Phương trình bậc hai trên tập số phức

Công thức

§1. Định lý(2)

1.1

Phương trình bậc 2 với hệ số thực trên $\mathbb{C}$

Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0$). Đặt $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta > 0$: 2 nghiệm thực phân biệt $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\Delta = 0$: nghiệm kép thực $x = -\dfrac{b}{2a}$.
$\Delta < 0$: 2 nghiệm phức liên hợp $x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

1.2

Định lý Viète cho phương trình bậc 2 phức

Cho $ax^2 + bx + c = 0$ có 2 nghiệm $x_1, x_2$ (trong $\mathbb{C}$):

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$.
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Khi $a, b, c \in \mathbb{R}$ và $\Delta < 0$: $x_1, x_2$ là cặp liên hợp, nên $x_1 x_2 = |x_1|^2$ và $x_1 + x_2 = 2 \Re(x_1)$.

§2. Công thức(1)

2.1

Căn bậc 2 của số âm trên $\mathbb{C}$

Với $a > 0$: $\sqrt{-a} = \pm i\sqrt{a}$ (2 nghiệm). Quy ước trong giải phương trình bậc 2: dùng $i\sqrt{a}$ và lấy $\pm$ trong công thức.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Giải phương trình bậc 2 trên $\mathbb{C}$

Bước 1. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$. Bước 2. Nếu $\Delta \geq 0$: dùng công thức nghiệm thực thông thường. Bước 3. Nếu $\Delta < 0$: viết $\Delta = -(-\Delta)$, lấy căn bậc 2 phức: $\sqrt{\Delta} = i\sqrt{-\Delta}$. Bước 4. Áp dụng công thức: $x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. Bước 5. Viết 2 nghiệm dưới dạng $a + bi$ (rút gọn).

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: Viète để tính nhanh tổng / tích bình phương / căn

Khi cần $x_1^2 + x_2^2$, $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$, $|x_1| + |x_2|$, ...: Đặt $S = x_1 + x_2 = -b/a$, $P = x_1 x_2 = c/a$ → suy ra:

$x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P$.
$x_1^3 + x_2^3 = S^3 - 3SP$.
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{S}{P}$ (nếu $P \neq 0$).
$|x_1|^2 + |x_2|^2 = S^2 - 2P$ (khi nghiệm thực) hoặc $|x_1|^2 + |x_2|^2 = 2P$ (khi 2 nghiệm phức liên hợp).

Bài tập

1. Đọc hình Argand → tìm hệ số PT bậc hai (đảo ngược + đa biểu diễn)Trắc nghiệm`argand_read_roots_find_coeffs`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Trên mặt phẳng Argand, hai số phức $z_1, z_2$ được biểu diễn bởi hai điểm trong hình (đối xứng nhau qua trục thực). Biết $z_1, z_2$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai hệ số thực, hệ số dẫn đầu bằng $1$. Phương trình đó là?

Hai diem bieu dien z1 = -3+2i va z2 = -3-2i, doi xung nhau qua truc thuc

A.$x^2 - 4x + 13 = 0$

B.$x^2 + 6x + 5 = 0$

C.$x + 3 - 2i = 0$

D.$x^2 + 6x + 13 = 0$

Câu 2.Trên mặt phẳng Argand, hai số phức $z_1, z_2$ được biểu diễn bởi hai điểm trong hình (đối xứng nhau qua trục thực). Biết $z_1, z_2$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai hệ số thực, hệ số dẫn đầu bằng $1$. Phương trình đó là?

Hai diem bieu dien z1 = -2+1i va z2 = -2-1i, doi xung nhau qua truc thuc

A.$x^2 + 4x + 3 = 0$

B.$x^2 + 4x + 5 = 0$

C.$x + 2 - i = 0$

D.$x^2 - 2x + 5 = 0$

Câu 3.Trên mặt phẳng Argand, hai số phức $z_1, z_2$ được biểu diễn bởi hai điểm trong hình (đối xứng nhau qua trục thực). Biết $z_1, z_2$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai hệ số thực, hệ số dẫn đầu bằng $1$. Phương trình đó là?

