Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Công thức

§1. Phương pháp(2)

1.1

Kiểm tra điểm có thuộc miền nghiệm

Cho điểm $M(x_0; y_0)$ và bất phương trình $ax + by + c \, \square \, 0$ ($\square \in \{>, <, \geq, \leq\}$): Bước 1. Thay toạ độ điểm: tính $T = a x_0 + b y_0 + c$. Bước 2. So sánh $T$ với 0 theo dấu $\square$:

$T \, \square \, 0$ đúng → $M$ thuộc miền nghiệm.
Sai → $M$ không thuộc.

1.2

Kiểm tra điểm với hệ bất phương trình

Với hệ gồm nhiều bất phương trình, $M(x_0; y_0)$ thuộc miền nghiệm hệ $\Leftrightarrow$ $M$ thoả mọi bất phương trình. Bước 1. Thay $M$ vào từng bất phương trình. Bước 2. Nếu tất cả đúng → $M$ thuộc miền. Bước 3. Chỉ cần 1 bất phương trình SAI → $M$ KHÔNG thuộc.

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: chú ý dấu = trên biên

Trường hợp $\geq, \leq$: biên (đường thẳng $ax + by + c = 0$) thuộc miền. Trường hợp $>, <$: biên KHÔNG thuộc miền. → Nếu $M$ nằm đúng trên biên (cho $T = 0$):

$\geq, \leq$: thuộc miền.
$>, <$: KHÔNG thuộc miền.

Bài tập

1. Kiểm tra cặp $(x_0, y_0)$ có thuộc miền nghiệm $ax + by < c$ (hoặc $>$) khôngTrắc nghiệm`check_point_satisfies_inequality`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Cho bất phương trình $2x + 4y \geq -6$. Cặp $(2; 2)$ có là nghiệm của bất phương trình không?

A.Chỉ thuộc đường biên

B.Không xác định được

C.Không thuộc miền nghiệm

D.Có thuộc miền nghiệm

Câu 2.Cho bất phương trình $-5x - y > -4$. Cặp $(-5; -4)$ có là nghiệm của bất phương trình không?

A.Có thuộc miền nghiệm

B.Không xác định được

C.Chỉ thuộc đường biên

D.Không thuộc miền nghiệm

Câu 3.Cho bất phương trình $5x - 4y \geq -8$. Cặp $(2; 2)$ có là nghiệm của bất phương trình không?

A.Có thuộc miền nghiệm

B.Chỉ thuộc đường biên

C.Không thuộc miền nghiệm

D.Không xác định được

2. Quan sát miền nghiệm tô đậm trên hình, chọn bất phương trình tương ứngTrắc nghiệm`identify_inequality_from_half_plane`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Quan sát miền nghiệm tô đậm trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm như vậy?

Miền nghiệm bất phương trình -x + 2y \leq -3

A.$2x - y \leq -3$

B.$-x + 2y \leq -3$

C.$-x + 2y \geq -3$

D.$x - 2y \leq 3$

Câu 5.Quan sát miền nghiệm tô đậm trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm như vậy?

Miền nghiệm bất phương trình x - 2y < 1

A.$x - 2y < 1$

B.$-x + 2y < -1$

C.$-2x + y < 1$

D.$x - 2y > 1$

Câu 6.Quan sát miền nghiệm tô đậm trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm như vậy?

Miền nghiệm bất phương trình 2x - y > 4

A.$2x - y > 4$

B.$-x + 2y > 4$

C.$-2x + y > -4$

D.$2x - y < 4$

3. Đếm số giá trị nguyên của tham số $m$ để một điểm là nghiệm của BPT chứa $m$Trắc nghiệm`param_membership_count_integer_m`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho bất phương trình $(3 + m)x + y > 10 + 2m$ (với $m$ là tham số) và điểm $M(-3; 2)$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-8; 4]$ để điểm $M$ là nghiệm của bất phương trình?

A.8

B.5

C.4

D.6

Câu 8.Cho bất phương trình $(3 + m)x + y > 10 + 2m$ (với $m$ là tham số) và điểm $M(-3; 2)$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-8; 4]$ để điểm $M$ là nghiệm của bất phương trình?

A.5

B.6

C.4

D.8

Câu 9.Cho bất phương trình $(2 + m)x + 3y > 1 + 5m$ (với $m$ là tham số) và điểm $M(2; -2)$. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-8; 5]$ để điểm $M$ là nghiệm của bất phương trình?

