Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Hàm số bậc hai

$$y = a x^2 + b x + c, \quad (a \neq 0).$$ TXĐ: $\mathbb{R}$. Đồ thị: parabol.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính đơn điệu — bảng biến thiên

Đặt $x_I = -\dfrac{b}{2 a}$: $a > 0$ (parabol mở lên):

Nghịch biến trên $(-\infty; x_I)$.
Đồng biến trên $(x_I; +\infty)$.
$y$ đạt GTNN tại $x_I$, giá trị $y_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4 a}$.

$a < 0$ (parabol mở xuống):

Đồng biến trên $(-\infty; x_I)$.
Nghịch biến trên $(x_I; +\infty)$.
$y$ đạt GTLN tại $x_I$.

§3. Công thức(3)

3.1

Dạng đỉnh + dạng nhân tử

Dạng đỉnh: $y = a (x - x_I)^2 + y_I$ với $I(x_I; y_I)$.
Dạng nhân tử (khi $\Delta \geq 0$): $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ với $x_1, x_2$ là nghiệm.
Dạng tổng quát: $y = a x^2 + b x + c$.

→ Có thể chuyển đổi giữa 3 dạng tuỳ bài toán.

3.2

Giao điểm với trục

Giao $Oy$: cho $x = 0 \Rightarrow y = c$. Điểm $(0; c)$.
Giao $Ox$: cho $y = 0$, giải phương trình bậc 2:

+ $\Delta > 0$: 2 giao điểm $x_1, x_2$. + $\Delta = 0$: tiếp xúc tại $x = -\dfrac{b}{2a}$. + $\Delta < 0$: không cắt $Ox$.

3.3

Toạ độ đỉnh + trục đối xứng

Đặt $\Delta = b^2 - 4 a c$. Đỉnh: $$I\left(-\dfrac{b}{2 a}; \, -\dfrac{\Delta}{4 a}\right).$$ Trục đối xứng: $x = -\dfrac{b}{2 a}$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: GTLN-GTNN trên đoạn $[m; n]$

Trên đoạn $[m; n]$, GTLN-GTNN của $f(x) = ax^2 + bx + c$ đạt tại 1 trong 3 vị trí:

Đầu mút $x = m, x = n$.
Đỉnh $x = -\dfrac{b}{2a}$ (nếu nằm trong $[m; n]$).

→ Tính $f$ tại 3 điểm này, so sánh → GTLN/GTNN.

Bài tập

1. Phương trình $\sqrt{x + a} = x + b$ — bình phương đưa về bậc 2Trắc nghiệm`equation_reducible_to_quadratic_via_substitution`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Giải phương trình $\sqrt{x + 7} = x + 1$.

A.$x = -1$

B.$x = 0$

C.$x = 2$

D.$x = 1$

Câu 2.Giải phương trình $\sqrt{x + 3} = x + 1$.

A.$x = 1$

B.$x = 2$

C.$x = -1$

D.$x = 0$

Câu 3.Giải phương trình $\sqrt{x + 3} = x + 1$.

A.$x = 0$

B.$x = -1$

C.$x = 1$

D.$x = 2$

2. VD cao: tìm $m$ để GTNN của $f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 4m + 5$ bằng $K$Trắc nghiệm`param_min_value_of_quadratic_equals_target`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Cho hàm số $f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 4m + 5$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng $2$.

A.$m \in \{1; 3\}$

B.$m \in \{-1; -3\}$

C.$m = 3$

D.$m = 1$

Câu 5.Cho hàm số $f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 4m + 5$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng $2$.

A.$m = 3$

B.$m = 1$

C.$m \in \{1; 3\}$

D.$m \in \{-1; -3\}$

Câu 6.Cho hàm số $f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 4m + 5$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ bằng $17$.

A.$m \in \{-2; 6\}$

B.$m = -2$

C.$m = 6$

D.$m \in \{2; -6\}$

3. Tính $f(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`quadratic_value_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Cho hàm số $f(x) = -x^2 - 2x - 6$. Tính $f(2)$.

A.-13

B.-12

C.-14

D.-15

Câu 8.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 + 3x - 1$. Tính $f(-1)$.

A.-2

B.-3

C.0

D.-1

Câu 9.Cho hàm số $f(x) = x^2 + 2x - 2$. Tính $f(-2)$.

A.0

B.-3

C.-2

D.-1

4. Tìm $m$ để $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thoả $x_1^2 + x_2^2 = K$Trắc nghiệm`quadratic_with_param_two_distinct_roots_via_viete`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ phân biệt thoả $x_1^2 + x_2^2 = 12$.

