Các phép toán số phức

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Tính chất phép toán + liên hợp

$\overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2}$.
$\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$.
$\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$.
$|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$.

§2. Công thức(3)

2.1

Phép cộng / trừ số phức

Cho $z_1 = a_1 + b_1 i$, $z_2 = a_2 + b_2 i$: $$z_1 \pm z_2 = (a_1 \pm a_2) + (b_1 \pm b_2) i.$$

2.2

Phép chia số phức

$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \dfrac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2}.$ Quy ước: $z_2 \neq 0$. Quy trình: nhân tử số và mẫu với liên hợp của mẫu để mẫu thành số thực.

2.3

Phép nhân số phức

$z_1 z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) i.$ Nhớ: dùng $i^2 = -1$ khi khai triển.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Đưa số phức về dạng $a + bi$

Bước 1. Nếu biểu thức chứa phép chia: nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu. Bước 2. Khai triển + áp dụng $i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, \dots$ Bước 3. Gom phần thực và phần ảo: $a = $ tổng các số không có $i$, $b = $ tổng các hệ số đi kèm $i$. Bước 4. Kết quả: $z = a + bi$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: $z \cdot \overline{z} = |z|^2$ (số thực)

Khi cần khử $i$ ở mẫu hoặc tính bình phương modulus: $$z \cdot \overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2.$$ → Đặc biệt hữu ích khi tính chia $z_1/z_2$ và khi giải phương trình.

Bài tập

1. Cộng/trừ hai số phức $z_1 \pm z_2$ (mức 2: có hệ số, $z_1 \pm k z_2$)Trắc nghiệm`complex_add_subtract`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Tính $(5 + 5i) - (4 + 3i)$.

A.$1 - 2i$

B.$1 + 2i$

C.$20 + 15i$

D.$9 + 8i$

Câu 2.Tính $(-4 - 3i) - (-1 + i)$.

A.$-5 - 2i$

B.$-3 - 4i$

C.$4 - 3i$

D.$-3 + 4i$

Câu 3.Tính $(1 - 2i) + (-1 - 3i)$.

A.$2 + i$

B.$-5i$

C.$5i$

D.$-1 + 6i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tính $(-2 - 2i) + 2(-6 - 4i)$.

A.$10 + 6i$

B.$-8 - 6i$

C.$-14 - 6i$

D.$-14 - 10i$

Câu 5.Tính $(-7 + 2i) + 3(7 + 7i)$.

A.$14 + 23i$

B.$14 + 9i$

C.$-28 - 19i$

D.$9i$

Câu 6.Tính $(9 - i) - 2(-5 + 5i)$.

A.$19 - 6i$

B.$-1 + 9i$

C.$19 - 11i$

D.$14 - 6i$

2. Đọc điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng Argand (đọc hình + đa biểu diễn)Trắc nghiệm`complex_argand_read_point`(9 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ. Tìm $z$.

Điểm M(-3; -4) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$-3 + 4i$

B.$-3 - 4i$

C.$-4 - 3i$

D.$3 - 4i$

Câu 8.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ. Tìm $z$.

Điểm M(-4; 1) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$-4 - i$

B.$4 + i$

C.$-4 + i$

D.$1 - 4i$

Câu 9.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$ trên mặt phẳng toạ độ. Tìm $z$.

Điểm M(5; 1) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$1 + 5i$

B.$5 + i$

C.$5 - i$

D.$-5 + i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm số phức liên hợp $\bar z$.

Điểm M(-2; 5) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$-2 - 5i$

B.$2 + 5i$

C.$-2 + 5i$

D.$5 - 2i$

Câu 11.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm số phức liên hợp $\bar z$.

Điểm M(-5; -1) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$5 - i$

B.$-1 - 5i$

C.$-5 + i$

D.$-5 - i$

Câu 12.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Tìm số phức liên hợp $\bar z$.

Điểm M(2; 4) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$2 + 4i$

B.$4 + 2i$

C.$-2 + 4i$

D.$2 - 4i$

Mẫu 3Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Gọi $M'$ là điểm biểu diễn của số phức $w = i\,z$. Tìm toạ độ điểm $M'$.

