Cung tròn, hình quạt tròn, hình vành khuyên

Công thức

§1. Công thức(3)

1.1

Độ dài cung tròn

Cung tròn bán kính $R$, số đo $n°$ (hoặc $\alpha$ radian): $$\ell = \dfrac{\pi R n}{180} \quad (\text{khi } n \text{ tính bằng độ}).$$ $$\ell = R \alpha \quad (\text{khi } \alpha \text{ tính bằng radian}).$$ Chu vi cả đường tròn: $C = 2\pi R$ (khi $n = 360°$ hoặc $\alpha = 2\pi$).

1.2

Diện tích hình quạt tròn

Hình quạt bán kính $R$, số đo $n°$: $$S_{\text{quạt}} = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{R \ell}{2}.$$ (Với $\ell$ = độ dài cung tương ứng.) Diện tích cả đường tròn: $S = \pi R^2$.

1.3

Diện tích viên phân

Viên phân = phần giới hạn bởi 1 cung và dây căng cung đó. $$S_{\text{viên phân}} = S_{\text{quạt}} - S_{\text{tam giác}},$$ với $S_{\text{tam giác}} = \dfrac{1}{2} R^2 \sin n°$ (tam giác có 2 cạnh = $R$, góc kẹp $n°$).

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: dùng tỉ lệ với chu vi / diện tích

Cung $n°$ chiếm $\dfrac{n}{360}$ của cả đường tròn:

$\ell = \dfrac{n}{360} \cdot 2\pi R$.
$S_{\text{quạt}} = \dfrac{n}{360} \cdot \pi R^2$.

→ Tỉ lệ phần trăm cung × giá trị toàn đường tròn = giá trị cần tìm. Đơn giản hơn nhớ công thức.

Bài tập

1. Diện tích hình vành khuyên $S = \pi (R^2 - r^2)$Trắc nghiệm`annulus_area`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính ngoài $R = 6$ và bán kính trong $r = 2$.

A.$S = 32 \pi$

B.$S = 36 \pi$

C.$S = 4 \pi$

D.$S = 8 \pi$

Câu 2.Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính ngoài $R = 8$ và bán kính trong $r = 1$.

A.$S = 64 \pi$

B.$S = 9 \pi$

C.$S = 63 \pi$

D.$S = \pi$

Câu 3.Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính ngoài $R = 10$ và bán kính trong $r = 2$.

A.$S = 4 \pi$

B.$S = 12 \pi$

C.$S = 96 \pi$

D.$S = 100 \pi$

2. Độ dài cung tròn $\ell = \dfrac{\pi R n}{180}$ với $n$ là số đo độTrắc nghiệm`arc_length`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Độ dài cung tròn có bán kính $R = 6$ và số đo cung $n = 60^\circ$ là?

A.$\ell = \pi$

B.$\ell = 4 \pi$

C.$\ell = 2 \pi$

D.$\ell = 6 \pi$

Câu 5.Độ dài cung tròn có bán kính $R = 12$ và số đo cung $n = 60^\circ$ là?

A.$\ell = 2 \pi$

B.$\ell = 12 \pi$

C.$\ell = 8 \pi$

D.$\ell = 4 \pi$

Câu 6.Độ dài cung tròn có bán kính $R = 6$ và số đo cung $n = 60^\circ$ là?

A.$\ell = \pi$

B.$\ell = 2 \pi$

C.$\ell = 4 \pi$

D.$\ell = 6 \pi$

3. Tổng diện tích phần hình tròn nằm NGOÀI đa giác đều nội tiếp (qua đối xứng)Trắc nghiệm`circle_outside_inscribed_polygon_segments_total`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho hình vuông $ABC\ldots$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ với $R = 4$. Tính TỔNG diện tích các phần của hình tròn nằm bên ngoài hình vuông đó (phần gạch chéo gồm các hình viên phân ứng với các cạnh).

A.$S = 32 - 16 \pi$

B.$S = 16 \pi - 32$

C.$S = 16 \pi + 32$

D.$S = 32$

Câu 8.Cho tam giác đều $ABC\ldots$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ với $R = 3$. Tính TỔNG diện tích các phần của hình tròn nằm bên ngoài tam giác đều đó (phần gạch chéo gồm các hình viên phân ứng với các cạnh).

A.$S = 9 \pi + \dfrac{27 \sqrt{3}}{4}$

B.$S = 9 \pi - \dfrac{27 \sqrt{3}}{4}$

C.$S = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4} - 9 \pi$

D.$S = \dfrac{27 \sqrt{3}}{4}$

Câu 9.Cho lục giác đều $ABC\ldots$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ với $R = 3$. Tính TỔNG diện tích các phần của hình tròn nằm bên ngoài lục giác đều đó (phần gạch chéo gồm các hình viên phân ứng với các cạnh).

