Bài toán giải bằng hệ phương trình

Công thức

§1. Phương pháp(2)

1.1

Quy trình giải bài toán bằng hệ

Bước 1 — Đặt ẩn: chọn 2 đại lượng chưa biết, đặt $x, y$ và ghi điều kiện ($> 0$, nguyên,...). Bước 2 — Lập hệ: dùng dữ kiện đề bài để viết 2 phương trình. Bước 3 — Giải hệ: dùng phương pháp thế / cộng đại số. Bước 4 — Đối chiếu: kiểm tra $x, y$ có thoả điều kiện. Bước 5 — Kết luận: trả lời câu hỏi của đề.

1.2

Các dạng bài toán điển hình

1. Toán chuyển động: dùng $S = v \cdot t$. Lập hệ qua quãng đường / thời gian / vận tốc. 2. Toán công việc: 1 người làm xong trong $t$ giờ → 1 giờ làm $\dfrac{1}{t}$ công việc. 3. Toán năng suất: tổng sản phẩm = số ngày × năng suất / ngày. 4. Toán nồng độ: khối lượng chất tan = khối lượng dung dịch × nồng độ. 5. Toán phần trăm + lãi suất. 6. Toán hỗn hợp / pha trộn.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: nhớ điều kiện thực tế

Điều kiện phổ biến cho ẩn trong bài toán thực tế:

Số lượng người / vật: nguyên dương.
Thời gian / vận tốc / quãng đường: $> 0$.
Phần trăm: $0 \leq x \leq 100$.
Nồng độ phần trăm: $0 < x < 100$.

Quên điều kiện → có thể dùng nghiệm âm, sai bản chất.

Bài tập

1. VD cao: tính vận tốc xuồng và dòng nước qua thời gian xuôi/ngượcTrắc nghiệm`boat_stream_speeds_from_times`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Một chiếc xuồng máy đi từ bến $A$ đến bến $B$ xuôi dòng mất $3$ giờ; khi quay về (ngược dòng) mất $5$ giờ. Biết khoảng cách $AB = 90$ km. Tính vận tốc thực của xuồng (km/h) và vận tốc dòng nước (km/h).

A.$v_x = 24,\ v_d = 6$

B.$v_x = 18,\ v_d = 30$

C.$v_x = 30,\ v_d = 18$

D.$v_x = 6,\ v_d = 24$

Câu 2.Một chiếc xuồng máy đi từ bến $A$ đến bến $B$ xuôi dòng mất $3$ giờ; khi quay về (ngược dòng) mất $5$ giờ. Biết khoảng cách $AB = 120$ km. Tính vận tốc thực của xuồng (km/h) và vận tốc dòng nước (km/h).

A.$v_x = 40,\ v_d = 24$

B.$v_x = 8,\ v_d = 32$

C.$v_x = 32,\ v_d = 8$

D.$v_x = 24,\ v_d = 40$

Câu 3.Một chiếc xuồng máy đi từ bến $A$ đến bến $B$ xuôi dòng mất $4$ giờ; khi quay về (ngược dòng) mất $6$ giờ. Biết khoảng cách $AB = 120$ km. Tính vận tốc thực của xuồng (km/h) và vận tốc dòng nước (km/h).

A.$v_x = 5,\ v_d = 25$

B.$v_x = 25,\ v_d = 5$

C.$v_x = 30,\ v_d = 20$

D.$v_x = 20,\ v_d = 30$

2. Hai xe đi ngược chiều cách $D$ km, vận tốc $v_1, v_2$, thời gian $t$ — tìm 1 vận tốcTrắc nghiệm`word_two_motion_meet`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Hai xe ngược chiều khởi hành cùng lúc từ hai điểm cách nhau $270$ km. Sau $3$ giờ chúng gặp nhau. Biết xe thứ hai có vận tốc $50$ km/h. Tính vận tốc xe thứ nhất.

A.$v_1 = 50\text{ km/h}$

B.$v_1 = 40\text{ km/h}$

C.$v_1 = 35\text{ km/h}$

D.$v_1 = 45\text{ km/h}$

Câu 5.Hai xe ngược chiều khởi hành cùng lúc từ hai điểm cách nhau $160$ km. Sau $2$ giờ chúng gặp nhau. Biết xe thứ hai có vận tốc $30$ km/h. Tính vận tốc xe thứ nhất.