Điểm M(2; 1) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$M'(-1;\, 2)$

B.$M'(2;\, 1)$

C.$M'(-1;\, -2)$

D.$M'(1;\, 2)$

Câu 14.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Gọi $M'$ là điểm biểu diễn của số phức $w = i\,z$. Tìm toạ độ điểm $M'$.

Điểm M(4; -3) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$M'(3;\, -4)$

B.$M'(4;\, -3)$

C.$M'(-3;\, 4)$

D.$M'(3;\, 4)$

Câu 15.Điểm $M$ trong hình là điểm biểu diễn của số phức $z$. Gọi $M'$ là điểm biểu diễn của số phức $w = i\,z$. Tìm toạ độ điểm $M'$.

Điểm M(-4; 2) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng Argand

A.$M'(-4;\, 2)$

B.$M'(2;\, -4)$

C.$M'(-2;\, 4)$

D.$M'(-2;\, -4)$

3. Tính $z \cdot \bar{z}$ (mức 2: $z$ là hiệu hai số phức, phải rút gọn trước)Trắc nghiệm`complex_conjugate_product`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Cho $z = -2 + 3i$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = -12$

B.$z \cdot \bar{z} = 1$

C.$z \cdot \bar{z} = 13$

D.$z \cdot \bar{z} = -5$

Câu 17.Cho $z = -1 + 5i$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = -24$

B.$z \cdot \bar{z} = 26$

C.$z \cdot \bar{z} = -10$

D.$z \cdot \bar{z} = 4$

Câu 18.Cho $z = 4 + 4i$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = 0$

B.$z \cdot \bar{z} = 16$

C.$z \cdot \bar{z} = 32$

D.$z \cdot \bar{z} = 8$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho $z = (2 - 4i) - (1 - 3i)$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = -2$

B.$z \cdot \bar{z} = 2$

C.$z \cdot \bar{z} = 0$

D.$z \cdot \bar{z} = -1$

Câu 20.Cho $z = (-5 - 5i) - (1 + 6i)$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = 132$

B.$z \cdot \bar{z} = 157$

C.$z \cdot \bar{z} = -85$

D.$z \cdot \bar{z} = -17$

Câu 21.Cho $z = (-3 - 3i) - (4 + 6i)$. Tính $z \cdot \bar{z}$.

A.$z \cdot \bar{z} = -32$

B.$z \cdot \bar{z} = 126$

C.$z \cdot \bar{z} = 130$

D.$z \cdot \bar{z} = -16$

4. Chia hai số phức $\dfrac{a + bi}{c + di}$ bằng cách nhân liên hợpTrắc nghiệm`complex_division`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính $\dfrac{-2 + 4i}{1 - i}$.

A.$1 - 3i$

B.$3 - i$

C.$-3 + i$

D.$-3 - i$

Câu 23.Tính $\dfrac{4 - 7i}{-3 + 2i}$.

A.$-2 + i$

B.$-2 - i$

C.$2 - i$

D.$1 - 2i$

Câu 24.Tính $\dfrac{9 - 7i}{-1 + 3i}$.

A.$-2 - 3i$

B.$-3 + 2i$

C.$3 + 2i$

D.$-3 - 2i$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Tính $\dfrac{1 + 4i}{3 - 2i}$.

A.$- \dfrac{5}{13} + \dfrac{14}{13}i$

B.$\dfrac{14}{13} - \dfrac{5}{13}i$

C.$- \dfrac{5}{13} - \dfrac{14}{13}i$

D.$\dfrac{5}{13} - \dfrac{14}{13}i$

Câu 26.Tính $\dfrac{-5 + 4i}{-3 - 2i}$.

A.$- \dfrac{7}{13} + \dfrac{22}{13}i$

B.$\dfrac{7}{13} + \dfrac{22}{13}i$

C.$\dfrac{7}{13} - \dfrac{22}{13}i$

D.$- \dfrac{22}{13} + \dfrac{7}{13}i$

Câu 27.Tính $\dfrac{-2 + i}{1 - 3i}$.

A.$-2 - \dfrac{1}{3}i$

B.$- \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i$

C.$- \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i$

D.$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i$

5. Nhân hai số phức $(a + bi)(c + di)$Trắc nghiệm`complex_multiply`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Tính $(4 + 3i) \cdot (-4 - 4i)$.

