Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Bài toán quy hoạch tuyến tính

Tìm $(x; y)$ thuộc miền $D$ (xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính) sao cho hàm tuyến tính $F = \alpha x + \beta y$ đạt GTLN hoặc GTNN. Ứng dụng: tối ưu sản xuất (lợi nhuận tối đa, chi phí tối thiểu) dưới các ràng buộc tài nguyên.

1.2

Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn

Hệ gồm 2 hay nhiều bất phương trình bậc nhất 2 ẩn: $$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 \geq 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 \geq 0 \\ \vdots \end{cases}.$$ Tập nghiệm = giao của tập nghiệm các bất phương trình thành phần.

§2. Định lý(1)

2.1

Định lý: GTLN/GTNN đạt tại đỉnh

Trên miền $D$ là đa giác lồi (bounded), GTLN và GTNN của $F = \alpha x + \beta y$ đạt tại đỉnh của đa giác. → Chỉ cần tính $F$ tại các đỉnh, so sánh → tìm max/min.

§3. Phương pháp(2)

3.1

Quy trình giải bài tối ưu

Bước 1. Lập hệ ràng buộc từ đề (số lượng $\geq 0$, tài nguyên có hạn,...). Bước 2. Lập hàm mục tiêu $F = \alpha x + \beta y$ (lợi nhuận / chi phí). Bước 3. Vẽ miền $D$, xác định các đỉnh — giao của các đường biên. Bước 4. Tính $F$ tại từng đỉnh. Bước 5. So sánh → kết luận GTLN/GTNN và phương án tương ứng.

3.2

Biểu diễn miền nghiệm hệ

Bước 1. Vẽ từng bất phương trình → mỗi cái cho 1 nửa mặt phẳng. Bước 2. Phần giao của tất cả các nửa mặt phẳng = miền nghiệm hệ. Bước 3. Miền có thể là đa giác (kể cả không bị chặn). Mẹo: tô đậm phần giao, hoặc gạch chéo các phần loại để dễ thấy miền nghiệm.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: kiểm tra miền có bị chặn

Nếu miền $D$ không bị chặn theo hướng làm $F$ tăng (giảm) vô hạn:

GTLN (hoặc GTNN) tương ứng có thể không tồn tại.

Chỉ tính giá trị tại đỉnh khi miền bị chặn trong khoảng quan tâm. Quan sát: vẽ vectơ pháp tuyến của hàm mục tiêu để biết hướng tăng/giảm.

Bài tập

1. Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn, chọn cặp $(x_0, y_0)$ là nghiệmTrắc nghiệm`check_pair_in_system_ineq`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Trong các điểm sau, điểm nào là nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} -x - 3y < 2 \\ 3x - 3y < -4 \end{cases}$?

A.$(5; 4)$

B.$(1; -3)$

C.$(-6; -1)$

D.$(-2; 1)$

Câu 2.Trong các điểm sau, điểm nào là nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} -x + 3y < 12 \\ -x - 3y < -4 \end{cases}$?

A.$(5; -5)$

B.$(-1; 3)$

C.$(3; -1)$

D.$(5; -1)$

Câu 3.Trong các điểm sau, điểm nào là nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y < 9 \\ -2x + y < -2 \end{cases}$?

A.$(-1; -3)$

B.$(-4; -3)$

C.$(-3; 3)$

D.$(3; 1)$

2. VD cao: bài quy hoạch tuyến tính 2 biếnTrắc nghiệm`linear_programming_max_objective`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Tìm giá trị lớn nhất của hàm $F(x, y) = 5x + 3y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $0 \leq x \leq 5;\ 0 \leq y \leq 4;\ x + y \leq 6.$

A.$F_{max} = 27\text{ tại } (5; 1)$

B.$F_{max} = 28\text{ tại } (5; 1)$

C.$F_{max} = 8\text{ tại } (1; 1)$

D.$F_{max} = 29\text{ tại } (5; 1)$

Câu 5.Tìm giá trị lớn nhất của hàm $F(x, y) = 6x + 4y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $0 \leq x \leq 6;\ 0 \leq y \leq 5;\ x + 2y \leq 10.$

A.$F_{max} = 43\text{ tại } (6; 2)$

B.$F_{max} = 10\text{ tại } (1; 1)$

C.$F_{max} = 45\text{ tại } (6; 2)$

D.$F_{max} = 44\text{ tại } (6; 2)$

Câu 6.Tìm giá trị lớn nhất của hàm $F(x, y) = 5x + 3y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình $0 \leq x \leq 5;\ 0 \leq y \leq 4;\ x + y \leq 6.$

A.$F_{max} = 29\text{ tại } (5; 1)$

B.$F_{max} = 27\text{ tại } (5; 1)$

C.$F_{max} = 8\text{ tại } (1; 1)$

D.$F_{max} = 28\text{ tại } (5; 1)$

3. VDC: bài toán quy hoạch tuyến tính thực tế kiểu xưởng sản xuất — tối ưu lợi nhuận trên 2 ràng buộc tài nguyên (giờ công, vật liệu)Trắc nghiệm`linear_programming_realworld_factory`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Một xưởng gốm sản xuất bình hoa và đĩa trang trí hiện có $70$ giờ công lao động và $80$ kg đất sét. Mỗi chiếc bình hoa cần $2$ giờ công và $1$ kg đất sét, đem lại lãi $60$ nghìn đồng. Mỗi chiếc đĩa cần $1$ giờ công và $2$ kg đất sét, đem lại lãi $50$ nghìn đồng. Gọi $x, y$ lần lượt là số bình hoa và đĩa cần sản xuất. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc mỗi loại để tổng lãi $F$ đạt giá trị lớn nhất (số sản phẩm là số nguyên không âm, toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều bán hết)?

