Tập hợp và các phép toán

Công thức

§1. Định nghĩa(4)

1.1

Tập hợp + phần tử

Tập hợp là khái niệm gốc, không định nghĩa. Một tập hợp $A$ gồm các phần tử $x$.

$x \in A$: $x$ thuộc $A$. $x \notin A$: $x$ không thuộc $A$.
$\emptyset$: tập rỗng — không có phần tử nào.
Có 2 cách cho tập hợp:

+ Liệt kê phần tử: $A = \{1; 2; 3\}$. + Mô tả tính chất: $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 1 \leq x \leq 3\}$.

1.2

Khoảng + đoạn + nửa khoảng

Cho $a < b$:

$[a; b] = \{x \mid a \leq x \leq b\}$: đoạn (đóng).
$(a; b) = \{x \mid a < x < b\}$: khoảng (mở).
$[a; b), (a; b]$: nửa khoảng.
$[a; +\infty), (-\infty; b]$: nửa đường thẳng đóng / mở.

1.3

Các tập số quen thuộc

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$:

$\mathbb{N} = \{0; 1; 2; \dots\}$: số tự nhiên. $\mathbb{N}^* = \mathbb{N} \setminus \{0\}$.
$\mathbb{Z}$: số nguyên.
$\mathbb{Q}$: số hữu tỉ (biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{p}{q}$).
$\mathbb{R}$: số thực.

1.4

Tập con + 2 tập bằng nhau

$A \subset B$ (A là tập con của B) $\Leftrightarrow \forall x \in A \Rightarrow x \in B$.
$A = B \Leftrightarrow A \subset B$ và $B \subset A$.
$\emptyset \subset A$ với mọi tập $A$.
Số tập con của tập có $n$ phần tử: $2^n$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất + định luật De Morgan

Giao hoán: $A \cup B = B \cup A$, $A \cap B = B \cap A$.
Phân phối: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
De Morgan: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$, $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$.

§3. Công thức(1)

3.1

Phép toán tập hợp

Hợp: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ hoặc } x \in B\}$.
Giao: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \in B\}$.
Hiệu: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ và } x \notin B\}$.
Phần bù (khi $A \subset E$): $C_E A = E \setminus A$.

§4. Phương pháp(1)

4.1

Phương pháp giao / hợp khoảng

Bước 1. Vẽ trục số, biểu diễn từng tập bằng đoạn/khoảng. Bước 2. Hợp: gộp các phần tô; Giao: phần chung tô. Bước 3. Đọc kết quả thành khoảng / hợp các khoảng. Vd: $[1; 5] \cap (3; 7) = (3; 5]$. Vd: $(-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$ = $\mathbb{R} \setminus (2; 4)$.

§5. Mẹo(1)

5.1

Mẹo: sơ đồ Venn cho bài đếm

Bài 'có bao nhiêu phần tử trong $A \cup B$': $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.$$ $$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|.$$

Bài tập

1. Quan sát sơ đồ Venn có vùng tô đậm, chọn phép toán tập hợp tương ứngTrắc nghiệm`identify_set_op_from_venn`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Quan sát sơ đồ Venn trong hình. Vùng tô đậm biểu diễn phép toán tập hợp nào sau đây?

Sơ đồ Venn vùng tô = intersection

A.$A \cap B$

B.$B \setminus A$

C.$A \cup B$

D.$A \setminus B$

Câu 2.Quan sát sơ đồ Venn trong hình. Vùng tô đậm biểu diễn phép toán tập hợp nào sau đây?

Sơ đồ Venn vùng tô = B_only

A.$A \cap B$

B.$A \setminus B$

C.$B \setminus A$

D.$A \cup B$

Câu 3.Quan sát sơ đồ Venn trong hình. Vùng tô đậm biểu diễn phép toán tập hợp nào sau đây?

Sơ đồ Venn vùng tô = B_only

A.$A \cup B$

B.$A \cap B$

C.$A \setminus B$

D.$B \setminus A$

2. VD cao: nguyên lý bao hàm-loại trừ 3 tập với bài toán thực tếTrắc nghiệm`inclusion_exclusion_three_sets`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Lớp 10A có $15$ học sinh thích bóng đá, $20$ thích bóng chuyền, $18$ thích cầu lông. Có $8$ học sinh thích cả bóng đá và bóng chuyền, $10$ thích cả bóng chuyền và cầu lông, $7$ thích cả cầu lông và bóng đá. Có $5$ học sinh thích cả ba môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong ba môn?

