Xác suất của biến cố

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Xác suất cổ điển

Cho phép thử có $\Omega$ hữu hạn, các kết quả đồng khả năng. Xác suất của biến cố $A$: $$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}.$$ Tử = số kết quả thuận lợi, mẫu = tổng số kết quả.

1.2

Tần suất + xác suất thống kê

Thực hiện phép thử $N$ lần, đếm số lần $A$ xảy ra = $n$: Tần suất $A$: $f_N(A) = \dfrac{n}{N}$. Khi $N \to \infty$, $f_N(A) \to P(A)$ — gọi là xác suất thống kê (định nghĩa thực nghiệm). → Dùng khi không thể tính $P(A)$ bằng đếm trực tiếp.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất xác suất

$0 \leq P(A) \leq 1$ với mọi biến cố $A$.
$P(\emptyset) = 0$, $P(\Omega) = 1$.
Đối: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
$A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)$.
Cộng (khi $A, B$ xung khắc): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Cộng tổng quát: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

§3. Công thức(1)

3.1

Xác suất tích — biến cố độc lập

Nếu $A, B$ độc lập: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$ Vd: gieo 2 xúc xắc, $A$: 'lần 1 ra 6', $B$: 'lần 2 ra chẵn' → $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.

§4. Phương pháp(1)

4.1

Quy trình tính xác suất

Bước 1. Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính $n(\Omega)$ (dùng quy tắc đếm). Bước 2. Mô tả biến cố $A$ — các kết quả thuận lợi. Bước 3. Đếm $n(A)$. Bước 4. $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$. Mẹo: nếu khó đếm $n(A)$, hãy tính $n(\overline{A})$ rồi suy $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

§5. Mẹo(1)

5.1

Mẹo: dùng biến cố đối

Khi bài có cụm 'ít nhất 1' / 'có thể có' / 'có ít nhất X' → tính qua biến cố đối:

'Ít nhất 1 bi đỏ' → đối = 'không có bi đỏ nào'.
'Có ít nhất 2 mặt sáu' → đối = '0 hoặc 1 mặt sáu'.

→ Tính $P(\overline{A})$ rồi $P(A) = 1 - P(\overline{A})$. Thường đơn giản hơn nhiều.

Bài tập

1. Hộp có $r$ bi đỏ, $b$ bi xanh; lấy 1 bi → tính xác suất theo màuTrắc nghiệm`ball_color_probability`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Một hộp có $6$ viên bi đỏ và $12$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Xác suất viên bi lấy được màu xanh?

A.$P = \dfrac{1}{18}$

B.$P = \dfrac{2}{3}$

C.$P = \dfrac{1}{3}$

D.$P = 2$

Câu 2.Một hộp có $7$ viên bi đỏ và $2$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Xác suất viên bi lấy được màu xanh?

A.$P = \dfrac{1}{9}$

B.$P = \dfrac{2}{7}$

C.$P = \dfrac{7}{9}$

D.$P = \dfrac{2}{9}$

Câu 3.Một hộp có $9$ viên bi đỏ và $10$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Xác suất viên bi lấy được KHÔNG phải màu đỏ?

A.$P = \dfrac{10}{19}$

B.$P = \dfrac{1}{19}$

C.$P = \dfrac{10}{9}$

D.$P = \dfrac{9}{19}$

2. Xác suất tổng số chấm khi tung 2 con xúc xắc bằng giá trị $k$Trắc nghiệm`dice_sum_probability`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tung hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm hai mặt xuất hiện bằng $6$.

A.$P = \dfrac{5}{6}$

B.$P = \dfrac{1}{6}$

C.$P = \dfrac{5}{36}$

D.$P = \dfrac{5}{12}$

Câu 5.Tung hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm hai mặt xuất hiện bằng $10$.

A.$P = \dfrac{1}{2}$

B.$P = \dfrac{5}{18}$

C.$P = \dfrac{1}{4}$

D.$P = \dfrac{1}{12}$

Câu 6.Tung hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm hai mặt xuất hiện bằng $7$.