Hai diem bieu dien z1 = -2+3i va z2 = -2-3i, doi xung nhau qua truc thuc

A.$x + 2 - 3i = 0$

B.$x^2 + 4x + 13 = 0$

C.$x^2 + 4x - 5 = 0$

D.$x^2 - 6x + 13 = 0$

2. VD-VDC THPT. Cho phương trình $z^2 + bz + c = 0$ (hệ số thực, $b, c \in \mathbb{Z}$) có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ (tức $\Delta = b^2 - 4c < 0$)Trắc nghiệm`complex_quadratic_sum_cubed_roots`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Phương trình $z^2 + 2z + 6 = 0$ có hai nghiệm phức $z_1, z_2$. Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^3 + z_2^3$.

A.$P = -44$

B.$P = -28$

C.$P = 44$

D.$P = 28$

Câu 5.Phương trình $z^2 + 4z + 7 = 0$ có hai nghiệm phức $z_1, z_2$. Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^3 + z_2^3$.

A.$P = 148$

B.$P = 20$

C.$P = -148$

D.$P = -20$

Câu 6.Phương trình $z^2 + z + 3 = 0$ có hai nghiệm phức $z_1, z_2$. Tính giá trị của biểu thức $P = z_1^3 + z_2^3$.

A.$P = 10$

B.$P = -8$

C.$P = -10$

D.$P = 8$

3. Cho $z^2 + bz + c = 0$ với $\Delta < 0$, tính $|z_1|^2 + |z_2|^2$Trắc nghiệm`complex_quadratic_sum_modulus_squared_pair`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 + 9 = 0$. Tính $|z_1|^2 + |z_2|^2$.

A.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 18$

B.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 9$

C.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = -18$

D.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 0$

Câu 8.Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 + 11 = 0$. Tính $|z_1|^2 + |z_2|^2$.

A.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 22$

B.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = -22$

C.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 0$

D.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 11$

Câu 9.Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 - 6z + 10 = 0$. Tính $|z_1|^2 + |z_2|^2$.

A.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 36$

B.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 20$

C.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 16$

D.$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 10$

4. VDC. PT $z^2+bz+c=0$ (hệ số thực, $\Delta<0$), tính biểu thức đối xứng bậc cao của hai nghiệm phức: $z_1^4+z_2^4$, hoặc $\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}$, hoặc $|z_1-z_2|$Trắc nghiệm`complex_quadratic_symmetric_high_degree`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 - 4z + 5 = 0$. Tính $|z_1 - z_2|$.

A.$|z_1 - z_2| = 1$

B.$|z_1 - z_2| = 2$

C.$|z_1 - z_2| = 4$

D.$|z_1 - z_2| = 3$

Câu 11.Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 - 5z + 11 = 0$. Tính $\dfrac{1}{z_1} + \dfrac{1}{z_2}$.

A.$\dfrac{1}{z_1} + \dfrac{1}{z_2} = \dfrac{11}{5}$

B.$\dfrac{1}{z_1} + \dfrac{1}{z_2} = - \dfrac{5}{11}$

C.$\dfrac{1}{z_1} + \dfrac{1}{z_2} = \dfrac{10}{11}$

D.$\dfrac{1}{z_1} + \dfrac{1}{z_2} = \dfrac{5}{11}$

Câu 12.Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 + 4z + 8 = 0$. Tính $z_1^4 + z_2^4$.

A.$z_1^4 + z_2^4 = 0$

B.$z_1^4 + z_2^4 = -128$

C.$z_1^4 + z_2^4 = -64$

D.$z_1^4 + z_2^4 = 128$

5. Giải phương trình bậc hai hệ số thực với $\Delta < 0$ (nghiệm phức liên hợp)Trắc nghiệm`complex_roots_quadratic`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Giải phương trình $x^2 + 6x + 13 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$.

A.$x = 2 \pm -3i$

B.$x = -3 \pm 2i$

C.$x = 3 \pm 2i$

D.$x = -3 \pm 2$

Câu 14.Giải phương trình $x^2 + 6x + 10 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$.

A.$x = -3 \pm 1$

B.$x = -3 \pm i$

C.$x = 1 \pm -3i$

D.$x = 3 \pm i$

Câu 15.Giải phương trình $x^2 + 4x + 8 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$.