A.$58$

B.$53$

C.$28$

D.$33$

Câu 5.Lớp 10A có $18$ học sinh thích bóng đá, $22$ thích bóng chuyền, $16$ thích cầu lông. Có $7$ học sinh thích cả bóng đá và bóng chuyền, $9$ thích cả bóng chuyền và cầu lông, $6$ thích cả cầu lông và bóng đá. Có $3$ học sinh thích cả ba môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong ba môn?

A.$56$

B.$59$

C.$34$

D.$37$

Câu 6.Lớp 10A có $30$ học sinh thích bóng đá, $28$ thích bóng chuyền, $25$ thích cầu lông. Có $12$ học sinh thích cả bóng đá và bóng chuyền, $14$ thích cả bóng chuyền và cầu lông, $10$ thích cả cầu lông và bóng đá. Có $6$ học sinh thích cả ba môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong ba môn?

A.$83$

B.$89$

C.$53$

D.$47$

3. Số tập con của tập có $n$ phần tử là $2^n$Trắc nghiệm`number_of_subsets`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Tập hợp có $4$ phần tử có bao nhiêu tập con?

A.15

B.17

C.16

D.8

Câu 8.Tập hợp có $5$ phần tử có bao nhiêu tập con?

A.25

B.10

C.32

D.33

Câu 9.Tập hợp có $3$ phần tử có bao nhiêu tập con?

A.8

B.7

C.6

D.9

4. Tính giao/hợp của hai tập hợp số nguyên cho dưới dạng liệt kêTrắc nghiệm`union_intersection`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Cho $A = \{2, 5, 7\}, B = \{1, 9, 10\}$. Tìm $A \setminus B$.

A.$\{2, 5, 7\}$

B.$\emptyset$

C.$\{1, 2, 5, 7, 9, 10\}$

D.$\{1, 9, 10\}$

Câu 11.Cho $A = \{3, 4, 8, 10\}, B = \{2, 7, 10\}$. Tìm $A \cup B$.

A.$\{10\}$

B.$\{2, 7\}$

C.$\{2, 3, 4, 7, 8, 10\}$

D.$\{3, 4, 8\}$

Câu 12.Cho $A = \{1, 5, 6\}, B = \{2, 3, 5, 7\}$. Tìm $A \cap B$.

A.$\{5\}$

B.$\{1, 6\}$

C.$\{2, 3, 7\}$

D.$\{1, 2, 3, 5, 6, 7\}$

5. Cho 2 tập hợp số nguyên cụ thể — xét giao, hợp, hiệu, lực lượngĐúng / Sai`set_ops_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hai tập hợp $A = \{1; 3; 5; 7; 9\}$ và $B = \{2; 3; 5; 7\}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$A \cap B = \{3; 5; 7\}$.

b)$B \subseteq A$.

c)$|A| = 5$ và $|B| = 4$.

d)$A \cup B = \{1; 2; 3; 5; 7; 9\}$.

Câu 14.Cho hai tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4\}$ và $B = \{3; 4; 5; 6\}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$A \cap B = \emptyset$.

b)$A \setminus B = \{1; 2\}$.

c)$|A| = 4$ và $|B| = 4$.

d)$A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

Câu 15.Cho hai tập hợp $A = \{2; 4; 6; 8\}$ và $B = \{1; 3; 5; 7\}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$B \setminus A = \{1; 3; 5; 7\}$.

b)$A \cap B = \emptyset$.

c)$|A| = 4$ và $|B| = 4$.

d)$A \cap B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$.

6. Cho 2 tập cụ thể — kiểm tra phần tử và tính chấtĐúng / Sai`set_ops_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho $A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ và $B = \{2; 4; 6; 8; 10\}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|A \cup B| = |A| + |B|$.

b)$A \cap \emptyset = A$.

c)$A \cap A = A$.

d)$|A \cap B| = 3$.

Câu 17.Cho $A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ và $B = \{2; 4; 6; 8; 10\}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$A \cap A = A$.

b)$|A \cap B| = 3$.

c)$A \cap \emptyset = A$.

d)$|A \cup B| = |A| + |B|$.

Câu 18.Cho $A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ và $B = \{2; 4; 6; 8; 10\}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$A \cap A = A$.

b)$A \cap \emptyset = A$.

c)$8 \in A \cup B$.

d)$|A \cap B| = 3$.