A.$-16 - 12i$

B.$-28 - 28i$

C.$-4 - 28i$

D.$-4 - 4i$

Câu 29.Tính $(2 + 5i) \cdot (2 + 2i)$.

A.$-6 - 6i$

B.$14 + 14i$

C.$4 + 10i$

D.$-6 + 14i$

Câu 30.Tính $(3 + i) \cdot (1 + 3i)$.

A.$10i$

B.$3 + 3i$

C.$8i$

D.$6 + 10i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Tính $(4 + 3i) \cdot (4 - 3i)$.

A.$25$

B.$25 - 24i$

C.$16 - 9i$

D.$7$

Câu 32.Tính $(6 + 8i) \cdot (2 - 9i)$.

A.$84 - 70i$

B.$84 - 38i$

C.$-60 - 38i$

D.$12 - 72i$

Câu 33.Tính $(4 + 6i) \cdot (-2 + 3i)$.

A.$-26$

B.$10$

C.$-8 + 18i$

D.$-26 + 24i$

6. Tính $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n$ với $n$ lớn (rút gọn rồi dùng chu kỳ 4)Trắc nghiệm`complex_quotient_power_moivre`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 34.Tính giá trị của $\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{3548}$.

A.$1$

B.$i$

C.$-i$

D.$-1$

Câu 35.Tính giá trị của $\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{3675}$.

A.$1$

B.$-i$

C.$-1$

D.$i$

Câu 36.Tính giá trị của $\left(\dfrac{1 - i}{1 + i}\right)^{2180}$.

A.$i$

B.$-i$

C.$-1$

D.$1$

7. Tìm số phức từ điều kiện TỔNG và TÍCH — bài toán ĐẢO NGƯỢC, suy luận nhiều bướcTrắc nghiệm`complex_recover_from_sum_product`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Số phức $z$ thỏa mãn $z + \bar{z} = 8$ và $z \cdot \bar{z} = 41$. Tìm $z$ (với phần ảo dương).

A.$4 + 5i$

B.$8 + 5i$

C.$4 - 5i$

D.$4 + 25i$

Câu 38.Số phức $z$ thỏa mãn $z + \bar{z} = -10$ và $z \cdot \bar{z} = 29$. Tìm $z$ (với phần ảo dương).

A.$-10 + 2i$

B.$-5 + 4i$

C.$-5 - 2i$

D.$-5 + 2i$

Câu 39.Số phức $z$ thỏa mãn $z + \bar{z} = -2$ và $z \cdot \bar{z} = 26$. Tìm $z$ (với phần ảo dương).

A.$-1 + 5i$

B.$-1 - 5i$

C.$-2 + 5i$

D.$-1 + 25i$

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Hai số phức $z, w$ thỏa mãn $z + w = 5 - 9i$ và $z - w = -3 + i$. Tìm $z$.

A.$1 - 4i$

B.$4 - 5i$

C.$-4 + 5i$

D.$2 - 8i$

Câu 41.Hai số phức $z, w$ thỏa mãn $z + w = -2 + 3i$ và $z - w = -10 + i$. Tìm $z$.

A.$4 + i$

B.$-4 - i$

C.$-6 + 2i$

D.$-12 + 4i$

Câu 42.Hai số phức $z, w$ thỏa mãn $z + w = -8 + i$ và $z - w = 4 + 11i$. Tìm $z$.

A.$-2 + 6i$

B.$-4 + 12i$

C.$6 + 5i$

D.$-6 - 5i$

8. Tính $z^2$ với $z = a + bi$ (mức 2: tính $(\bar{z})^2$ — thêm bước lấy liên hợp)Trắc nghiệm`complex_square`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 43.Tính $(-1 + 3i)^2$.

A.$-8 - 3i$

B.$10 - 6i$

C.$1 + 9i$

D.$-8 - 6i$

Câu 44.Tính $(2 - 5i)^2$.

A.$-21 - 10i$

B.$-21 - 20i$

C.$4 + 25i$

D.$29 - 20i$

Câu 45.Tính $(4 + 2i)^2$.

