Mệnh đề chứa biến

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Mệnh đề chứa biến là câu khẳng định mà tính đúng-sai phụ thuộc vào giá trị của biến. Ký hiệu $P(x), Q(x), R(x; y), \dots$ với biến $x, y$ thuộc tập $X$. Vd: $P(n)$: '$n$ là số nguyên tố'. $P(2)$ đúng, $P(4)$ sai.

1.2

Tập đúng của mệnh đề chứa biến

Tập đúng của $P(x)$ trên $X$: $$\{x \in X \mid P(x) \text{ đúng}\}.$$ $\forall x \in X, P(x)$ đúng $\Leftrightarrow$ tập đúng = $X$. $\exists x \in X, P(x)$ đúng $\Leftrightarrow$ tập đúng $\neq \emptyset$.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Kiểm tra mệnh đề $\forall / \exists$

$\forall x, P(x)$ đúng: chứng minh đúng cho mọi $x$ trong $X$.

Cách phổ biến: biến đổi đại số → đúng với mọi $x$.

$\forall x, P(x)$ sai: tìm 1 phản ví dụ $x_0$ sao cho $P(x_0)$ sai. $\exists x, P(x)$ đúng: tìm 1 ví dụ $x_0$ sao cho $P(x_0)$ đúng. $\exists x, P(x)$ sai: chứng minh không tồn tại $x$ thoả → $\forall x, \overline{P(x)}$ đúng.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: phản ví dụ nhanh

Khi bài hỏi mệnh đề $\forall$ đúng/sai, luôn thử trước:

$x = 0, 1, -1, 2, -2, \dots$
$x = 1/2, x = 1/3, \dots$ (cho mệnh đề số thực)
$x = $ nghiệm của một phương trình liên quan.

Nếu 1 trong các giá trị làm $P(x)$ sai → mệnh đề sai.

Bài tập

1. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$, hỏi giá trị $x_0$ làm $P$ đúngTrắc nghiệm`check_proposition_with_var`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Mệnh đề chứa biến "$x^2 = -1$" đúng khi nào?

A.Đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$

B.Đúng với mọi $x \neq 0$

C.Đúng khi $x > -1$

D.Vô nghiệm trên $\mathbb{R}$

Câu 2.Mệnh đề chứa biến "$x^2 = -1$" đúng khi nào?

A.Đúng với mọi $x \neq 0$

B.Đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$

C.Vô nghiệm trên $\mathbb{R}$

D.Đúng khi $x > -1$

Câu 3.Mệnh đề chứa biến "$x^2 \geq 0$" đúng khi nào?

A.Vô nghiệm trên $\mathbb{R}$

B.Đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$

C.Đúng khi $x > -1$

D.Đúng với mọi $x \neq 0$

2. VD cao: đếm số nguyên $x$ thoả $x^2 + bx + c \leq 0.$Trắc nghiệm`count_integer_quadratic_inequality`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Có bao nhiêu số nguyên $x$ làm cho mệnh đề $P(x): x^2 - 7x + 10 \leq 0$ là đúng?

A.$4$

B.$3$

C.$8$

D.$5$

Câu 5.Có bao nhiêu số nguyên $x$ làm cho mệnh đề $P(x): x^2 - 3x - 10 \leq 0$ là đúng?

A.$8$

B.$7$

C.$16$

D.$9$

Câu 6.Có bao nhiêu số nguyên $x$ làm cho mệnh đề $P(x): x^2 - 11x + 28 \leq 0$ là đúng?

A.$3$

B.$8$

C.$5$

D.$4$

3. Tìm phủ định của mệnh đề chứa lượng từTrắc nghiệm`quantifier_negation`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Phủ định của mệnh đề "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$" là?

A.$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$

B.$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$

C.$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$

D.$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$

Câu 8.Phủ định của mệnh đề "$\forall n \in \mathbb{N}, n + 1 > n$" là?

A.$\exists n \in \mathbb{N}, n + 1 \leq n$

B.$\exists n \in \mathbb{N}, n + 1 > n$

C.$\forall n \in \mathbb{N}, n + 1 \leq n$

D.$\forall n \in \mathbb{N}, n + 1 > n$

Câu 9.Phủ định của mệnh đề "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0$" là?

