Quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất

Công thức

§1. Công thức(2)

1.1

Quy tắc cộng xác suất

Hai biến cố $A, B$: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$ Nếu $A, B$ xung khắc ($A \cap B = \emptyset$): $$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$$ Tổng quát (3 biến cố): $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$.

1.2

Quy tắc nhân — biến cố độc lập

$A_1, A_2, \dots, A_n$ đôi một độc lập: $$P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdots P(A_n).$$ Cẩn thận: 'đôi một độc lập' (mỗi cặp độc lập) mạnh hơn 'đồng độc lập' chỉ khi cần xét xác suất giao tổng quát.

§2. Phương pháp(2)

2.1

Phương pháp giải bài 'hoặc / và'

'Hoặc' (có ít nhất 1 trong 2) → quy tắc cộng. 'Và' (cả 2 đồng thời) → quy tắc nhân (nếu độc lập), hoặc tính trực tiếp. Khi 'và' không độc lập: phải tính trực tiếp $n(A \cap B)$. Khi 'hoặc' với 2 biến cố không xung khắc: nhớ trừ $P(A \cap B)$.

2.2

Bài toán nhiều bước (cây xác suất)

Khi phép thử gồm nhiều bước (rút bài k lần, thử nghiệm liên tiếp): Bước 1. Vẽ cây xác suất — mỗi nhánh = 1 kết quả của bước. Bước 2. Mỗi đường đi từ gốc đến lá: nhân các xác suất trên đường đi (nếu các bước độc lập). Bước 3. Cộng các đường đi tương ứng với cùng 1 biến cố.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: kiểm tra xung khắc trước khi cộng

Khi nói 'hoặc A hoặc B': hỏi 'A và B có thể cùng xảy ra không?'

Không thể → xung khắc → $P(A) + P(B)$.
Có thể → không xung khắc → phải trừ $P(A \cap B)$.

Vd: rút 1 quân từ bộ — $A$: 'quân cơ', $B$: 'quân Át' → KHÔNG xung khắc (Át cơ thuộc cả 2).

Bài tập

1. Hai biến cố xung khắc, tính $P(A \cup B)$Trắc nghiệm`addition_rule_disjoint`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Hai biến cố $A, B$ xung khắc với $P(A) = \dfrac{2}{7}$, $P(B) = \dfrac{1}{4}$. Tính $P(A \cup B)$.

A.$P(A \cup B) = 1$

B.$P(A \cup B) = \dfrac{1}{28}$

C.$P(A \cup B) = \dfrac{15}{28}$

D.$P(A \cup B) = \dfrac{1}{14}$

Câu 2.Hai biến cố $A, B$ xung khắc với $P(A) = \dfrac{1}{2}$, $P(B) = \dfrac{3}{8}$. Tính $P(A \cup B)$.

A.$P(A \cup B) = \dfrac{3}{16}$

B.$P(A \cup B) = 1$

C.$P(A \cup B) = \dfrac{1}{8}$

D.$P(A \cup B) = \dfrac{7}{8}$

Câu 3.Hai biến cố $A, B$ xung khắc với $P(A) = \dfrac{2}{3}$, $P(B) = \dfrac{2}{9}$. Tính $P(A \cup B)$.

A.$P(A \cup B) = \dfrac{4}{9}$

B.$P(A \cup B) = \dfrac{8}{9}$

C.$P(A \cup B) = \dfrac{4}{27}$

D.$P(A \cup B) = 1$

2. $P(\text{cả hai cùng thành công}) = p_1 p_2$ (quy tắc nhân)Trắc nghiệm`all_independent_success_product`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Khẩu pháo thứ nhất và khẩu pháo thứ hai bắn trúng bia một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{1}{2}$. Tính xác suất CẢ HAI cùng bắn trúng bia.

A.$\dfrac{5}{6}$

B.$\dfrac{7}{6}$

C.$\dfrac{1}{3}$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 5.Máy thứ nhất và máy thứ hai hoạt động tốt một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{1}{4}$. Tính xác suất CẢ HAI cùng hoạt động tốt.

A.$\dfrac{1}{2}$

B.$\dfrac{3}{4}$

C.$\dfrac{5}{8}$

D.$\dfrac{1}{8}$

Câu 6.Máy thứ nhất và máy thứ hai hoạt động tốt một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{1}{5}$ và $\dfrac{1}{4}$. Tính xác suất CẢ HAI cùng hoạt động tốt.

