Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp đa giác đều

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Đường tròn nội/ngoại tiếp đa giác đều

Mọi đa giác đều có đường tròn ngoại tiếp + đường tròn nội tiếp, và 2 đường tròn này đồng tâm $O$:

$R$ = bán kính ngoại tiếp = khoảng cách $O$ đến đỉnh.
$r$ = bán kính nội tiếp = khoảng cách $O$ đến trung điểm cạnh (apothem).
Cạnh $a$, $r$, $R$: $r^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = R^2$.

§2. Công thức(3)

2.1

Bán kính nội tiếp (apothem)

$$r = R \cos(\pi/n) = \dfrac{a}{2 \tan(\pi/n)}.$$ Vd: lục giác đều cạnh $a$: $r = a \cos 30° = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

2.2

Diện tích đa giác đều

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot r = \dfrac{n \cdot a \cdot r}{2},$$ với $p = n a$ = chu vi. Hoặc: $S = \dfrac{1}{2} n R^2 \sin(2\pi/n)$ (theo $R$). Vd: lục giác đều cạnh $a$: $S = 6 \cdot \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$.

2.3

Bán kính ngoại tiếp theo cạnh

Đa giác đều $n$ cạnh, cạnh $a$: $$R = \dfrac{a}{2 \sin(\pi/n)}.$$ Tương đương: $a = 2 R \sin(\pi/n)$. Vd: tam giác đều ($n=3$): $R = \dfrac{a}{2 \sin 60°} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Hình vuông ($n=4$): $R = \dfrac{a}{2 \sin 45°} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$. Lục giác đều ($n=6$): $R = \dfrac{a}{2 \sin 30°} = a$.

Bài tập

1. Tam giác đều cạnh $a$ — bán kính nội tiếp $r = a\sqrt{3}/6$, ngoại tiếp $R = a\sqrt{3}/3$Trắc nghiệm`equilateral_inscribed_radius`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tam giác đều có cạnh $3$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = \dfrac{3}{2}$

B.$R = \sqrt{3}$

C.$R = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

D.$R = 3$

Câu 2.Tam giác đều có cạnh $9$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = 3 \sqrt{3}$

B.$R = \dfrac{9}{2}$

C.$R = 9$

D.$R = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2}$

Câu 3.Tam giác đều có cạnh $12$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = 12$

B.$R = 6$

C.$R = 4 \sqrt{3}$

D.$R = 2 \sqrt{3}$

2. Lục giác đều cạnh $a$ — bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = a$Trắc nghiệm`hexagon_circumscribed_circle_radius`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Lục giác đều có cạnh $3$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = 3$

B.$R = \dfrac{3}{2}$

C.$R = 3 \sqrt{3}$

D.$R = 6$

Câu 5.Lục giác đều có cạnh $6$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = 6 \sqrt{3}$

B.$R = 3$

C.$R = 6$

D.$R = 12$

Câu 6.Lục giác đều có cạnh $5$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = 5 \sqrt{3}$

B.$R = 10$

C.$R = 5$

D.$R = \dfrac{5}{2}$

3. So sánh diện tích vành khăn nội–ngoại tiếp của 3 đa giác đều cùng cạnhTrắc nghiệm`regular_polygon_annulus_invariant`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho ba đa giác đều CÙNG cạnh $a = 2$: một tam giác đều, một hình vuông và một lục giác đều. Với mỗi đa giác, gọi "vành khăn" là phần nằm giữa đường tròn NGOẠI tiếp và đường tròn NỘI tiếp của nó (diện tích $= \pi(R^2 - r^2)$, với $R$ là bán kính ngoại tiếp, $r$ là bán kính nội tiếp). So sánh diện tích ba vành khăn đó.

A.Lục giác đều có vành khăn LỚN NHẤT (vì $R$ lớn nhất), diện tích $\pi$.

B.Ba vành khăn BẰNG NHAU, cùng bằng $\pi$ (đơn vị diện tích).

C.Ba vành khăn bằng nhau và cùng bằng $4 \pi$.