A.$v_1 = 50\text{ km/h}$

B.$v_1 = 45\text{ km/h}$

C.$v_1 = 30\text{ km/h}$

D.$v_1 = 55\text{ km/h}$

Câu 6.Hai xe ngược chiều khởi hành cùng lúc từ hai điểm cách nhau $270$ km. Sau $3$ giờ chúng gặp nhau. Biết xe thứ hai có vận tốc $60$ km/h. Tính vận tốc xe thứ nhất.

A.$v_1 = 60\text{ km/h}$

B.$v_1 = 25\text{ km/h}$

C.$v_1 = 35\text{ km/h}$

D.$v_1 = 30\text{ km/h}$

3. Bài toán: có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó (tổng đầu, tổng chân)Trắc nghiệm`word_two_object_count`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Vừa gà vừa chó cùng nhốt trong một chuồng, đếm được $31$ đầu, $104$ chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

A.$\text{Gà: }10, \text{Chó: }21$

B.$\text{Gà: }15, \text{Chó: }15$

C.$\text{Gà: }21, \text{Chó: }10$

D.$\text{Gà: }11, \text{Chó: }20$

Câu 8.Vừa gà vừa chó cùng nhốt trong một chuồng, đếm được $28$ đầu, $68$ chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

A.$\text{Gà: }6, \text{Chó: }22$

B.$\text{Gà: }23, \text{Chó: }5$

C.$\text{Gà: }14, \text{Chó: }14$

D.$\text{Gà: }22, \text{Chó: }6$

Câu 9.Vừa gà vừa chó cùng nhốt trong một chuồng, đếm được $26$ đầu, $90$ chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

A.$\text{Gà: }7, \text{Chó: }19$

B.$\text{Gà: }8, \text{Chó: }18$

C.$\text{Gà: }13, \text{Chó: }13$

D.$\text{Gà: }19, \text{Chó: }7$

4. Bài toán tổng - hiệu cụ thể: tìm hai sốĐúng / Sai`word_problem_method_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho hai số tự nhiên có tổng bằng $35$ và hiệu bằng $5$ (số lớn trừ số bé). Gọi số lớn là $x$, số bé là $y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số lớn là $15$ và số bé là $20$.

b)Có thể chọn ẩn theo cách khác (ví dụ đặt $u = x - y$) và vẫn giải được.

c)Sau khi tìm $(x, y)$, không cần đối chiếu điều kiện.

d)Tích hai số bằng $300$.

Câu 11.Cho hai số tự nhiên có tổng bằng $77$ và hiệu bằng $3$ (số lớn trừ số bé). Gọi số lớn là $x$, số bé là $y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích hai số bằng $1480$.

b)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 77 \\ x - y = 3 \end{cases}$.

c)Có thể chọn ẩn theo cách khác (ví dụ đặt $u = x - y$) và vẫn giải được.

d)Sau khi tìm $(x, y)$, không cần đối chiếu điều kiện.

Câu 12.Cho hai số tự nhiên có tổng bằng $28$ và hiệu bằng $10$ (số lớn trừ số bé). Gọi số lớn là $x$, số bé là $y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số lớn là $19$ và số bé là $9$.

b)Có thể chọn ẩn theo cách khác (ví dụ đặt $u = x - y$) và vẫn giải được.

c)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 28 \\ x - y = 10 \end{cases}$.

d)Số lớn là $9$ và số bé là $19$.

5. Bài toán mua hàng cụ thể: hai loại đơn giá khác nhauĐúng / Sai`word_sys_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Bạn An mua $11$ cuốn vở gồm hai loại: loại I giá $15$ nghìn đồng/cuốn, loại II giá $18$ nghìn đồng/cuốn, tổng cộng hết $189$ nghìn đồng. Gọi $x$ là số cuốn loại I, $y$ là số cuốn loại II. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ phương trình trên là hệ tuyến tính.

b)Có thể có nghiệm $x, y$ là số âm.

c)Bạn An mua $3$ cuốn loại I và $8$ cuốn loại II.

d)Tổng số tiền là $189$ nghìn đồng.

Câu 14.Bạn An mua $13$ cuốn vở gồm hai loại: loại I giá $15$ nghìn đồng/cuốn, loại II giá $25$ nghìn đồng/cuốn, tổng cộng hết $265$ nghìn đồng. Gọi $x$ là số cuốn loại I, $y$ là số cuốn loại II. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể có nghiệm $x, y$ là số âm.

b)Tổng số cuốn vở mua được là $13$.

c)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 13 \\ 15x + 25y = 265 \end{cases}$.

d)Tổng số tiền là $265$ nghìn đồng.

