Giải hệ phương trình: Phương pháp thế và cộng

Công thức

§1. Phương pháp(3)

1.1

Phương pháp cộng đại số

Bước 1. Nhân 2 phương trình với các số phù hợp để hệ số của 1 ẩn bằng nhau (hoặc đối nhau). Bước 2. Cộng (hoặc trừ) 2 phương trình → triệt tiêu ẩn đó → phương trình 1 ẩn. Bước 3. Giải, tìm 1 ẩn. Bước 4. Thay vào 1 phương trình ban đầu → ẩn còn lại. Khi nào dùng: hệ số phức tạp / không có hệ số $\pm 1$.

1.2

Phương pháp đặt ẩn phụ

Khi hệ có dạng phức (chứa căn, phân thức, $x^2$): Bước 1. Đặt $u = f(x), v = g(y)$ → quy hệ về bậc nhất theo $u, v$. Bước 2. Giải hệ tìm $u, v$. Bước 3. Trở lại biến cũ: giải $f(x) = u, g(y) = v$. Bước 4. Kiểm tra ĐKXĐ → kết luận.

1.3

Phương pháp thế

Bước 1. Từ 1 phương trình, biểu diễn 1 ẩn theo ẩn còn lại. Vd: từ $x + 2y = 5 \Rightarrow x = 5 - 2y$. Bước 2. Thế vào phương trình kia → phương trình 1 ẩn. Bước 3. Giải tìm ẩn đó. Bước 4. Thay lại để tìm ẩn còn lại. Bước 5. Kết luận $(x; y)$. Khi nào dùng: 1 trong các hệ số là $\pm 1$ → dễ biểu diễn không bị phân thức.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: chọn phương pháp

Có hệ số $\pm 1$ → thế.
Hệ số bằng nhau / đối nhau ngay → cộng đại số trực tiếp.
Cần thao tác phức tạp → cộng đại số (linh hoạt hơn).
Hệ phi tuyến / phân thức → đặt ẩn phụ.

Bài tập

1. Hệ 2 ẩn: vô nghiệm / có nghiệm duy nhất / vô số nghiệmTrắc nghiệm`number_of_solutions_system`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Hệ phương trình $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases}$ có:

A.Vô nghiệm

B.Có nghiệm duy nhất

C.Không xác định được

D.Vô số nghiệm

Câu 2.Hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 4x + 8y = 20 \end{cases}$ có:

A.Vô nghiệm

B.Không xác định được

C.Có nghiệm duy nhất

D.Vô số nghiệm

Câu 3.Hệ phương trình $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 11 \end{cases}$ có:

A.Vô nghiệm

B.Vô số nghiệm

C.Có nghiệm duy nhất

D.Không xác định được

2. Giải hệ 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số với hệ số "lệch" (nhân chéo)Trắc nghiệm`solve_2x2_cross_multiply`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x + 5y = -13 \\ 5x + 4y = 0 \end{cases}$.

A.$(x; y) = (-5; 4)$

B.$(x; y) = (-4; 5)$

C.$(x; y) = (4; -5)$

D.$(x; y) = (5; -6)$

Câu 5.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 5x - 5y = -25 \\ 2x - y = -7 \end{cases}$.

A.$(x; y) = (2; -3)$

B.$(x; y) = (-1; 2)$

C.$(x; y) = (3; -2)$

D.$(x; y) = (-2; 3)$

Câu 6.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 4x + 3y = -7 \\ 5x + 4y = -10 \end{cases}$.

A.$(x; y) = (2; -5)$

B.$(x; y) = (3; -6)$

C.$(x; y) = (-5; 2)$

D.$(x; y) = (-2; 5)$

3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghiệm nguyên)Trắc nghiệm`solve_2x2_integer_solution`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 4x + 3y = 5 \\ 5x + 3y = 7 \end{cases}$.

A.$(x; y) = (-1; 2)$

B.$(x; y) = (2; -1)$

C.$(x; y) = (3; -1)$

D.$(x; y) = (-2; 1)$

Câu 8.Giải hệ phương trình $\begin{cases} -2x - 4y = -2 \\ -4x + 5y = -30 \end{cases}$.

A.$(x; y) = (-5; 2)$

B.$(x; y) = (5; -2)$

C.$(x; y) = (6; -2)$

D.$(x; y) = (-2; 5)$

Câu 9.Giải hệ phương trình $\begin{cases} 3x + 3y = 0 \\ 3x + 2y = -6 \end{cases}$.