A.$12 + 16i$

B.$20 + 16i$

C.$12 + 8i$

D.$16 + 4i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Cho $z = 4 + 4i$. Tính $\left(\bar{z}\right)^2$.

A.$32 - 32i$

B.$16 + 16i$

C.$-32i$

D.$-16i$

Câu 47.Cho $z = 3 + 4i$. Tính $\left(\bar{z}\right)^2$.

A.$-7 - 24i$

B.$9 + 16i$

C.$25 - 24i$

D.$-7 - 12i$

Câu 48.Cho $z = -3 + 2i$. Tính $\left(\bar{z}\right)^2$.

A.$13 + 12i$

B.$5 + 6i$

C.$9 + 4i$

D.$5 + 12i$

9. Tính $i^n$ — chu kỳ 4: $i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i$Trắc nghiệm`power_of_i`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 49.Tính $i^{27}$.

A.$i^{27} = -1$

B.$i^{27} = i$

C.$i^{27} = -i$

D.$i^{27} = 1$

Câu 50.Tính $i^{21}$.

A.$i^{21} = -i$

B.$i^{21} = i$

C.$i^{21} = 1$

D.$i^{21} = -1$

Câu 51.Tính $i^{22}$.

A.$i^{22} = -1$

B.$i^{22} = 1$

C.$i^{22} = -i$

D.$i^{22} = i$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Tính $i^{187}$.

A.$i^{187} = -1$

B.$i^{187} = 1$

C.$i^{187} = i$

D.$i^{187} = -i$

Câu 53.Tính $i^{151}$.

A.$i^{151} = 1$

B.$i^{151} = i$

C.$i^{151} = -1$

D.$i^{151} = -i$

Câu 54.Tính $i^{54}$.

A.$i^{54} = -i$

B.$i^{54} = -1$

C.$i^{54} = i$

D.$i^{54} = 1$

10. Cho $z, w$ cụ thể — mức 1: cộng/trừ/liên hợp; mức 2: nhân + đẳng thức với $\bar{z}$Đúng / Sai`complex_arith_facts`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 55.Cho hai số phức $z = 1 + i$ và $w = -3 + 6i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\bar{z} = -1 + i$.

b)$z + w = -2 - 5i$.

c)$z + w = -2 + 7i$.

d)$\bar{z} = 1 - i$.

Câu 56.Cho hai số phức $z = -2 + 5i$ và $w = 1 - 4i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z + w = -1 + i$.

b)$\bar{z} = 2 + 5i$.

c)$z - w = -1 + 9i$.

d)$z + w = -1 + 9i$.

Câu 57.Cho hai số phức $z = 3 - i$ và $w = -2 - 3i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\bar{z} = 3 + i$.

b)$z - w = 1 + 2i$.

c)$z + w = 1 + 2i$.

d)$z - w = 5 + 2i$.

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Cho hai số phức $z = -5 - 5i$ và $w = 1 + 3i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z - \bar{z} = -10$.

b)$z \cdot \bar{z} = 0$.

c)$z \cdot \bar{z} = 50$.

d)$z - \bar{z} = -10i$.

Câu 59.Cho hai số phức $z = 3 - 3i$ và $w = -7 + i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z \cdot w = -18 + 24i$.

b)$z \cdot \bar{z} = 0$.

c)$z - \bar{z} = -6$.

d)$z - \bar{z} = -6i$.

Câu 60.Cho hai số phức $z = -1 - 4i$ và $w = -4 + i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z \cdot w = 15i$.

b)$z \cdot w = 8 + 15i$.

c)$z + \bar{z} = -2$.

d)$z \cdot w = 4 - 4i$.

11. Luỹ thừa của $i$ — mức 1: $i^2, i^3, i^4$; mức 2: $i^n$ lớn (chia 4 lấy dư) + hằng đẳng thứcĐúng / Sai`complex_facts2`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 61.Cho số phức $z = -5 + 6i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$i^3 = i$.

b)$i^4 = 1$.

c)$i^4 = -1$.

d)Phép cộng số phức có tính giao hoán: $z + w = w + z$.