7. TF "đúng/sai" cho sơ đồ Venn cụ thể với vùng tô đậmĐúng / Sai`set_ops_tf_from_venn`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Quan sát sơ đồ Venn trong hình với vùng tô đậm. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Venn vùng tô = B_only

a)Một phần tử $x$ thuộc vùng tô đậm khi và chỉ khi x \in B và x \notin A.

b)Vùng tô đậm chứa toàn bộ $A$.

c)Vùng tô đậm biểu diễn $A \setminus B$.

d)Vùng tô đậm là tập rỗng nếu $A \cap B = \emptyset$.

Câu 20.Quan sát sơ đồ Venn trong hình với vùng tô đậm. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Venn vùng tô = A_only

a)Một phần tử $x$ thuộc vùng tô đậm khi và chỉ khi x \in A và x \notin B.

b)Vùng tô đậm chứa toàn bộ $A$.

c)Vùng tô đậm biểu diễn $B \setminus A$.

d)Vùng tô đậm biểu diễn $A \setminus B$.

Câu 21.Quan sát sơ đồ Venn trong hình với vùng tô đậm. Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Venn vùng tô = A_only

a)Một phần tử $x$ thuộc vùng tô đậm khi và chỉ khi x \in A và x \notin B.

b)Vùng tô đậm biểu diễn $A \setminus B$.

c)Vùng tô đậm chứa toàn bộ $A$.

d)Vùng tô đậm là tập rỗng nếu $A \cap B = \emptyset$.

8. Cho 2 tập hợp số, tính số phần tử của giao hoặc hợpTrả lời ngắn`count_intersection`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho $A = \{1, 4, 7\}$ và $B = \{5, 8, 9\}$. Tính số phần tử của $A \cap B$.

Câu 23.Cho $A = \{1, 4, 5, 8\}$ và $B = \{2, 3, 5, 8, 9, 10\}$. Tính số phần tử của $A \cap B$.

Câu 24.Cho $A = \{2, 4, 5, 8\}$ và $B = \{3, 6, 7\}$. Tính số phần tử của $A \cap B$.

9. Hỏi có BAO NHIÊU hành trình khép kín khác nhau cùng đạt độ dài nhỏ nhất; chu trình xuôi và ngược coi là MỘT (đáp án = số hoán vị tối ưu // 2)Trả lời ngắn`count_min_round_trips`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Bạn An xuất phát từ thư viện $T$, cần đến thăm các trường $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=3, TB=9, TC=12, AB=3, AC=4, BC=4. Gọi $L$ là độ dài nhỏ nhất của hành trình khép kín. Hỏi có bao nhiêu hành trình khép kín KHÁC NHAU có độ dài bằng $L$? (Hai hành trình chỉ khác nhau về chiều đi được coi là MỘT.)

Câu 26.Bác tài taxi xuất phát từ bến xe $T$, cần đến thăm các khách sạn $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=10, TB=8, TC=5, AB=2, AC=5, BC=10. Gọi $L$ là độ dài nhỏ nhất của hành trình khép kín. Hỏi có bao nhiêu hành trình khép kín KHÁC NHAU có độ dài bằng $L$? (Hai hành trình chỉ khác nhau về chiều đi được coi là MỘT.)

Câu 27.Một nhân viên giao hàng xuất phát từ kho trung chuyển $T$, cần đến thăm các điểm giao $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=2, TB=7, TC=11, AB=7, AC=4, BC=9. Gọi $L$ là độ dài nhỏ nhất của hành trình khép kín. Hỏi có bao nhiêu hành trình khép kín KHÁC NHAU có độ dài bằng $L$? (Hai hành trình chỉ khác nhau về chiều đi được coi là MỘT.)

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 28.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=6, TB=7, TC=7, TD=7, AB=8, AC=5, AD=10, BC=5, BD=6, CD=3. Gọi $L$ là độ dài nhỏ nhất của hành trình khép kín. Hỏi có bao nhiêu hành trình khép kín KHÁC NHAU có độ dài bằng $L$? (Hai hành trình chỉ khác nhau về chiều đi được coi là MỘT.)

Câu 29.Bác tài taxi xuất phát từ bến xe $T$, cần đến thăm các khách sạn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=7, TB=4, TC=2, TD=6, AB=6, AC=6, AD=8, BC=12, BD=11, CD=7. Gọi $L$ là độ dài nhỏ nhất của hành trình khép kín. Hỏi có bao nhiêu hành trình khép kín KHÁC NHAU có độ dài bằng $L$? (Hai hành trình chỉ khác nhau về chiều đi được coi là MỘT.)