A.$(x; y) = (-6; 7)$

B.$(x; y) = (6; -6)$

C.$(x; y) = (-5; 6)$

D.$(x; y) = (-6; 6)$

4. Giải hệ chứa $\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}$ bằng phương pháp đặt ẩn phụTrắc nghiệm`system_aux_variable_reciprocal`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Giải hệ phương trình $\begin{cases} -\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = \dfrac{7}{4} \\ -\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = - \dfrac{1}{4} \end{cases}$ (với $x \neq 0,\ y \neq 0$).

A.$(x; y) = (-4; 2)$

B.$(x; y) = (-4; \dfrac{1}{2})$

C.$(x; y) = (- \dfrac{1}{4}; 2)$

D.$(x; y) = (- \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2})$

Câu 11.Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y} = \dfrac{9}{10} \\ \dfrac{3}{x} - \dfrac{3}{y} = - \dfrac{3}{20} \end{cases}$ (với $x \neq 0,\ y \neq 0$).

A.$(x; y) = (5; 4)$

B.$(x; y) = (\dfrac{1}{5}; 4)$

C.$(x; y) = (\dfrac{1}{5}; \dfrac{1}{4})$

D.$(x; y) = (5; \dfrac{1}{4})$

Câu 12.Giải hệ phương trình $\begin{cases} \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{y} = - \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{y} = - \dfrac{5}{6} \end{cases}$ (với $x \neq 0,\ y \neq 0$).

A.$(x; y) = (6; 4)$

B.$(x; y) = (6; \dfrac{1}{4})$

C.$(x; y) = (\dfrac{1}{6}; \dfrac{1}{4})$

D.$(x; y) = (\dfrac{1}{6}; 4)$

5. Giải hệ $\begin{cases}x + y = a \\ x - y = b\end{cases}$ → $x = (a+b)/2$, $y = (a-b)/2$Trắc nghiệm`system_simple_substitution`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Giải hệ phương trình $\begin{cases}x + y = 6 \\ x - y = -2\end{cases}$.

A.$x = 3, y = 4$

B.$x = 4, y = 2$

C.$x = 2, y = 4$

D.$x = -2, y = -4$

Câu 14.Giải hệ phương trình $\begin{cases}x + y = -2 \\ x - y = -4\end{cases}$.

A.$x = -3, y = 1$

B.$x = -2, y = 1$

C.$x = 1, y = -3$

D.$x = 3, y = -1$

Câu 15.Giải hệ phương trình $\begin{cases}x + y = 4 \\ x - y = 2\end{cases}$.

A.$x = -3, y = -1$

B.$x = 1, y = 3$

C.$x = 3, y = 1$

D.$x = 4, y = 1$

6. Hệ $\begin{cases}x = k \\ ax + by = c\end{cases}$ → $y$Trắc nghiệm`system_with_one_var_known`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Giải hệ $\begin{cases}x = 2 \\ x + 2y = 10\end{cases}$ — tìm $y$.

A.$y = -4$

B.$y = 3$

C.$y = 5$

D.$y = 4$

Câu 17.Giải hệ $\begin{cases}x = 1 \\ 4x - 2y = 2\end{cases}$ — tìm $y$.

A.$y = 0$

B.$y = 1$

C.$y = 2$

D.$y = -1$

Câu 18.Giải hệ $\begin{cases}x = 3 \\ 3x + y = 6\end{cases}$ — tìm $y$.

A.$y = -4$

B.$y = -3$

C.$y = -2$

D.$y = 3$

7. Cho hệ cụ thể có nghiệm $(x_0, y_0)$ — kiểm tra cách giải bằng thếĐúng / Sai`solve_substitution_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = -2 \end{cases}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cặp $(2; 4)$ là nghiệm của hệ.

b)Hệ vô nghiệm.

c)Cặp $(4; 2)$ là nghiệm của hệ.

d)Cặp $(0; 0)$ là nghiệm của hệ.

Câu 20.Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y = -7 \\ x - y = -1 \end{cases}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ có nghiệm duy nhất.

b)Cặp $(-4; -3)$ là nghiệm của hệ.

c)Hệ vô nghiệm.

d)Cặp $(-3; -4)$ là nghiệm của hệ.

