Số trung bình và trung vị

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

1.1

Trung vị $M_e$

Sắp mẫu theo thứ tự không giảm $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(N)}$:

$N$ lẻ: $M_e = x_{(\dfrac{N+1}{2})}$.
$N$ chẵn: $M_e = \dfrac{x_{(N/2)} + x_{(N/2 + 1)}}{2}$.

→ Trung vị ít chịu ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai (outliers).

1.2

Mốt $M_o$

Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong mẫu.

Mẫu có thể có 1 mốt (đơn mốt), 2 mốt (lưỡng mốt), hoặc nhiều mốt.
Có thể không có mốt nếu mọi giá trị xuất hiện cùng số lần.

Mốt thường dùng cho dữ liệu định tính (màu, loại) hoặc dữ liệu rời rạc.

1.3

Tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$

Chia mẫu đã sắp xếp thành 4 phần bằng nhau (mỗi phần ≈ 25% dữ liệu):

$Q_2 = M_e$: trung vị.
$Q_1$: trung vị của nửa dưới (các phần tử trước $Q_2$).
$Q_3$: trung vị của nửa trên (các phần tử sau $Q_2$).

Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$.

§2. Công thức(1)

2.1

Số trung bình $\overline{x}$

Mẫu $x_1, x_2, \dots, x_N$: $$\overline{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N} = \dfrac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i.$$ Nếu cho dưới dạng bảng tần số: $\overline{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}$ ($n_i$ = tần số của $x_i$).

§3. Phương pháp(1)

3.1

Khi nào dùng mean / median / mode

Trung bình: mẫu đối xứng, không có giá trị ngoại lai → đại diện chuẩn.
Trung vị: mẫu có ngoại lai, phân bố lệch → ổn định hơn.
Mốt: dữ liệu định tính (categorical) hoặc khi cần biết 'giá trị phổ biến nhất'.

Nguyên tắc: mean nhạy với outliers, median ổn định.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: luôn sắp xếp mẫu trước

Trước khi tính median, quartiles: bắt buộc sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần. Trước khi tìm mode: lập bảng tần số từng giá trị. → Nhiều bài sai vì quên bước sắp xếp.

Bài tập

1. Tính trung bình cộng của 5-7 giá trịTrắc nghiệm`compute_mean`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: $21, 15, 21, 7, 16, 6$.

A.$\bar{x} = \dfrac{43}{3}$

B.$\bar{x} = 6$

C.$\bar{x} = \dfrac{46}{3}$

D.$\bar{x} = 86$

Câu 2.Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: $28, 8, 19, 28, 20, 7, 20$.

A.$\bar{x} = 7$

B.$\bar{x} = \dfrac{137}{7}$

C.$\bar{x} = \dfrac{130}{7}$

D.$\bar{x} = 130$

Câu 3.Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: $24, 29, 3, 10, 16$.

A.$\bar{x} = \dfrac{82}{5}$

B.$\bar{x} = 5$

C.$\bar{x} = 82$

D.$\bar{x} = \dfrac{87}{5}$

2. Tính trung vị của mẫu số liệuTrắc nghiệm`compute_median`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tính trung vị của mẫu số liệu: $2, 3, 15, 18, 22$.

A.$M_e = 2$

B.$M_e = 22$

C.$M_e = 15$

D.$M_e = 12$

Câu 5.Tính trung vị của mẫu số liệu: $2, 5, 9, 12, 16, 23, 25$.

A.$M_e = 2$

B.$M_e = \dfrac{92}{7}$

C.$M_e = 12$

D.$M_e = 25$

Câu 6.Tính trung vị của mẫu số liệu: $1, 4, 5, 14, 19, 24, 25, 26$.

A.$M_e = 1$

B.$M_e = \dfrac{33}{2}$

C.$M_e = 26$

D.$M_e = \dfrac{59}{4}$

3. Tìm giá trị thêm vào để trung bình mẫu đạt số cho trướcTrắc nghiệm`mean_median_add_value_target_g10`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Một mẫu số liệu gồm $n = 6$ giá trị: $13, 6, 5, 8, 5, 9$. Người ta thêm vào mẫu MỘT giá trị $x$ nữa thì trung bình cộng của mẫu mới (gồm $7$ giá trị) bằng $7$. Tìm $x$.

A.$x = -4$

B.$x = 3$

C.$x = - \dfrac{2}{3}$

D.$x = 49$

Câu 8.Một mẫu số liệu gồm $n = 6$ giá trị: $3, 8, 5, 13, 8, 6$. Người ta thêm vào mẫu MỘT giá trị $x$ nữa thì trung bình cộng của mẫu mới (gồm $7$ giá trị) bằng $7$. Tìm $x$.

