Phương sai và độ lệch chuẩn

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

1.1

Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$

$$\Delta_Q = Q_3 - Q_1.$$ Đo độ phân tán của 50% dữ liệu giữa — không bị ảnh hưởng bởi 25% nhỏ nhất + 25% lớn nhất. Ổn định hơn $R$ và $s$ khi có ngoại lai.

1.2

Giá trị ngoại lai

Giá trị $x$ là ngoại lai nếu: $$x < Q_1 - 1.5 \Delta_Q \quad \text{hoặc} \quad x > Q_3 + 1.5 \Delta_Q.$$ Khi mẫu có outliers → ưu tiên dùng trung vị + IQR thay cho mean + variance.

1.3

Khoảng biến thiên $R$

$$R = x_{\max} - x_{\min}.$$ Đo phạm vi của mẫu. Nhược điểm: nhạy với 2 giá trị cực.

§2. Công thức(2)

2.1

Độ lệch chuẩn $s$

$$s = \sqrt{s^2}.$$ Cùng đơn vị với số liệu — dễ giải thích hơn $s^2$. $s$ nhỏ → dữ liệu tập trung gần $\overline{x}$; $s$ lớn → dữ liệu phân tán.

2.2

Phương sai $s^2$

$$s^2 = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2.$$ Nếu cho bằng tần số: $$s^2 = \dfrac{1}{N} \sum n_i (x_i - \overline{x})^2.$$ Công thức rút gọn: $$s^2 = \overline{x^2} - \overline{x}^2 = \dfrac{\sum x_i^2}{N} - \overline{x}^2.$$

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: dùng công thức rút gọn

Thay vì tính $(x_i - \overline{x})^2$ cho từng giá trị (dễ sai số): $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2}{N} - \overline{x}^2$. → Chỉ cần tính $\sum x_i$ và $\sum x_i^2$. Phương sai có thể tính trong 1 lần quét dữ liệu — hiệu quả hơn.

Bài tập

1. So sánh độ phân tán hai mẫu số liệu bằng phương saiTrắc nghiệm`compare_dispersion_two_samples_g10`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Cho hai mẫu số liệu cùng cỡ $n = 5$: • Mẫu A: $22, 21, 18, 21, 18$. • Mẫu B: $16, 24, 23, 17, 20$. Mẫu nào có độ phân tán LỚN HƠN? (so sánh bằng phương sai $S^2$).

A.Mẫu B phân tán hơn vì $S^2_B > S^2_A$ ($S^2_A = \dfrac{14}{5}$, $S^2_B = 10$).

B.Hai mẫu phân tán như nhau vì có cùng số trung bình.

C.Mẫu A phân tán hơn vì $S^2_A > S^2_B$ ($S^2_A = \dfrac{14}{5}$, $S^2_B = 10$).

D.Không so sánh được độ phân tán nếu chưa biết khoảng biến thiên.

Câu 2.Cho hai mẫu số liệu cùng cỡ $n = 5$: • Mẫu A: $20, 20, 20, 20, 20$. • Mẫu B: $23, 20, 20, 24, 13$. Mẫu nào có độ phân tán LỚN HƠN? (so sánh bằng phương sai $S^2$).

A.Mẫu B phân tán hơn vì $S^2_B > S^2_A$ ($S^2_A = 0$, $S^2_B = \dfrac{74}{5}$).

B.Mẫu A phân tán hơn vì $S^2_A > S^2_B$ ($S^2_A = 0$, $S^2_B = \dfrac{74}{5}$).

C.Hai mẫu phân tán như nhau vì có cùng số trung bình.

D.Không so sánh được độ phân tán nếu chưa biết khoảng biến thiên.

Câu 3.Cho hai mẫu số liệu cùng cỡ $n = 5$: • Mẫu A: $13, 16, 13, 13, 20$. • Mẫu B: $12, 11, 18, 12, 22$. Mẫu nào có độ phân tán LỚN HƠN? (so sánh bằng phương sai $S^2$).

A.Mẫu A phân tán hơn vì $S^2_A > S^2_B$ ($S^2_A = \dfrac{38}{5}$, $S^2_B = \dfrac{92}{5}$).

B.Không so sánh được độ phân tán nếu chưa biết khoảng biến thiên.

C.Hai mẫu phân tán như nhau vì có cùng số trung bình.

D.Mẫu B phân tán hơn vì $S^2_B > S^2_A$ ($S^2_A = \dfrac{38}{5}$, $S^2_B = \dfrac{92}{5}$).