Câu 30.Bác tài taxi xuất phát từ bến xe $T$, cần đến thăm các khách sạn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=12, TB=10, TC=4, TD=7, AB=2, AC=3, AD=3, BC=12, BD=11, CD=6. Gọi $L$ là độ dài nhỏ nhất của hành trình khép kín. Hỏi có bao nhiêu hành trình khép kín KHÁC NHAU có độ dài bằng $L$? (Hai hành trình chỉ khác nhau về chiều đi được coi là MỘT.)

10. Cùng bài toán nhưng dữ liệu cho bằng BẢNG ma trận khoảng cách (markdown table), không vẽ hình; vẫn hỏi tổng quãng đường nhỏ nhấtTrả lời ngắn`min_round_trip_matrix`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Một nhân viên giao hàng xuất phát từ kho trung chuyển $T$, cần đến thăm các điểm giao $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Bảng khoảng cách (km) giữa các địa điểm: | | T | A | B | C | |---|---|---|---|---| | T | 0 | 11 | 12 | 5 | | A | 11 | 0 | 3 | 3 | | B | 12 | 3 | 0 | 8 | | C | 5 | 3 | 8 | 0 | Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Câu 32.Bác tài taxi xuất phát từ bến xe $T$, cần đến thăm các khách sạn $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Bảng khoảng cách (km) giữa các địa điểm: | | T | A | B | C | |---|---|---|---|---| | T | 0 | 11 | 4 | 11 | | A | 11 | 0 | 3 | 12 | | B | 4 | 3 | 0 | 7 | | C | 11 | 12 | 7 | 0 | Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Câu 33.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Bảng khoảng cách (km) giữa các địa điểm: | | T | A | B | C | D | |---|---|---|---|---|---| | T | 0 | 11 | 12 | 3 | 3 | | A | 11 | 0 | 12 | 10 | 10 | | B | 12 | 12 | 0 | 12 | 12 | | C | 3 | 10 | 12 | 0 | 9 | | D | 3 | 10 | 12 | 9 | 0 | Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 34.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Bảng khoảng cách (km) giữa các địa điểm: | | T | A | B | C | |---|---|---|---|---| | T | 0 | 8 | 3 | 5 | | A | 8 | 0 | 8 | 8 | | B | 3 | 8 | 0 | 8 | | C | 5 | 8 | 8 | 0 | Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Câu 35.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Bảng khoảng cách (km) giữa các địa điểm: | | T | A | B | C | D | |---|---|---|---|---|---| | T | 0 | 4 | 8 | 6 | 9 | | A | 4 | 0 | 12 | 11 | 3 | | B | 8 | 12 | 0 | 12 | 2 | | C | 6 | 11 | 12 | 0 | 8 | | D | 9 | 3 | 2 | 8 | 0 | Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Câu 36.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Bảng khoảng cách (km) giữa các địa điểm: | | T | A | B | C | |---|---|---|---|---| | T | 0 | 2 | 2 | 8 | | A | 2 | 0 | 11 | 7 | | B | 2 | 11 | 0 | 8 | | C | 8 | 7 | 8 | 0 | Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

11. Forward — cho đồ thị có trọng số (liệt kê cạnh), tính TỔNG quãng đường nhỏ nhất của hành trình khép kín xuất phát & quay về T, thăm mỗi đỉnh 1 lầnTrả lời ngắn`min_round_trip_total`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km) giữa các địa điểm: TA=9, TB=5, TC=7, TD=10, AB=2, AC=7, AD=7, BC=10, BD=8, CD=12. Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Câu 38.Một nhân viên giao hàng xuất phát từ kho trung chuyển $T$, cần đến thăm các điểm giao $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km) giữa các địa điểm: TA=12, TB=3, TC=9, AB=5, AC=5, BC=11. Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Câu 39.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km) giữa các địa điểm: TA=4, TB=12, TC=6, TD=6, AB=12, AC=7, AD=6, BC=8, BD=8, CD=9. Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Bạn An xuất phát từ thư viện $T$, cần đến thăm các trường $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km) giữa các địa điểm: TA=9, TB=11, TC=5, TD=9, AB=11, AC=8, AD=2, BC=6, BD=8, CD=9. Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Câu 41.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km) giữa các địa điểm: TA=11, TB=8, TC=11, AB=5, AC=9, BC=4. Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

Câu 42.Bạn An xuất phát từ thư viện $T$, cần đến thăm các trường $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km) giữa các địa điểm: TA=7, TB=5, TC=9, AB=3, AC=11, BC=2. Tính tổng quãng đường nhỏ nhất (km) của hành trình khép kín.

