Xác suất thực nghiệm

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Khi không thể tính trực tiếp (xác suất cổ điển), ta dùng xác suất thực nghiệm: $$P_N(A) = \dfrac{\text{số lần } A \text{ xảy ra trong } N \text{ lần thử}}{N}.$$ Còn gọi là tần suất của $A$ trong $N$ lần thử.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Luật số lớn — quan hệ với xác suất lý thuyết

Khi $N$ đủ lớn: $$P_N(A) \approx P(A) \quad \text{(xác suất lý thuyết)}.$$ Càng lặp nhiều lần → tần suất càng gần xác suất thực sự. → Dùng xác suất thực nghiệm để ước lượng xác suất khi không tính được trực tiếp.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: khi nào dùng xác suất thực nghiệm

Dùng xác suất thực nghiệm khi:

Không biết các kết quả có đồng khả năng không (vd đồng xu không cân đối).
Phép thử phức tạp, khó liệt kê kết quả.
Bài thực tế: tỉ lệ sản phẩm lỗi, tỉ lệ học sinh giỏi,...

Vd: gieo 1 đồng xu 1000 lần, mặt ngửa 480 lần → $P_N(\text{ngửa}) = 0.48 \approx 0.5$ ($P$ lý thuyết).

Bài tập

1. Xác suất thực nghiệm nhiều bước: từ bảng tần số tính tần số tương đối rồi dự đoánTrắc nghiệm`empirical_multistep_from_table`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Một bạn gieo một con xúc xắc nhiều lần và ghi lại số chấm xuất hiện. Kết quả thu được ghi ở bảng tần số sau — mặt 1: $12$ lần; mặt 2: $8$ lần; mặt 3: $10$ lần; mặt 4: $6$ lần; mặt 5: $9$ lần; mặt 6: $5$ lần. Dựa vào kết quả này, hãy dự đoán: nếu thực hiện thêm $250$ lần nữa thì biến cố "xuất hiện mặt có số chấm chẵn" xảy ra khoảng bao nhiêu lần?

A.100

B.155

C.19

D.95

Câu 2.Một bạn rút một tấm thẻ ghi chữ rồi trả lại hộp, lặp lại nhiều lần. Kết quả thu được ghi ở bảng tần số sau — chữ A: $35$ lần; chữ B: $25$ lần; chữ C: $20$ lần; chữ D: $20$ lần. Dựa vào kết quả này, hãy dự đoán: nếu thực hiện thêm $500$ lần nữa thì biến cố "rút được thẻ ghi chữ A hoặc chữ B" xảy ra khoảng bao nhiêu lần?

A.300

B.200

C.305

D.60

Câu 3.Một bạn quay một bánh xe màu nhiều lần và ghi lại màu kim chỉ vào. Kết quả thu được ghi ở bảng tần số sau — đỏ: $20$ lần; xanh: $15$ lần; vàng: $10$ lần; tím: $5$ lần. Dựa vào kết quả này, hãy dự đoán: nếu thực hiện thêm $200$ lần nữa thì biến cố "kim chỉ vào ô đỏ hoặc ô vàng" xảy ra khoảng bao nhiêu lần?

A.80

B.120

C.30

D.124

2. VD cao: hiệu xác suất thực nghiệm vs lý thuyếtTrắc nghiệm`empirical_prob_diff_from_theoretical`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Thực hiện một phép thử $50$ lần, biến cố $A$ xuất hiện $12$ lần. Biết xác suất lý thuyết là $p = \dfrac{1}{4}.$ Tính sai số tuyệt đối giữa xác suất thực nghiệm và lý thuyết.

A.$\dfrac{1}{100}$

B.$\dfrac{49}{100}$

C.$\dfrac{1}{4}$

D.$\dfrac{6}{25}$

Câu 5.Thực hiện một phép thử $100$ lần, biến cố $A$ xuất hiện $35$ lần. Biết xác suất lý thuyết là $p = \dfrac{1}{3}.$ Tính sai số tuyệt đối giữa xác suất thực nghiệm và lý thuyết.

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{41}{60}$

C.$\dfrac{1}{60}$

D.$\dfrac{7}{20}$

Câu 6.Thực hiện một phép thử $100$ lần, biến cố $A$ xuất hiện $48$ lần. Biết xác suất lý thuyết là $p = \dfrac{1}{2}.$ Tính sai số tuyệt đối giữa xác suất thực nghiệm và lý thuyết.