A.$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0$

B.$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0$

C.$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 = 0$

D.$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0$

4. Vận dụng: xét chân trị $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + bx + c \geq 0$ + phản ví dụTrắc nghiệm`truth_of_quantified_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho mệnh đề $P$: $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 6x + 5 \geq 0$. Mệnh đề $P$ đúng hay sai? Nếu sai hãy chỉ ra một phản ví dụ.

A.Mệnh đề SAI, phản ví dụ $x = 3$.

B.Mệnh đề ĐÚNG vì $\Delta = 16 > 0$.

C.Mệnh đề SAI, phản ví dụ $x = -3$.

D.Mệnh đề ĐÚNG.

Câu 11.Cho mệnh đề $P$: $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 - 2x + 5 \geq 0$. Mệnh đề $P$ đúng hay sai? Nếu sai hãy chỉ ra một phản ví dụ.

A.Mệnh đề SAI vì $\Delta > 0$.

B.Mệnh đề ĐÚNG.

C.Mệnh đề SAI, phản ví dụ $x = 1$.

D.Mệnh đề SAI, phản ví dụ $x = 0$.

Câu 12.Cho mệnh đề $P$: $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 6x + 5 \geq 0$. Mệnh đề $P$ đúng hay sai? Nếu sai hãy chỉ ra một phản ví dụ.

A.Mệnh đề ĐÚNG.

B.Mệnh đề SAI, phản ví dụ $x = 3$.

C.Mệnh đề ĐÚNG vì $\Delta = 16 > 0$.

D.Mệnh đề SAI, phản ví dụ $x = -3$.

5. Cho mệnh đề chứa lượng từ cụ thể (trên $\mathbb{N}, \mathbb{R}$, ...)Đúng / Sai`prop_with_var_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Xét tính đúng/sai các mệnh đề chứa lượng từ sau (trên các tập số đã chỉ rõ):

a)Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq 0$ là đúng.

b)Mệnh đề $\forall x, y \in \mathbb{R}, x + y = y + x$ là đúng.

c)Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R}, |x| = x$ là đúng.

d)Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$ là đúng.

Câu 14.Xét tính đúng/sai các mệnh đề chứa lượng từ sau (trên các tập số đã chỉ rõ):

a)Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{N}, x \geq 0$ là đúng.

b)Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R}, |x| = x$ là đúng.

c)Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0$ là đúng.

d)Mệnh đề $\forall x, y \in \mathbb{R}, x + y = y + x$ là đúng.

Câu 15.Xét tính đúng/sai các mệnh đề chứa lượng từ sau (trên các tập số đã chỉ rõ):

a)Mệnh đề $\exists x \in \mathbb{N}^*, x < 1$ là đúng.

b)Mệnh đề $\exists x \in \mathbb{R}, x = -x$ là đúng.

c)Mệnh đề $\forall x, y \in \mathbb{R}, x + y = y + x$ là đúng.

d)Mệnh đề $\exists x \in \mathbb{Q}, x^2 = 2$ là đúng.

6. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$ cụ thể — xét tính đúng/sai khi gắn lượng từĐúng / Sai`prop_with_var_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho mệnh đề chứa biến $P(x): x^2 = -1$ với $x \in \mathbb{R}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phủ định của $\forall x, P(x)$ là $\exists x, \bar P(x)$.

b)$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = -1$ là mệnh đề sai.

c)Câu "$P(x): x^2 = -1$" là một mệnh đề.

d)Phủ định của $\exists x, P(x)$ là $\exists x, \bar P(x)$.

Câu 17.Cho mệnh đề chứa biến $P(x): x^2 = -1$ với $x \in \mathbb{R}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Câu "$P(x): x^2 = -1$" là một mệnh đề.

b)Phủ định của $\exists x, P(x)$ là $\exists x, \bar P(x)$.

c)$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 = -1$ và $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = -1$ luôn có cùng giá trị chân lí.

d)$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 = -1$ là mệnh đề sai.