Câu 21.Cho hệ phương trình $\begin{cases} x + y = -4 \\ x - y = 2 \end{cases}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ có nghiệm duy nhất.

b)Cặp $(-1; -3)$ là nghiệm của hệ.

c)Rút $y$ từ phương trình thứ nhất ta được $y = -4 - x$.

d)Cặp $(-3; -1)$ là nghiệm của hệ.

8. Giải hệ — chỉ trả $x$ (đáp án số)Trả lời ngắn`solve_2x2_system`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Giải hệ $\begin{cases} -x - y = -1 \\ -3x + y = 13 \end{cases}$. Tìm $x$.

Câu 23.Giải hệ $\begin{cases} x + 4y = -10 \\ -4x - 2y = 12 \end{cases}$. Tìm $x$.

Câu 24.Giải hệ $\begin{cases} 2x - 3y = 15 \\ x + y = 0 \end{cases}$. Tìm $x$.

9. Giải hệ phương trình tuyến tính 2x2, chỉ trả $x$Trả lời ngắn`solve_system_x_only`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Giải hệ phương trình: $\begin{cases} -x - 4y = -14 \\ -3x + 2y = 0 \end{cases}$. Tìm giá trị $x$.

Câu 26.Giải hệ phương trình: $\begin{cases} -3x - y = -15 \\ -3x - 4y = -24 \end{cases}$. Tìm giá trị $x$.

Câu 27.Giải hệ phương trình: $\begin{cases} -3x - 3y = -12 \\ x + 3y = 8 \end{cases}$. Tìm giá trị $x$.

Giải hệ phương trình: Phương pháp thế và cộng

Công thức

§1. Phương pháp(3)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Hệ 2 ẩn: vô nghiệm / có nghiệm duy nhất / vô số nghiệmTrắc nghiệmnumber_of_solutions_system(3 câu)

2. Giải hệ 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số với hệ số "lệch" (nhân chéo)Trắc nghiệmsolve_2x2_cross_multiply(3 câu)

3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghiệm nguyên)Trắc nghiệmsolve_2x2_integer_solution(3 câu)

4. Giải hệ chứa $\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}$ bằng phương pháp đặt ẩn phụTrắc nghiệmsystem_aux_variable_reciprocal(3 câu)

5. Giải hệ $\begin{cases}x + y = a \\ x - y = b\end{cases}$ → $x = (a+b)/2$, $y = (a-b)/2$Trắc nghiệmsystem_simple_substitution(3 câu)

6. Hệ $\begin{cases}x = k \\ ax + by = c\end{cases}$ → $y$Trắc nghiệmsystem_with_one_var_known(3 câu)

7. Cho hệ cụ thể có nghiệm $(x_0, y_0)$ — kiểm tra cách giải bằng thếĐúng / Saisolve_substitution_facts(3 câu)

8. Giải hệ — chỉ trả $x$ (đáp án số)Trả lời ngắnsolve_2x2_system(3 câu)

9. Giải hệ phương trình tuyến tính 2x2, chỉ trả $x$Trả lời ngắnsolve_system_x_only(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Hệ 2 ẩn: vô nghiệm / có nghiệm duy nhất / vô số nghiệmTrắc nghiệm`number_of_solutions_system`(3 câu)

2. Giải hệ 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số với hệ số "lệch" (nhân chéo)Trắc nghiệm`solve_2x2_cross_multiply`(3 câu)

3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghiệm nguyên)Trắc nghiệm`solve_2x2_integer_solution`(3 câu)

4. Giải hệ chứa $\dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{y}$ bằng phương pháp đặt ẩn phụTrắc nghiệm`system_aux_variable_reciprocal`(3 câu)

5. Giải hệ $\begin{cases}x + y = a \\ x - y = b\end{cases}$ → $x = (a+b)/2$, $y = (a-b)/2$Trắc nghiệm`system_simple_substitution`(3 câu)

6. Hệ $\begin{cases}x = k \\ ax + by = c\end{cases}$ → $y$Trắc nghiệm`system_with_one_var_known`(3 câu)

7. Cho hệ cụ thể có nghiệm $(x_0, y_0)$ — kiểm tra cách giải bằng thếĐúng / Sai`solve_substitution_facts`(3 câu)

8. Giải hệ — chỉ trả $x$ (đáp án số)Trả lời ngắn`solve_2x2_system`(3 câu)

9. Giải hệ phương trình tuyến tính 2x2, chỉ trả $x$Trả lời ngắn`solve_system_x_only`(3 câu)