Không gian mẫu và biến cố

Công thức

§1. Định nghĩa(5)

1.1

Biến cố

Biến cố $A$ là một tập con của $\Omega$ — bao gồm các kết quả 'thuận lợi'.

$A$ xảy ra khi kết quả của phép thử thuộc $A$.
$A = \emptyset$: biến cố không thể.
$A = \Omega$: biến cố chắc chắn.
$n(A)$ = số phần tử của $A$ (số kết quả thuận lợi).

1.2

Biến cố độc lập

$A, B$ độc lập nếu việc xảy ra của 1 trong 2 không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia. Vd: gieo 2 lần xúc xắc — kết quả lần 1 + lần 2 độc lập. Vd: tung 1 đồng xu + rút 1 quân bài — 2 phép thử riêng độc lập.

1.3

Phép toán biến cố

Cho biến cố $A, B \subset \Omega$:

Hợp $A \cup B$: 'A hoặc B' xảy ra.
Giao $A \cap B$ (hoặc $AB$): 'A và B' đồng thời xảy ra.
Đối $\overline{A} = \Omega \setminus A$: A không xảy ra.
$A, B$ xung khắc (loại trừ nhau): $A \cap B = \emptyset$ — không thể cùng xảy ra.

1.4

Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là một hành động/thí nghiệm:

Có thể có nhiều kết quả khác nhau.
Không biết trước kết quả nào sẽ xảy ra.

Vd: tung 1 đồng xu, gieo 1 con xúc xắc, rút 1 quân bài.

1.5

Không gian mẫu $\Omega$

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử, ký hiệu $\Omega$. $n(\Omega)$ = số phần tử của $\Omega$. Vd: tung 2 đồng xu → $\Omega = \{SS, SN, NS, NN\}$, $n(\Omega) = 4$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất không gian mẫu

Mỗi kết quả của phép thử là 1 phần tử (kết quả sơ cấp) của $\Omega$.
Mỗi phép thử có 1 và chỉ 1 không gian mẫu.
$n(A) + n(\overline{A}) = n(\Omega)$.
$A, B$ xung khắc: $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$.
Tổng quát: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: liệt kê $\Omega$ có hệ thống

Tung 2 xúc xắc: cặp $(i; j)$ với $i, j \in \{1, \dots, 6\}$ → $n(\Omega) = 36$. Rút $k$ quân từ bộ 52: $C^k_{52}$ cách → tổ hợp. Sắp xếp $k$ phần tử khác nhau từ $n$: $A^k_n$ → chỉnh hợp. Quy tắc: 'không quan tâm thứ tự' → tổ hợp. 'Quan tâm thứ tự' → chỉnh hợp / hoán vị.

Bài tập

1. Số phần tử không gian mẫu khi tung $n$ đồng xu là $2^n$Trắc nghiệm`coin_toss_sample_space_size`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Tung $3$ đồng xu phân biệt. Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega|$ bằng?

A.$|\Omega| = 9$

B.$|\Omega| = 6$

C.$|\Omega| = 8$

D.$|\Omega| = 3$

Câu 2.Tung $2$ đồng xu phân biệt. Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega|$ bằng?

A.$|\Omega| = 3$

B.$|\Omega| = 4$

C.$|\Omega| = 5$

D.$|\Omega| = 2$

Câu 3.Tung $4$ đồng xu phân biệt. Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega|$ bằng?

A.$|\Omega| = 8$

B.$|\Omega| = 4$

C.$|\Omega| = 16$

D.$|\Omega| = 17$

2. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố khi chọn ngẫu nhiên một nhóm người có ràng buộc (ít nhất 1 nữ / đúng $j$ nam) — bằng tổ hợpTrắc nghiệm`count_committee_event_outcomes`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Một nhóm có $5$ nam và $3$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $4$ người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong $4$ người được chọn có ÍT NHẤT một nữ?

A.5

B.70

C.105

D.65

Câu 5.Một nhóm có $5$ nam và $3$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $4$ người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong $4$ người được chọn có ÍT NHẤT một nữ?

A.65

B.70

C.5

D.105

Câu 6.Một nhóm có $7$ nam và $5$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $3$ người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong $3$ người được chọn có ÍT NHẤT một nữ?

A.220

B.35

C.275

D.185

3. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố tổng số chấm bằng $k$ khi tung 2 xúc xắcTrắc nghiệm`count_event_outcomes`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Tung 2 con xúc xắc 6 mặt. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố "tổng số chấm bằng $10$"?

A.3

B.2

C.10

D.4

Câu 8.Tung 2 con xúc xắc 6 mặt. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố "tổng số chấm bằng $4$"?