A.$\dfrac{1}{20}$

B.$\dfrac{7}{20}$

C.$\dfrac{9}{20}$

D.$\dfrac{2}{5}$

3. $P(\text{ít nhất một thành công}) = 1 - (1-p_1)(1-p_2)$Trắc nghiệm`at_least_one_success_complement`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Xạ thủ thứ nhất và xạ thủ thứ hai bắn trúng một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{1}{4}$. Tính xác suất mục tiêu bị trúng đạn (có ít nhất một lần bắn trúng).

A.$\dfrac{3}{4}$

B.$\dfrac{7}{8}$

C.$\dfrac{1}{8}$

D.$\dfrac{5}{8}$

Câu 8.Khẩu pháo thứ nhất và khẩu pháo thứ hai bắn trúng bia một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{3}{5}$ và $\dfrac{1}{2}$. Tính xác suất bia bị trúng (có ít nhất một lần bắn trúng bia).

A.$\dfrac{7}{10}$

B.$\dfrac{3}{10}$

C.$\dfrac{11}{10}$

D.$\dfrac{4}{5}$

Câu 9.Học sinh thứ nhất và học sinh thứ hai giải được bài toán một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{3}{4}$ và $\dfrac{4}{5}$. Tính xác suất bài toán được giải (có ít nhất một lần giải được bài toán).

A.$\dfrac{2}{5}$

B.$\dfrac{31}{20}$

C.$\dfrac{3}{5}$

D.$\dfrac{19}{20}$

4. $P(\text{đúng một thành công}) = p_1(1-p_2) + (1-p_1)p_2$Trắc nghiệm`exactly_one_success_independent`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Xạ thủ thứ nhất và xạ thủ thứ hai bắn trúng một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{3}{5}$. Tính xác suất CÓ ĐÚNG MỘT lần bắn trúng.

A.$\dfrac{1}{5}$

B.$\dfrac{8}{15}$

C.$\dfrac{14}{15}$

D.$\dfrac{11}{15}$

Câu 11.Máy thứ nhất và máy thứ hai hoạt động tốt một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{4}{5}$. Tính xác suất CÓ ĐÚNG MỘT lần hoạt động tốt.

A.$\dfrac{13}{15}$

B.$\dfrac{4}{15}$

C.$\dfrac{17}{15}$

D.$\dfrac{3}{5}$

Câu 12.Máy thứ nhất và máy thứ hai hoạt động tốt một cách độc lập với xác suất thành công lần lượt là $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{1}{5}$. Tính xác suất CÓ ĐÚNG MỘT lần hoạt động tốt.

A.$\dfrac{3}{5}$

B.$\dfrac{13}{15}$

C.$\dfrac{11}{15}$

D.$\dfrac{2}{15}$

5. Đảo chiều: cho $|A|,|B|$ và số bạn thuộc ít nhất một nhóm → hỏi $P(A\cap B)$Trắc nghiệm`inclusion_exclusion_find_intersection`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Một lớp có $59$ học sinh, trong đó $23$ học sinh giỏi môn Toán, $15$ học sinh giỏi môn Văn. Biết rằng có $35$ học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Tính xác suất học sinh đó giỏi cả hai môn.

A.$\dfrac{35}{59}$

B.$\dfrac{24}{59}$

C.$\dfrac{38}{59}$

D.$\dfrac{3}{59}$

Câu 14.Một lớp có $52$ học sinh, trong đó $25$ học sinh học tiếng Anh, $30$ học sinh học tiếng Pháp. Biết rằng có $49$ học sinh học ít nhất một trong hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Tính xác suất học sinh đó học cả hai ngoại ngữ.

A.$\dfrac{55}{52}$

B.$\dfrac{3}{52}$

C.$\dfrac{3}{26}$

D.$\dfrac{49}{52}$

Câu 15.Một câu lạc bộ có $51$ thành viên, trong đó $31$ thành viên chơi bóng đá, $20$ thành viên chơi bóng rổ. Biết rằng có $39$ thành viên chơi ít nhất một trong hai môn. Chọn ngẫu nhiên $1$ thành viên. Tính xác suất thành viên đó chơi cả hai môn.

A.$1$

B.$\dfrac{4}{17}$

C.$\dfrac{13}{17}$

D.$\dfrac{8}{17}$

6. Hỏi $P(\text{không thuộc nhóm nào}) = 1 - (a+b-c)/N$ (biến cố đối)Trắc nghiệm`inclusion_exclusion_neither_group`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Một quán có $59$ khách, trong đó $35$ khách gọi trà, $17$ khách gọi cà phê, $6$ khách gọi cả trà lẫn cà phê. Chọn ngẫu nhiên $1$ khách. Tính xác suất khách đó không thuộc nhóm nào (không gọi trà và không gọi cà phê).