A.$P = \dfrac{7}{36}$

B.$P = 1$

C.$P = \dfrac{1}{2}$

D.$P = \dfrac{1}{6}$

3. P(có ít nhất 1 viên màu c2) = 1 - C(g,k)/C(N,k); hoặc P(đúng 1 viên c2)Trắc nghiệm`draw_balls_at_least_one_color`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Một túi có $6$ viên bi trắng và $7$ viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để trong $3$ viên lấy được có ít nhất 1 viên bi đen.

A.$\dfrac{10}{143}$

B.$\dfrac{133}{143}$

C.$\dfrac{266}{13}$

D.$\dfrac{7}{286}$

Câu 8.Một túi có $8$ viên bi trắng và $4$ viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để trong $3$ viên lấy được có ít nhất 1 viên bi đen.

A.$\dfrac{41}{3}$

B.$\dfrac{41}{55}$

C.$\dfrac{1}{55}$

D.$\dfrac{14}{55}$

Câu 9.Một túi có $7$ viên bi trắng và $6$ viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để trong $3$ viên lấy được có đúng 1 viên bi đen.

A.$\dfrac{251}{286}$

B.$\dfrac{63}{143}$

C.$\dfrac{35}{286}$

D.$\dfrac{105}{143}$

4. P(các viên lấy được KHÔNG cùng màu) = 1 - P(cùng màu) (phần bù)Trắc nghiệm`draw_two_balls_different_color`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Một túi có $7$ viên bi đỏ và $6$ viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để lấy được 3 viên không cùng một màu (có đủ cả hai màu).

A.$\dfrac{21}{26}$

B.$\dfrac{21}{143}$

C.$\dfrac{35}{286}$

D.$\dfrac{5}{26}$

Câu 11.Một túi có $6$ viên bi đỏ và $7$ viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để lấy được 3 viên không cùng một màu (có đủ cả hai màu).

A.$\dfrac{10}{143}$

B.$\dfrac{5}{26}$

C.$\dfrac{21}{143}$

D.$\dfrac{21}{26}$

Câu 12.Một túi có $7$ viên bi xanh và $7$ viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để lấy được 3 viên không cùng một màu (có đủ cả hai màu).

A.$\dfrac{5}{52}$

B.$\dfrac{21}{26}$

C.$\dfrac{5}{26}$

D.$\dfrac{7}{52}$

5. P(các viên lấy được cùng màu) hoặc cùng một màu cụ thể, dùng tổ hợpTrắc nghiệm`draw_two_balls_same_color`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Một túi có $7$ viên bi xanh và $3$ viên bi đỏ (các viên cùng kích thước). Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để lấy được $3$ viên đều là bi màu đỏ.

A.$\dfrac{1}{20}$

B.$\dfrac{7}{24}$

C.$\dfrac{119}{120}$

D.$\dfrac{1}{120}$

Câu 14.Một túi có $6$ viên bi trắng và $7$ viên bi đen (các viên cùng kích thước). Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để lấy được $3$ viên đều là bi màu đen.

A.$\dfrac{105}{143}$

B.$\dfrac{35}{286}$

C.$\dfrac{10}{143}$

D.$\dfrac{251}{286}$

Câu 15.Một túi có $6$ viên bi xanh và $6$ viên bi đỏ (các viên cùng kích thước). Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ viên. Tính xác suất để lấy được $3$ viên đều là bi màu đỏ.

A.$\dfrac{6}{11}$

B.$\dfrac{1}{8}$

C.$\dfrac{10}{11}$

D.$\dfrac{1}{11}$

6. VD cao: P(2 thẻ cùng chẵn) khi rút 2 thẻ từ ${1, ..., n}.$Trắc nghiệm`prob_two_even_from_n_cards`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Trong một hộp có $16$ thẻ được đánh số $1, 2, \dots, 16.$ Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ. Tính xác suất để cả 2 thẻ rút được đều mang số chẵn.