A.$F_{\max} = 3500$ nghìn đồng tại $(0; 70)$

B.$F_{\max} = 1950$ nghìn đồng tại $(10; 15)$

C.$F_{\max} = 2100$ nghìn đồng tại $(35; 0)$

D.$F_{\max} = 2700$ nghìn đồng tại $(20; 30)$

Câu 8.Một xưởng may sản xuất áo sơ mi và quần tây hiện có $180$ giờ công lao động và $100$ mét vải. Mỗi chiếc áo sơ mi cần $2$ giờ công và $1$ mét vải, đem lại lãi $60$ nghìn đồng. Mỗi chiếc quần tây cần $3$ giờ công và $2$ mét vải, đem lại lãi $100$ nghìn đồng. Gọi $x, y$ lần lượt là số áo sơ mi và quần tây cần sản xuất. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc mỗi loại để tổng lãi $F$ đạt giá trị lớn nhất (số sản phẩm là số nguyên không âm, toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều bán hết)?

A.$F_{\max} = 6000$ nghìn đồng tại $(0; 60)$

B.$F_{\max} = 4600$ nghìn đồng tại $(30; 10)$

C.$F_{\max} = 5600$ nghìn đồng tại $(60; 20)$

D.$F_{\max} = 5400$ nghìn đồng tại $(90; 0)$

Câu 9.Một doanh nghiệp gia công đồ chơi gỗ sản xuất ô tô và máy bay hiện có $130$ giờ công lao động và $140$ tấm gỗ. Mỗi chiếc ô tô gỗ cần $1$ giờ công và $2$ tấm gỗ, đem lại lãi $40$ nghìn đồng. Mỗi chiếc máy bay gỗ cần $2$ giờ công và $1$ tấm gỗ, đem lại lãi $60$ nghìn đồng. Gọi $x, y$ lần lượt là số ô tô gỗ và máy bay gỗ cần sản xuất. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu chiếc mỗi loại để tổng lãi $F$ đạt giá trị lớn nhất (số sản phẩm là số nguyên không âm, toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều bán hết)?

A.$F_{\max} = 3900$ nghìn đồng tại $(0; 65)$

B.$F_{\max} = 5200$ nghìn đồng tại $(130; 0)$

C.$F_{\max} = 3200$ nghìn đồng tại $(25; 20)$

D.$F_{\max} = 4400$ nghìn đồng tại $(50; 40)$

4. Hệ BPT bậc nhất 2 ẩn — miền nghiệm có bị chặn không (loại đa giác)Trắc nghiệm`region_unbounded_or_bounded`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by < c$ (với $a, b$ không đồng thời bằng 0) là loại miền nào?

A.Không bị chặn

B.Một điểm duy nhất

C.Bị chặn (đa giác kín)

D.Toàn mặt phẳng

Câu 11.Miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by < c$ (với $a, b$ không đồng thời bằng 0) là loại miền nào?

A.Không bị chặn

B.Một điểm duy nhất

C.Toàn mặt phẳng

D.Bị chặn (đa giác kín)

Câu 12.Miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by < c$ (với $a, b$ không đồng thời bằng 0) là loại miền nào?

A.Không bị chặn

B.Bị chặn (đa giác kín)

C.Toàn mặt phẳng

D.Một điểm duy nhất

5. Bài toán tối ưu tuyến tính cụ thể — tìm GTLN của $F = ax + by$ trên miền nghiệm hệĐúng / Sai`system_ineq_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hệ $\{x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 4\}$ và hàm mục tiêu $F(x; y) = 3x + 2y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mọi hệ BPT bậc nhất 2 ẩn đều có nghiệm.

b)Nếu miền nghiệm là đa giác lồi bị chặn, hàm tuyến tính luôn có GTLN và GTNN.

c)Trong bài toán tối ưu tuyến tính, GTLN/GTNN của hàm mục tiêu thường đạt tại đỉnh đa giác miền nghiệm.

d)Giá trị $F$ tại các đỉnh: $(0; 0)$ ⇒ $F = 0$, $(4; 0)$ ⇒ $F = 12$, $(0; 4)$ ⇒ $F = 8$.

Câu 14.Cho hệ $\{x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 6\}$ và hàm mục tiêu $F(x; y) = 2x + y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giá trị $F$ tại các đỉnh: $(0; 0)$ ⇒ $F = 0$, $(6; 0)$ ⇒ $F = 12$, $(0; 6)$ ⇒ $F = 6$.

b)Mọi hệ BPT bậc nhất 2 ẩn đều có nghiệm.

c)Giá trị lớn nhất của $F$ trên miền nghiệm là $12$, đạt tại điểm $(6; 0)$.

d)Nếu miền nghiệm là đa giác lồi bị chặn, hàm tuyến tính luôn có GTLN và GTNN.

Câu 15.Cho hệ $\{x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 5\}$ và hàm mục tiêu $F(x; y) = x + 2y$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Nếu miền nghiệm là đa giác lồi bị chặn, hàm tuyến tính luôn có GTLN và GTNN.

b)Giá trị lớn nhất của $F$ trên miền nghiệm là $10$, đạt tại điểm $(0; 5)$.

c)Trong bài toán tối ưu tuyến tính, GTLN/GTNN của hàm mục tiêu thường đạt tại đỉnh đa giác miền nghiệm.

d)Mọi hệ BPT bậc nhất 2 ẩn đều có nghiệm.

