Hình nón

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Hình nón sinh ra khi quay tam giác vuông quanh 1 cạnh góc vuông.

Đáy: hình tròn bán kính $R$.
Đỉnh $S$: đỉnh tam giác vuông.
Chiều cao $h$: khoảng cách từ $S$ đến đáy (= cạnh góc vuông kia).
Đường sinh $\ell$: đoạn nối $S$ với 1 điểm trên đường tròn đáy.
Quan hệ: $\ell^2 = h^2 + R^2$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Hình nón cụt

Hình nón cụt = phần hình nón giữa 2 mặt phẳng song song đáy. Có:

2 đáy: 2 hình tròn bán kính $R_1, R_2$.
Chiều cao $h$.
Đường sinh $\ell$ với $\ell^2 = h^2 + (R_1 - R_2)^2$.

Diện tích xung quanh: $S_{xq} = \pi (R_1 + R_2) \ell$. Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} \pi h (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$.

§3. Công thức(2)

3.1

Diện tích hình nón

$$S_{xq} = \pi R \ell.$$ $$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = \pi R \ell + \pi R^2 = \pi R (\ell + R).$$

3.2

Thể tích hình nón

$$V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h.$$ (Bằng $\dfrac{1}{3}$ thể tích hình trụ cùng đáy và chiều cao.)

Bài tập

1. Nhận biết công thức thể tích / diện tích xung quanh hình nónTrắc nghiệm`cone_formula_recall`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Hình nón có bán kính đáy $r$ và đường sinh $l$. Công thức tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón là?

A.$S_{xq} = 2\pi r l$

B.$S_{xq} = \pi r h$

C.$S_{xq} = \pi r l$

D.$S_{xq} = \pi r^2$

Câu 2.Hình nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$. Công thức tính thể tích $V$ của hình nón là?

A.$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

B.$V = \dfrac{1}{3}\pi r l$

C.$V = \pi r^2 h$

D.$V = \dfrac{1}{3}\pi r h$

Câu 3.Hình nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$. Công thức tính thể tích $V$ của hình nón là?

A.$V = \dfrac{1}{3}\pi r h$

B.$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$

C.$V = \dfrac{1}{3}\pi r l$

D.$V = \pi r^2 h$

2. Diện tích xung quanh hình nón $S_{xq} = \pi r \ell$Trắc nghiệm`cone_lateral_area`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Hình nón có bán kính đáy $r = 6$ và đường sinh $\ell = 10$. Tính diện tích xung quanh.

A.$S_{xq} = 60 \pi$

B.$S_{xq} = 6 \pi$

C.$S_{xq} = 36 \pi$

D.$S_{xq} = 120 \pi$

Câu 5.Hình nón có bán kính đáy $r = 5$ và đường sinh $\ell = 13$. Tính diện tích xung quanh.

A.$S_{xq} = 25 \pi$

B.$S_{xq} = 65 \pi$

C.$S_{xq} = 5 \pi$

D.$S_{xq} = 130 \pi$

Câu 6.Hình nón có bán kính đáy $r = 8$ và đường sinh $\ell = 10$. Tính diện tích xung quanh.

A.$S_{xq} = 160 \pi$

B.$S_{xq} = 8 \pi$

C.$S_{xq} = 80 \pi$

D.$S_{xq} = 64 \pi$

3. VDC: gò hình quạt thành mặt nón — từ (đường sinh, góc quạt) tính thể tíchTrắc nghiệm`cone_sector_unrolled_volume`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Khi cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được một hình quạt tròn có bán kính $l = 25$ cm và số đo cung (góc ở tâm) bằng $288^\circ$. Tính thể tích $V$ của hình nón đó.

A.$V = 10000\pi$

B.$V = 6000\pi$

C.$V = 2000\pi$

D.$V = 500\pi$

Câu 8.Khi cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được một hình quạt tròn có bán kính $l = 10$ cm và số đo cung (góc ở tâm) bằng $288^\circ$. Tính thể tích $V$ của hình nón đó.

A.$V = 128\pi$

B.$V = 640\pi$

C.$V = 80\pi$

D.$V = 384\pi$

Câu 9.Khi cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được một hình quạt tròn có bán kính $l = 10$ cm và số đo cung (góc ở tâm) bằng $288^\circ$. Tính thể tích $V$ của hình nón đó.

A.$V = 128\pi$

B.$V = 384\pi$

C.$V = 80\pi$

D.$V = 640\pi$

4. Quan sát hình nón có ghi nhãn $r$, $h$ — tính đường sinhTrắc nghiệm`cone_slant_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Quan sát hình nón trong hình vẽ với bán kính đáy và chiều cao được ghi. Tính độ dài đường sinh $l$.