A.$\dfrac{7}{30}$

B.$\dfrac{8}{15}$

C.$\dfrac{7}{4}$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 17.Trong một hộp có $8$ thẻ được đánh số $1, 2, \dots, 8.$ Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ. Tính xác suất để cả 2 thẻ rút được đều mang số chẵn.

A.$\dfrac{3}{14}$

B.$\dfrac{4}{7}$

C.$\dfrac{3}{4}$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 18.Trong một hộp có $8$ thẻ được đánh số $1, 2, \dots, 8.$ Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ. Tính xác suất để cả 2 thẻ rút được đều mang số chẵn.

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{3}{4}$

C.$\dfrac{3}{14}$

D.$\dfrac{4}{7}$

7. Đổi cover: rút 1 thẻ từ {1..6}, tính P theo tính chất số họcTrắc nghiệm`single_card_property_from_six`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Một hộp có 6 tấm thẻ giống nhau được đánh số $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ. Tính xác suất để số ghi trên thẻ là ước của 6.

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{4}{5}$

C.$\dfrac{2}{3}$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 20.Một hộp có 6 tấm thẻ giống nhau được đánh số $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ. Tính xác suất để số ghi trên thẻ là số chẵn.

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{2}{3}$

C.$\dfrac{3}{5}$

D.$\dfrac{1}{3}$

Câu 21.Một hộp có 6 tấm thẻ giống nhau được đánh số $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Rút ngẫu nhiên 1 thẻ. Tính xác suất để số ghi trên thẻ là số lẻ.

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{3}{5}$

C.$\dfrac{2}{3}$

D.$\dfrac{1}{2}$

8. Cho 4 cặp (biến cố, xác suất), hỏi khẳng định nào ĐÚNGTrắc nghiệm`single_die_identify_true_prob`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$P(\text{số chấm lớn hơn 4}) = \dfrac{2}{3}$

B.$P(\text{số chấm là số nguyên tố}) = \dfrac{1}{2}$

C.$P(\text{số chấm là số chính phương}) = \dfrac{2}{3}$

D.$P(\text{số chấm lớn hơn 2}) = \dfrac{1}{3}$

Câu 23.Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$P(\text{số chấm lớn hơn 2}) = \dfrac{1}{3}$

B.$P(\text{số chấm là số chẵn}) = \dfrac{1}{2}$

C.$P(\text{số chấm là số lẻ}) = \dfrac{1}{3}$

D.$P(\text{số chấm là số nguyên tố}) = \dfrac{1}{3}$

Câu 24.Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$P(\text{số chấm lớn hơn 4}) = \dfrac{2}{3}$

B.$P(\text{số chấm là số chẵn}) = \dfrac{1}{2}$

C.$P(\text{số chấm lớn hơn 2}) = \dfrac{1}{3}$

D.$P(\text{số chấm là số nguyên tố}) = \dfrac{1}{3}$

9. Forward: tính P(số chấm thỏa một tính chất số học)Trắc nghiệm`single_die_number_property_prob`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số lẻ.

A.$\dfrac{2}{3}$

B.$\dfrac{3}{5}$

C.$\dfrac{1}{3}$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 26.Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số lẻ.

A.$\dfrac{3}{5}$

B.$\dfrac{2}{3}$

C.$\dfrac{1}{3}$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 27.Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số nguyên tố.

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{3}{5}$

C.$\dfrac{2}{3}$

D.$\dfrac{1}{2}$

10. Bốc 2 thẻ từ $n$ thẻ đánh số $1..n$ — xác suất của các biến cốĐúng / Sai`event_prob_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Một hộp chứa $5$ thẻ được đánh số $1, 2, \ldots, 5$. Bốc ngẫu nhiên 2 thẻ. Gọi $A$ là biến cố "tổng hai số trên thẻ là số chẵn". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|A| = 4$ (tổng 2 thẻ là số chẵn).

b)$0 \leq P(A) \leq 1$.

c)Biến cố không thể có xác suất bằng $1$.

d)$|\Omega| = C_{5}^2 = 10$.