2. Tìm hai giá trị còn thiếu của mẫu khi biết số trung bình và phương saiTrắc nghiệm`find_two_missing_from_mean_variance_g10`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Một mẫu số liệu gồm 5 giá trị, trong đó có 3 giá trị đã biết là $1, 3, 11$ và hai giá trị còn lại là $a, b$ (với $a < b$). Biết mẫu có số trung bình $\bar x = 8$ và phương sai $S^2 = \dfrac{184}{5}$. Tìm $a$ và $b$.

A.$a = 6$, $b = 19$

B.$a = 8$, $b = 17$

C.$a = 7$, $b = 18$

D.$a = 12$, $b = 13$

Câu 5.Một mẫu số liệu gồm 5 giá trị, trong đó có 3 giá trị đã biết là $1, 4, 16$ và hai giá trị còn lại là $a, b$ (với $a < b$). Biết mẫu có số trung bình $\bar x = 10$ và phương sai $S^2 = \dfrac{218}{5}$. Tìm $a$ và $b$.

A.$a = 11$, $b = 18$

B.$a = 10$, $b = 19$

C.$a = 12$, $b = 17$

D.$a = 14$, $b = 15$

Câu 6.Một mẫu số liệu gồm 5 giá trị, trong đó có 3 giá trị đã biết là $1, 13, 14$ và hai giá trị còn lại là $a, b$ (với $a < b$). Biết mẫu có số trung bình $\bar x = 9$ và phương sai $S^2 = \dfrac{146}{5}$. Tìm $a$ và $b$.

A.$a = 8$, $b = 9$

B.$a = 5$, $b = 12$

C.$a = 4$, $b = 13$

D.$a = 3$, $b = 14$

3. So sánh ĐỘ LỆCH CHUẨN của HAI mẫu GHÉP NHÓM (cùng phân nhóm, khác tần số)Trắc nghiệm`grouped_compare_two_class_std_mc`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Cân nặng của các học sinh lớp 10A và 10B, trường Trung học phổ thông M được cho trong bảng sau: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Cân nặng (kg)} & [30; 36) & [36; 42) & [42; 48) & [48; 54) & [54; 60) & [60; 66) \\ \hline \text{Số học sinh lớp 10A} & 2 & 6 & 1 & 9 & 1 & 12 \\ \hline \text{Số học sinh lớp 10B} & 15 & 12 & 1 & 9 & 6 & 13 \\ \hline \end{array}$$ Gọi $s_A$ và $s_B$ lần lượt là độ lệch chuẩn về nhóm cân nặng của học sinh lớp 10A, lớp 10B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$s_A > s_B$.

B.$s_A < s_B$.

C.$s_A > 11$.

D.$s_B = 11$.

Câu 8.Cân nặng của các học sinh lớp 10A và 10B, trường Trung học phổ thông M được cho trong bảng sau: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Cân nặng (kg)} & [30; 36) & [36; 42) & [42; 48) & [48; 54) & [54; 60) \\ \hline \text{Số học sinh lớp 10A} & 12 & 12 & 1 & 16 & 3 \\ \hline \text{Số học sinh lớp 10B} & 10 & 4 & 9 & 10 & 15 \\ \hline \end{array}$$ Gọi $s_A$ và $s_B$ lần lượt là độ lệch chuẩn về nhóm cân nặng của học sinh lớp 10A, lớp 10B. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$s_B = 8{,}5$.

B.$s_A > 8{,}5$.

C.$s_A < s_B$.

D.$s_A > s_B$.

Câu 9.Thời gian (phút) tự học mỗi ngày của hai nhóm học sinh X và Y được cho trong bảng sau: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Thời gian (phút)} & [30; 45) & [45; 60) & [60; 75) & [75; 90) & [90; 105) & [105; 120) \\ \hline \text{Số học sinh nhóm X} & 12 & 5 & 14 & 2 & 8 & 16 \\ \hline \text{Số học sinh nhóm Y} & 2 & 2 & 4 & 13 & 16 & 13 \\ \hline \end{array}$$ Gọi $s_X$ và $s_Y$ lần lượt là độ lệch chuẩn về nhóm thời gian của học sinh nhóm X, nhóm Y. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$s_Y > 24$.

B.$s_X < s_Y$.

C.$s_X > s_Y$.

D.$s_X = 24$.