12. Cho tập có $n$ phần tử, tính số tập con: $2^n$Trả lời ngắn`number_of_subsets_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 43.Một tập hợp có $3$ phần tử. Tính số tập con của tập hợp đó.

Câu 44.Một tập hợp có $4$ phần tử. Tính số tập con của tập hợp đó.

Câu 45.Một tập hợp có $5$ phần tử. Tính số tập con của tập hợp đó.

13. Cho sẵn lộ trình 'ngây thơ' T->A->B->C->...->T; hỏi đi theo lộ trình tối ưu TIẾT KIỆM được bao nhiêu km (= naive_cost - min_cost)Trả lời ngắn`round_trip_savings`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Bạn An xuất phát từ thư viện $T$, cần đến thăm các trường $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=10, TB=2, TC=11, TD=7, AB=8, AC=11, AD=12, BC=10, BD=8, CD=5. Nếu đi theo lộ trình T $\to$ A $\to$ B $\to$ C $\to$ D $\to$ T thì tổng quãng đường là $40$ km. Hỏi nếu chọn hành trình khép kín NGẮN NHẤT thì tiết kiệm được bao nhiêu km so với lộ trình trên?

Câu 47.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=3, TB=7, TC=2, TD=6, AB=7, AC=4, AD=5, BC=4, BD=6, CD=5. Nếu đi theo lộ trình T $\to$ A $\to$ B $\to$ C $\to$ D $\to$ T thì tổng quãng đường là $25$ km. Hỏi nếu chọn hành trình khép kín NGẮN NHẤT thì tiết kiệm được bao nhiêu km so với lộ trình trên?

Câu 48.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=12, TB=3, TC=11, TD=4, AB=11, AC=2, AD=11, BC=6, BD=12, CD=8. Nếu đi theo lộ trình T $\to$ A $\to$ B $\to$ C $\to$ D $\to$ T thì tổng quãng đường là $41$ km. Hỏi nếu chọn hành trình khép kín NGẮN NHẤT thì tiết kiệm được bao nhiêu km so với lộ trình trên?

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 49.Bạn An xuất phát từ thư viện $T$, cần đến thăm các trường $A, B, C, D$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=9, TB=3, TC=7, TD=10, AB=3, AC=5, AD=3, BC=2, BD=11, CD=8. Nếu đi theo lộ trình T $\to$ A $\to$ B $\to$ C $\to$ D $\to$ T thì tổng quãng đường là $32$ km. Hỏi nếu chọn hành trình khép kín NGẮN NHẤT thì tiết kiệm được bao nhiêu km so với lộ trình trên?

Câu 50.Đội cứu trợ xuất phát từ trạm chỉ huy $T$, cần đến thăm các thôn $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=11, TB=8, TC=2, AB=4, AC=11, BC=11. Nếu đi theo lộ trình T $\to$ A $\to$ B $\to$ C $\to$ T thì tổng quãng đường là $28$ km. Hỏi nếu chọn hành trình khép kín NGẮN NHẤT thì tiết kiệm được bao nhiêu km so với lộ trình trên?

Câu 51.Một nhân viên giao hàng xuất phát từ kho trung chuyển $T$, cần đến thăm các điểm giao $A, B, C$ (mỗi nơi đúng một lần) rồi quay về $T$. Khoảng cách (km): TA=4, TB=2, TC=5, AB=10, AC=5, BC=7. Nếu đi theo lộ trình T $\to$ A $\to$ B $\to$ C $\to$ T thì tổng quãng đường là $26$ km. Hỏi nếu chọn hành trình khép kín NGẮN NHẤT thì tiết kiệm được bao nhiêu km so với lộ trình trên?