Câu 29.Một hộp chứa $6$ thẻ được đánh số $1, 2, \ldots, 6$. Bốc ngẫu nhiên 2 thẻ. Gọi $A$ là biến cố "tổng hai số trên thẻ là số chẵn". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\bar A) = 1 - P(A) = \dfrac{3}{5}$.

b)Biến cố không thể có xác suất bằng $1$.

c)$P(A) = \dfrac{2}{5}$.

d)$|A| = 6$ (tổng 2 thẻ là số chẵn).

Câu 30.Một hộp chứa $7$ thẻ được đánh số $1, 2, \ldots, 7$. Bốc ngẫu nhiên 2 thẻ. Gọi $A$ là biến cố "tổng hai số trên thẻ là số chẵn". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A) = \dfrac{3}{7}$.

b)$|\Omega| = C_{7}^2 = 21$.

c)Biến cố không thể có xác suất bằng $1$.

d)$P(\bar A) = 1 - P(A) = \dfrac{4}{7}$.

11. Tung 1 xúc xắc — xác suất các biến cố cụ thểĐúng / Sai`event_prob10_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt. Gọi $A$ là biến cố "mặt chẵn" và $B$ là biến cố "mặt chia hết cho $3$". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|\Omega| = 6$.

b)$A$ và $B$ xung khắc.

c)$P(A) = \dfrac{1}{2}$ với $A$: "mặt chẵn".

d)Biến cố "mặt số $7$" có xác suất $0$.

Câu 32.Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt. Gọi $A$ là biến cố "mặt chẵn" và $B$ là biến cố "mặt chia hết cho $3$". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\bar A) = 1 - P(A) = \dfrac{1}{2}$.

b)$A$ và $B$ xung khắc.

c)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{5}{6}$.

d)$|\Omega| = 6$.

Câu 33.Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất 6 mặt. Gọi $A$ là biến cố "mặt chẵn" và $B$ là biến cố "mặt chia hết cho $3$". Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A) = \dfrac{1}{2}$ với $A$: "mặt chẵn".

b)$P(\bar A) = 1 - P(A) = \dfrac{1}{2}$.

c)$A$ và $B$ xung khắc.

d)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{5}{6}$.

12. VDC: đếm SỐ CẶP điểm thuận lợi (trung điểm AB có toạ độ nguyên) trong lưới {1..M}×{1..M}, thay vì hỏi xác suấtTrả lời ngắn`lattice_midpoint_favorable_count_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 34.Cho tập $S$ gồm các điểm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương không vượt quá $12$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm phân biệt trong $S$. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó có toạ độ nguyên?

Câu 35.Cho tập $S$ gồm các điểm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương không vượt quá $15$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm phân biệt trong $S$. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó có toạ độ nguyên?

Câu 36.Cho tập $S$ gồm các điểm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương không vượt quá $10$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm phân biệt trong $S$. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó có toạ độ nguyên?

13. VDC: p = P(trung điểm AB có toạ độ nguyên) với A,B chọn trong lưới {1..M}×{1..M}Trả lời ngắn`lattice_midpoint_integer_prob_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 37.Cho tập $S$ gồm các điểm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương không vượt quá $10$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm $A,B$ phân biệt trong $S$. Gọi $p$ là xác suất để trung điểm của $AB$ có toạ độ nguyên; viết $p$ dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

Câu 38.Cho tập $S$ gồm các điểm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương không vượt quá $15$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm $A,B$ phân biệt trong $S$. Gọi $p$ là xác suất để trung điểm của $AB$ có toạ độ nguyên; viết $p$ dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

