến thiên $R$.

Câu 30.Cho mẫu số liệu: $16, 17, 19, 26, 30, 16, 21, 13, 20, 20$. Tính khoảng biến thiên $R$.

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Trung vị của dãy số chẵn phần tử = trung bình hai số giữaTrắc nghiệmmedian_even_simple(3 câu)

2. Tìm trung vị từ bảng tần số (qua tần số tích luỹ)Trắc nghiệmmedian_from_frequency_table(3 câu)

3. Tìm giá trị còn thiếu để mẫu có trung vị và mốt cho trước (suy ngược)Trắc nghiệmmedian_mode_inverse_find_x(3 câu)

4. Tìm trung vị của một dãy số có số phần tử lẻTrắc nghiệmmedian_odd_count(3 câu)

5. Tìm mốt (giá trị xuất hiện nhiều nhất) của một dãy sốTrắc nghiệmmode_of_list(3 câu)

6. Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất; có thể có nhiều mốt hoặc không cóTrắc nghiệmmode_unique_or_multiple(3 câu)

7. Mẫu chẵn phần tử — kiểm tra cách tính trung vị bằng trung bình hai giá trị giữa, đồng thời so sánh trung vị / mốtĐúng / Saimed_mode_facts2(3 câu)

8. Mẫu số liệu cụ thể có một mốt rõ — kiểm tra trung vị, mốtĐúng / Saimedian_mode_facts(3 câu)

9. Cho 7-9 số, hỏi trung vị hoặc mốtTrả lời ngắnmedian_or_mode(3 câu)

10. Tính khoảng biến thiên (max - min) của mẫu số liệuTrả lời ngắnrange_of_data(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Trung vị của dãy số chẵn phần tử = trung bình hai số giữaTrắc nghiệm`median_even_simple`(3 câu)

2. Tìm trung vị từ bảng tần số (qua tần số tích luỹ)Trắc nghiệm`median_from_frequency_table`(3 câu)

3. Tìm giá trị còn thiếu để mẫu có trung vị và mốt cho trước (suy ngược)Trắc nghiệm`median_mode_inverse_find_x`(3 câu)

4. Tìm trung vị của một dãy số có số phần tử lẻTrắc nghiệm`median_odd_count`(3 câu)

5. Tìm mốt (giá trị xuất hiện nhiều nhất) của một dãy sốTrắc nghiệm`mode_of_list`(3 câu)

6. Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất; có thể có nhiều mốt hoặc không cóTrắc nghiệm`mode_unique_or_multiple`(3 câu)

7. Mẫu chẵn phần tử — kiểm tra cách tính trung vị bằng trung bình hai giá trị giữa, đồng thời so sánh trung vị / mốtĐúng / Sai`med_mode_facts2`(3 câu)

8. Mẫu số liệu cụ thể có một mốt rõ — kiểm tra trung vị, mốtĐúng / Sai`median_mode_facts`(3 câu)

9. Cho 7-9 số, hỏi trung vị hoặc mốtTrả lời ngắn`median_or_mode`(3 câu)

10. Tính khoảng biến thiên (max - min) của mẫu số liệuTrả lời ngắn`range_of_data`(3 câu)