A.$S = 9 \pi - \dfrac{27 \sqrt{3}}{2}$

B.$S = 9 \pi + \dfrac{27 \sqrt{3}}{2}$

C.$S = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2} - 9 \pi$

D.$S = \dfrac{27 \sqrt{3}}{2}$

4. Diện tích hình quạt tròn $S = \dfrac{\pi R^2 n}{360}$Trắc nghiệm`circular_sector_area`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Diện tích hình quạt tròn có bán kính $R = 6$ và góc ở tâm $n = 60^\circ$ là?

A.$S = 36 \pi$

B.$S = 12 \pi$

C.$S = 6 \pi$

D.$S = 3 \pi$

Câu 11.Diện tích hình quạt tròn có bán kính $R = 10$ và góc ở tâm $n = 36^\circ$ là?

A.$S = 20 \pi$

B.$S = 100 \pi$

C.$S = 5 \pi$

D.$S = 10 \pi$

Câu 12.Diện tích hình quạt tròn có bán kính $R = 6$ và góc ở tâm $n = 120^\circ$ là?

A.$S = 6 \pi$

B.$S = 36 \pi$

C.$S = 24 \pi$

D.$S = 12 \pi$

5. Diện tích hình viên phân $=$ diện tích hình quạt $-$ diện tích tam giácTrắc nghiệm`circular_segment_area`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 12$. Hai bán kính $OA$, $OB$ tạo góc ở tâm $\widehat{AOB} = 90^\circ$. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ $AB$ và dây $AB$.

A.$S = 36 \pi$

B.$S = 72$

C.$S = 36 \pi + 72$

D.$S = 36 \pi - 72$

Câu 14.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 4$. Hai bán kính $OA$, $OB$ tạo góc ở tâm $\widehat{AOB} = 60^\circ$. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ $AB$ và dây $AB$.

A.$S = \dfrac{8 \pi}{3} + 4 \sqrt{3}$

B.$S = \dfrac{8 \pi}{3}$

C.$S = 4 \sqrt{3}$

D.$S = \dfrac{8 \pi}{3} - 4 \sqrt{3}$

Câu 15.Cho đường tròn $(O; R)$ với $R = 8$. Hai bán kính $OA$, $OB$ tạo góc ở tâm $\widehat{AOB} = 120^\circ$. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ $AB$ và dây $AB$.

A.$S = \dfrac{64 \pi}{3}$

B.$S = \dfrac{64 \pi}{3} - 16 \sqrt{3}$

C.$S = 16 \sqrt{3}$

D.$S = \dfrac{64 \pi}{3} + 16 \sqrt{3}$

6. Cho hình vành khuyên $(O; R)$ và $(O; r)$ đồng tâmĐúng / Sai`arc_sector_area_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hai đường tròn đồng tâm $(O; R = 10)$ và $(O; r = 3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích vành khuyên có thể âm.

b)Diện tích đường tròn nhỏ $\pi r^2 = 9\pi$.

c)Diện tích đường tròn lớn $\pi R^2 = 100\pi$.

d)Diện tích vành khuyên = diện tích đường tròn lớn $-$ diện tích đường tròn nhỏ.

Câu 17.Cho hai đường tròn đồng tâm $(O; R = 10)$ và $(O; r = 4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hình quạt $180^\circ$ là nửa hình tròn.

b)Diện tích vành khuyên = diện tích đường tròn lớn $-$ diện tích đường tròn nhỏ.

c)Cung nửa đường tròn bán kính $R$ có độ dài $\pi R^2$.

d)Diện tích vành khuyên có thể âm.

Câu 18.Cho hai đường tròn đồng tâm $(O; R = 5)$ và $(O; r = 4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cung nửa đường tròn bán kính $R$ có độ dài $\pi R^2$.

b)Diện tích vành khuyên là $\pi(R^2 - r^2) = 9\pi$.

c)Diện tích đường tròn nhỏ $\pi r^2 = 16\pi$.

d)Hình quạt $180^\circ$ là nửa hình tròn.

7. Cho $(O; R)$ và cung $n^\circ$ cụ thể — tính cung và quạtĐúng / Sai`arc_sector_area_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho đường tròn $(O; R = 10)$ và cung $AB$ có số đo $60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích cả đường tròn là $\pi R^2 = 100\pi$.

b)Cung nửa đường tròn ($n = 180^\circ$) có độ dài $\pi R = 10\pi$.

c)Độ dài cung không phụ thuộc bán kính.

d)Độ dài cung $\ell = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{10}{3}\pi$.

