Bất đẳng thức

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn $x, y$ có dạng: $$a x + b y + c > 0,$$ (hoặc $<, \geq, \leq$), với $a^2 + b^2 > 0$. Nghiệm là cặp $(x_0; y_0)$ thoả bất phương trình. Tập nghiệm = tập tất cả các nghiệm.

§2. Tính chất(1)

2.1

Ý nghĩa hình học

Tập nghiệm của $a x + b y + c > 0$ là nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng $ax + by + c = 0$ (không kể đường thẳng). Tập nghiệm của $\geq$ bao gồm cả đường thẳng (vẽ nét liền). Bất phương trình ngặt $>, <$ → biên không thuộc tập nghiệm (vẽ nét đứt).

§3. Phương pháp(1)

3.1

Biểu diễn miền nghiệm

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: ax + by + c = 0$ (nét đứt nếu $>, <$; nét liền nếu $\geq, \leq$). Bước 2. Chọn 1 điểm thử $M$ không thuộc $d$, thường $O(0; 0)$ nếu $c \neq 0$. Bước 3. Thay toạ độ $M$ vào bất phương trình:

Đúng → tô nửa mặt phẳng chứa $M$.
Sai → tô nửa mặt phẳng KHÔNG chứa $M$.

Bước 4. Phần tô = miền nghiệm.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: dùng $O(0;0)$ làm điểm thử

Khi $c \neq 0$: $O(0;0)$ KHÔNG thuộc đường thẳng → là điểm thử tốt. Thay $O$ vào: $c > 0$ (hoặc $\geq 0$) → $O$ thoả → miền chứa $O$. Nhanh hơn nhiều so với tính toạ độ điểm khác.

Bài tập

1. Cho $a > b$, suy ra bất đẳng thức tương ứngTrắc nghiệm`apply_inequality_property_g10`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Cho $a > b$. Khẳng định nào đúng về $-a$ và $-b$?

A.$-a > -b$

B.Không xác định được

C.$-a < -b$

D.$-a = -b$

Câu 2.Cho $a > b$. Khẳng định nào đúng về $-a$ và $-b$?

A.Không xác định được

B.$-a < -b$

C.$-a > -b$

D.$-a = -b$

Câu 3.Cho $a > b$. Khẳng định nào đúng về $a - 3$ và $b - 3$?

A.$a - 3 \geq b - 3$ (chỉ \geq, có thể bằng)

B.$a - 3 > b - 3$

C.$a - 3 = b - 3$

D.$a - 3 < b - 3$

2. Trong các bất đẳng thức, chọn khẳng định đúngTrắc nghiệm`check_inequality_concrete`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Chọn khẳng định ĐÚNG trong các BĐT/đẳng thức sau:

A.$\sqrt{4} = 2$

B.$-7 > -2$

C.$2^3 > 3^2$

D.$|-3| < 2$

Câu 5.Chọn khẳng định ĐÚNG trong các BĐT/đẳng thức sau:

A.$2^3 > 3^2$

B.$|-3| < 2$

C.$0 > -1$

D.$-7 > -2$

Câu 6.Chọn khẳng định ĐÚNG trong các BĐT/đẳng thức sau:

A.$2^3 > 3^2$

B.$|-3| < 2$

C.$-7 > -2$

D.$0 > -1$

3. Biểu diễn miền nghiệm của một BPT bậc nhất 2 ẩn: chọn mô tả ĐÚNG về đường biên (nét liền/đứt) và nửa mặt phẳng (có chứa gốc $O$ hay không)Trắc nghiệm`represent_region_via_origin_test`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - y \leq 5$ trên mặt phẳng toạ độ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

B.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

C.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

D.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

Câu 8.Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - 3y > -3$ trên mặt phẳng toạ độ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

B.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

C.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

D.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

Câu 9.Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $-3x - 3y > 9$ trên mặt phẳng toạ độ. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

A.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

B.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

C.Biên vẽ nét đứt; miền nghiệm là nửa mặt phẳng CHỨA gốc toạ độ $O$.

D.Biên vẽ nét liền; miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc toạ độ $O$.

4. Xác định miền nghiệm của HỆ ba bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (một tam giác) và chọn ĐÚNG bộ ba đỉnh của miềnTrắc nghiệm`system_region_triangle_vertices`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 3x + y \leq 9 \end{cases}$ là một tam giác. Ba đỉnh của tam giác đó là?

A.$(0; 0),\ (3; 0),\ (0; 9)$

B.$(3; 0),\ (0; 9),\ (3; 9)$

C.$(0; 0),\ (3; 0),\ (3; 9)$

D.$(0; 0),\ (9; 0),\ (0; 3)$

Câu 11.Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 3x + y \leq 9 \end{cases}$ là một tam giác. Ba đỉnh của tam giác đó là?

A.$(3; 0),\ (0; 9),\ (3; 9)$

B.$(0; 0),\ (3; 0),\ (0; 9)$

C.$(0; 0),\ (9; 0),\ (0; 3)$

D.$(0; 0),\ (3; 0),\ (3; 9)$

Câu 12.Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 3x + 2y \leq 12 \end{cases}$ là một tam giác. Ba đỉnh của tam giác đó là?