A.33

B.2

C.3

D.4

Câu 9.Tung 2 con xúc xắc 6 mặt. Hỏi có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố "tổng số chấm bằng $6$"?

A.5

B.4

C.31

D.6

4. VD cao: đếm số tự nhiên $k$ chữ số có các chữ số đôi một khác nhauTrắc nghiệm`count_n_digit_numbers_distinct_digits`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số, các chữ số đôi một khác nhau?

A.$729$

B.$720$

C.$1000$

D.$648$

Câu 11.Có bao nhiêu số tự nhiên có $6$ chữ số, các chữ số đôi một khác nhau?

A.$1000000$

B.$136080$

C.$531441$

D.$151200$

Câu 12.Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số, các chữ số đôi một khác nhau?

A.$5040$

B.$10000$

C.$6561$

D.$4536$

5. Số phần tử không gian mẫu khi tung $n$ xúc xắc là $6^n$Trắc nghiệm`dice_sample_space_size`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Tung $2$ con xúc xắc phân biệt. Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega|$ bằng?

A.$|\Omega| = 36$

B.$|\Omega| = 35$

C.$|\Omega| = 12$

D.$|\Omega| = 37$

Câu 14.Tung $2$ con xúc xắc phân biệt. Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega|$ bằng?

A.$|\Omega| = 12$

B.$|\Omega| = 37$

C.$|\Omega| = 35$

D.$|\Omega| = 36$

Câu 15.Tung $4$ con xúc xắc phân biệt. Số phần tử của không gian mẫu $|\Omega|$ bằng?

A.$|\Omega| = 1297$

B.$|\Omega| = 1295$

C.$|\Omega| = 1296$

D.$|\Omega| = 24$

6. Tính số phần tử của không gian mẫu cho phép thử cơ bảnTrắc nghiệm`size_of_sample_space`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Tung $3$ con xúc xắc 6 mặt. Số phần tử của không gian mẫu là?

A.216

B.215

C.217

D.432

Câu 17.Tung $3$ con xúc xắc 6 mặt. Số phần tử của không gian mẫu là?

A.215

B.432

C.217

D.216

Câu 18.Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Số phần tử của không gian mẫu là?

A.51

B.53

C.52

D.104

7. Tung 2 con xúc xắc cân đối — xét không gian mẫu và các biến cốĐúng / Sai`sample_space_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tung hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng $5$" và $B$ là biến cố "hai con cùng số chấm". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Biến cố $A$: "tổng số chấm bằng $5$" có $|A| = 4$.

b)Biến cố $\bar{A}$ (đối của $A$) có $|\bar A| = 32$.

c)$|\Omega| = 36$.

d)Biến cố "tổng số chấm bằng $13$" là biến cố không thể.

Câu 20.Tung hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng $8$" và $B$ là biến cố "hai con cùng số chấm". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Biến cố $A$: "tổng số chấm bằng $8$" có $|A| = 5$.

b)Biến cố $\bar{A}$ (đối của $A$) có $|\bar A| = 31$.

c)Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

d)$|\Omega| = 36$.

Câu 21.Tung hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "tổng số chấm xuất hiện trên hai con bằng $7$" và $B$ là biến cố "hai con cùng số chấm". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

b)Biến cố $A$: "tổng số chấm bằng $7$" có $|A| = 6$.

c)Hai biến cố $A$, $B$ xung khắc khi $A \cap B = \emptyset$.

d)Biến cố $B$: "hai con cùng mặt" có $|B| = 6$.

8. Tung $n$ đồng xu hoặc $n$ xúc xắc — xét kích thước không gian mẫuĐúng / Sai`sample_space10_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Thực hiện phép thử: tung $2$ xúc xắc 6 mặt cân đối, đồng chất. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = 12$.

b)Biến cố $A$ và $\bar{A}$ luôn xung khắc.

c)Hai biến cố xung khắc thì $A \cap B = \emptyset$.

d)Số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = 36$.

Câu 23.Thực hiện phép thử: tung $3$ đồng xu cân đối, đồng chất. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = 6$.

b)Hai biến cố xung khắc thì $A \cap B = \emptyset$.

c)Mỗi kết quả của không gian mẫu là một bộ thứ tự.

d)Biến cố đối $\bar{A}$ là tập tất cả các kết quả không thuộc $A$.

Câu 24.Thực hiện phép thử: tung $3$ xúc xắc 6 mặt cân đối, đồng chất. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Biến cố đối $\bar{A}$ là tập tất cả các kết quả không thuộc $A$.

b)Số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = 18$.

c)Hai biến cố xung khắc thì $A \cap B = \emptyset$.

d)Số phần tử không gian mẫu là $|\Omega| = 216$.