D.Tam giác đều có vành khăn LỚN NHẤT (vì $R$ và $r$ chênh nhau nhiều nhất).

Câu 8.Cho ba đa giác đều CÙNG cạnh $a = 2$: một tam giác đều, một hình vuông và một lục giác đều. Với mỗi đa giác, gọi "vành khăn" là phần nằm giữa đường tròn NGOẠI tiếp và đường tròn NỘI tiếp của nó (diện tích $= \pi(R^2 - r^2)$, với $R$ là bán kính ngoại tiếp, $r$ là bán kính nội tiếp). So sánh diện tích ba vành khăn đó.

A.Lục giác đều có vành khăn LỚN NHẤT (vì $R$ lớn nhất), diện tích $\pi$.

B.Tam giác đều có vành khăn LỚN NHẤT (vì $R$ và $r$ chênh nhau nhiều nhất).

C.Ba vành khăn BẰNG NHAU, cùng bằng $\pi$ (đơn vị diện tích).

D.Ba vành khăn bằng nhau và cùng bằng $4 \pi$.

Câu 9.Cho ba đa giác đều CÙNG cạnh $a = 8$: một tam giác đều, một hình vuông và một lục giác đều. Với mỗi đa giác, gọi "vành khăn" là phần nằm giữa đường tròn NGOẠI tiếp và đường tròn NỘI tiếp của nó (diện tích $= \pi(R^2 - r^2)$, với $R$ là bán kính ngoại tiếp, $r$ là bán kính nội tiếp). So sánh diện tích ba vành khăn đó.

A.Ba vành khăn bằng nhau và cùng bằng $64 \pi$.

B.Ba vành khăn BẰNG NHAU, cùng bằng $16 \pi$ (đơn vị diện tích).

C.Lục giác đều có vành khăn LỚN NHẤT (vì $R$ lớn nhất), diện tích $16 \pi$.

D.Tam giác đều có vành khăn LỚN NHẤT (vì $R$ và $r$ chênh nhau nhiều nhất).

4. Đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$ — tìm cạnh rồi tính diện tíchTrắc nghiệm`regular_polygon_inscribed_area_from_radius`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Một hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính $R = 3$. Tính diện tích của hình vuông đó.

A.$S = 18$

B.$S = 12$

C.$S = 36$

D.$S = 9$

Câu 11.Một tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R = 4$. Tính diện tích của tam giác đều đó.

A.$S = 4 \sqrt{3}$

B.$S = 6 \sqrt{3}$

C.$S = 12 \sqrt{3}$

D.$S = 24 \sqrt{3}$

Câu 12.Một hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính $R = 2$. Tính diện tích của hình vuông đó.

A.$S = 8$

B.$S = 4$

C.$S = 16$

D.$S = 8 \sqrt{2}$

5. Hình vuông cạnh $a$ — đường chéo nội tiếp tâm cách đỉnh $a\sqrt{2}/2$Trắc nghiệm`square_inscribed_diagonal`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Hình vuông cạnh $6$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = 3 \sqrt{2}$

B.$R = 3$

C.$R = 12$

D.$R = 6$

Câu 14.Hình vuông cạnh $6$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = 3 \sqrt{2}$

B.$R = 3$

C.$R = 6$

D.$R = 12$

Câu 15.Hình vuông cạnh $4$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

A.$R = 8$

B.$R = 2$

C.$R = 2 \sqrt{2}$

D.$R = 4$

6. Cho lục giác đều cạnh $a$ — kiểm tra $R, r$Đúng / Sai`regular_polygon_inscribed_circle_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho lục giác đều cạnh $a = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều cạnh $3$ là $R = 3$.

b)Đường tròn nội tiếp đi qua các đỉnh của lục giác đều.

c)Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của lục giác đều trùng nhau.

d)Mọi đa giác đều có thể nội tiếp trong một đường tròn duy nhất.