Hình nón có bán kính r = 5, chiều cao h = 12

A.$l = 17$

B.$l = 7$

C.$l = 13$

D.$l = 60$

Câu 11.Quan sát hình nón trong hình vẽ với bán kính đáy và chiều cao được ghi. Tính độ dài đường sinh $l$.

Hình nón có bán kính r = 5, chiều cao h = 12

A.$l = 17$

B.$l = 13$

C.$l = 7$

D.$l = 60$

Câu 12.Quan sát hình nón trong hình vẽ với bán kính đáy và chiều cao được ghi. Tính độ dài đường sinh $l$.

Hình nón có bán kính r = 3, chiều cao h = 4

A.$l = 5$

B.$l = 1$

C.$l = 7$

D.$l = 12$

5. Cho $r, h$, tính đường sinh $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (dùng bộ Pythagore)Trắc nghiệm`cone_slant_height`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Hình nón có bán kính đáy $r = 9$ và chiều cao $h = 12$. Tính đường sinh $l$.

A.$l = 3$

B.$l = 21$

C.$l = 108$

D.$l = 15$

Câu 14.Hình nón có bán kính đáy $r = 9$ và chiều cao $h = 12$. Tính đường sinh $l$.

A.$l = 15$

B.$l = 108$

C.$l = 3$

D.$l = 21$

Câu 15.Hình nón có bán kính đáy $r = 6$ và chiều cao $h = 8$. Tính đường sinh $l$.

A.$l = 10$

B.$l = 48$

C.$l = 14$

D.$l = 2$

6. Tính thể tích hình nón $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$Trắc nghiệm`cone_volume`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Hình nón có bán kính đáy $r = 15$ và chiều cao $h = 18$. Tính thể tích $V$.

A.$V = 90\pi$

B.$V = 4050\pi$

C.$V = 450\pi$

D.$V = 1350\pi$

Câu 17.Hình nón có bán kính đáy $r = 6$ và chiều cao $h = 6$. Tính thể tích $V$.

A.$V = 216\pi$

B.$V = 12\pi$

C.$V = 72\pi$

D.$V = 72$

Câu 18.Hình nón có bán kính đáy $r = 15$ và chiều cao $h = 15$. Tính thể tích $V$.

A.$V = 3375\pi$

B.$V = 450\pi$

C.$V = 75\pi$

D.$V = 1125\pi$

7. Cho bán kính và đường sinh, tìm chiều cao rồi tính thể tích (nhiều bước)Trắc nghiệm`cone_volume_from_slant`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Một hình nón có bán kính đáy $r = 9$ và đường sinh $l = 15$. Tính thể tích $V$ của hình nón.

A.$V = 324\pi$

B.$V = 36\pi$

C.$V = 972\pi$

D.$V = 405\pi$

Câu 20.Một hình nón có bán kính đáy $r = 3$ và đường sinh $l = 5$. Tính thể tích $V$ của hình nón.

A.$V = 15\pi$

B.$V = 36\pi$

C.$V = 4\pi$

D.$V = 12\pi$

Câu 21.Một hình nón có bán kính đáy $r = 9$ và đường sinh $l = 15$. Tính thể tích $V$ của hình nón.

A.$V = 324\pi$

B.$V = 972\pi$

C.$V = 36\pi$

D.$V = 405\pi$

8. Hình nón cụ thể với bộ ba Pythagorean (R, h, l)Đúng / Sai`cone_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hình nón có bán kính đáy $R = 6$ và chiều cao $h = 8$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích toàn phần $S_{tp} = \pi R(l + R) = 96\pi$.

b)Đường sinh hình nón luôn lớn hơn chiều cao.

c)Hình nón có một đỉnh và một mặt đáy hình tròn.

d)Thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

Câu 23.Cho hình nón có bán kính đáy $R = 5$ và chiều cao $h = 12$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích xung quanh là $S_{xq} = \pi R l = 65\pi$.

b)Đường sinh $l$ thoả $l^2 = R^2 + h^2$, ở đây $l = 13$.

c)Đường sinh hình nón luôn lớn hơn chiều cao.

d)Thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

Câu 24.Cho hình nón có bán kính đáy $R = 3$ và chiều cao $h = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

b)Diện tích xung quanh là $S_{xq} = \pi R l = 15\pi$.

c)Thể tích là $V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{36\pi}{3}$.

d)Đường sinh hình nón luôn lớn hơn chiều cao.

9. Hình nón biết $R, l$ — tìm $h$ và $V$Đúng / Sai`cone_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho hình nón có bán kính đáy $R = 6$ và đường sinh $l = 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$l^2 = R^2 + h^2 = 36 + 64 = 100$.

b)$V = \pi R^2 h$.

c)Đường sinh $l = 10$ luôn lớn hơn chiều cao $h = 8$.

d)Diện tích đáy hình nón là $\pi R$.