A.$\dfrac{46}{59}$

B.$\dfrac{7}{59}$

C.$\dfrac{13}{59}$

D.$\dfrac{53}{59}$

Câu 17.Một lớp có $53$ học sinh, trong đó $34$ học sinh học tiếng Anh, $21$ học sinh học tiếng Pháp, $10$ học sinh học cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Tính xác suất học sinh đó không thuộc nhóm nào (không học tiếng Anh và không học tiếng Pháp).

A.$\dfrac{45}{53}$

B.$\dfrac{8}{53}$

C.$- \dfrac{2}{53}$

D.$\dfrac{43}{53}$

Câu 18.Một quán có $43$ khách, trong đó $25$ khách gọi trà, $17$ khách gọi cà phê, $11$ khách gọi cả trà lẫn cà phê. Chọn ngẫu nhiên $1$ khách. Tính xác suất khách đó không thuộc nhóm nào (không gọi trà và không gọi cà phê).

A.$\dfrac{1}{43}$

B.$\dfrac{32}{43}$

C.$\dfrac{12}{43}$

D.$\dfrac{31}{43}$

7. Forward: cho $|A|,|B|,|A\cap B|,N$ → hỏi $P(A\cup B)$ (ít nhất một nhóm)Trắc nghiệm`inclusion_exclusion_union_groups`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Một lớp có $57$ học sinh, trong đó $32$ học sinh giỏi môn Toán, $15$ học sinh giỏi môn Văn, $3$ học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Tính xác suất học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn.

A.$\dfrac{41}{57}$

B.$\dfrac{44}{57}$

C.$\dfrac{1}{19}$

D.$\dfrac{47}{57}$

Câu 20.Một lớp có $60$ học sinh, trong đó $28$ học sinh giỏi môn Toán, $15$ học sinh giỏi môn Văn, $9$ học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Tính xác suất học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn.

A.$\dfrac{3}{20}$

B.$\dfrac{5}{12}$

C.$\dfrac{17}{30}$

D.$\dfrac{43}{60}$

Câu 21.Một lớp có $59$ học sinh, trong đó $25$ học sinh học tiếng Anh, $21$ học sinh học tiếng Pháp, $7$ học sinh học cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh. Tính xác suất học sinh đó học ít nhất một trong hai ngoại ngữ.

A.$\dfrac{7}{59}$

B.$\dfrac{32}{59}$

C.$\dfrac{39}{59}$

D.$\dfrac{46}{59}$

8. Hai biến cố độc lập, tính $P(A \cap B) = P(A) P(B)$Trắc nghiệm`multiplication_rule_independent`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{2}{7}$, $P(B) = \dfrac{3}{7}$. Tính $P(A \cap B)$.

A.$P(A \cap B) = \dfrac{6}{49}$

B.$P(A \cap B) = 0$

C.$P(A \cap B) = - \dfrac{1}{7}$

D.$P(A \cap B) = \dfrac{5}{7}$

Câu 23.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{4}{5}$, $P(B) = \dfrac{1}{5}$. Tính $P(A \cap B)$.

A.$P(A \cap B) = \dfrac{4}{25}$

B.$P(A \cap B) = 0$

C.$P(A \cap B) = \dfrac{3}{5}$

D.$P(A \cap B) = 1$

Câu 24.Hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = \dfrac{1}{7}$, $P(B) = \dfrac{4}{7}$. Tính $P(A \cap B)$.

A.$P(A \cap B) = 0$

B.$P(A \cap B) = - \dfrac{3}{7}$

C.$P(A \cap B) = \dfrac{4}{49}$

D.$P(A \cap B) = \dfrac{5}{7}$

9. VD cao: chuyển 1 viên Hộp 1→2 rồi rút 1 viên từ Hộp 2Trắc nghiệm`prob_transfer_one_ball_between_boxes`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 25.Hộp 1 có $2$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh; Hộp 2 có $6$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên từ Hộp 1 bỏ vào Hộp 2, rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên từ Hộp 2. Tính xác suất viên rút cuối là bi đỏ.

A.$\dfrac{4}{9}$

B.$\dfrac{1}{2}$

C.$\dfrac{19}{39}$

D.$\dfrac{1}{3}$

Câu 26.Hộp 1 có $2$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh; Hộp 2 có $3$ viên bi đỏ và $5$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên từ Hộp 1 bỏ vào Hộp 2, rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên từ Hộp 2. Tính xác suất viên rút cuối là bi đỏ.