A.$x = - \dfrac{1}{6}$

B.$x = -1$

C.$x = 6$

D.$x = 49$

Câu 9.Một mẫu số liệu gồm $n = 6$ giá trị: $6, 11, 10, 7, 4, 5$. Người ta thêm vào mẫu MỘT giá trị $x$ nữa thì trung bình cộng của mẫu mới (gồm $7$ giá trị) bằng $7$. Tìm $x$.

A.$x = 6$

B.$x = -1$

C.$x = - \dfrac{1}{6}$

D.$x = 49$

4. Tìm trung bình nhóm còn lại từ trung bình cả lớp và một nhómTrắc nghiệm`mean_subgroup_from_whole_class_g10`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Một lớp có $30$ học sinh, điểm trung bình môn Toán của cả lớp là $8$ điểm. Trong đó nhóm GIỎI gồm $20$ học sinh có điểm trung bình là $7$ điểm. Hỏi điểm trung bình của $10$ học sinh CÒN LẠI bằng bao nhiêu?

A.$\bar{x}_2 = 10$

B.$\bar{x}_2 = \dfrac{10}{3}$

C.$\bar{x}_2 = \dfrac{15}{2}$

D.$\bar{x}_2 = 9$

Câu 11.Một lớp có $30$ học sinh, điểm trung bình môn Toán của cả lớp là $7$ điểm. Trong đó nhóm GIỎI gồm $20$ học sinh có điểm trung bình là $6$ điểm. Hỏi điểm trung bình của $10$ học sinh CÒN LẠI bằng bao nhiêu?

A.$\bar{x}_2 = \dfrac{13}{2}$

B.$\bar{x}_2 = 8$

C.$\bar{x}_2 = 3$

D.$\bar{x}_2 = 9$

Câu 12.Một lớp có $30$ học sinh, điểm trung bình môn Toán của cả lớp là $7$ điểm. Trong đó nhóm GIỎI gồm $20$ học sinh có điểm trung bình là $8$ điểm. Hỏi điểm trung bình của $10$ học sinh CÒN LẠI bằng bao nhiêu?

A.$\bar{x}_2 = 5$

B.$\bar{x}_2 = 6$

C.$\bar{x}_2 = \dfrac{15}{2}$

D.$\bar{x}_2 = \dfrac{5}{3}$

5. Trung vị của dãy số chẵn phần tử = trung bình hai số giữaTrắc nghiệm`median_even_count`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Tìm trung vị của dãy số: $10; 20; 30; 40$.

A.$M_e = 26$

B.$M_e = 25$

C.$M_e = 30$

D.$M_e = 10$

Câu 14.Tìm trung vị của dãy số: $2; 4; 8; 10$.

A.$M_e = 6$

B.$M_e = 2$

C.$M_e = 7$

D.$M_e = 8$

Câu 15.Tìm trung vị của dãy số: $2; 4; 8; 10$.

A.$M_e = 7$

B.$M_e = 8$

C.$M_e = 2$

D.$M_e = 6$

6. Trung vị của dãy số lẻ phần tử = giá trị giữa khi sắp xếpTrắc nghiệm`median_odd_count`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Tìm trung vị của dãy số: $3; 5; 8; 11; 13; 14; 17$.

A.$M_e = 3$

B.$M_e = 11$

C.$M_e = 10$

D.$M_e = 17$

Câu 17.Tìm trung vị của dãy số: $3; 5; 8; 11; 13; 14; 17$.

A.$M_e = 3$

B.$M_e = 17$

C.$M_e = 10$

D.$M_e = 11$

Câu 18.Tìm trung vị của dãy số: $1; 3; 7; 9; 15$.

A.$M_e = 1$

B.$M_e = 7$

C.$M_e = 8$

D.$M_e = 15$

7. Cho mẫu số liệu chẵn phần tử — tính trung vị (trung bình 2 phần tử giữa)Đúng / Sai`mean_median_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho mẫu số liệu (đã sắp xếp tăng dần): $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trung vị của mẫu là $8$.

b)Trung vị bằng phần tử thứ $4$ trong dãy đã sắp xếp.

c)Số trung bình của mẫu là $8$.

d)Trung bình luôn lớn hơn trung vị.

Câu 20.Cho mẫu số liệu (đã sắp xếp tăng dần): $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trung vị của mẫu là $3,5$.

b)Trung vị bằng phần tử thứ $3$ trong dãy đã sắp xếp.

c)Số trung bình của mẫu là $3,5$.

d)Trung bình luôn lớn hơn trung vị.

Câu 21.Cho mẫu số liệu (đã sắp xếp tăng dần): $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số trung bình của mẫu là $8$.

b)Trung vị của mẫu hằng (mọi giá trị bằng nhau) bằng giá trị đó.

c)Trung bình luôn lớn hơn trung vị.

d)Trung vị của mẫu là $8$.