Câu 39.Cho tập $S$ gồm các điểm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương không vượt quá $20$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm $A,B$ phân biệt trong $S$. Gọi $p$ là xác suất để trung điểm của $AB$ có toạ độ nguyên; viết $p$ dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

14. VDC: p = P(trung điểm AB có toạ độ nguyên) với A,B chọn trong lưới {1..M}×{1..M}; hỏi GIÁ TRỊ $M^2 \cdot p$ (vd M=15 ⇒ $225p$)Trả lời ngắn`lattice_midpoint_scaled_prob_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, xét tập hợp $S$ gồm các điểm có toạ độ $(x;y)$ với $x,y$ là các số nguyên dương không vượt quá $15$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm phân biệt $A,B$ từ tập $S$. Gọi $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Gọi $p$ là xác suất để điểm $C$ có toạ độ đều là các số nguyên. Tính giá trị của $225p$.

Câu 41.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, xét tập hợp $S$ gồm các điểm có toạ độ $(x;y)$ với $x,y$ là các số nguyên dương không vượt quá $13$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm phân biệt $A,B$ từ tập $S$. Gọi $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Gọi $p$ là xác suất để điểm $C$ có toạ độ đều là các số nguyên. Tính giá trị của $169p$.

Câu 42.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, xét tập hợp $S$ gồm các điểm có toạ độ $(x;y)$ với $x,y$ là các số nguyên dương không vượt quá $11$. Chọn ngẫu nhiên $2$ điểm phân biệt $A,B$ từ tập $S$. Gọi $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Gọi $p$ là xác suất để điểm $C$ có toạ độ đều là các số nguyên. Tính giá trị của $121p$.

15. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác CÂN, kể cả đều) của đa giác đều n đỉnh, rút gọn a/b → hỏi 2a+bTrả lời ngắn`polygon_triangle_isosceles_only_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 43.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $12$ đỉnh của một đa giác đều $12$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác cân (kể cả tam giác đều) là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

Câu 44.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $20$ đỉnh của một đa giác đều $20$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác cân (kể cả tam giác đều) là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

Câu 45.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $18$ đỉnh của một đa giác đều $18$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác cân (kể cả tam giác đều) là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

16. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác CÂN HOẶC VUÔNG) của đa giác đều n đỉnh, rút gọn a/b → hỏi 2a+bTrả lời ngắn`polygon_triangle_isosceles_or_right_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 46.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $24$ đỉnh của một đa giác đều $24$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác cân hoặc tam giác vuông là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

Câu 47.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $12$ đỉnh của một đa giác đều $12$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác cân hoặc tam giác vuông là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

Câu 48.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $20$ đỉnh của một đa giác đều $20$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác cân hoặc tam giác vuông là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $2a+b$.

17. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác VUÔNG) của đa giác đều n đỉnh (đếm đường kính), rút gọn a/b → hỏi a+bTrả lời ngắn`polygon_triangle_right_only_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 49.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $18$ đỉnh của một đa giác đều $18$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác vuông là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $a+b$.

Câu 50.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $20$ đỉnh của một đa giác đều $20$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác vuông là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $a+b$.

Câu 51.Chọn ngẫu nhiên $3$ trong $24$ đỉnh của một đa giác đều $24$ cạnh. Xác suất để $3$ đỉnh đó tạo thành một tam giác vuông là phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$. Tính $a+b$.