A.7

B.6

C.14

D.8

4. Trong 4 điểm, điểm nào thuộc miền nghiệm của bất phương trình?Trắc nghiệm`pick_point_in_solution_region`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Cho bất phương trình $-2x - 4y > 5$. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm?

A.$(-3; 6)$

B.$(-6; 3)$

C.$(0; 0)$

D.$(3; -4)$

Câu 11.Cho bất phương trình $x - 4y \geq 7$. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm?

A.$(2; -2)$

B.$(0; 2)$

C.$(-6; 2)$

D.$(1; -1)$

Câu 12.Cho bất phương trình $-4x + 2y \geq -5$. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm?

A.$(6; -4)$

B.$(4; 4)$

C.$(2; -2)$

D.$(-3; 1)$

5. Xác định miền nghiệm hệ BPT rồi tìm GTLN của $F = px + qy$ trên miền đóTrắc nghiệm`region_max_linear_objective`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x \leq 4 \\ x + 2y \leq 12 \end{cases}$ có miền nghiệm là một đa giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 5x + 3y$ trên miền nghiệm đó.

A.$F_{\max} = 0$ tại $(0; 0)$

B.$F_{\max} = 32$ tại $(4; 4)$

C.$F_{\max} = 40$ tại $(4; 4)$

D.$F_{\max} = 20$ tại $(4; 0)$

Câu 14.Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x \leq 4 \\ x + 2y \leq 12 \end{cases}$ có miền nghiệm là một đa giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 5x + 3y$ trên miền nghiệm đó.

A.$F_{\max} = 20$ tại $(4; 0)$

B.$F_{\max} = 40$ tại $(4; 4)$

C.$F_{\max} = 32$ tại $(4; 4)$

D.$F_{\max} = 0$ tại $(0; 0)$

Câu 15.Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x \leq 4 \\ x + 2y \leq 12 \end{cases}$ có miền nghiệm là một đa giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F = 5x + 3y$ trên miền nghiệm đó.

A.$F_{\max} = 32$ tại $(4; 4)$

B.$F_{\max} = 40$ tại $(4; 4)$

C.$F_{\max} = 0$ tại $(0; 0)$

D.$F_{\max} = 20$ tại $(4; 0)$

6. Cho BPT cụ thể $ax + by \leq c$ — kiểm tra nghiệm tại các điểm cụ thểĐúng / Sai`check_solution_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho bất phương trình $2x - 3y \leq 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là một nửa mặt phẳng (có thể bao gồm đường biên).

b)Cặp $(x; y) = (5; 1)$ là nghiệm của bất phương trình.

c)Cặp $(x; y) = (0; -2)$ là nghiệm của bất phương trình.

d)Đường biên của miền nghiệm là đường thẳng $2x - 3y = 6$.

Câu 17.Cho bất phương trình $2x - 3y \leq 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường biên của miền nghiệm là đường thẳng $2x - 3y = 6$.

b)Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn là một nửa mặt phẳng (có thể bao gồm đường biên).

c)Cặp $(x; y) = (0; -2)$ là nghiệm của bất phương trình.

d)Cặp $(x; y) = (5; 1)$ là nghiệm của bất phương trình.

Câu 18.Cho bất phương trình $2x - 3y \leq 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cặp $(x; y) = (0; 0)$ là nghiệm của bất phương trình.

b)Cặp $(x; y) = (0; -2)$ là nghiệm của bất phương trình.

c)Cặp $(x; y) = (5; 1)$ là nghiệm của bất phương trình.

d)Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn luôn có nghiệm.

7. TF "đúng/sai" cho miền nghiệm BPT bậc nhất 2 ẩn cụ thể đã tô đậmĐúng / Sai`half_plane_tf_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Quan sát miền nghiệm tô đậm trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Miền nghiệm x - y \leq -3

a)Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng (có thể bao gồm biên).

b)Cặp $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.

c)Đường biên được vẽ NÉT LIỀN.

d)Đường biên là $x - y = -3$.

Câu 20.Quan sát miền nghiệm tô đậm trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Miền nghiệm 2x + 2y \geq 3

a)Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng (có thể bao gồm biên).

b)Cặp $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.

c)Đường biên là $2x + 2y = 3$.

d)Đường biên được vẽ NÉT LIỀN.