Câu 62.Cho số phức $z = -3 - 2i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$i^3 = i$.

b)$i^4 = 1$.

c)$z + \bar{z} = -6$ (số thực).

d)$i^2 = -1$.

Câu 63.Cho số phức $z = -4 + 4i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)Phép cộng số phức có tính giao hoán: $z + w = w + z$.

b)$i^4 = -1$.

c)$i^4 = 1$.

d)$i^3 = i$.

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 64.Cho số phức $z = -3 - 7i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$(1-i)^2 = 2i$.

b)$i^{47} = -i$.

c)$(1+i)^2 = 2i$.

d)Với mọi số tự nhiên chẵn $n$, $i^n = 1$.

Câu 65.Cho số phức $z = 6 + 5i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = 61$.

b)$(1+i)^2 = 2i$.

c)$(1-i)^2 = 2i$.

d)$i + i^2 + i^3 + i^4 = 0$.

Câu 66.Cho số phức $z = -2 + 3i$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau về số phức và phép toán:

a)$i^{41} = -i$.

b)$i + i^2 + i^3 + i^4 = 0$.

c)$i^{22} = 1$.

d)Với mọi số tự nhiên chẵn $n$, $i^n = 1$.

12. Điều kiện tham số $m$ để $z = (m^2 - s^2) + (m - t)i$ là số thực / thuần ảo (bẫy khái niệm)Đúng / Sai`complex_solve_real_imaginary_param`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 67.Cho số phức $z = (m^2 - 9) + (m + 1)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thực với mọi $m$.

b)$z$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $m = 3$ hoặc $m = -3$.

c)$z$ là số thuần ảo khi $m = -1$.

d)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = -1$.

Câu 68.Cho số phức $z = (m^2 - 4) + (m - 3)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thuần ảo khi $m = 3$.

b)Tại $m = 0$, $z = -4 - 3i$.

c)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 3$.

d)$z$ là số thực với mọi $m$.

Câu 69.Cho số phức $z = (m^2 - 16) + (m + 3)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = -3$.

b)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 4$ hoặc $m = -4$.

c)Tại $m = 0$, $z = -16 + 3i$.

d)$z$ là số thực với mọi $m$.

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 70.Cho số phức $z = (m^2 - 16) + (m - 2)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 2$.

b)$z$ là số thực với mọi $m$.

c)Có đúng một giá trị $m$ để $z = 0$.

d)Không có giá trị $m$ nào để $z = 0$.

Câu 71.Cho số phức $z = (m^2 - 4) + (m - 4)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = 2$ hoặc $m = -2$.

b)Tại $m = 0$, $z = -4 - 4i$.

c)Có đúng một giá trị $m$ để $z = 0$.

d)$z$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $m = 2$ hoặc $m = -2$.

Câu 72.Cho số phức $z = (m^2 - 9) + (m + 4)i$ với $m$ là tham số thực. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$z$ là số thực với mọi $m$.

b)$z$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $m = 3$ hoặc $m = -3$.

c)Tại $m = 0$, $z = -9 + 4i$.

d)$z$ là số thực khi và chỉ khi $m = -4$.

13. Tính phần thực của $z_1 \pm z_2$ (mức 1) hoặc $z_1 \cdot z_2$ (mức 2)Trả lời ngắn`complex_arithmetic_real_part`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 73.Cho $z_1 = 5 + 3i$, $z_2 = -3 + 3i$. Tính phần thực của $z_1 - z_2$.

Câu 74.Cho $z_1 = 5 + 5i$, $z_2 = -2 - 3i$. Tính phần thực của $z_1 - z_2$.

Câu 75.Cho $z_1 = -1 + 3i$, $z_2 = 1 + 4i$. Tính phần thực của $z_1 - z_2$.

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 76.Cho $z_1 = -6 - 6i$, $z_2 = 2 - 3i$. Tính phần thực của $z_1 \cdot z_2$.

Câu 77.Cho $z_1 = -1 - 5i$, $z_2 = -4 + 2i$. Tính phần thực của $z_1 \cdot z_2$.

Câu 78.Cho $z_1 = 1 + 7i$, $z_2 = -4 + 4i$. Tính phần thực của $z_1 \cdot z_2$.