Câu 26.Cho hình nón có bán kính đáy $R = 3$ và đường sinh $l = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích đáy hình nón là $\pi R$.

b)Đường sinh $l = 5$ luôn lớn hơn chiều cao $h = 4$.

c)$V = \pi R^2 h$.

d)$S_{xq} = \pi R l = 15\pi$.

Câu 27.Cho hình nón có bán kính đáy $R = 5$ và đường sinh $l = 13$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$l^2 = R^2 + h^2 = 25 + 144 = 169$.

b)Hình nón có 1 đỉnh, 1 đáy hình tròn.

c)$V = \pi R^2 h$.

d)Diện tích đáy hình nón là $\pi R$.

10. Cho R, h (hoặc l), tính $S_{xq}$ hoặc $V$ — đáp án là hệ số $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắn`cone_compute`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Hình nón có bán kính đáy $3$ cm, đường sinh $5$ cm. Tính diện tích xung quanh (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 29.Hình nón có bán kính đáy $9$ cm, chiều cao $12$ cm. Tính thể tích (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 30.Hình nón có bán kính đáy $6$ cm, đường sinh $10$ cm. Tính diện tích xung quanh (dạng $k\pi$, ghi $k$).

11. Diện tích toàn phần hình nónTrả lời ngắn`cone_total_area`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Hình nón có bán kính đáy $8$ cm, đường sinh $17$ cm. Tính diện tích toàn phần (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 32.Hình nón có bán kính đáy $5$ cm, đường sinh $13$ cm. Tính diện tích toàn phần (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Câu 33.Hình nón có bán kính đáy $9$ cm, đường sinh $15$ cm. Tính diện tích toàn phần (dạng $k\pi$, ghi $k$).

Hình nón — diện tích và thể tích

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(2)

Bài tập

1. Nhận biết công thức thể tích / diện tích xung quanh hình nónTrắc nghiệmcone_formula_recall(3 câu)

2. Diện tích xung quanh hình nón $S_{xq} = \pi r \ell$Trắc nghiệmcone_lateral_area(3 câu)

3. VDC: gò hình quạt thành mặt nón — từ (đường sinh, góc quạt) tính thể tíchTrắc nghiệmcone_sector_unrolled_volume(3 câu)

4. Quan sát hình nón có ghi nhãn $r$, $h$ — tính đường sinhTrắc nghiệmcone_slant_from_figure(3 câu)

5. Cho $r, h$, tính đường sinh $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (dùng bộ Pythagore)Trắc nghiệmcone_slant_height(3 câu)

6. Tính thể tích hình nón $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$Trắc nghiệmcone_volume(3 câu)

7. Cho bán kính và đường sinh, tìm chiều cao rồi tính thể tích (nhiều bước)Trắc nghiệmcone_volume_from_slant(3 câu)

8. Hình nón cụ thể với bộ ba Pythagorean (R, h, l)Đúng / Saicone_facts(3 câu)

9. Hình nón biết $R, l$ — tìm $h$ và $V$Đúng / Saicone_facts2(3 câu)

10. Cho R, h (hoặc l), tính $S_{xq}$ hoặc $V$ — đáp án là hệ số $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắncone_compute(3 câu)

11. Diện tích toàn phần hình nónTrả lời ngắncone_total_area(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Nhận biết công thức thể tích / diện tích xung quanh hình nónTrắc nghiệm`cone_formula_recall`(3 câu)

2. Diện tích xung quanh hình nón $S_{xq} = \pi r \ell$Trắc nghiệm`cone_lateral_area`(3 câu)

3. VDC: gò hình quạt thành mặt nón — từ (đường sinh, góc quạt) tính thể tíchTrắc nghiệm`cone_sector_unrolled_volume`(3 câu)

4. Quan sát hình nón có ghi nhãn $r$, $h$ — tính đường sinhTrắc nghiệm`cone_slant_from_figure`(3 câu)

5. Cho $r, h$, tính đường sinh $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ (dùng bộ Pythagore)Trắc nghiệm`cone_slant_height`(3 câu)

6. Tính thể tích hình nón $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$Trắc nghiệm`cone_volume`(3 câu)

7. Cho bán kính và đường sinh, tìm chiều cao rồi tính thể tích (nhiều bước)Trắc nghiệm`cone_volume_from_slant`(3 câu)

8. Hình nón cụ thể với bộ ba Pythagorean (R, h, l)Đúng / Sai`cone_facts`(3 câu)

9. Hình nón biết $R, l$ — tìm $h$ và $V$Đúng / Sai`cone_facts2`(3 câu)

10. Cho R, h (hoặc l), tính $S_{xq}$ hoặc $V$ — đáp án là hệ số $k$ trong $k\pi$Trả lời ngắn`cone_compute`(3 câu)

11. Diện tích toàn phần hình nónTrả lời ngắn`cone_total_area`(3 câu)