Công thức

§1. Định nghĩa(4)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Phương pháp(1)

§5. Mẹo(1)

Bài tập

1. Quan sát sơ đồ Venn có vùng tô đậm, chọn phép toán tập hợp tương ứngTrắc nghiệmidentify_set_op_from_venn(3 câu)

2. VD cao: nguyên lý bao hàm-loại trừ 3 tập với bài toán thực tếTrắc nghiệminclusion_exclusion_three_sets(3 câu)

3. Số tập con của tập có $n$ phần tử là $2^n$Trắc nghiệmnumber_of_subsets(3 câu)

4. Tính giao/hợp của hai tập hợp số nguyên cho dưới dạng liệt kêTrắc nghiệmunion_intersection(3 câu)

5. Cho 2 tập hợp số nguyên cụ thể — xét giao, hợp, hiệu, lực lượngĐúng / Saiset_ops_facts(3 câu)

6. Cho 2 tập cụ thể — kiểm tra phần tử và tính chấtĐúng / Saiset_ops_facts2(3 câu)

7. TF "đúng/sai" cho sơ đồ Venn cụ thể với vùng tô đậmĐúng / Saiset_ops_tf_from_venn(3 câu)

8. Cho 2 tập hợp số, tính số phần tử của giao hoặc hợpTrả lời ngắncount_intersection(3 câu)

9. Hỏi có BAO NHIÊU hành trình khép kín khác nhau cùng đạt độ dài nhỏ nhất; chu trình xuôi và ngược coi là MỘT (đáp án = số hoán vị tối ưu // 2)Trả lời ngắncount_min_round_trips(6 câu)

10. Cùng bài toán nhưng dữ liệu cho bằng BẢNG ma trận khoảng cách (markdown table), không vẽ hình; vẫn hỏi tổng quãng đường nhỏ nhấtTrả lời ngắnmin_round_trip_matrix(6 câu)

11. Forward — cho đồ thị có trọng số (liệt kê cạnh), tính TỔNG quãng đường nhỏ nhất của hành trình khép kín xuất phát & quay về T, thăm mỗi đỉnh 1 lầnTrả lời ngắnmin_round_trip_total(6 câu)

12. Cho tập có $n$ phần tử, tính số tập con: $2^n$Trả lời ngắnnumber_of_subsets_sa(3 câu)

13. Cho sẵn lộ trình 'ngây thơ' T->A->B->C->...->T; hỏi đi theo lộ trình tối ưu TIẾT KIỆM được bao nhiêu km (= naive_cost - min_cost)Trả lời ngắnround_trip_savings(6 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Quan sát sơ đồ Venn có vùng tô đậm, chọn phép toán tập hợp tương ứngTrắc nghiệm`identify_set_op_from_venn`(3 câu)

2. VD cao: nguyên lý bao hàm-loại trừ 3 tập với bài toán thực tếTrắc nghiệm`inclusion_exclusion_three_sets`(3 câu)

3. Số tập con của tập có $n$ phần tử là $2^n$Trắc nghiệm`number_of_subsets`(3 câu)

4. Tính giao/hợp của hai tập hợp số nguyên cho dưới dạng liệt kêTrắc nghiệm`union_intersection`(3 câu)

5. Cho 2 tập hợp số nguyên cụ thể — xét giao, hợp, hiệu, lực lượngĐúng / Sai`set_ops_facts`(3 câu)

6. Cho 2 tập cụ thể — kiểm tra phần tử và tính chấtĐúng / Sai`set_ops_facts2`(3 câu)

7. TF "đúng/sai" cho sơ đồ Venn cụ thể với vùng tô đậmĐúng / Sai`set_ops_tf_from_venn`(3 câu)

8. Cho 2 tập hợp số, tính số phần tử của giao hoặc hợpTrả lời ngắn`count_intersection`(3 câu)

9. Hỏi có BAO NHIÊU hành trình khép kín khác nhau cùng đạt độ dài nhỏ nhất; chu trình xuôi và ngược coi là MỘT (đáp án = số hoán vị tối ưu // 2)Trả lời ngắn`count_min_round_trips`(6 câu)

10. Cùng bài toán nhưng dữ liệu cho bằng BẢNG ma trận khoảng cách (markdown table), không vẽ hình; vẫn hỏi tổng quãng đường nhỏ nhấtTrả lời ngắn`min_round_trip_matrix`(6 câu)

11. Forward — cho đồ thị có trọng số (liệt kê cạnh), tính TỔNG quãng đường nhỏ nhất của hành trình khép kín xuất phát & quay về T, thăm mỗi đỉnh 1 lầnTrả lời ngắn`min_round_trip_total`(6 câu)

12. Cho tập có $n$ phần tử, tính số tập con: $2^n$Trả lời ngắn`number_of_subsets_sa`(3 câu)

13. Cho sẵn lộ trình 'ngây thơ' T->A->B->C->...->T; hỏi đi theo lộ trình tối ưu TIẾT KIỆM được bao nhiêu km (= naive_cost - min_cost)Trả lời ngắn`round_trip_savings`(6 câu)