Câu 18.Cho mệnh đề chứa biến $P(x): x + 1 > x$ với $x \in \mathbb{R}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Câu "$P(x): x + 1 > x$" là một mệnh đề.

b)$\forall x \in \mathbb{R}, x + 1 > x$ là mệnh đề đúng.

c)$\forall x \in \mathbb{R}, x + 1 > x$ và $\exists x \in \mathbb{R}, x + 1 > x$ luôn có cùng giá trị chân lí.

d)Phủ định của $\exists x, P(x)$ là $\exists x, \bar P(x)$.

7. Cho mệnh đề $P(x)$ và một giá trị $x_0$, kiểm tra $P(x_0)$ Đúng/SaiTrả lời ngắn`evaluate_predicate_at_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Cho mệnh đề chứa biến $P(x):$ "$x = -x$". Mệnh đề $P(1)$ là Đúng hay Sai?

Câu 20.Cho mệnh đề chứa biến $P(x):$ "$x = -x$". Mệnh đề $P(0)$ là Đúng hay Sai?

Câu 21.Cho mệnh đề chứa biến $P(x):$ "$x + 1 > 0$". Mệnh đề $P(-2)$ là Đúng hay Sai?

8. Đánh giá giá trị chân lý của mệnh đề có lượng từTrả lời ngắn`quantifier_truth_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Mệnh đề "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = -1$" là Đúng hay Sai?

Câu 23.Mệnh đề "$\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$" là Đúng hay Sai?

Câu 24.Mệnh đề "$\exists n \in \mathbb{N}, n^2 = n$" là Đúng hay Sai?

Mệnh đề chứa biến

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$, hỏi giá trị $x_0$ làm $P$ đúngTrắc nghiệmcheck_proposition_with_var(3 câu)

2. VD cao: đếm số nguyên $x$ thoả $x^2 + bx + c \leq 0.$Trắc nghiệmcount_integer_quadratic_inequality(3 câu)

3. Tìm phủ định của mệnh đề chứa lượng từTrắc nghiệmquantifier_negation(3 câu)

4. Vận dụng: xét chân trị $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + bx + c \geq 0$ + phản ví dụTrắc nghiệmtruth_of_quantified_quadratic(3 câu)

5. Cho mệnh đề chứa lượng từ cụ thể (trên $\mathbb{N}, \mathbb{R}$, ...)Đúng / Saiprop_with_var_examples(3 câu)

6. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$ cụ thể — xét tính đúng/sai khi gắn lượng từĐúng / Saiprop_with_var_facts(3 câu)

7. Cho mệnh đề $P(x)$ và một giá trị $x_0$, kiểm tra $P(x_0)$ Đúng/SaiTrả lời ngắnevaluate_predicate_at_value(3 câu)

8. Đánh giá giá trị chân lý của mệnh đề có lượng từTrả lời ngắnquantifier_truth_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$, hỏi giá trị $x_0$ làm $P$ đúngTrắc nghiệm`check_proposition_with_var`(3 câu)

2. VD cao: đếm số nguyên $x$ thoả $x^2 + bx + c \leq 0.$Trắc nghiệm`count_integer_quadratic_inequality`(3 câu)

3. Tìm phủ định của mệnh đề chứa lượng từTrắc nghiệm`quantifier_negation`(3 câu)

4. Vận dụng: xét chân trị $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + bx + c \geq 0$ + phản ví dụTrắc nghiệm`truth_of_quantified_quadratic`(3 câu)

5. Cho mệnh đề chứa lượng từ cụ thể (trên $\mathbb{N}, \mathbb{R}$, ...)Đúng / Sai`prop_with_var_examples`(3 câu)

6. Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$ cụ thể — xét tính đúng/sai khi gắn lượng từĐúng / Sai`prop_with_var_facts`(3 câu)

7. Cho mệnh đề $P(x)$ và một giá trị $x_0$, kiểm tra $P(x_0)$ Đúng/SaiTrả lời ngắn`evaluate_predicate_at_value`(3 câu)

8. Đánh giá giá trị chân lý của mệnh đề có lượng từTrả lời ngắn`quantifier_truth_value`(3 câu)