6. Cho hệ BPT cụ thể $\{x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq c\}$ — xét miền nghiệmĐúng / Sai`system_ineq_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cặp $(-1; 0)$ là nghiệm của hệ.

b)Cặp $(4; 0)$ là nghiệm của hệ.

c)Hệ BPT có thể có miền nghiệm là tập rỗng.

d)Cặp $(0; 0)$ là nghiệm của hệ.

Câu 17.Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ BPT có thể có miền nghiệm là tập rỗng.

b)Cặp $(0; 0)$ là nghiệm của hệ.

c)Cặp $(-1; 0)$ là nghiệm của hệ.

d)Diện tích miền nghiệm là $S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \dfrac{36}{2}$.

Câu 18.Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cặp $(5; 0)$ là nghiệm của hệ.

b)Miền nghiệm của hệ BPT bậc nhất 2 ẩn là giao của các nửa mặt phẳng.

c)Diện tích miền nghiệm là $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \dfrac{16}{2}$.

d)Cặp $(-1; 0)$ là nghiệm của hệ.

7. SA (VDC): cùng dữ kiện, hỏi lợi nhuận lớn nhất (sau thuế)Trả lời ngắn`lp_capital_alloc_max_profit_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 19.Một nhà đầu tư có tối đa 20 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm), chịu thuế 20% trên lợi nhuận. Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 3 lần vốn kênh B ($x \le 3y$); vốn kênh B ít nhất 4 tỷ ($y \ge 4$); và chi phí quản lý $30x + 20y \le 540$ (triệu đồng). Hỏi lợi nhuận lớn nhất (sau thuế) đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 20.Một nhà đầu tư có tối đa 36 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm), chịu thuế 10% trên lợi nhuận. Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 3 lần vốn kênh B ($x \le 3y$); vốn kênh B ít nhất 6 tỷ ($y \ge 6$); và chi phí quản lý $40x + 20y \le 1080$ (triệu đồng). Hỏi lợi nhuận lớn nhất (sau thuế) đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 21.Một nhà đầu tư có tối đa 24 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm), chịu thuế 10% trên lợi nhuận. Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 2 lần vốn kênh B ($x \le 2y$); vốn kênh B ít nhất 4 tỷ ($y \ge 4$); và chi phí quản lý $40x + 20y \le 800$ (triệu đồng). Hỏi lợi nhuận lớn nhất (sau thuế) đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

8. SA (VDC): nhiều ràng buộc, hỏi vốn vào kênh A để lợi nhuận maxTrả lời ngắn`lp_capital_alloc_optimal_a_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 22.Một nhà đầu tư có tối đa 28 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm). Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 2 lần vốn kênh B ($x \le 2y$); vốn kênh B ít nhất 5 tỷ ($y \ge 5$); và chi phí quản lý $40x + 30y \le 1020$ (triệu đồng). Để lợi nhuận lớn nhất, nên đầu tư bao nhiêu tỷ đồng vào kênh A?

Câu 23.Một nhà đầu tư có tối đa 24 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm), chịu thuế 10% trên lợi nhuận. Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 2 lần vốn kênh B ($x \le 2y$); vốn kênh B ít nhất 4 tỷ ($y \ge 4$); và chi phí quản lý $40x + 20y \le 800$ (triệu đồng). Để lợi nhuận lớn nhất, nên đầu tư bao nhiêu tỷ đồng vào kênh A?

Câu 24.Một nhà đầu tư có tối đa 36 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm), chịu thuế 10% trên lợi nhuận. Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 3 lần vốn kênh B ($x \le 3y$); vốn kênh B ít nhất 6 tỷ ($y \ge 6$); và chi phí quản lý $40x + 20y \le 1080$ (triệu đồng). Để lợi nhuận lớn nhất, nên đầu tư bao nhiêu tỷ đồng vào kênh A?

9. SA (VDC): cùng dữ kiện, hỏi vốn vào kênh B tại điểm tối ưuTrả lời ngắn`lp_capital_alloc_optimal_b_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 25.Một nhà đầu tư có tối đa 32 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm), chịu thuế 10% trên lợi nhuận. Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 2 lần vốn kênh B ($x \le 2y$); vốn kênh B ít nhất 6 tỷ ($y \ge 6$); và chi phí quản lý $45x + 25y \le 1200$ (triệu đồng). Để lợi nhuận lớn nhất, nên đầu tư bao nhiêu tỷ đồng vào kênh B?

Câu 26.Một nhà đầu tư có tối đa 36 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm), chịu thuế 10% trên lợi nhuận. Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 3 lần vốn kênh B ($x \le 3y$); vốn kênh B ít nhất 6 tỷ ($y \ge 6$); và chi phí quản lý $40x + 20y \le 1080$ (triệu đồng). Để lợi nhuận lớn nhất, nên đầu tư bao nhiêu tỷ đồng vào kênh B?

Câu 27.Một nhà đầu tư có tối đa 20 tỷ đồng để phân bổ vào kênh A (lãi suất 15%/năm) và kênh B (lãi suất 10%/năm), chịu thuế 20% trên lợi nhuận. Gọi $x,\,y$ (tỷ đồng) là vốn vào kênh A, kênh B. Yêu cầu: vốn kênh A không quá 3 lần vốn kênh B ($x \le 3y$); vốn kênh B ít nhất 4 tỷ ($y \ge 4$); và chi phí quản lý $30x + 20y \le 540$ (triệu đồng). Để lợi nhuận lớn nhất, nên đầu tư bao nhiêu tỷ đồng vào kênh B?