Câu 21.Quan sát miền nghiệm tô đậm trên mặt phẳng toạ độ trong hình. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Miền nghiệm x - y \geq 1

a)Đường biên được vẽ NÉT ĐỨT.

b)Cặp $(0; 0)$ thuộc miền nghiệm.

c)Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng (có thể bao gồm biên).

d)Đường biên được vẽ NÉT LIỀN.

8. Cho BPT cụ thể với toán tử ngặt/không ngặt — xét đường biên và miền nghiệmĐúng / Sai`ineq2var_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho bất phương trình $-x + y < -1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cặp $(0; 0)$ là nghiệm của bất phương trình.

b)Mọi miền nghiệm của BPT bậc nhất 2 ẩn đều bị chặn.

c)Đường biên thuộc miền nghiệm.

d)Miền nghiệm là một nửa mặt phẳng.

Câu 23.Cho bất phương trình $-x - 2y < -1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường biên là đường thẳng $-x - 2y = -1$.

b)Cặp $(0; 0)$ là nghiệm của bất phương trình.

c)Đường biên thuộc miền nghiệm.

d)Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn luôn có nghiệm.

Câu 24.Cho bất phương trình $-2x - 2y < -2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường biên thuộc miền nghiệm.

b)Đường biên là đường thẳng $-2x - 2y = -2$.

c)Mọi miền nghiệm của BPT bậc nhất 2 ẩn đều bị chặn.

d)Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn luôn có nghiệm.

Công thức

§1. Phương pháp(2)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Kiểm tra cặp $(x_0, y_0)$ có thuộc miền nghiệm $ax + by < c$ (hoặc $>$) khôngTrắc nghiệmcheck_point_satisfies_inequality(3 câu)

2. Quan sát miền nghiệm tô đậm trên hình, chọn bất phương trình tương ứngTrắc nghiệmidentify_inequality_from_half_plane(3 câu)

3. Đếm số giá trị nguyên của tham số $m$ để một điểm là nghiệm của BPT chứa $m$Trắc nghiệmparam_membership_count_integer_m(3 câu)

4. Trong 4 điểm, điểm nào thuộc miền nghiệm của bất phương trình?Trắc nghiệmpick_point_in_solution_region(3 câu)

5. Xác định miền nghiệm hệ BPT rồi tìm GTLN của $F = px + qy$ trên miền đóTrắc nghiệmregion_max_linear_objective(3 câu)

6. Cho BPT cụ thể $ax + by \leq c$ — kiểm tra nghiệm tại các điểm cụ thểĐúng / Saicheck_solution_facts(3 câu)

7. TF "đúng/sai" cho miền nghiệm BPT bậc nhất 2 ẩn cụ thể đã tô đậmĐúng / Saihalf_plane_tf_from_figure(3 câu)

8. Cho BPT cụ thể với toán tử ngặt/không ngặt — xét đường biên và miền nghiệmĐúng / Saiineq2var_facts2(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Kiểm tra cặp $(x_0, y_0)$ có thuộc miền nghiệm $ax + by < c$ (hoặc $>$) khôngTrắc nghiệm`check_point_satisfies_inequality`(3 câu)

2. Quan sát miền nghiệm tô đậm trên hình, chọn bất phương trình tương ứngTrắc nghiệm`identify_inequality_from_half_plane`(3 câu)

3. Đếm số giá trị nguyên của tham số $m$ để một điểm là nghiệm của BPT chứa $m$Trắc nghiệm`param_membership_count_integer_m`(3 câu)

4. Trong 4 điểm, điểm nào thuộc miền nghiệm của bất phương trình?Trắc nghiệm`pick_point_in_solution_region`(3 câu)

5. Xác định miền nghiệm hệ BPT rồi tìm GTLN của $F = px + qy$ trên miền đóTrắc nghiệm`region_max_linear_objective`(3 câu)

6. Cho BPT cụ thể $ax + by \leq c$ — kiểm tra nghiệm tại các điểm cụ thểĐúng / Sai`check_solution_facts`(3 câu)

7. TF "đúng/sai" cho miền nghiệm BPT bậc nhất 2 ẩn cụ thể đã tô đậmĐúng / Sai`half_plane_tf_from_figure`(3 câu)

8. Cho BPT cụ thể với toán tử ngặt/không ngặt — xét đường biên và miền nghiệmĐúng / Sai`ineq2var_facts2`(3 câu)