A.$\dfrac{1}{4}$

B.$\dfrac{13}{36}$

C.$\dfrac{3}{8}$

D.$\dfrac{5}{16}$

Câu 27.Hộp 1 có $5$ viên bi đỏ và $5$ viên bi xanh; Hộp 2 có $4$ viên bi đỏ và $4$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên từ Hộp 1 bỏ vào Hộp 2, rồi lấy ngẫu nhiên 1 viên từ Hộp 2. Tính xác suất viên rút cuối là bi đỏ.

A.$\dfrac{5}{9}$

B.$\dfrac{1}{4}$

C.$\dfrac{1}{2}$

D.$\dfrac{51}{100}$

10. Cho 2 biến cố xung khắc $A, B$ với $P(A), P(B)$ cụ thểĐúng / Sai`add_mul_rules_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hai biến cố $A, B$ xung khắc với $P(A) = 0,4$ và $P(B) = 0,3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai biến cố xung khắc luôn độc lập.

b)$P(A \cap B) = 0$ vì $A, B$ xung khắc.

c)Hai biến cố xung khắc không thể xảy ra đồng thời trong cùng phép thử.

d)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7$.

Câu 29.Cho hai biến cố $A, B$ xung khắc với $P(A) = \dfrac{1}{3}$ và $P(B) = \dfrac{1}{4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai biến cố xung khắc luôn độc lập.

b)$P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$.

c)$P(A \cap B) = 0$ vì $A, B$ xung khắc.

d)Hai biến cố xung khắc không thể xảy ra đồng thời trong cùng phép thử.

Câu 30.Cho hai biến cố $A, B$ xung khắc với $P(A) = 0,4$ và $P(B) = 0,3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A) + P(\bar A) = 1$.

b)$P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$.

c)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7$.

d)Hai biến cố xung khắc luôn độc lập.

11. Cho 2 biến cố độc lập $A, B$ với $P(A), P(B)$ cụ thểĐúng / Sai`add_mul_rules_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = 0,4$ và $P(B) = 0,3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,12$.

b)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7$.

c)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,58$.

d)Hai biến cố độc lập có $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Câu 32.Cho hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,6$.

b)Hai biến cố xung khắc thì luôn độc lập.

c)$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,1$.

d)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7$.

Câu 33.Cho hai biến cố $A, B$ độc lập với $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\bar A) = 1 - P(A) = 0,5$.

b)$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0,1$.

c)$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0,7$.

d)Hai biến cố xung khắc thì luôn độc lập.

12. Xếp ngẫu nhiên $m$ nam và $f$ nữ ngồi một dãy ghếĐúng / Sai`row_arrangement_adjacency_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Xếp ngẫu nhiên $4$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ ngồi vào một dãy ghế (mỗi ghế một bạn). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau bằng $\dfrac{1}{4}$.

b)$P(\text{A, B cạnh nhau}) + P(\text{A, B không cạnh nhau}) = 1$.

c)Xác suất các bạn nam ngồi liên tiếp và các bạn nữ cũng ngồi liên tiếp bằng $\dfrac{1}{35}$.

d)Xác suất để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau bằng $\dfrac{1}{8}$.

Câu 35.Xếp ngẫu nhiên $4$ học sinh nam và $3$ học sinh nữ ngồi vào một dãy ghế (mỗi ghế một bạn). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau bằng $\dfrac{1}{7}$.

b)Xác suất hai bạn A và B ngồi cạnh nhau bằng tích $\dfrac{2}{7}\cdot\dfrac{2}{7}$.

c)$P(\text{A, B cạnh nhau}) + P(\text{A, B không cạnh nhau}) = 1$.

d)Xác suất để hai bạn A và B KHÔNG ngồi cạnh nhau bằng $\dfrac{5}{7}$.

Câu 36.Xếp ngẫu nhiên $5$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ ngồi vào một dãy ghế (mỗi ghế một bạn). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{A, B cạnh nhau}) + P(\text{A, B không cạnh nhau}) = 1$.

b)$n(\Omega) = 10!$.

c)Xác suất để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau bằng $\dfrac{1}{10}$.

d)Xác suất để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau bằng $\dfrac{1}{5}$.

13. Xếp ngẫu nhiên $m$ nam và $f$ nữ thành một hàng dọcĐúng / Sai`row_arrangement_boys_girls_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Xếp ngẫu nhiên $4$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ thành một hàng dọc. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất các bạn nam đứng liên tiếp nhau bằng $\dfrac{1}{14}$.

b)$n(\Omega) = 8!$.

c)$n(\Omega) = (8!)^2$.

d)$n(\Omega) = 4!\cdot 4! = 576$.