Câu 20.Cho đường tròn $(O; R = 4)$ và cung $AB$ có số đo $180^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích cả đường tròn là $\pi R^2 = 16\pi$.

b)Cung $n = 360^\circ$ cho chu vi cả đường tròn $= 2\pi R = 8\pi$.

c)Độ dài cung không phụ thuộc bán kính.

d)Diện tích hình quạt $S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = 8\pi$.

Câu 21.Cho đường tròn $(O; R = 12)$ và cung $AB$ có số đo $60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Cung nửa đường tròn ($n = 180^\circ$) có độ dài $\pi R = 12\pi$.

b)Cung $n = 360^\circ$ cho chu vi cả đường tròn $= 2\pi R = 24\pi$.

c)Độ dài cung $\ell = \dfrac{\pi R n}{180} = 4\pi$.

d)Độ dài cung không phụ thuộc bán kính.

8. Diện tích vành khuyên $\pi(R^2 - r^2)$ — đáp án $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắn`annulus_area_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi $R = 8$ và $r = 5$ (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 23.Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi $R = 9$ và $r = 6$ (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 24.Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi $R = 5$ và $r = 3$ (dạng $k\pi$, ghi $k$).

9. Độ dài cung — đáp án $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắn`arc_length_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Tính độ dài cung tròn bán kính $R = 6$, góc ở tâm $n = 60^\circ$ (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 26.Tính độ dài cung tròn bán kính $R = 10$, góc ở tâm $n = 36^\circ$ (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 27.Tính độ dài cung tròn bán kính $R = 9$, góc ở tâm $n = 40^\circ$ (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Công thức

§1. Công thức(3)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Diện tích hình vành khuyên $S = \pi (R^2 - r^2)$Trắc nghiệmannulus_area(3 câu)

2. Độ dài cung tròn $\ell = \dfrac{\pi R n}{180}$ với $n$ là số đo độTrắc nghiệmarc_length(3 câu)

3. Tổng diện tích phần hình tròn nằm NGOÀI đa giác đều nội tiếp (qua đối xứng)Trắc nghiệmcircle_outside_inscribed_polygon_segments_total(3 câu)

4. Diện tích hình quạt tròn $S = \dfrac{\pi R^2 n}{360}$Trắc nghiệmcircular_sector_area(3 câu)

5. Diện tích hình viên phân $=$ diện tích hình quạt $-$ diện tích tam giácTrắc nghiệmcircular_segment_area(3 câu)

6. Cho hình vành khuyên $(O; R)$ và $(O; r)$ đồng tâmĐúng / Saiarc_sector_area_examples(3 câu)

7. Cho $(O; R)$ và cung $n^\circ$ cụ thể — tính cung và quạtĐúng / Saiarc_sector_area_facts(3 câu)

8. Diện tích vành khuyên $\pi(R^2 - r^2)$ — đáp án $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắnannulus_area_value(3 câu)

9. Độ dài cung — đáp án $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắnarc_length_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Diện tích hình vành khuyên $S = \pi (R^2 - r^2)$Trắc nghiệm`annulus_area`(3 câu)

2. Độ dài cung tròn $\ell = \dfrac{\pi R n}{180}$ với $n$ là số đo độTrắc nghiệm`arc_length`(3 câu)

3. Tổng diện tích phần hình tròn nằm NGOÀI đa giác đều nội tiếp (qua đối xứng)Trắc nghiệm`circle_outside_inscribed_polygon_segments_total`(3 câu)

4. Diện tích hình quạt tròn $S = \dfrac{\pi R^2 n}{360}$Trắc nghiệm`circular_sector_area`(3 câu)

5. Diện tích hình viên phân $=$ diện tích hình quạt $-$ diện tích tam giácTrắc nghiệm`circular_segment_area`(3 câu)

6. Cho hình vành khuyên $(O; R)$ và $(O; r)$ đồng tâmĐúng / Sai`arc_sector_area_examples`(3 câu)

7. Cho $(O; R)$ và cung $n^\circ$ cụ thể — tính cung và quạtĐúng / Sai`arc_sector_area_facts`(3 câu)

8. Diện tích vành khuyên $\pi(R^2 - r^2)$ — đáp án $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắn`annulus_area_value`(3 câu)

9. Độ dài cung — đáp án $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắn`arc_length_value`(3 câu)