A.$x = -2 \pm 2i$

B.$x = 2 \pm -2i$

C.$x = -2 \pm 2$

D.$x = 2 \pm 2i$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Giải phương trình $3x^2 - 24x + 96 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$.

A.$x = 4 \pm 4i$

B.$x = -4 \pm 4i$

C.$x = 4 \pm 4$

D.$x = 4$

Câu 17.Giải phương trình $2x^2 - 8x + 10 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$.

A.$x = -2 \pm i$

B.$x = 2 \pm 1$

C.$x = 1 \pm 2i$

D.$x = 2 \pm i$

Câu 18.Giải phương trình $2x^2 + 4x + 10 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$.

A.$x = -1 \pm 2i$

B.$x = 2 \pm -i$

C.$x = 1 \pm 2i$

D.$x = -1 \pm 2$

6. Giải PT $z^4 - a^4 = 0$ trên $\mathbb{C}$ — nghiệm $\{a, -a, ai, -ai\}$Trắc nghiệm`complex_z4_minus_a4`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tìm tập nghiệm phức của phương trình $z^4 - 625 = 0$.

A.$S = \{5i;\, -5i\}$

B.$S = \{5;\, 5i\}$

C.$S = \{5;\, -5;\, 5i;\, -5i\}$

D.$S = \{5;\, -5\}$

Câu 20.Tìm tập nghiệm phức của phương trình $z^4 - 81 = 0$.

A.$S = \{3;\, 3i\}$

B.$S = \{3;\, -3\}$

C.$S = \{3;\, -3;\, 3i;\, -3i\}$

D.$S = \{3i;\, -3i\}$

Câu 21.Tìm tập nghiệm phức của phương trình $z^4 - 16 = 0$.

A.$S = \{2;\, -2\}$

B.$S = \{2i;\, -2i\}$

C.$S = \{2;\, -2;\, 2i;\, -2i\}$

D.$S = \{2;\, 2i\}$

7. Tính $\Delta$ của phương trình bậc 2 hệ số thực — kết luận có nghiệm phứcTrắc nghiệm`discriminant_negative_simple`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $x^2 + 6x + 25 = 0$.

A.$\Delta = 64$

B.$\Delta = 36$

C.$\Delta = -100$

D.$\Delta = -64$

Câu 23.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $x^2 + 4x + 13 = 0$.

A.$\Delta = 16$

B.$\Delta = -36$

C.$\Delta = -52$

D.$\Delta = 36$

Câu 24.Tính biệt thức $\Delta$ của phương trình $x^2 + 4x + 13 = 0$.

A.$\Delta = 36$

B.$\Delta = -52$

C.$\Delta = 16$

D.$\Delta = -36$

8. Đảo ngược (tham số). Cho $x^2 + bx + m = 0$ ($b$ cố định, $m$ là tham số ở vị trí HỆ SỐ TỰ DO)Trắc nghiệm`find_param_for_given_modulus`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Cho phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ ($m$ là tham số thực). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ với $|z_1| = 2$.

A.$m = 8$

B.$m = 4$

C.$m = 2$

D.$m = 3$

Câu 26.Cho phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ ($m$ là tham số thực). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ với $|z_1| = 5$.

A.$m = 5$

B.$m = 25$

C.$m = 50$

D.$m = 24$

Câu 27.Cho phương trình $x^2 + x + m = 0$ ($m$ là tham số thực). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ với $|z_1| = 5$.

A.$m = 50$

B.$m = 25$

C.$m = \dfrac{99}{4}$

D.$m = 5$

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 28.Cho phương trình $x^2 - 2x + m = 0$ ($m$ là tham số thực). Tìm tất cả giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đồng thời có hai nghiệm phức (không phải số thực) $z_1, z_2$ và $|z_1| = 3$.

A.$m = 8$

B.$m = 3$

C.$m = 18$

D.$m = 9$

Câu 29.Cho phương trình $x^2 - 3x + m = 0$ ($m$ là tham số thực). Tìm tất cả giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đồng thời có hai nghiệm phức (không phải số thực) $z_1, z_2$ và $|z_1| = 2$.