Câu 38.Xếp ngẫu nhiên $5$ học sinh nam và $5$ học sinh nữ thành một hàng dọc. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$n(\Omega) = 5!\cdot 5! = 14400$.

b)$n(\Omega) = 10!$.

c)Có thể xếp để nam và nữ đứng xen kẽ nhau (xác suất khác 0).

d)$n(\Omega) = (10!)^2$.

Câu 39.Xếp ngẫu nhiên $5$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ thành một hàng dọc. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$n(\Omega) = (9!)^2$.

b)Có thể xếp để nam và nữ đứng xen kẽ nhau (xác suất khác 0).

c)$n(\Omega) = 5!\cdot 4! = 2880$.

d)Xác suất nam và nữ đứng xen kẽ nhau bằng $\dfrac{1}{126}$.

14. Tính $P(A \cup B)$ với hai biến cố xung khắc (số thập phân)Trả lời ngắn`apply_addition_rule`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 40.Hai biến cố $A, B$ xung khắc, $P(A) = \dfrac{3}{5}$, $P(B) = \dfrac{1}{10}$. Tính $P(A \cup B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 41.Hai biến cố $A, B$ xung khắc, $P(A) = \dfrac{1}{5}$, $P(B) = \dfrac{3}{7}$. Tính $P(A \cup B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 42.Hai biến cố $A, B$ xung khắc, $P(A) = \dfrac{1}{10}$, $P(B) = \dfrac{3}{7}$. Tính $P(A \cup B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

15. Tính $P(A \cap B)$ với hai biến cố độc lập (số thập phân)Trả lời ngắn`apply_multiplication_rule`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 43.Hai biến cố $A, B$ độc lập, $P(A) = \dfrac{1}{10}$, $P(B) = \dfrac{2}{10}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 44.Hai biến cố $A, B$ độc lập, $P(A) = \dfrac{3}{5}$, $P(B) = \dfrac{4}{5}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 45.Hai biến cố $A, B$ độc lập, $P(A) = \dfrac{4}{7}$, $P(B) = \dfrac{1}{10}$. Tính $P(A \cap B)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

16. Đếm số cách tô dãy $k$ ô liên tiếp kề nhau khác màu (quy tắc nhân)Trả lời ngắn`color_path_regions_count_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Một dải gồm $5$ ô vuông xếp thành hàng ngang liên tiếp (ô số $1$ kề ô số $2$, ô số $2$ kề ô số $3$, …, ô số $4$ kề ô số $5$). Dùng $6$ màu để tô $5$ ô sao cho hai ô liền kề được tô khác màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô?

Câu 47.Một dải gồm $3$ ô vuông xếp thành hàng ngang liên tiếp (ô số $1$ kề ô số $2$, ô số $2$ kề ô số $3$, …, ô số $2$ kề ô số $3$). Dùng $6$ màu để tô $3$ ô sao cho hai ô liền kề được tô khác màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô?

Câu 48.Một dải gồm $3$ ô vuông xếp thành hàng ngang liên tiếp (ô số $1$ kề ô số $2$, ô số $2$ kề ô số $3$, …, ô số $2$ kề ô số $3$). Dùng $4$ màu để tô $3$ ô sao cho hai ô liền kề được tô khác màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô?

17. Đếm số cách tô 1 tâm + $t$ miền vòng tròn kề nhau khác màu (quy tắc nhân)Trả lời ngắn`color_regions_around_center_count_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Một hình tròn được chia thành $5$ phần: $1$ phần tâm $O$ ở giữa và $4$ phần $A_1, A_2, \dots, A_{4}$ xếp quanh vành. Tâm $O$ kề (chung biên) với cả $4$ phần ngoài; các phần ngoài kề nhau theo vòng ($A_1$ kề $A_2$, $A_2$ kề $A_3$, …, $A_{4}$ kề $A_1$). Dùng $6$ màu để tô tất cả $5$ phần sao cho hai phần kề nhau được tô khác màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô?

Câu 50.Một hình tròn được chia thành $4$ phần: $1$ phần tâm $O$ ở giữa và $3$ phần $A_1, A_2, \dots, A_{3}$ xếp quanh vành. Tâm $O$ kề (chung biên) với cả $3$ phần ngoài; các phần ngoài kề nhau theo vòng ($A_1$ kề $A_2$, $A_2$ kề $A_3$, …, $A_{3}$ kề $A_1$). Dùng $6$ màu để tô tất cả $4$ phần sao cho hai phần kề nhau được tô khác màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô?