A.$(0; 0),\ (4; 0),\ (0; 6)$

B.$(0; 0),\ (6; 0),\ (0; 4)$

C.$(0; 0),\ (4; 0),\ (4; 6)$

D.$(4; 0),\ (0; 6),\ (4; 6)$

5. VDC++ (HSG): Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thoả $a+b+c=3$Trắc nghiệm`three_var_inequality_min_classic`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho ba số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^3 + b^3 + c^3$.

A.$P_{\min} = 9$

B.$P_{\min} = 3$

C.$P_{\min} = \dfrac{9}{2}$

D.$P_{\min} = 1$

Câu 14.Cho ba số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^3 + b^3 + c^3$.

A.$P_{\min} = 3$

B.$P_{\min} = \dfrac{9}{2}$

C.$P_{\min} = 1$

D.$P_{\min} = 9$

Câu 15.Cho ba số thực dương $a, b, c$ thoả mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.

A.$P_{\min} = 9$

B.$P_{\min} = 1$

C.$P_{\min} = \dfrac{9}{2}$

D.$P_{\min} = 3$

6. Cho 3 số cụ thể $a, b, c$ với $a > b$ — xét tính chất bất đẳng thứcĐúng / Sai`ineq_basic_facts`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Cho ba số $a = 4, b = 1, c = -2$ (với $a > b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$-a > -b$.

b)$a^2 > b^2$.

c)Bất đẳng thức Cô-si: $x + y \geq 2\sqrt{xy}$ với $x, y \geq 0$.

d)$|a + b| \leq |a| + |b|$.

Câu 17.Cho ba số $a = 4, b = 1, c = -2$ (với $a > b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$-a < -b$.

b)$-a > -b$.

c)$a^2 > b^2$.

d)Tính bắc cầu: nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$.

Câu 18.Cho ba số $a = 4, b = 1, c = -2$ (với $a > b$). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$a + c = 2$ và $b + c = -1$, nên $a + c > b + c$.

b)Bất đẳng thức Cô-si: $x + y \geq 2\sqrt{xy}$ với $x, y \geq 0$.

c)Vì $c = -2$, ta có $ac < bc$.

d)$-a > -b$.

7. Cho 2 số cụ thể — kiểm tra các bất đẳng thức số học cụ thểĐúng / Sai`ineq_concrete_facts_g10`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Cho hai số $x = 4$ và $y = -1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|x| > |y|$.

b)$|-x| = 4$.

c)$x + y = 3$.

d)$x \cdot y > 0$.

Câu 20.Cho hai số $x = 5$ và $y = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x \cdot y = 15$.

b)$x^2 \geq 0$.

c)$|-x| = 5$.

d)$x = 5 > y = 3$.

Câu 21.Cho hai số $x = 5$ và $y = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$x \cdot y = 15$.

b)$x + y = 8$.

c)$x = 5 > y = 3$.

d)$x^2 \geq 0$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho $a > b$, suy ra bất đẳng thức tương ứngTrắc nghiệmapply_inequality_property_g10(3 câu)

2. Trong các bất đẳng thức, chọn khẳng định đúngTrắc nghiệmcheck_inequality_concrete(3 câu)

3. Biểu diễn miền nghiệm của một BPT bậc nhất 2 ẩn: chọn mô tả ĐÚNG về đường biên (nét liền/đứt) và nửa mặt phẳng (có chứa gốc $O$ hay không)Trắc nghiệmrepresent_region_via_origin_test(3 câu)

4. Xác định miền nghiệm của HỆ ba bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (một tam giác) và chọn ĐÚNG bộ ba đỉnh của miềnTrắc nghiệmsystem_region_triangle_vertices(3 câu)

5. VDC++ (HSG): Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thoả $a+b+c=3$Trắc nghiệmthree_var_inequality_min_classic(3 câu)

6. Cho 3 số cụ thể $a, b, c$ với $a > b$ — xét tính chất bất đẳng thứcĐúng / Saiineq_basic_facts(3 câu)

7. Cho 2 số cụ thể — kiểm tra các bất đẳng thức số học cụ thểĐúng / Saiineq_concrete_facts_g10(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho $a > b$, suy ra bất đẳng thức tương ứngTrắc nghiệm`apply_inequality_property_g10`(3 câu)

2. Trong các bất đẳng thức, chọn khẳng định đúngTrắc nghiệm`check_inequality_concrete`(3 câu)

3. Biểu diễn miền nghiệm của một BPT bậc nhất 2 ẩn: chọn mô tả ĐÚNG về đường biên (nét liền/đứt) và nửa mặt phẳng (có chứa gốc $O$ hay không)Trắc nghiệm`represent_region_via_origin_test`(3 câu)

4. Xác định miền nghiệm của HỆ ba bất phương trình bậc nhất 2 ẩn (một tam giác) và chọn ĐÚNG bộ ba đỉnh của miềnTrắc nghiệm`system_region_triangle_vertices`(3 câu)

5. VDC++ (HSG): Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thoả $a+b+c=3$Trắc nghiệm`three_var_inequality_min_classic`(3 câu)

6. Cho 3 số cụ thể $a, b, c$ với $a > b$ — xét tính chất bất đẳng thứcĐúng / Sai`ineq_basic_facts`(3 câu)

7. Cho 2 số cụ thể — kiểm tra các bất đẳng thức số học cụ thểĐúng / Sai`ineq_concrete_facts_g10`(3 câu)