10. SA: biến thể có chặn trên 1 biến và/hoặc 3 ràng buộc; hỏi TỔNG x+y tối ưuTrả lời ngắn`lp_capped_var_total_units_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Một xưởng may sản xuất hai loại áo: áo sơ mi và áo khoác. Biết mỗi áo sơ mi cần 1 mét vải, mỗi áo khoác cần 1 mét vải (tối đa 10 mét vải); mỗi áo sơ mi cần 3 giờ may, mỗi áo khoác cần 2 giờ may (tối đa 24 giờ may). Mỗi áo sơ mi lãi 5 trăm nghìn đồng, mỗi áo khoác lãi 4 trăm nghìn đồng. xưởng chỉ may được tối đa 6 áo sơ mi. Tại phương án cho lợi nhuận lớn nhất, tổng số sản phẩm (áo sơ mi và áo khoác) được may là bao nhiêu?

Câu 29.Một trạm lắp đặt hai loại trụ sạc xe điện: trụ sạc nhanh và trụ sạc thường. Biết mỗi trụ sạc nhanh cần 2 m² mặt bằng, mỗi trụ sạc thường cần 1 m² mặt bằng (tối đa 10 m² mặt bằng); mỗi trụ sạc nhanh cần 1 đơn vị công suất điện, mỗi trụ sạc thường cần 3 đơn vị công suất điện (tối đa 15 đơn vị công suất điện); mỗi trụ sạc nhanh cần 1 ngày thi công, mỗi trụ sạc thường cần 1 ngày thi công (tối đa 7 ngày thi công). Mỗi trụ sạc nhanh lãi 4 triệu đồng, mỗi trụ sạc thường lãi 5 triệu đồng. Tại phương án cho lợi nhuận lớn nhất, tổng số sản phẩm (trụ sạc nhanh và trụ sạc thường) được lắp đặt là bao nhiêu?

Câu 30.Một tiệm bánh làm hai loại bánh: bánh kem và bánh mì ngọt. Biết mỗi bánh kem cần 3 kg bột, mỗi bánh mì ngọt cần 1 kg bột (tối đa 12 kg bột); mỗi bánh kem cần 1 kg đường, mỗi bánh mì ngọt cần 2 kg đường (tối đa 10 kg đường); mỗi bánh kem cần 1 lọ hương liệu, mỗi bánh mì ngọt cần 1 lọ hương liệu (tối đa 6 lọ hương liệu). Mỗi bánh kem lãi 5 trăm nghìn đồng, mỗi bánh mì ngọt lãi 4 trăm nghìn đồng. Tại phương án cho lợi nhuận lớn nhất, tổng số sản phẩm (bánh kem và bánh mì ngọt) được làm là bao nhiêu?

11. SA: tổng giờ ≤ + ít nhất N (≥), hỏi doanh thu lớn nhấtTrả lời ngắn`lp_min_count_max_revenue_value_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Một xưởng mộc đóng hai loại ghế: ghế đơn và ghế dài. Mỗi ghế đơn cần 1 giờ và bán 40 nghìn đồng; mỗi ghế dài cần 2 giờ và bán 80 nghìn đồng. Mỗi tuần làm được tối đa 24 giờ và phải giao ít nhất 14 chiếc. Hỏi doanh thu lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 32.Một xưởng nhận đơn hàng hai loại sản phẩm: sản phẩm nhỏ và sản phẩm lớn. Mỗi sản phẩm nhỏ cần 1 giờ công và bán được 20 nghìn đồng; mỗi sản phẩm lớn cần 2 giờ công và bán được 50 nghìn đồng. Tổng giờ công mỗi ngày tối đa 20 giờ công và đơn hàng yêu cầu giao ít nhất 11 sản phẩm. Hỏi doanh thu lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 33.Một người làm hai loại bó hoa: bó hoa nhỏ và bó hoa lớn. Mỗi bó hoa nhỏ cần 1 giờ và bán được 30 nghìn đồng; mỗi bó hoa lớn cần 2 giờ và bán được 80 nghìn đồng. Mỗi ngày làm được tối đa 24 giờ và phải giao ít nhất 13 bó. Hỏi doanh thu lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu nghìn đồng?

12. SA: cùng dữ kiện, hỏi số sản phẩm LOẠI LỚN ($y$) tại tối ưuTrả lời ngắn`lp_min_count_optimal_large_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Một bếp ăn chuẩn bị hai loại suất ăn: suất thường và suất đặc biệt. Mỗi suất thường cần 1 phút và thu 30 nghìn đồng; mỗi suất đặc biệt cần 2 phút và thu 60 nghìn đồng. Tổng thời gian chế biến mỗi buổi tối đa 24 phút và phải phục vụ ít nhất 14 suất. Để doanh thu lớn nhất thì cần làm bao nhiêu suất đặc biệt?

Câu 35.Một người làm hai loại bó hoa: bó hoa nhỏ và bó hoa lớn. Mỗi bó hoa nhỏ cần 1 giờ và bán được 30 nghìn đồng; mỗi bó hoa lớn cần 2 giờ và bán được 80 nghìn đồng. Mỗi ngày làm được tối đa 24 giờ và phải giao ít nhất 13 bó. Để doanh thu lớn nhất thì cần làm bao nhiêu bó hoa lớn?