Câu 51.Một hình tròn được chia thành $4$ phần: $1$ phần tâm $O$ ở giữa và $3$ phần $A_1, A_2, \dots, A_{3}$ xếp quanh vành. Tâm $O$ kề (chung biên) với cả $3$ phần ngoài; các phần ngoài kề nhau theo vòng ($A_1$ kề $A_2$, $A_2$ kề $A_3$, …, $A_{3}$ kề $A_1$). Dùng $5$ màu để tô tất cả $4$ phần sao cho hai phần kề nhau được tô khác màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô?

18. Tổng giá vé ÍT NHẤT để đi qua các cánh cửa, thăm HẾT mọi khu rồi về Trung tâmTrả lời ngắn`playground_min_door_tour_all_rooms_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Một khu vui chơi có sơ đồ như hình vẽ, gồm phòng Trung tâm và các khu khác ngăn cách nhau bởi tường. Giữa hai phòng kề nhau có một cánh cửa; giá vé mỗi lần đi qua một cánh cửa (theo bất kỳ chiều nào) được ghi trên hình (đơn vị: đồng). Một khách xuất phát từ phòng Trung tâm, phải đi qua các cánh cửa để tham quan tất cả các khu, rồi quay trở lại phòng Trung tâm để đi ra ngoài. Hỏi khách phải tốn ít nhất bao nhiêu nghìn đồng tiền mua vé?

Sơ đồ khu vui chơi: phòng Trung tâm ở giữa-trên, các khu A, B, C, D ngăn bởi tường; mỗi cửa giữa hai phòng có ghi giá vé.

Câu 53.Một khu vui chơi có sơ đồ như hình vẽ, gồm phòng Trung tâm và các khu khác ngăn cách nhau bởi tường. Giữa hai phòng kề nhau có một cánh cửa; giá vé mỗi lần đi qua một cánh cửa (theo bất kỳ chiều nào) được ghi trên hình (đơn vị: đồng). Một khách xuất phát từ phòng Trung tâm, phải đi qua các cánh cửa để tham quan tất cả các khu, rồi quay trở lại phòng Trung tâm để đi ra ngoài. Hỏi khách phải tốn ít nhất bao nhiêu nghìn đồng tiền mua vé?

Sơ đồ khu vui chơi: phòng Trung tâm ở giữa-trên, các khu A, B, C, D ngăn bởi tường; mỗi cửa giữa hai phòng có ghi giá vé.

Câu 54.Một khu vui chơi có sơ đồ như hình vẽ, gồm phòng Trung tâm và các khu khác ngăn cách nhau bởi tường. Giữa hai phòng kề nhau có một cánh cửa; giá vé mỗi lần đi qua một cánh cửa (theo bất kỳ chiều nào) được ghi trên hình (đơn vị: đồng). Một khách xuất phát từ phòng Trung tâm, phải đi qua các cánh cửa để tham quan tất cả các khu, rồi quay trở lại phòng Trung tâm để đi ra ngoài. Hỏi khách phải tốn ít nhất bao nhiêu nghìn đồng tiền mua vé?

Sơ đồ khu vui chơi: phòng Trung tâm ở giữa-trên, các khu A, B, C, D ngăn bởi tường; mỗi cửa giữa hai phòng có ghi giá vé.

19. Độ dài hành trình ngắn nhất đi qua mọi cạnh rồi về (bài toán người đưa thư)Trả lời ngắn`route_inspection_min_length_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Một xe quét đường bắt đầu từ $A$ phải quét sạch mọi con phố (cạnh) của khu phố trên sơ đồ rồi quay lại $A$. Sơ đồ gồm các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ và các con đường có độ dài (đơn vị: km): $AB = 3$, $BC = 4$, $CD = 2$, $DA = 5$, $AC = 6$. Tính độ dài ngắn nhất của hành trình.

Câu 56.Một người đưa thư xuất phát từ điểm $A$ phải đi qua mỗi con đường (cạnh) của sơ đồ ít nhất một lần rồi quay về $A$. Sơ đồ gồm các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ và các con đường có độ dài (đơn vị: km): $AB = 2$, $BC = 3$, $AC = 4$, $CD = 5$. Tính độ dài ngắn nhất của hành trình.

Câu 57.Một người đưa thư xuất phát từ điểm $A$ phải đi qua mỗi con đường (cạnh) của sơ đồ ít nhất một lần rồi quay về $A$. Sơ đồ gồm các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ và các con đường có độ dài (đơn vị: km): $AB = 2$, $BC = 2$, $CD = 2$, $DE = 2$, $EA = 2$, $AC = 9$. Tính độ dài ngắn nhất của hành trình.