9. Đếm số kết quả thuận lợi khi tung 2 xúc xắc và tổng số chấm bằng $k$Trả lời ngắn`count_dice_sum_outcomes_g10`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Tung 2 con xúc xắc 6 mặt. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố "tổng số chấm bằng $7$".

Câu 26.Tung 2 con xúc xắc 6 mặt. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố "tổng số chấm bằng $6$".

Câu 27.Tung 2 con xúc xắc 6 mặt. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố "tổng số chấm bằng $9$".

10. Đếm số phần tử không gian mẫu cho 1 phép thửTrả lời ngắn`size_sample_space`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Xác định số phần tử không gian mẫu của phép thử: "Chọn 2 trong 5 quả bóng (có phân biệt)".

Câu 29.Xác định số phần tử không gian mẫu của phép thử: "Tung 1 đồng xu rồi gieo 1 súc sắc".

Câu 30.Xác định số phần tử không gian mẫu của phép thử: "Chọn ngẫu nhiên 3 chữ cái khác nhau từ {A, B, C, D, E} có thứ tự".

Công thức

§1. Định nghĩa(5)

§2. Tính chất(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Số phần tử không gian mẫu khi tung $n$ đồng xu là $2^n$Trắc nghiệmcoin_toss_sample_space_size(3 câu)

2. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố khi chọn ngẫu nhiên một nhóm người có ràng buộc (ít nhất 1 nữ / đúng $j$ nam) — bằng tổ hợpTrắc nghiệmcount_committee_event_outcomes(3 câu)

3. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố tổng số chấm bằng $k$ khi tung 2 xúc xắcTrắc nghiệmcount_event_outcomes(3 câu)

4. VD cao: đếm số tự nhiên $k$ chữ số có các chữ số đôi một khác nhauTrắc nghiệmcount_n_digit_numbers_distinct_digits(3 câu)

5. Số phần tử không gian mẫu khi tung $n$ xúc xắc là $6^n$Trắc nghiệmdice_sample_space_size(3 câu)

6. Tính số phần tử của không gian mẫu cho phép thử cơ bảnTrắc nghiệmsize_of_sample_space(3 câu)

7. Tung 2 con xúc xắc cân đối — xét không gian mẫu và các biến cốĐúng / Saisample_space_facts(3 câu)

8. Tung $n$ đồng xu hoặc $n$ xúc xắc — xét kích thước không gian mẫuĐúng / Saisample_space10_facts2(3 câu)

9. Đếm số kết quả thuận lợi khi tung 2 xúc xắc và tổng số chấm bằng $k$Trả lời ngắncount_dice_sum_outcomes_g10(3 câu)

10. Đếm số phần tử không gian mẫu cho 1 phép thửTrả lời ngắnsize_sample_space(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Số phần tử không gian mẫu khi tung $n$ đồng xu là $2^n$Trắc nghiệm`coin_toss_sample_space_size`(3 câu)

2. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố khi chọn ngẫu nhiên một nhóm người có ràng buộc (ít nhất 1 nữ / đúng $j$ nam) — bằng tổ hợpTrắc nghiệm`count_committee_event_outcomes`(3 câu)

3. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố tổng số chấm bằng $k$ khi tung 2 xúc xắcTrắc nghiệm`count_event_outcomes`(3 câu)

4. VD cao: đếm số tự nhiên $k$ chữ số có các chữ số đôi một khác nhauTrắc nghiệm`count_n_digit_numbers_distinct_digits`(3 câu)

5. Số phần tử không gian mẫu khi tung $n$ xúc xắc là $6^n$Trắc nghiệm`dice_sample_space_size`(3 câu)

6. Tính số phần tử của không gian mẫu cho phép thử cơ bảnTrắc nghiệm`size_of_sample_space`(3 câu)

7. Tung 2 con xúc xắc cân đối — xét không gian mẫu và các biến cốĐúng / Sai`sample_space_facts`(3 câu)

8. Tung $n$ đồng xu hoặc $n$ xúc xắc — xét kích thước không gian mẫuĐúng / Sai`sample_space10_facts2`(3 câu)

9. Đếm số kết quả thuận lợi khi tung 2 xúc xắc và tổng số chấm bằng $k$Trả lời ngắn`count_dice_sum_outcomes_g10`(3 câu)

10. Đếm số phần tử không gian mẫu cho 1 phép thửTrả lời ngắn`size_sample_space`(3 câu)