14. Cho $z = a + bi$, tính phần ảo của $\bar{z}$ (= $-b$)Trả lời ngắn`complex_conjugate_imag_part`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 79.Cho $z = 7 - 4i$. Tính phần ảo của $\bar{z}$ (số).

Câu 80.Cho $z = 9 + 9i$. Tính phần ảo của $\bar{z}$ (số).

Câu 81.Cho $z = -4 - 2i$. Tính phần ảo của $\bar{z}$ (số).

15. Ứng dụng dòng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắn`complex_impedance_ac_circuit`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 82.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 3 Ω, cảm kháng Z_L = 8 Ω, dung kháng Z_C = 4 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Câu 83.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 9 Ω, cảm kháng Z_L = 21 Ω, dung kháng Z_C = 9 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Câu 84.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 5 Ω, cảm kháng Z_L = 24 Ω, dung kháng Z_C = 12 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 85.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 20 Ω. Cảm kháng gấp 4 lần dung kháng (Z_L = 4·Z_C), trong đó dung kháng Z_C = 7 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Câu 86.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 6 Ω. Cảm kháng gấp 3 lần dung kháng (Z_L = 3·Z_C), trong đó dung kháng Z_C = 4 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

Câu 87.Một mạch điện xoay chiều có điện trở R = 8 Ω. Cảm kháng gấp 6 lần dung kháng (Z_L = 6·Z_C), trong đó dung kháng Z_C = 3 Ω. Tổng trở phức của mạch là Z = R + (Z_L − Z_C)i. Tính độ lớn tổng trở |Z| (Ω).

16. Đảo ngược: giải phương trình bậc nhất số phức $\alpha z = \beta$ rồi báo phần thực/ảo của $z$Trả lời ngắn`complex_solve_linear_equation`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 88.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(3 - i)z = 24 + 12i$. Nhập phần ảo của $z$.

Câu 89.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(-3 - 3i)z = -30$. Nhập phần thực của $z$.

Câu 90.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(-3 - i)z = 12 + 14i$. Nhập phần ảo của $z$.

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 91.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(2 - 3i)z + (1 + 3i) = 2 - 18i$. Nhập phần ảo của $z$.

Câu 92.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(-3 + 2i)z + (5 + 2i) = 27 - 4i$. Nhập phần ảo của $z$.

Câu 93.Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(1 + 3i)z + (4 + 5i) = 8 - 3i$. Nhập phần ảo của $z$.

Công thức

§1. Tính chất(1)

§2. Công thức(3)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cộng/trừ hai số phức $z_1 \pm z_2$ (mức 2: có hệ số, $z_1 \pm k z_2$)Trắc nghiệmcomplex_add_subtract(6 câu)

2. Đọc điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng Argand (đọc hình + đa biểu diễn)Trắc nghiệmcomplex_argand_read_point(9 câu)

3. Tính $z \cdot \bar{z}$ (mức 2: $z$ là hiệu hai số phức, phải rút gọn trước)Trắc nghiệmcomplex_conjugate_product(6 câu)

4. Chia hai số phức $\dfrac{a + bi}{c + di}$ bằng cách nhân liên hợpTrắc nghiệmcomplex_division(6 câu)

5. Nhân hai số phức $(a + bi)(c + di)$Trắc nghiệmcomplex_multiply(6 câu)

6. Tính $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n$ với $n$ lớn (rút gọn rồi dùng chu kỳ 4)Trắc nghiệmcomplex_quotient_power_moivre(3 câu)

7. Tìm số phức từ điều kiện TỔNG và TÍCH — bài toán ĐẢO NGƯỢC, suy luận nhiều bướcTrắc nghiệmcomplex_recover_from_sum_product(6 câu)

8. Tính $z^2$ với $z = a + bi$ (mức 2: tính $(\bar{z})^2$ — thêm bước lấy liên hợp)Trắc nghiệmcomplex_square(6 câu)

9. Tính $i^n$ — chu kỳ 4: $i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i$Trắc nghiệmpower_of_i(6 câu)

10. Cho $z, w$ cụ thể — mức 1: cộng/trừ/liên hợp; mức 2: nhân + đẳng thức với $\bar{z}$Đúng / Saicomplex_arith_facts(6 câu)