4. Khoảng biến thiên của MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓMTrắc nghiệm`grouped_range_boundary_diff_mc`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [10; 15) & [15; 20) & [20; 25) & [25; 30) & [30; 35) \\ \hline \text{Tần số} & 8 & 10 & 4 & 3 & 12 \\ \hline \end{array}$$ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A.$R = 30$

B.$R = 35$

C.$R = 20$

D.$R = 25$

Câu 11.Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [5; 25) & [25; 45) & [45; 65) & [65; 85) & [85; 105) \\ \hline \text{Tần số} & 6 & 13 & 12 & 15 & 10 \\ \hline \end{array}$$ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A.$R = 140$

B.$R = 100$

C.$R = 120$

D.$R = 80$

Câu 12.Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng sau: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & [100; 105) & [105; 110) & [110; 115) & [115; 120) & [120; 125) & [125; 130) \\ \hline \text{Tần số} & 5 & 3 & 14 & 6 & 10 & 6 \\ \hline \end{array}$$ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A.$R = 35$

B.$R = 30$

C.$R = 25$

D.$R = 40$

5. Tính khoảng biến thiên (R) hoặc khoảng tứ phân vị (IQR) của mẫu số liệuTrắc nghiệm`range_and_iqr`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tính khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu: $1, 4, 14, 15, 18, 19, 29, 30$.

A.$R = 29$

B.$R = 15$

C.$R = 9$

D.$R = 24$

Câu 14.Tính khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu: $4, 6, 7, 8, 9, 13, 16, 26$.

A.$R = 22$

B.$R = \dfrac{29}{2}$

C.$R = \dfrac{13}{2}$

D.$R = 8$

Câu 15.Tính khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu: $1, 2, 12, 15, 17, 20, 23, 28, 30$.

A.$R = 29$

B.$R = \dfrac{37}{2}$

C.$R = \dfrac{51}{2}$

D.$R = 7$

6. Tính phương sai (theo định nghĩa $S^2 = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$)Trắc nghiệm`variance_small_dataset`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Tính phương sai $S^2$ của mẫu số liệu: $12, 13, 15, 16, 17, 11, 14$.

A.$S^2 = 28$

B.$S^2 = 4$

C.$S^2 = 14$

D.$S^2 = 5$

Câu 17.Tính phương sai $S^2$ của mẫu số liệu: $12, 11, 12, 10, 10, 6, 2$.

A.$S^2 = \dfrac{82}{7}$

B.$S^2 = 82$

C.$S^2 = 9$

D.$S^2 = \dfrac{89}{7}$

Câu 18.Tính phương sai $S^2$ của mẫu số liệu: $11, 8, 7, 11, 13$.

A.$S^2 = \dfrac{24}{5}$

B.$S^2 = 24$

C.$S^2 = \dfrac{29}{5}$

D.$S^2 = 10$

7. Cho mẫu số liệu cụ thể — tính phương sai và độ lệch chuẩnĐúng / Sai`mean_variance_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho mẫu số liệu: $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương sai của mẫu là $s^2 = 4$.

b)Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai.

c)Số trung bình của mẫu là $\bar{x} = 5$.

d)Phương sai có thể là số âm.

Câu 20.Cho mẫu số liệu: $1, 3, 5, 7, 9$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số trung bình của mẫu là $\bar{x} = 5$.

b)Độ lệch chuẩn là căn bậc hai số học của phương sai.

c)Mẫu này có phương sai bằng 0.

d)Phương sai có thể là số âm.

Câu 21.Cho mẫu số liệu: $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương sai bằng 0 khi và chỉ khi tất cả các giá trị bằng nhau.

b)Mẫu này có phương sai bằng 0.

c)Phương sai của mẫu là $s^2 = 4$.

d)Phương sai có thể là số âm.

8. Cho 2 mẫu cụ thể — so sánh độ phân tán qua phương saiĐúng / Sai`var_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hai mẫu số liệu $A = (7, 8, 9)$ và $B = (3, 8, 13)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai mẫu $A = (7, 8, 9)$ và $B = (3, 8, 13)$ có cùng số trung bình.

b)Mẫu $B$ có độ phân tán lớn hơn.

c)Cộng cùng một hằng số vào mọi giá trị làm phương sai không đổi.

d)Phương sai của mẫu $A$ là $s_A^2 = 0,667$.

Câu 23.Cho hai mẫu số liệu $A = (7, 8, 9)$ và $B = (3, 8, 13)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai mẫu $A = (7, 8, 9)$ và $B = (3, 8, 13)$ có cùng số trung bình.

b)Cộng cùng một hằng số vào mọi giá trị làm phương sai không đổi.

c)Phương sai của mẫu $A$ là $s_A^2 = 0,667$.

d)Khi nhân tất cả giá trị với $k$, phương sai nhân với $k^2$.