Câu 15.Bạn An mua $10$ cuốn vở gồm hai loại: loại I giá $20$ nghìn đồng/cuốn, loại II giá $35$ nghìn đồng/cuốn, tổng cộng hết $290$ nghìn đồng. Gọi $x$ là số cuốn loại I, $y$ là số cuốn loại II. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng số tiền là $290$ nghìn đồng.

b)Hệ phương trình trên là hệ tuyến tính.

c)Hệ phương trình lập được là $\begin{cases} x + y = 10 \\ 20x + 35y = 290 \end{cases}$.

d)Có thể có nghiệm $x, y$ là số âm.

6. Bài toán tuổi: hai người hiện có tuổi $x, y$ và sau $k$ năm tổng tuổi bằng $T$Trả lời ngắn`age_problem`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Hiện tại cha hơn con $5$ tuổi. Sau $4$ năm nữa, tổng số tuổi của hai cha con là $57$. Tính tuổi con hiện tại.

Câu 17.Hiện tại cha hơn con $25$ tuổi. Sau $2$ năm nữa, tổng số tuổi của hai cha con là $51$. Tính tuổi cha hiện tại.

Câu 18.Hiện tại cha hơn con $46$ tuổi. Sau $3$ năm nữa, tổng số tuổi của hai cha con là $70$. Tính tuổi cha hiện tại.

7. Tổng 2 số = $S$, $a$ lần số nhỏ + $b$ lần số lớn = $T$ → tìm 1 sốTrả lời ngắn`two_numbers_sum_2sum`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Tổng hai số bằng $37$. $3$ lần số nhỏ cộng với $4$ lần số lớn bằng $135$. Tìm số nhỏ.

Câu 20.Tổng hai số bằng $37$. $2$ lần số nhỏ cộng với $4$ lần số lớn bằng $112$. Tìm số lớn.

Câu 21.Tổng hai số bằng $42$. $3$ lần số nhỏ cộng với $3$ lần số lớn bằng $126$. Tìm số nhỏ.

Công thức

§1. Phương pháp(2)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. VD cao: tính vận tốc xuồng và dòng nước qua thời gian xuôi/ngượcTrắc nghiệmboat_stream_speeds_from_times(3 câu)

2. Hai xe đi ngược chiều cách $D$ km, vận tốc $v_1, v_2$, thời gian $t$ — tìm 1 vận tốcTrắc nghiệmword_two_motion_meet(3 câu)

3. Bài toán: có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó (tổng đầu, tổng chân)Trắc nghiệmword_two_object_count(3 câu)

4. Bài toán tổng - hiệu cụ thể: tìm hai sốĐúng / Saiword_problem_method_facts(3 câu)

5. Bài toán mua hàng cụ thể: hai loại đơn giá khác nhauĐúng / Saiword_sys_facts2(3 câu)

6. Bài toán tuổi: hai người hiện có tuổi $x, y$ và sau $k$ năm tổng tuổi bằng $T$Trả lời ngắnage_problem(3 câu)

7. Tổng 2 số = $S$, $a$ lần số nhỏ + $b$ lần số lớn = $T$ → tìm 1 sốTrả lời ngắntwo_numbers_sum_2sum(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. VD cao: tính vận tốc xuồng và dòng nước qua thời gian xuôi/ngượcTrắc nghiệm`boat_stream_speeds_from_times`(3 câu)

2. Hai xe đi ngược chiều cách $D$ km, vận tốc $v_1, v_2$, thời gian $t$ — tìm 1 vận tốcTrắc nghiệm`word_two_motion_meet`(3 câu)

3. Bài toán: có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó (tổng đầu, tổng chân)Trắc nghiệm`word_two_object_count`(3 câu)

4. Bài toán tổng - hiệu cụ thể: tìm hai sốĐúng / Sai`word_problem_method_facts`(3 câu)

5. Bài toán mua hàng cụ thể: hai loại đơn giá khác nhauĐúng / Sai`word_sys_facts2`(3 câu)

6. Bài toán tuổi: hai người hiện có tuổi $x, y$ và sau $k$ năm tổng tuổi bằng $T$Trả lời ngắn`age_problem`(3 câu)

7. Tổng 2 số = $S$, $a$ lần số nhỏ + $b$ lần số lớn = $T$ → tìm 1 sốTrả lời ngắn`two_numbers_sum_2sum`(3 câu)