Câu 36.Một người làm hai loại bó hoa: bó hoa nhỏ và bó hoa lớn. Mỗi bó hoa nhỏ cần 1 giờ và bán được 30 nghìn đồng; mỗi bó hoa lớn cần 3 giờ và bán được 100 nghìn đồng. Mỗi ngày làm được tối đa 30 giờ và phải giao ít nhất 12 bó. Để doanh thu lớn nhất thì cần làm bao nhiêu bó hoa lớn?

13. SA: cùng dữ kiện, hỏi số sản phẩm LOẠI NHỎ ($x$) tại tối ưuTrả lời ngắn`lp_min_count_optimal_small_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Một xưởng mộc đóng hai loại ghế: ghế đơn và ghế dài. Mỗi ghế đơn cần 1 giờ và bán 20 nghìn đồng; mỗi ghế dài cần 2 giờ và bán 50 nghìn đồng. Mỗi tuần làm được tối đa 24 giờ và phải giao ít nhất 13 chiếc. Để doanh thu lớn nhất thì cần làm bao nhiêu ghế đơn?

Câu 38.Một bếp ăn chuẩn bị hai loại suất ăn: suất thường và suất đặc biệt. Mỗi suất thường cần 1 phút và thu 20 nghìn đồng; mỗi suất đặc biệt cần 2 phút và thu 50 nghìn đồng. Tổng thời gian chế biến mỗi buổi tối đa 24 phút và phải phục vụ ít nhất 13 suất. Để doanh thu lớn nhất thì cần làm bao nhiêu suất thường?

Câu 39.Một bếp ăn chuẩn bị hai loại suất ăn: suất thường và suất đặc biệt. Mỗi suất thường cần 1 phút và thu 20 nghìn đồng; mỗi suất đặc biệt cần 2 phút và thu 50 nghìn đồng. Tổng thời gian chế biến mỗi buổi tối đa 20 phút và phải phục vụ ít nhất 11 suất. Để doanh thu lớn nhất thì cần làm bao nhiêu suất thường?

14. SA: cùng dữ kiện, hỏi số bao/đơn vị loại X (hoặc Y) tại phương án rẻ nhấtTrả lời ngắn`lp_mix_min_cost_optimal_bag_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Cần lập khẩu phần ăn từ hai loại thực phẩm: phần thực phẩm X giá 260 nghìn đồng/phần, phần thực phẩm Y giá 210 nghìn đồng/phần. Yêu cầu mỗi phần cung cấp: 2 trăm calo (từ phần thực phẩm X) và 1 trăm calo (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 12 trăm calo; 2 đơn vị protein (từ phần thực phẩm X) và 9 đơn vị protein (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 36 đơn vị protein; 2 đơn vị vitamin (từ phần thực phẩm X) và 3 đơn vị vitamin (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 24 đơn vị vitamin. Tại phương án chi phí nhỏ nhất, cần dùng bao nhiêu phần thực phẩm Y?

Câu 41.Cần lập khẩu phần ăn từ hai loại thực phẩm: phần thực phẩm X giá 260 nghìn đồng/phần, phần thực phẩm Y giá 220 nghìn đồng/phần. Yêu cầu mỗi phần cung cấp: 6 trăm calo (từ phần thực phẩm X) và 6 trăm calo (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 36 trăm calo; 6 đơn vị protein (từ phần thực phẩm X) và 2 đơn vị protein (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 16 đơn vị protein. Tại phương án chi phí nhỏ nhất, cần dùng bao nhiêu phần thực phẩm X?

Câu 42.Cần lập khẩu phần ăn từ hai loại thực phẩm: phần thực phẩm X giá 260 nghìn đồng/phần, phần thực phẩm Y giá 220 nghìn đồng/phần. Yêu cầu mỗi phần cung cấp: 2 trăm calo (từ phần thực phẩm X) và 2 trăm calo (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 34 trăm calo; 4 đơn vị protein (từ phần thực phẩm X) và 1 đơn vị protein (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 32 đơn vị protein. Tại phương án chi phí nhỏ nhất, cần dùng bao nhiêu phần thực phẩm Y?

15. SA: cùng dữ kiện, hỏi TỔNG số bao đã dùng tại phương án rẻ nhấtTrả lời ngắn`lp_mix_min_cost_total_bags_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Cần lập khẩu phần ăn từ hai loại thực phẩm: phần thực phẩm X giá 260 nghìn đồng/phần, phần thực phẩm Y giá 220 nghìn đồng/phần. Yêu cầu mỗi phần cung cấp: 6 trăm calo (từ phần thực phẩm X) và 6 trăm calo (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 36 trăm calo; 6 đơn vị protein (từ phần thực phẩm X) và 2 đơn vị protein (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 16 đơn vị protein. Tại phương án chi phí nhỏ nhất, tổng số phần đã dùng (phần thực phẩm X và phần thực phẩm Y) là bao nhiêu?

Câu 44.Cần lập khẩu phần ăn từ hai loại thực phẩm: phần thực phẩm X giá 260 nghìn đồng/phần, phần thực phẩm Y giá 220 nghìn đồng/phần. Yêu cầu mỗi phần cung cấp: 2 trăm calo (từ phần thực phẩm X) và 2 trăm calo (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 34 trăm calo; 4 đơn vị protein (từ phần thực phẩm X) và 1 đơn vị protein (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 32 đơn vị protein. Tại phương án chi phí nhỏ nhất, tổng số phần đã dùng (phần thực phẩm X và phần thực phẩm Y) là bao nhiêu?