Câu 24.Cho hai mẫu số liệu $A = (7, 8, 9)$ và $B = (3, 8, 13)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi nhân tất cả giá trị với $k$, phương sai nhân với $k^2$.

b)Hai mẫu $A = (7, 8, 9)$ và $B = (3, 8, 13)$ có cùng số trung bình.

c)Phương sai của mẫu $B$ là $s_B^2 = 16,667$.

d)Cộng cùng một hằng số vào mọi giá trị làm phương sai không đổi.

9. Tính khoảng biến thiên (max - min) của mẫu số liệuTrả lời ngắn`range_sa_g10`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Cho mẫu số liệu: $21, 6, 23, 3, 19, 30$. Tính khoảng biến thiên $R$.

Câu 26.Cho mẫu số liệu: $2, 29, 20, 7, 6, 1, 2, 26, 18, 19$. Tính khoảng biến thiên $R$.

Câu 27.Cho mẫu số liệu: $9, 5, 16, 4, 22, 14, 19, 5$. Tính khoảng biến thiên $R$.

10. Tính phương sai mẫu nhỏ (5 số) — số thập phânTrả lời ngắn`variance_simple`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho mẫu số liệu $6, 7, 8, 8, 10$. Tính phương sai. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 29.Cho mẫu số liệu $1, 7, 8, 9, 9$. Tính phương sai. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 30.Cho mẫu số liệu $1, 2, 5, 6, 8$. Tính phương sai. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

§2. Công thức(2)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. So sánh độ phân tán hai mẫu số liệu bằng phương saiTrắc nghiệmcompare_dispersion_two_samples_g10(3 câu)

2. Tìm hai giá trị còn thiếu của mẫu khi biết số trung bình và phương saiTrắc nghiệmfind_two_missing_from_mean_variance_g10(3 câu)

3. So sánh ĐỘ LỆCH CHUẨN của HAI mẫu GHÉP NHÓM (cùng phân nhóm, khác tần số)Trắc nghiệmgrouped_compare_two_class_std_mc(3 câu)

4. Khoảng biến thiên của MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓMTrắc nghiệmgrouped_range_boundary_diff_mc(3 câu)

5. Tính khoảng biến thiên (R) hoặc khoảng tứ phân vị (IQR) của mẫu số liệuTrắc nghiệmrange_and_iqr(3 câu)

6. Tính phương sai (theo định nghĩa $S^2 = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$)Trắc nghiệmvariance_small_dataset(3 câu)

7. Cho mẫu số liệu cụ thể — tính phương sai và độ lệch chuẩnĐúng / Saimean_variance_facts(3 câu)

8. Cho 2 mẫu cụ thể — so sánh độ phân tán qua phương saiĐúng / Saivar_facts2(3 câu)

9. Tính khoảng biến thiên (max - min) của mẫu số liệuTrả lời ngắnrange_sa_g10(3 câu)

10. Tính phương sai mẫu nhỏ (5 số) — số thập phânTrả lời ngắnvariance_simple(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. So sánh độ phân tán hai mẫu số liệu bằng phương saiTrắc nghiệm`compare_dispersion_two_samples_g10`(3 câu)

2. Tìm hai giá trị còn thiếu của mẫu khi biết số trung bình và phương saiTrắc nghiệm`find_two_missing_from_mean_variance_g10`(3 câu)

3. So sánh ĐỘ LỆCH CHUẨN của HAI mẫu GHÉP NHÓM (cùng phân nhóm, khác tần số)Trắc nghiệm`grouped_compare_two_class_std_mc`(3 câu)

4. Khoảng biến thiên của MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓMTrắc nghiệm`grouped_range_boundary_diff_mc`(3 câu)

5. Tính khoảng biến thiên (R) hoặc khoảng tứ phân vị (IQR) của mẫu số liệuTrắc nghiệm`range_and_iqr`(3 câu)

6. Tính phương sai (theo định nghĩa $S^2 = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$)Trắc nghiệm`variance_small_dataset`(3 câu)

7. Cho mẫu số liệu cụ thể — tính phương sai và độ lệch chuẩnĐúng / Sai`mean_variance_facts`(3 câu)

8. Cho 2 mẫu cụ thể — so sánh độ phân tán qua phương saiĐúng / Sai`var_facts2`(3 câu)

9. Tính khoảng biến thiên (max - min) của mẫu số liệuTrả lời ngắn`range_sa_g10`(3 câu)

10. Tính phương sai mẫu nhỏ (5 số) — số thập phânTrả lời ngắn`variance_simple`(3 câu)