Câu 17.Cho lục giác đều cạnh $a = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bán kính đường tròn nội tiếp lục giác đều cạnh $3$ là $r = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

b)Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của lục giác đều trùng nhau.

c)Lục giác đều có 6 đỉnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp.

d)Đường tròn nội tiếp đi qua các đỉnh của lục giác đều.

Câu 18.Cho lục giác đều cạnh $a = 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường tròn nội tiếp đi qua các đỉnh của lục giác đều.

b)Bán kính nội tiếp luôn nhỏ hơn bán kính ngoại tiếp.

c)Mọi đa giác đều có thể nội tiếp trong một đường tròn duy nhất.

d)Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều cạnh $6$ là $R = 6$.

7. Lục giác đều cạnh $a$, $R$ ngoại tiếp = $a$Trả lời ngắn`hexagon_outer_radius_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều cạnh $5$ là?

Câu 20.Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều cạnh $2$ là?

Câu 21.Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều cạnh $4$ là?

8. Hình vuông cạnh $a$, bán kính nội tiếp $= a/2$Trả lời ngắn`square_inner_radius_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh $6$ là?

Câu 23.Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh $4$ là?

Câu 24.Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh $8$ là?

Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp đa giác đều

Công thức

§1. Tính chất(1)

§2. Công thức(3)

Bài tập

1. Tam giác đều cạnh $a$ — bán kính nội tiếp $r = a\sqrt{3}/6$, ngoại tiếp $R = a\sqrt{3}/3$Trắc nghiệmequilateral_inscribed_radius(3 câu)

2. Lục giác đều cạnh $a$ — bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = a$Trắc nghiệmhexagon_circumscribed_circle_radius(3 câu)

3. So sánh diện tích vành khăn nội–ngoại tiếp của 3 đa giác đều cùng cạnhTrắc nghiệmregular_polygon_annulus_invariant(3 câu)

4. Đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$ — tìm cạnh rồi tính diện tíchTrắc nghiệmregular_polygon_inscribed_area_from_radius(3 câu)

5. Hình vuông cạnh $a$ — đường chéo nội tiếp tâm cách đỉnh $a\sqrt{2}/2$Trắc nghiệmsquare_inscribed_diagonal(3 câu)

6. Cho lục giác đều cạnh $a$ — kiểm tra $R, r$Đúng / Sairegular_polygon_inscribed_circle_facts(3 câu)

7. Lục giác đều cạnh $a$, $R$ ngoại tiếp = $a$Trả lời ngắnhexagon_outer_radius_value(3 câu)

8. Hình vuông cạnh $a$, bán kính nội tiếp $= a/2$Trả lời ngắnsquare_inner_radius_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tam giác đều cạnh $a$ — bán kính nội tiếp $r = a\sqrt{3}/6$, ngoại tiếp $R = a\sqrt{3}/3$Trắc nghiệm`equilateral_inscribed_radius`(3 câu)

2. Lục giác đều cạnh $a$ — bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = a$Trắc nghiệm`hexagon_circumscribed_circle_radius`(3 câu)

3. So sánh diện tích vành khăn nội–ngoại tiếp của 3 đa giác đều cùng cạnhTrắc nghiệm`regular_polygon_annulus_invariant`(3 câu)

4. Đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$ — tìm cạnh rồi tính diện tíchTrắc nghiệm`regular_polygon_inscribed_area_from_radius`(3 câu)

5. Hình vuông cạnh $a$ — đường chéo nội tiếp tâm cách đỉnh $a\sqrt{2}/2$Trắc nghiệm`square_inscribed_diagonal`(3 câu)

6. Cho lục giác đều cạnh $a$ — kiểm tra $R, r$Đúng / Sai`regular_polygon_inscribed_circle_facts`(3 câu)

7. Lục giác đều cạnh $a$, $R$ ngoại tiếp = $a$Trả lời ngắn`hexagon_outer_radius_value`(3 câu)

8. Hình vuông cạnh $a$, bán kính nội tiếp $= a/2$Trả lời ngắn`square_inner_radius_value`(3 câu)