20. Tổng độ dài các con đường phải đi lặp lại (= đường nối 2 đỉnh bậc lẻ)Trả lời ngắn`route_inspection_repeated_edges_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Một xe quét đường bắt đầu từ $A$ phải quét sạch mọi con phố (cạnh) của khu phố trên sơ đồ rồi quay lại $A$. Sơ đồ gồm các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ và các con đường có độ dài (đơn vị: km): $AB = 2$, $BC = 2$, $CD = 2$, $DE = 2$, $EA = 2$, $AC = 9$. Trong hành trình ngắn nhất, tổng độ dài những con đường phải đi lặp lại (đi quá một lần) là bao nhiêu km?

Câu 59.Một nhân viên kiểm tra đường dây xuất phát từ $A$ cần đi dọc hết mọi đoạn dây (cạnh) của sơ đồ rồi trở về $A$. Sơ đồ gồm các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ và các con đường có độ dài (đơn vị: km): $AB = 3$, $BC = 4$, $CD = 2$, $DA = 5$, $AC = 6$. Trong hành trình ngắn nhất, tổng độ dài những con đường phải đi lặp lại (đi quá một lần) là bao nhiêu km?

Câu 60.Một xe quét đường bắt đầu từ $A$ phải quét sạch mọi con phố (cạnh) của khu phố trên sơ đồ rồi quay lại $A$. Sơ đồ gồm các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ và các con đường có độ dài (đơn vị: km): $AB = 4$, $BC = 3$, $CD = 5$, $DA = 6$, $AE = 2$, $BE = 3$. Trong hành trình ngắn nhất, tổng độ dài những con đường phải đi lặp lại (đi quá một lần) là bao nhiêu km?

Công thức

§1. Công thức(2)

§2. Phương pháp(2)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Hai biến cố xung khắc, tính $P(A \cup B)$Trắc nghiệmaddition_rule_disjoint(3 câu)

2. $P(\text{cả hai cùng thành công}) = p_1 p_2$ (quy tắc nhân)Trắc nghiệmall_independent_success_product(3 câu)

3. $P(\text{ít nhất một thành công}) = 1 - (1-p_1)(1-p_2)$Trắc nghiệmat_least_one_success_complement(3 câu)

4. $P(\text{đúng một thành công}) = p_1(1-p_2) + (1-p_1)p_2$Trắc nghiệmexactly_one_success_independent(3 câu)

5. Đảo chiều: cho $|A|,|B|$ và số bạn thuộc ít nhất một nhóm → hỏi $P(A\cap B)$Trắc nghiệminclusion_exclusion_find_intersection(3 câu)

6. Hỏi $P(\text{không thuộc nhóm nào}) = 1 - (a+b-c)/N$ (biến cố đối)Trắc nghiệminclusion_exclusion_neither_group(3 câu)

7. Forward: cho $|A|,|B|,|A\cap B|,N$ → hỏi $P(A\cup B)$ (ít nhất một nhóm)Trắc nghiệminclusion_exclusion_union_groups(3 câu)

8. Hai biến cố độc lập, tính $P(A \cap B) = P(A) P(B)$Trắc nghiệmmultiplication_rule_independent(3 câu)

9. VD cao: chuyển 1 viên Hộp 1→2 rồi rút 1 viên từ Hộp 2Trắc nghiệmprob_transfer_one_ball_between_boxes(3 câu)

10. Cho 2 biến cố xung khắc $A, B$ với $P(A), P(B)$ cụ thểĐúng / Saiadd_mul_rules_examples(3 câu)

11. Cho 2 biến cố độc lập $A, B$ với $P(A), P(B)$ cụ thểĐúng / Saiadd_mul_rules_facts(3 câu)

12. Xếp ngẫu nhiên $m$ nam và $f$ nữ ngồi một dãy ghếĐúng / Sairow_arrangement_adjacency_tf(3 câu)

13. Xếp ngẫu nhiên $m$ nam và $f$ nữ thành một hàng dọcĐúng / Sairow_arrangement_boys_girls_tf(3 câu)

14. Tính $P(A \cup B)$ với hai biến cố xung khắc (số thập phân)Trả lời ngắnapply_addition_rule(3 câu)

15. Tính $P(A \cap B)$ với hai biến cố độc lập (số thập phân)Trả lời ngắnapply_multiplication_rule(3 câu)

16. Đếm số cách tô dãy $k$ ô liên tiếp kề nhau khác màu (quy tắc nhân)Trả lời ngắncolor_path_regions_count_sa(3 câu)