A.$m = 4$

B.$m = -3$

C.$m = -4$

D.$m = -5$

Câu 11.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ phân biệt thoả $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

A.$m = 3$

B.$m = -3$

C.$m = -2$

D.$m = -4$

Câu 12.Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ phân biệt thoả $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

A.$m = -2$

B.$m = -3$

C.$m = 3$

D.$m = -4$

5. Trong các hàm số, chọn hàm bậc haiTrắc nghiệm`recognize_quadratic_function`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

A.$y = -2x^3 + 1$

B.$y = -2x + 1$

C.$y = \dfrac{1}{x} - 1$

D.$y = -2x^2 + x - 1$

Câu 14.Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

A.$y = \dfrac{1}{x} - 5$

B.$y = 2x^2 + 3x - 5$

C.$y = 2x + 3$

D.$y = 2x^3 + 3$

Câu 15.Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

A.$y = 3x^2 + x + 2$

B.$y = 3x^3 + 1$

C.$y = 3x + 1$

D.$y = \dfrac{1}{x} + 2$

6. Cho parabol $y = a(x-h)^2 + k$ dạng đỉnh — xét tính chấtĐúng / Sai`quadratic_basic_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hàm số bậc hai $y = -2(x - 1)^2 - 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $a = -2 > 0$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x = 1$.

b)Hàm số bậc hai có duy nhất một cực trị (đỉnh).

c)Khi $a = -2 < 0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $-1$ tại $x = 1$.

d)Đồ thị parabol luôn có trục đối xứng song song với trục hoành.

Câu 17.Cho hàm số bậc hai $y = -2(x - 1)^2 + 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $a = -2 < 0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $2$ tại $x = 1$.

b)Hàm số bậc hai có duy nhất một cực trị (đỉnh).

c)Khi $a = -2 > 0$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2$ tại $x = 1$.

d)Đồ thị parabol luôn có trục đối xứng song song với trục hoành.

Câu 18.Cho hàm số bậc hai $y = (x + 3)^2 - 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trục đối xứng của parabol là $x = -3$.

b)Đồ thị parabol luôn có trục đối xứng song song với trục hoành.

c)Toạ độ đỉnh của parabol là $I(-3; -3)$.

d)Khi $a = 1 < 0$, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $-3$ tại $x = -3$.

7. Cho hàm số $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — xét bề lõm, đỉnh, trục đối xứngĐúng / Sai`quadratic_basic_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hàm số $y = -2x^2 - 2x - 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\Delta = b^2 - 4ac = -12$.

b)Bề lõm của parabol hướng lên trên.

c)Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = -2$.

d)Trục đối xứng của parabol là đường thẳng $x = \dfrac{-1}{2}$.

Câu 20.Cho hàm số $y = -2x^2 - 3x + 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số là hàm bậc hai vì hệ số $a = -2 \neq 0$.

b)Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

c)Bề lõm của parabol hướng lên trên.

d)Hoành độ đỉnh là $x_0 = \dfrac{-3}{4}$.

Câu 21.Cho hàm số $y = -2x^2 + x - 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bề lõm của parabol hướng lên trên.

b)$\Delta = b^2 - 4ac = -23$.

c)Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

d)Trục đối xứng của parabol là đường thẳng $x = \dfrac{1}{4}$.

8. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$ của hàm bậc haiTrả lời ngắn`discriminant_quadratic_function`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Cho hàm $y = -2x^2 - 2x - 5$. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$.

Câu 23.Cho hàm $y = -2x^2 - 4x - 5$. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$.

Câu 24.Cho hàm $y = 3x^2 + x + 5$. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(3)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Phương trình $\sqrt{x + a} = x + b$ — bình phương đưa về bậc 2Trắc nghiệmequation_reducible_to_quadratic_via_substitution(3 câu)

2. VD cao: tìm $m$ để GTNN của $f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 4m + 5$ bằng $K$Trắc nghiệmparam_min_value_of_quadratic_equals_target(3 câu)

3. Tính $f(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệmquadratic_value_at_point(3 câu)

4. Tìm $m$ để $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thoả $x_1^2 + x_2^2 = K$Trắc nghiệmquadratic_with_param_two_distinct_roots_via_viete(3 câu)

5. Trong các hàm số, chọn hàm bậc haiTrắc nghiệmrecognize_quadratic_function(3 câu)

6. Cho parabol $y = a(x-h)^2 + k$ dạng đỉnh — xét tính chấtĐúng / Saiquadratic_basic_examples(3 câu)

7. Cho hàm số $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — xét bề lõm, đỉnh, trục đối xứngĐúng / Saiquadratic_basic_facts(3 câu)

8. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$ của hàm bậc haiTrả lời ngắndiscriminant_quadratic_function(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Phương trình $\sqrt{x + a} = x + b$ — bình phương đưa về bậc 2Trắc nghiệm`equation_reducible_to_quadratic_via_substitution`(3 câu)

2. VD cao: tìm $m$ để GTNN của $f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 4m + 5$ bằng $K$Trắc nghiệm`param_min_value_of_quadratic_equals_target`(3 câu)

3. Tính $f(x_0)$ với $f(x) = ax^2 + bx + c$Trắc nghiệm`quadratic_value_at_point`(3 câu)

4. Tìm $m$ để $x^2 - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thoả $x_1^2 + x_2^2 = K$Trắc nghiệm`quadratic_with_param_two_distinct_roots_via_viete`(3 câu)

5. Trong các hàm số, chọn hàm bậc haiTrắc nghiệm`recognize_quadratic_function`(3 câu)

6. Cho parabol $y = a(x-h)^2 + k$ dạng đỉnh — xét tính chấtĐúng / Sai`quadratic_basic_examples`(3 câu)

7. Cho hàm số $y = ax^2 + bx + c$ cụ thể — xét bề lõm, đỉnh, trục đối xứngĐúng / Sai`quadratic_basic_facts`(3 câu)

8. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$ của hàm bậc haiTrả lời ngắn`discriminant_quadratic_function`(3 câu)