18. Hộp có $r$ bi đỏ và $b$ bi xanh, lấy 1 viên — tính xác suất theo màu (số thập phân)Trả lời ngắn`prob_balls_g10`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Một hộp có $3$ viên bi đỏ và $8$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Tính xác suất viên bi lấy được màu đỏ. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 53.Một hộp có $3$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Tính xác suất viên bi lấy được màu xanh. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 54.Một hộp có $3$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Tính xác suất viên bi lấy được màu xanh. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

19. Gieo 2 con súc sắc, tính xác suất 1 biến cố (số thập phân)Trả lời ngắn`prob_two_dice`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối 6 mặt. Tính xác suất biến cố "tổng số chấm bằng 7". (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 56.Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối 6 mặt. Tính xác suất biến cố "tổng số chấm chia hết cho 3". (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 57.Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối 6 mặt. Tính xác suất biến cố "tổng số chấm là số chẵn". (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Phương pháp(1)

§5. Mẹo(1)

Bài tập

1. Hộp có $r$ bi đỏ, $b$ bi xanh; lấy 1 bi → tính xác suất theo màuTrắc nghiệmball_color_probability(3 câu)

2. Xác suất tổng số chấm khi tung 2 con xúc xắc bằng giá trị $k$Trắc nghiệmdice_sum_probability(3 câu)

3. P(có ít nhất 1 viên màu c2) = 1 - C(g,k)/C(N,k); hoặc P(đúng 1 viên c2)Trắc nghiệmdraw_balls_at_least_one_color(3 câu)

4. P(các viên lấy được KHÔNG cùng màu) = 1 - P(cùng màu) (phần bù)Trắc nghiệmdraw_two_balls_different_color(3 câu)

5. P(các viên lấy được cùng màu) hoặc cùng một màu cụ thể, dùng tổ hợpTrắc nghiệmdraw_two_balls_same_color(3 câu)

6. VD cao: P(2 thẻ cùng chẵn) khi rút 2 thẻ từ ${1, ..., n}.$Trắc nghiệmprob_two_even_from_n_cards(3 câu)

7. Đổi cover: rút 1 thẻ từ {1..6}, tính P theo tính chất số họcTrắc nghiệmsingle_card_property_from_six(3 câu)

8. Cho 4 cặp (biến cố, xác suất), hỏi khẳng định nào ĐÚNGTrắc nghiệmsingle_die_identify_true_prob(3 câu)

9. Forward: tính P(số chấm thỏa một tính chất số học)Trắc nghiệmsingle_die_number_property_prob(3 câu)

10. Bốc 2 thẻ từ $n$ thẻ đánh số $1..n$ — xác suất của các biến cốĐúng / Saievent_prob_facts(3 câu)

11. Tung 1 xúc xắc — xác suất các biến cố cụ thểĐúng / Saievent_prob10_facts2(3 câu)

12. VDC: đếm SỐ CẶP điểm thuận lợi (trung điểm AB có toạ độ nguyên) trong lưới {1..M}×{1..M}, thay vì hỏi xác suấtTrả lời ngắnlattice_midpoint_favorable_count_sa(3 câu)

13. VDC: p = P(trung điểm AB có toạ độ nguyên) với A,B chọn trong lưới {1..M}×{1..M}Trả lời ngắnlattice_midpoint_integer_prob_sa(3 câu)

14. VDC: p = P(trung điểm AB có toạ độ nguyên) với A,B chọn trong lưới {1..M}×{1..M}; hỏi GIÁ TRỊ $M^2 \cdot p$ (vd M=15 ⇒ $225p$)Trả lời ngắnlattice_midpoint_scaled_prob_sa(3 câu)

15. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác CÂN, kể cả đều) của đa giác đều n đỉnh, rút gọn a/b → hỏi 2a+bTrả lời ngắnpolygon_triangle_isosceles_only_sa(3 câu)

16. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác CÂN HOẶC VUÔNG) của đa giác đều n đỉnh, rút gọn a/b → hỏi 2a+bTrả lời ngắnpolygon_triangle_isosceles_or_right_sa(3 câu)

17. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác VUÔNG) của đa giác đều n đỉnh (đếm đường kính), rút gọn a/b → hỏi a+bTrả lời ngắnpolygon_triangle_right_only_sa(3 câu)