17. Đếm số cách tô 1 tâm + $t$ miền vòng tròn kề nhau khác màu (quy tắc nhân)Trả lời ngắncolor_regions_around_center_count_sa(3 câu)

18. Tổng giá vé ÍT NHẤT để đi qua các cánh cửa, thăm HẾT mọi khu rồi về Trung tâmTrả lời ngắnplayground_min_door_tour_all_rooms_sa(3 câu)

19. Độ dài hành trình ngắn nhất đi qua mọi cạnh rồi về (bài toán người đưa thư)Trả lời ngắnroute_inspection_min_length_sa(3 câu)

20. Tổng độ dài các con đường phải đi lặp lại (= đường nối 2 đỉnh bậc lẻ)Trả lời ngắnroute_inspection_repeated_edges_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Hai biến cố xung khắc, tính $P(A \cup B)$Trắc nghiệm`addition_rule_disjoint`(3 câu)

2. $P(\text{cả hai cùng thành công}) = p_1 p_2$ (quy tắc nhân)Trắc nghiệm`all_independent_success_product`(3 câu)

3. $P(\text{ít nhất một thành công}) = 1 - (1-p_1)(1-p_2)$Trắc nghiệm`at_least_one_success_complement`(3 câu)

4. $P(\text{đúng một thành công}) = p_1(1-p_2) + (1-p_1)p_2$Trắc nghiệm`exactly_one_success_independent`(3 câu)

5. Đảo chiều: cho $|A|,|B|$ và số bạn thuộc ít nhất một nhóm → hỏi $P(A\cap B)$Trắc nghiệm`inclusion_exclusion_find_intersection`(3 câu)

6. Hỏi $P(\text{không thuộc nhóm nào}) = 1 - (a+b-c)/N$ (biến cố đối)Trắc nghiệm`inclusion_exclusion_neither_group`(3 câu)

7. Forward: cho $|A|,|B|,|A\cap B|,N$ → hỏi $P(A\cup B)$ (ít nhất một nhóm)Trắc nghiệm`inclusion_exclusion_union_groups`(3 câu)

8. Hai biến cố độc lập, tính $P(A \cap B) = P(A) P(B)$Trắc nghiệm`multiplication_rule_independent`(3 câu)

9. VD cao: chuyển 1 viên Hộp 1→2 rồi rút 1 viên từ Hộp 2Trắc nghiệm`prob_transfer_one_ball_between_boxes`(3 câu)

10. Cho 2 biến cố xung khắc $A, B$ với $P(A), P(B)$ cụ thểĐúng / Sai`add_mul_rules_examples`(3 câu)

11. Cho 2 biến cố độc lập $A, B$ với $P(A), P(B)$ cụ thểĐúng / Sai`add_mul_rules_facts`(3 câu)

12. Xếp ngẫu nhiên $m$ nam và $f$ nữ ngồi một dãy ghếĐúng / Sai`row_arrangement_adjacency_tf`(3 câu)

13. Xếp ngẫu nhiên $m$ nam và $f$ nữ thành một hàng dọcĐúng / Sai`row_arrangement_boys_girls_tf`(3 câu)

14. Tính $P(A \cup B)$ với hai biến cố xung khắc (số thập phân)Trả lời ngắn`apply_addition_rule`(3 câu)

15. Tính $P(A \cap B)$ với hai biến cố độc lập (số thập phân)Trả lời ngắn`apply_multiplication_rule`(3 câu)

16. Đếm số cách tô dãy $k$ ô liên tiếp kề nhau khác màu (quy tắc nhân)Trả lời ngắn`color_path_regions_count_sa`(3 câu)

17. Đếm số cách tô 1 tâm + $t$ miền vòng tròn kề nhau khác màu (quy tắc nhân)Trả lời ngắn`color_regions_around_center_count_sa`(3 câu)

18. Tổng giá vé ÍT NHẤT để đi qua các cánh cửa, thăm HẾT mọi khu rồi về Trung tâmTrả lời ngắn`playground_min_door_tour_all_rooms_sa`(3 câu)

19. Độ dài hành trình ngắn nhất đi qua mọi cạnh rồi về (bài toán người đưa thư)Trả lời ngắn`route_inspection_min_length_sa`(3 câu)

20. Tổng độ dài các con đường phải đi lặp lại (= đường nối 2 đỉnh bậc lẻ)Trả lời ngắn`route_inspection_repeated_edges_sa`(3 câu)