Câu 45.Cần trộn hai loại thức ăn chăn nuôi: bao X giá 260 nghìn đồng/bao, bao Y giá 250 nghìn đồng/bao. Yêu cầu mỗi bao cung cấp: 4 dưỡng chất A (từ bao X) và 6 dưỡng chất A (từ bao Y), cần ít nhất 28 dưỡng chất A; 4 dưỡng chất B (từ bao X) và 1 dưỡng chất B (từ bao Y), cần ít nhất 18 dưỡng chất B. Tại phương án chi phí nhỏ nhất, tổng số bao đã dùng (bao X và bao Y) là bao nhiêu?

16. SA: 2–3 ràng buộc dinh dưỡng ≥, hỏi CHI PHÍ nhỏ nhấtTrả lời ngắn`lp_mix_min_cost_value_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Cần lập khẩu phần ăn từ hai loại thực phẩm: phần thực phẩm X giá 260 nghìn đồng/phần, phần thực phẩm Y giá 220 nghìn đồng/phần. Yêu cầu mỗi phần cung cấp: 2 trăm calo (từ phần thực phẩm X) và 2 trăm calo (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 34 trăm calo; 4 đơn vị protein (từ phần thực phẩm X) và 1 đơn vị protein (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 32 đơn vị protein. Hỏi chi phí nhỏ nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 47.Cần trộn hai loại thức ăn chăn nuôi: bao X giá 260 nghìn đồng/bao, bao Y giá 250 nghìn đồng/bao. Yêu cầu mỗi bao cung cấp: 4 dưỡng chất A (từ bao X) và 6 dưỡng chất A (từ bao Y), cần ít nhất 28 dưỡng chất A; 4 dưỡng chất B (từ bao X) và 1 dưỡng chất B (từ bao Y), cần ít nhất 18 dưỡng chất B. Hỏi chi phí nhỏ nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 48.Cần lập khẩu phần ăn từ hai loại thực phẩm: phần thực phẩm X giá 260 nghìn đồng/phần, phần thực phẩm Y giá 250 nghìn đồng/phần. Yêu cầu mỗi phần cung cấp: 4 trăm calo (từ phần thực phẩm X) và 6 trăm calo (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 28 trăm calo; 4 đơn vị protein (từ phần thực phẩm X) và 1 đơn vị protein (từ phần thực phẩm Y), cần ít nhất 18 đơn vị protein. Hỏi chi phí nhỏ nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

17. SA: cho 2–3 ràng buộc tài nguyên ≤ + lãi mỗi loại, hỏi GTLN lợi nhuận/doanh thuTrả lời ngắn`lp_two_resource_max_profit_value_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Một dây chuyền dùng máy I và máy II sản xuất hai mặt hàng: sản phẩm A và sản phẩm B. Biết mỗi sản phẩm A cần 2 giờ máy I, mỗi sản phẩm B cần 3 giờ máy I (tối đa 24 giờ máy I); mỗi sản phẩm A cần 2 giờ máy II, mỗi sản phẩm B cần 1 giờ máy II (tối đa 16 giờ máy II). Mỗi sản phẩm A lãi 3 triệu đồng, mỗi sản phẩm B lãi 4 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 50.Một công ty mua hai loại tín chỉ carbon: tín chỉ gói A và tín chỉ gói B. Biết mỗi tín chỉ gói A cần 2 triệu đồng ngân sách, mỗi tín chỉ gói B cần 3 triệu đồng ngân sách (tối đa 30 triệu đồng ngân sách); mỗi tín chỉ gói A cần 3 lượt giao dịch, mỗi tín chỉ gói B cần 2 lượt giao dịch (tối đa 30 lượt giao dịch). Mỗi tín chỉ gói A sinh lời 4 triệu đồng, mỗi tín chỉ gói B sinh lời 5 triệu đồng. Hỏi doanh thu lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 51.Một trạm lắp đặt hai loại trụ sạc xe điện: trụ sạc nhanh và trụ sạc thường. Biết mỗi trụ sạc nhanh cần 3 m² mặt bằng, mỗi trụ sạc thường cần 2 m² mặt bằng (tối đa 18 m² mặt bằng); mỗi trụ sạc nhanh cần 1 đơn vị công suất điện, mỗi trụ sạc thường cần 2 đơn vị công suất điện (tối đa 10 đơn vị công suất điện). Mỗi trụ sạc nhanh lãi 5 triệu đồng, mỗi trụ sạc thường lãi 4 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu triệu đồng?

18. SA: cùng dữ kiện, hỏi TỌA ĐỘ tối ưu — số sản phẩm loại 1 (hoặc loại 2)Trả lời ngắn`lp_two_resource_optimal_coord_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Một dây chuyền dùng máy I và máy II sản xuất hai mặt hàng: sản phẩm A và sản phẩm B. Biết mỗi sản phẩm A cần 2 giờ máy I, mỗi sản phẩm B cần 1 giờ máy I (tối đa 12 giờ máy I); mỗi sản phẩm A cần 1 giờ máy II, mỗi sản phẩm B cần 2 giờ máy II (tối đa 12 giờ máy II); mỗi sản phẩm A cần 1 giờ đóng gói, mỗi sản phẩm B cần 1 giờ đóng gói (tối đa 7 giờ đóng gói). Mỗi sản phẩm A lãi 3 triệu đồng, mỗi sản phẩm B lãi 4 triệu đồng. Để lợi nhuận lớn nhất thì cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm B?

Câu 53.Một tiệm bánh làm hai loại bánh: bánh kem và bánh mì ngọt. Biết mỗi bánh kem cần 2 kg bột, mỗi bánh mì ngọt cần 3 kg bột (tối đa 30 kg bột); mỗi bánh kem cần 3 kg đường, mỗi bánh mì ngọt cần 2 kg đường (tối đa 30 kg đường). Mỗi bánh kem lãi 4 trăm nghìn đồng, mỗi bánh mì ngọt lãi 5 trăm nghìn đồng. Để lợi nhuận lớn nhất thì cần làm bao nhiêu bánh mì ngọt?