18. Hộp có $r$ bi đỏ và $b$ bi xanh, lấy 1 viên — tính xác suất theo màu (số thập phân)Trả lời ngắnprob_balls_g10(3 câu)

19. Gieo 2 con súc sắc, tính xác suất 1 biến cố (số thập phân)Trả lời ngắnprob_two_dice(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Hộp có $r$ bi đỏ, $b$ bi xanh; lấy 1 bi → tính xác suất theo màuTrắc nghiệm`ball_color_probability`(3 câu)

2. Xác suất tổng số chấm khi tung 2 con xúc xắc bằng giá trị $k$Trắc nghiệm`dice_sum_probability`(3 câu)

3. P(có ít nhất 1 viên màu c2) = 1 - C(g,k)/C(N,k); hoặc P(đúng 1 viên c2)Trắc nghiệm`draw_balls_at_least_one_color`(3 câu)

4. P(các viên lấy được KHÔNG cùng màu) = 1 - P(cùng màu) (phần bù)Trắc nghiệm`draw_two_balls_different_color`(3 câu)

5. P(các viên lấy được cùng màu) hoặc cùng một màu cụ thể, dùng tổ hợpTrắc nghiệm`draw_two_balls_same_color`(3 câu)

6. VD cao: P(2 thẻ cùng chẵn) khi rút 2 thẻ từ ${1, ..., n}.$Trắc nghiệm`prob_two_even_from_n_cards`(3 câu)

7. Đổi cover: rút 1 thẻ từ {1..6}, tính P theo tính chất số họcTrắc nghiệm`single_card_property_from_six`(3 câu)

8. Cho 4 cặp (biến cố, xác suất), hỏi khẳng định nào ĐÚNGTrắc nghiệm`single_die_identify_true_prob`(3 câu)

9. Forward: tính P(số chấm thỏa một tính chất số học)Trắc nghiệm`single_die_number_property_prob`(3 câu)

10. Bốc 2 thẻ từ $n$ thẻ đánh số $1..n$ — xác suất của các biến cốĐúng / Sai`event_prob_facts`(3 câu)

11. Tung 1 xúc xắc — xác suất các biến cố cụ thểĐúng / Sai`event_prob10_facts2`(3 câu)

12. VDC: đếm SỐ CẶP điểm thuận lợi (trung điểm AB có toạ độ nguyên) trong lưới {1..M}×{1..M}, thay vì hỏi xác suấtTrả lời ngắn`lattice_midpoint_favorable_count_sa`(3 câu)

13. VDC: p = P(trung điểm AB có toạ độ nguyên) với A,B chọn trong lưới {1..M}×{1..M}Trả lời ngắn`lattice_midpoint_integer_prob_sa`(3 câu)

14. VDC: p = P(trung điểm AB có toạ độ nguyên) với A,B chọn trong lưới {1..M}×{1..M}; hỏi GIÁ TRỊ $M^2 \cdot p$ (vd M=15 ⇒ $225p$)Trả lời ngắn`lattice_midpoint_scaled_prob_sa`(3 câu)

15. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác CÂN, kể cả đều) của đa giác đều n đỉnh, rút gọn a/b → hỏi 2a+bTrả lời ngắn`polygon_triangle_isosceles_only_sa`(3 câu)

16. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác CÂN HOẶC VUÔNG) của đa giác đều n đỉnh, rút gọn a/b → hỏi 2a+bTrả lời ngắn`polygon_triangle_isosceles_or_right_sa`(3 câu)

17. VDC: P(3 đỉnh tạo tam giác VUÔNG) của đa giác đều n đỉnh (đếm đường kính), rút gọn a/b → hỏi a+bTrả lời ngắn`polygon_triangle_right_only_sa`(3 câu)

18. Hộp có $r$ bi đỏ và $b$ bi xanh, lấy 1 viên — tính xác suất theo màu (số thập phân)Trả lời ngắn`prob_balls_g10`(3 câu)

19. Gieo 2 con súc sắc, tính xác suất 1 biến cố (số thập phân)Trả lời ngắn`prob_two_dice`(3 câu)