8. Cho mẫu số liệu cụ thể (5 phần tử) — tính trung bình, trung vị, mốtĐúng / Sai`mean_median_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho mẫu số liệu: $1, 4, 4, 6, 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trung vị ít chịu ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ hơn trung bình.

b)Số trung bình của mẫu là $5,2$.

c)Số trung bình của mẫu là $\bar{x} = 5$.

d)Trung vị là giá trị ở giữa khi sắp xếp tăng dần (mẫu lẻ).

Câu 23.Cho mẫu số liệu: $3, 3, 5, 8, 11$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số trung bình của mẫu là $6,2$.

b)Trung vị ít chịu ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ hơn trung bình.

c)Trung vị của mẫu là $5$.

d)Một mẫu chỉ có duy nhất một mốt.

Câu 24.Cho mẫu số liệu: $1, 4, 4, 6, 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số trung bình của mẫu là $\bar{x} = 5$.

b)Trung vị ít chịu ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ hơn trung bình.

c)Một mẫu chỉ có duy nhất một mốt.

d)Số trung bình của mẫu là $5,2$.

9. Tính trung vị (mẫu lẻ phần tử)Trả lời ngắn`compute_median_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Tính trung vị của mẫu: $9, 10, 11, 14, 15, 20, 21, 25, 27$ (mẫu đã sắp xếp).

Câu 26.Tính trung vị của mẫu: $5, 7, 8, 9, 17$ (mẫu đã sắp xếp).

Câu 27.Tính trung vị của mẫu: $3, 4, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 25$ (mẫu đã sắp xếp).

10. Tìm mốt của một mẫu số liệu nhỏTrả lời ngắn`mode_of_data`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Tìm mốt $M_o$ của mẫu số liệu: $2, 3, 4, 5, 2, 1, 6$.

Câu 29.Tìm mốt $M_o$ của mẫu số liệu: $4, 3, 2, 6, 4, 1, 2$.

Câu 30.Tìm mốt $M_o$ của mẫu số liệu: $6, 6, 6, 6, 5, 4, 6, 3$.

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tính trung bình cộng của 5-7 giá trịTrắc nghiệmcompute_mean(3 câu)

2. Tính trung vị của mẫu số liệuTrắc nghiệmcompute_median(3 câu)

3. Tìm giá trị thêm vào để trung bình mẫu đạt số cho trướcTrắc nghiệmmean_median_add_value_target_g10(3 câu)

4. Tìm trung bình nhóm còn lại từ trung bình cả lớp và một nhómTrắc nghiệmmean_subgroup_from_whole_class_g10(3 câu)

5. Trung vị của dãy số chẵn phần tử = trung bình hai số giữaTrắc nghiệmmedian_even_count(3 câu)

6. Trung vị của dãy số lẻ phần tử = giá trị giữa khi sắp xếpTrắc nghiệmmedian_odd_count(3 câu)

7. Cho mẫu số liệu chẵn phần tử — tính trung vị (trung bình 2 phần tử giữa)Đúng / Saimean_median_examples(3 câu)

8. Cho mẫu số liệu cụ thể (5 phần tử) — tính trung bình, trung vị, mốtĐúng / Saimean_median_facts(3 câu)

9. Tính trung vị (mẫu lẻ phần tử)Trả lời ngắncompute_median_sa(3 câu)

10. Tìm mốt của một mẫu số liệu nhỏTrả lời ngắnmode_of_data(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tính trung bình cộng của 5-7 giá trịTrắc nghiệm`compute_mean`(3 câu)

2. Tính trung vị của mẫu số liệuTrắc nghiệm`compute_median`(3 câu)

3. Tìm giá trị thêm vào để trung bình mẫu đạt số cho trướcTrắc nghiệm`mean_median_add_value_target_g10`(3 câu)

4. Tìm trung bình nhóm còn lại từ trung bình cả lớp và một nhómTrắc nghiệm`mean_subgroup_from_whole_class_g10`(3 câu)

5. Trung vị của dãy số chẵn phần tử = trung bình hai số giữaTrắc nghiệm`median_even_count`(3 câu)

6. Trung vị của dãy số lẻ phần tử = giá trị giữa khi sắp xếpTrắc nghiệm`median_odd_count`(3 câu)

7. Cho mẫu số liệu chẵn phần tử — tính trung vị (trung bình 2 phần tử giữa)Đúng / Sai`mean_median_examples`(3 câu)

8. Cho mẫu số liệu cụ thể (5 phần tử) — tính trung bình, trung vị, mốtĐúng / Sai`mean_median_facts`(3 câu)

9. Tính trung vị (mẫu lẻ phần tử)Trả lời ngắn`compute_median_sa`(3 câu)

10. Tìm mốt của một mẫu số liệu nhỏTrả lời ngắn`mode_of_data`(3 câu)