11. Luỹ thừa của $i$ — mức 1: $i^2, i^3, i^4$; mức 2: $i^n$ lớn (chia 4 lấy dư) + hằng đẳng thứcĐúng / Saicomplex_facts2(6 câu)

12. Điều kiện tham số $m$ để $z = (m^2 - s^2) + (m - t)i$ là số thực / thuần ảo (bẫy khái niệm)Đúng / Saicomplex_solve_real_imaginary_param(6 câu)

13. Tính phần thực của $z_1 \pm z_2$ (mức 1) hoặc $z_1 \cdot z_2$ (mức 2)Trả lời ngắncomplex_arithmetic_real_part(6 câu)

14. Cho $z = a + bi$, tính phần ảo của $\bar{z}$ (= $-b$)Trả lời ngắncomplex_conjugate_imag_part(3 câu)

15. Ứng dụng dòng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắncomplex_impedance_ac_circuit(6 câu)

16. Đảo ngược: giải phương trình bậc nhất số phức $\alpha z = \beta$ rồi báo phần thực/ảo của $z$Trả lời ngắncomplex_solve_linear_equation(6 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cộng/trừ hai số phức $z_1 \pm z_2$ (mức 2: có hệ số, $z_1 \pm k z_2$)Trắc nghiệm`complex_add_subtract`(6 câu)

2. Đọc điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng Argand (đọc hình + đa biểu diễn)Trắc nghiệm`complex_argand_read_point`(9 câu)

3. Tính $z \cdot \bar{z}$ (mức 2: $z$ là hiệu hai số phức, phải rút gọn trước)Trắc nghiệm`complex_conjugate_product`(6 câu)

4. Chia hai số phức $\dfrac{a + bi}{c + di}$ bằng cách nhân liên hợpTrắc nghiệm`complex_division`(6 câu)

5. Nhân hai số phức $(a + bi)(c + di)$Trắc nghiệm`complex_multiply`(6 câu)

6. Tính $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n$ với $n$ lớn (rút gọn rồi dùng chu kỳ 4)Trắc nghiệm`complex_quotient_power_moivre`(3 câu)

7. Tìm số phức từ điều kiện TỔNG và TÍCH — bài toán ĐẢO NGƯỢC, suy luận nhiều bướcTrắc nghiệm`complex_recover_from_sum_product`(6 câu)

8. Tính $z^2$ với $z = a + bi$ (mức 2: tính $(\bar{z})^2$ — thêm bước lấy liên hợp)Trắc nghiệm`complex_square`(6 câu)

9. Tính $i^n$ — chu kỳ 4: $i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i$Trắc nghiệm`power_of_i`(6 câu)

10. Cho $z, w$ cụ thể — mức 1: cộng/trừ/liên hợp; mức 2: nhân + đẳng thức với $\bar{z}$Đúng / Sai`complex_arith_facts`(6 câu)

11. Luỹ thừa của $i$ — mức 1: $i^2, i^3, i^4$; mức 2: $i^n$ lớn (chia 4 lấy dư) + hằng đẳng thứcĐúng / Sai`complex_facts2`(6 câu)

12. Điều kiện tham số $m$ để $z = (m^2 - s^2) + (m - t)i$ là số thực / thuần ảo (bẫy khái niệm)Đúng / Sai`complex_solve_real_imaginary_param`(6 câu)

13. Tính phần thực của $z_1 \pm z_2$ (mức 1) hoặc $z_1 \cdot z_2$ (mức 2)Trả lời ngắn`complex_arithmetic_real_part`(6 câu)

14. Cho $z = a + bi$, tính phần ảo của $\bar{z}$ (= $-b$)Trả lời ngắn`complex_conjugate_imag_part`(3 câu)

15. Ứng dụng dòng điện xoay chiều: tổng trở phức $Z = R + (Z_L - Z_C)i$, tính $|Z|$Trả lời ngắn`complex_impedance_ac_circuit`(6 câu)

16. Đảo ngược: giải phương trình bậc nhất số phức $\alpha z = \beta$ rồi báo phần thực/ảo của $z$Trả lời ngắn`complex_solve_linear_equation`(6 câu)