Câu 54.Một xưởng may sản xuất hai loại áo: áo sơ mi và áo khoác. Biết mỗi áo sơ mi cần 2 mét vải, mỗi áo khoác cần 1 mét vải (tối đa 10 mét vải); mỗi áo sơ mi cần 1 giờ may, mỗi áo khoác cần 3 giờ may (tối đa 15 giờ may); mỗi áo sơ mi cần 1 giờ hoàn thiện, mỗi áo khoác cần 1 giờ hoàn thiện (tối đa 7 giờ hoàn thiện). Mỗi áo sơ mi lãi 4 trăm nghìn đồng, mỗi áo khoác lãi 5 trăm nghìn đồng. Để lợi nhuận lớn nhất thì cần may bao nhiêu áo khoác?

19. SA: Bãi đậu xe có diện tích $A$ m², chứa tối đa $N$ xeTrả lời ngắn`parking_lot_lp_two_vehicle_types`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Một bãi đậu xe ô tô kinh doanh dịch vụ giữ xe ô tô qua đêm có diện tích là $180$ m² (không tính phần diện tích lối đi cho xe ra vào). Mỗi chiếc xe ô tô loại 7 chỗ ngồi cần diện tích $10$ m² và mỗi chiếc xe ô tô loại 16 chỗ ngồi cần diện tích $15$ m². Chi phí gửi xe mỗi đêm đối với xe ô tô 7 chỗ ngồi là $200$ nghìn đồng và loại xe 16 chỗ ngồi là $250$ nghìn đồng. Bãi đậu xe không thể chứa quá $15$ xe một đêm. Sau mỗi đêm, doanh thu lớn nhất từ việc kinh doanh dịch vụ trên là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 56.Một bãi đậu xe ô tô kinh doanh dịch vụ giữ xe ô tô qua đêm có diện tích là $300$ m² (không tính phần diện tích lối đi cho xe ra vào). Mỗi chiếc xe ô tô loại 7 chỗ ngồi cần diện tích $10$ m² và mỗi chiếc xe ô tô loại 16 chỗ ngồi cần diện tích $20$ m². Chi phí gửi xe mỗi đêm đối với xe ô tô 7 chỗ ngồi là $180$ nghìn đồng và loại xe 16 chỗ ngồi là $280$ nghìn đồng. Bãi đậu xe không thể chứa quá $25$ xe một đêm. Sau mỗi đêm, doanh thu lớn nhất từ việc kinh doanh dịch vụ trên là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 57.Một bãi đậu xe ô tô kinh doanh dịch vụ giữ xe ô tô qua đêm có diện tích là $200$ m² (không tính phần diện tích lối đi cho xe ra vào). Mỗi chiếc xe ô tô loại 7 chỗ ngồi cần diện tích $10$ m² và mỗi chiếc xe ô tô loại 16 chỗ ngồi cần diện tích $20$ m². Chi phí gửi xe mỗi đêm đối với xe ô tô 7 chỗ ngồi là $150$ nghìn đồng và loại xe 16 chỗ ngồi là $200$ nghìn đồng. Bãi đậu xe không thể chứa quá $20$ xe một đêm. Sau mỗi đêm, doanh thu lớn nhất từ việc kinh doanh dịch vụ trên là bao nhiêu nghìn đồng?

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Định lý(1)

§3. Phương pháp(2)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn, chọn cặp $(x_0, y_0)$ là nghiệmTrắc nghiệmcheck_pair_in_system_ineq(3 câu)

2. VD cao: bài quy hoạch tuyến tính 2 biếnTrắc nghiệmlinear_programming_max_objective(3 câu)

3. VDC: bài toán quy hoạch tuyến tính thực tế kiểu xưởng sản xuất — tối ưu lợi nhuận trên 2 ràng buộc tài nguyên (giờ công, vật liệu)Trắc nghiệmlinear_programming_realworld_factory(3 câu)

4. Hệ BPT bậc nhất 2 ẩn — miền nghiệm có bị chặn không (loại đa giác)Trắc nghiệmregion_unbounded_or_bounded(3 câu)

5. Bài toán tối ưu tuyến tính cụ thể — tìm GTLN của $F = ax + by$ trên miền nghiệm hệĐúng / Saisystem_ineq_examples(3 câu)

6. Cho hệ BPT cụ thể $\{x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq c\}$ — xét miền nghiệmĐúng / Saisystem_ineq_facts(3 câu)

7. SA (VDC): cùng dữ kiện, hỏi lợi nhuận lớn nhất (sau thuế)Trả lời ngắnlp_capital_alloc_max_profit_sa(3 câu)

8. SA (VDC): nhiều ràng buộc, hỏi vốn vào kênh A để lợi nhuận maxTrả lời ngắnlp_capital_alloc_optimal_a_sa(3 câu)

9. SA (VDC): cùng dữ kiện, hỏi vốn vào kênh B tại điểm tối ưuTrả lời ngắnlp_capital_alloc_optimal_b_sa(3 câu)

10. SA: biến thể có chặn trên 1 biến và/hoặc 3 ràng buộc; hỏi TỔNG x+y tối ưuTrả lời ngắnlp_capped_var_total_units_sa(3 câu)