A.$\dfrac{49}{50}$

B.$\dfrac{1}{50}$

C.$\dfrac{1}{2}$

D.$\dfrac{12}{25}$

3. Tính xác suất thực nghiệm từ số lần thực hiện và số lần biến cố xảy raTrắc nghiệm`empirical_probability_from_trials`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Trong $10$ lần tung đồng xu, mặt sấp xuất hiện $5$ lần. Xác suất thực nghiệm để mặt sấp xuất hiện là:

A.$P = 2$

B.$P = 1$

C.$P = \dfrac{1}{2}$

D.$P = 5$

Câu 8.Trong $20$ lần tung đồng xu, mặt sấp xuất hiện $17$ lần. Xác suất thực nghiệm để mặt sấp xuất hiện là:

A.$P = \dfrac{17}{20}$

B.$P = \dfrac{17}{3}$

C.$P = 17$

D.$P = \dfrac{20}{17}$

Câu 9.Trong $50$ lần tung đồng xu, mặt sấp xuất hiện $24$ lần. Xác suất thực nghiệm để mặt sấp xuất hiện là:

A.$P = \dfrac{12}{13}$

B.$P = \dfrac{25}{12}$

C.$P = \dfrac{12}{25}$

D.$P = 24$

4. Cho xác suất thực nghiệm $P_{tn}$ và số lần thử $N$, ước lượng số lần biến cố xảy raTrắc nghiệm`estimate_count_from_empirical`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Một thí nghiệm có xác suất thực nghiệm $P_{tn} = \dfrac{2}{10}$ để biến cố $A$ xảy ra. Trong $500$ lần thực hiện, ước lượng số lần biến cố $A$ xảy ra.

A.400

B.99

C.100

D.101

Câu 11.Một thí nghiệm có xác suất thực nghiệm $P_{tn} = \dfrac{3}{4}$ để biến cố $A$ xảy ra. Trong $100$ lần thực hiện, ước lượng số lần biến cố $A$ xảy ra.

A.76

B.74

C.25

D.75

Câu 12.Một thí nghiệm có xác suất thực nghiệm $P_{tn} = \dfrac{2}{5}$ để biến cố $A$ xảy ra. Trong $200$ lần thực hiện, ước lượng số lần biến cố $A$ xảy ra.

A.120

B.80

C.81

D.79

5. Một bạn tung đồng xu $N$ lần, có $k$ lần xuất hiện mặt ngửa — kiểm tra xác suất thực nghiệmĐúng / Sai`empirical_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Một bạn tung đồng xu cân đối $500$ lần và ghi lại được $253$ lần xuất hiện mặt ngửa. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng số phép thử là $500$.

b)Tần số xuất hiện mặt ngửa là $253$.

c)Xác suất thực nghiệm có thể lớn hơn $1$ nếu biến cố xuất hiện nhiều.

d)Xác suất thực nghiệm luôn bằng xác suất lý thuyết ($0,5$).

Câu 14.Một bạn tung đồng xu cân đối $200$ lần và ghi lại được $100$ lần xuất hiện mặt ngửa. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tần số xuất hiện mặt sấp là $100$.

b)Xác suất thực nghiệm có thể lớn hơn $1$ nếu biến cố xuất hiện nhiều.

c)Khi số lần tung tăng lên rất lớn, xác suất thực nghiệm có xu hướng tiến gần $0,5$.

d)Xác suất thực nghiệm luôn bằng xác suất lý thuyết ($0,5$).

Câu 15.Một bạn tung đồng xu cân đối $100$ lần và ghi lại được $50$ lần xuất hiện mặt ngửa. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng số phép thử là $100$.

b)Xác suất thực nghiệm xuất hiện mặt ngửa bằng $0.6$.

c)Xác suất thực nghiệm luôn bằng xác suất lý thuyết ($0,5$).

d)Tần số xuất hiện mặt ngửa là $50$.

6. Vòng quay 6 ô đánh số 1-6, gieo $N$ lần thu được tần số $f_i$ — tính xác suất thực nghiệm cho từng biến cố cụ thểĐúng / Sai`empirical_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Quay một vòng quay có 6 ô đánh số $1$ đến $6$ tổng cộng $62$ lần. Kết quả ghi lại: số $1$ xuất hiện $1$ lần, số $2$ xuất hiện $14$ lần, số $3$ xuất hiện $11$ lần, số $4$ xuất hiện $13$ lần, số $5$ xuất hiện $10$ lần, số $6$ xuất hiện $13$ lần. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất thực nghiệm xuất hiện số $1$ bằng $0.016$.

b)Xác suất thực nghiệm phải bằng đúng $\dfrac{1}{6}$ với mọi mặt.

c)Xác suất thực nghiệm xuất hiện số chẵn bằng $0.645$.

d)Tổng số phép thử là $62$.

Câu 17.Quay một vòng quay có 6 ô đánh số $1$ đến $6$ tổng cộng $65$ lần. Kết quả ghi lại: số $1$ xuất hiện $1$ lần, số $2$ xuất hiện $14$ lần, số $3$ xuất hiện $11$ lần, số $4$ xuất hiện $13$ lần, số $5$ xuất hiện $13$ lần, số $6$ xuất hiện $13$ lần. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất thực nghiệm luôn nằm trong $[0; 1]$.

b)Xác suất thực nghiệm xuất hiện số $1$ bằng $0.015$.

c)Xác suất thực nghiệm phải bằng đúng $\dfrac{1}{6}$ với mọi mặt.

d)Khi $N$ lớn, xác suất thực nghiệm xấp xỉ xác suất lý thuyết $\dfrac{1}{6}$ cho mỗi mặt.

Câu 18.Quay một vòng quay có 6 ô đánh số $1$ đến $6$ tổng cộng $60$ lần. Kết quả ghi lại: số $1$ xuất hiện $15$ lần, số $2$ xuất hiện $8$ lần, số $3$ xuất hiện $8$ lần, số $4$ xuất hiện $10$ lần, số $5$ xuất hiện $10$ lần, số $6$ xuất hiện $9$ lần. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Xác suất thực nghiệm luôn nằm trong $[0; 1]$.

b)Xác suất thực nghiệm xuất hiện số chẵn bằng $0.45$.

c)Xác suất thực nghiệm = tần số chia tổng số phép thử.

d)Xác suất thực nghiệm phải bằng đúng $\dfrac{1}{6}$ với mọi mặt.

7. Xác suất thực nghiệm $k/N$ (số thập phân)Trả lời ngắn`empirical_freq`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Trong $200$ phép thử, biến cố $A$ xảy ra $136$ lần. Tính xác suất thực nghiệm. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 20.Trong $50$ phép thử, biến cố $A$ xảy ra $33$ lần. Tính xác suất thực nghiệm. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 21.Trong $100$ phép thử, biến cố $A$ xảy ra $95$ lần. Tính xác suất thực nghiệm. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

8. Số lần kì vọng $\approx M \cdot p$Trả lời ngắn`estimate_count_from_freq`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.$P(A) = \dfrac{9}{10}$. Trong $200$ phép thử, kì vọng $A$ xảy ra bao nhiêu lần?

Câu 23.$P(A) = \dfrac{4}{10}$. Trong $500$ phép thử, kì vọng $A$ xảy ra bao nhiêu lần?

Câu 24.$P(A) = \dfrac{9}{10}$. Trong $50$ phép thử, kì vọng $A$ xảy ra bao nhiêu lần?

Xác suất thực nghiệm

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Xác suất thực nghiệm nhiều bước: từ bảng tần số tính tần số tương đối rồi dự đoánTrắc nghiệmempirical_multistep_from_table(3 câu)

2. VD cao: hiệu xác suất thực nghiệm vs lý thuyếtTrắc nghiệmempirical_prob_diff_from_theoretical(3 câu)

3. Tính xác suất thực nghiệm từ số lần thực hiện và số lần biến cố xảy raTrắc nghiệmempirical_probability_from_trials(3 câu)

4. Cho xác suất thực nghiệm $P_{tn}$ và số lần thử $N$, ước lượng số lần biến cố xảy raTrắc nghiệmestimate_count_from_empirical(3 câu)

5. Một bạn tung đồng xu $N$ lần, có $k$ lần xuất hiện mặt ngửa — kiểm tra xác suất thực nghiệmĐúng / Saiempirical_facts(3 câu)

6. Vòng quay 6 ô đánh số 1-6, gieo $N$ lần thu được tần số $f_i$ — tính xác suất thực nghiệm cho từng biến cố cụ thểĐúng / Saiempirical_facts2(3 câu)

7. Xác suất thực nghiệm $k/N$ (số thập phân)Trả lời ngắnempirical_freq(3 câu)

8. Số lần kì vọng $\approx M \cdot p$Trả lời ngắnestimate_count_from_freq(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Xác suất thực nghiệm nhiều bước: từ bảng tần số tính tần số tương đối rồi dự đoánTrắc nghiệm`empirical_multistep_from_table`(3 câu)

2. VD cao: hiệu xác suất thực nghiệm vs lý thuyếtTrắc nghiệm`empirical_prob_diff_from_theoretical`(3 câu)

3. Tính xác suất thực nghiệm từ số lần thực hiện và số lần biến cố xảy raTrắc nghiệm`empirical_probability_from_trials`(3 câu)

4. Cho xác suất thực nghiệm $P_{tn}$ và số lần thử $N$, ước lượng số lần biến cố xảy raTrắc nghiệm`estimate_count_from_empirical`(3 câu)

5. Một bạn tung đồng xu $N$ lần, có $k$ lần xuất hiện mặt ngửa — kiểm tra xác suất thực nghiệmĐúng / Sai`empirical_facts`(3 câu)

6. Vòng quay 6 ô đánh số 1-6, gieo $N$ lần thu được tần số $f_i$ — tính xác suất thực nghiệm cho từng biến cố cụ thểĐúng / Sai`empirical_facts2`(3 câu)

7. Xác suất thực nghiệm $k/N$ (số thập phân)Trả lời ngắn`empirical_freq`(3 câu)

8. Số lần kì vọng $\approx M \cdot p$Trả lời ngắn`estimate_count_from_freq`(3 câu)