11. SA: tổng giờ ≤ + ít nhất N (≥), hỏi doanh thu lớn nhấtTrả lời ngắnlp_min_count_max_revenue_value_sa(3 câu)

12. SA: cùng dữ kiện, hỏi số sản phẩm LOẠI LỚN ($y$) tại tối ưuTrả lời ngắnlp_min_count_optimal_large_sa(3 câu)

13. SA: cùng dữ kiện, hỏi số sản phẩm LOẠI NHỎ ($x$) tại tối ưuTrả lời ngắnlp_min_count_optimal_small_sa(3 câu)

14. SA: cùng dữ kiện, hỏi số bao/đơn vị loại X (hoặc Y) tại phương án rẻ nhấtTrả lời ngắnlp_mix_min_cost_optimal_bag_sa(3 câu)

15. SA: cùng dữ kiện, hỏi TỔNG số bao đã dùng tại phương án rẻ nhấtTrả lời ngắnlp_mix_min_cost_total_bags_sa(3 câu)

16. SA: 2–3 ràng buộc dinh dưỡng ≥, hỏi CHI PHÍ nhỏ nhấtTrả lời ngắnlp_mix_min_cost_value_sa(3 câu)

17. SA: cho 2–3 ràng buộc tài nguyên ≤ + lãi mỗi loại, hỏi GTLN lợi nhuận/doanh thuTrả lời ngắnlp_two_resource_max_profit_value_sa(3 câu)

18. SA: cùng dữ kiện, hỏi TỌA ĐỘ tối ưu — số sản phẩm loại 1 (hoặc loại 2)Trả lời ngắnlp_two_resource_optimal_coord_sa(3 câu)

19. SA: Bãi đậu xe có diện tích $A$ m², chứa tối đa $N$ xeTrả lời ngắnparking_lot_lp_two_vehicle_types(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn, chọn cặp $(x_0, y_0)$ là nghiệmTrắc nghiệm`check_pair_in_system_ineq`(3 câu)

2. VD cao: bài quy hoạch tuyến tính 2 biếnTrắc nghiệm`linear_programming_max_objective`(3 câu)

3. VDC: bài toán quy hoạch tuyến tính thực tế kiểu xưởng sản xuất — tối ưu lợi nhuận trên 2 ràng buộc tài nguyên (giờ công, vật liệu)Trắc nghiệm`linear_programming_realworld_factory`(3 câu)

4. Hệ BPT bậc nhất 2 ẩn — miền nghiệm có bị chặn không (loại đa giác)Trắc nghiệm`region_unbounded_or_bounded`(3 câu)

5. Bài toán tối ưu tuyến tính cụ thể — tìm GTLN của $F = ax + by$ trên miền nghiệm hệĐúng / Sai`system_ineq_examples`(3 câu)

6. Cho hệ BPT cụ thể $\{x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq c\}$ — xét miền nghiệmĐúng / Sai`system_ineq_facts`(3 câu)

7. SA (VDC): cùng dữ kiện, hỏi lợi nhuận lớn nhất (sau thuế)Trả lời ngắn`lp_capital_alloc_max_profit_sa`(3 câu)

8. SA (VDC): nhiều ràng buộc, hỏi vốn vào kênh A để lợi nhuận maxTrả lời ngắn`lp_capital_alloc_optimal_a_sa`(3 câu)

9. SA (VDC): cùng dữ kiện, hỏi vốn vào kênh B tại điểm tối ưuTrả lời ngắn`lp_capital_alloc_optimal_b_sa`(3 câu)

10. SA: biến thể có chặn trên 1 biến và/hoặc 3 ràng buộc; hỏi TỔNG x+y tối ưuTrả lời ngắn`lp_capped_var_total_units_sa`(3 câu)

11. SA: tổng giờ ≤ + ít nhất N (≥), hỏi doanh thu lớn nhấtTrả lời ngắn`lp_min_count_max_revenue_value_sa`(3 câu)

12. SA: cùng dữ kiện, hỏi số sản phẩm LOẠI LỚN ($y$) tại tối ưuTrả lời ngắn`lp_min_count_optimal_large_sa`(3 câu)

13. SA: cùng dữ kiện, hỏi số sản phẩm LOẠI NHỎ ($x$) tại tối ưuTrả lời ngắn`lp_min_count_optimal_small_sa`(3 câu)

14. SA: cùng dữ kiện, hỏi số bao/đơn vị loại X (hoặc Y) tại phương án rẻ nhấtTrả lời ngắn`lp_mix_min_cost_optimal_bag_sa`(3 câu)

15. SA: cùng dữ kiện, hỏi TỔNG số bao đã dùng tại phương án rẻ nhấtTrả lời ngắn`lp_mix_min_cost_total_bags_sa`(3 câu)

16. SA: 2–3 ràng buộc dinh dưỡng ≥, hỏi CHI PHÍ nhỏ nhấtTrả lời ngắn`lp_mix_min_cost_value_sa`(3 câu)

17. SA: cho 2–3 ràng buộc tài nguyên ≤ + lãi mỗi loại, hỏi GTLN lợi nhuận/doanh thuTrả lời ngắn`lp_two_resource_max_profit_value_sa`(3 câu)

18. SA: cùng dữ kiện, hỏi TỌA ĐỘ tối ưu — số sản phẩm loại 1 (hoặc loại 2)Trả lời ngắn`lp_two_resource_optimal_coord_sa`(3 câu)

19. SA: Bãi đậu xe có diện tích $A$ m², chứa tối đa $N$ xeTrả lời ngắn`parking_lot_lp_two_vehicle_types`(3 câu)