A.$m = 4$

B.$m = 2$

C.$m = \dfrac{7}{4}$

D.$m = 8$

Câu 30.Cho phương trình $x^2 + x + m = 0$ ($m$ là tham số thực). Tìm tất cả giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình đồng thời có hai nghiệm phức (không phải số thực) $z_1, z_2$ và $|z_1| = 5$.

A.$m = 5$

B.$m = \dfrac{99}{4}$

C.$m = 50$

D.$m = 25$

9. Tích hai nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ là $c$ (Vi-ét)Trắc nghiệm`product_complex_roots`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 31.Phương trình $x^2 + 6x + 25 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $x_1 \cdot x_2$.

A.$x_1 \cdot x_2 = 25$

B.$x_1 \cdot x_2 = -25$

C.$x_1 \cdot x_2 = -6$

D.$x_1 \cdot x_2 = 6$

Câu 32.Phương trình $x^2 - 2x + 10 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $x_1 \cdot x_2$.

A.$x_1 \cdot x_2 = -10$

B.$x_1 \cdot x_2 = 10$

C.$x_1 \cdot x_2 = -2$

D.$x_1 \cdot x_2 = 2$

Câu 33.Phương trình $x^2 + 4x + 13 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $x_1 \cdot x_2$.

A.$x_1 \cdot x_2 = 4$

B.$x_1 \cdot x_2 = -13$

C.$x_1 \cdot x_2 = -4$

D.$x_1 \cdot x_2 = 13$

10. Đảo ngược. Lập phương trình bậc hai HỆ SỐ THỰC, monic, nhận một số phức $z = p + qi$ ($q \neq 0$) cho trước làm nghiệmTrắc nghiệm`reconstruct_quadratic_from_complex_root`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Biết số phức $z = 4 + 4i$ là một nghiệm của một phương trình bậc hai hệ số thực với hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Phương trình đó là phương trình nào?

A.$x^2 + 8x + 32 = 0$

B.$x^2 - 8x + 0 = 0$

C.$x^2 - 8x + 32 = 0$

D.$x^2 - 8x - 32 = 0$

Câu 35.Biết số phức $z = 3 + 4i$ là một nghiệm của một phương trình bậc hai hệ số thực với hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Phương trình đó là phương trình nào?

A.$x^2 - 6x - 7 = 0$

B.$x^2 - 6x + 25 = 0$

C.$x^2 - 6x - 25 = 0$

D.$x^2 + 6x + 25 = 0$

Câu 36.Biết số phức $z = -4 + 3i$ là một nghiệm của một phương trình bậc hai hệ số thực với hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Phương trình đó là phương trình nào?

A.$x^2 + 8x + 25 = 0$

B.$x^2 + 8x + 7 = 0$

C.$x^2 - 8x + 25 = 0$

D.$x^2 + 8x - 25 = 0$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Cho số phức $z = 1 + i$. Biết phương trình bậc hai hệ số thực, hệ số dẫn đầu bằng $1$, nhận $z$ làm nghiệm (và do đó còn một nghiệm phức nữa). Phương trình bậc hai đó là phương trình nào?

A.$x^2 + 2x + 2 = 0$

B.$x^2 - 2x + 2 = 0$

C.$x^2 - 2x - 2 = 0$

D.$x^2 - 2x + 0 = 0$

Câu 38.Cho số phức $z = 1 + 2i$. Biết phương trình bậc hai hệ số thực, hệ số dẫn đầu bằng $1$, nhận $z$ làm nghiệm (và do đó còn một nghiệm phức nữa). Phương trình bậc hai đó là phương trình nào?

A.$x^2 - 2x - 5 = 0$

B.$x^2 - 2x - 3 = 0$

C.$x^2 + 2x + 5 = 0$

D.$x^2 - 2x + 5 = 0$

Câu 39.Cho số phức $z = -3 + 2i$. Biết phương trình bậc hai hệ số thực, hệ số dẫn đầu bằng $1$, nhận $z$ làm nghiệm (và do đó còn một nghiệm phức nữa). Phương trình bậc hai đó là phương trình nào?

A.$x^2 + 6x - 13 = 0$

B.$x^2 - 6x + 13 = 0$

C.$x^2 + 6x + 5 = 0$

D.$x^2 + 6x + 13 = 0$

11. Tổng hai nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ là $-b$ (Vi-ét)Trắc nghiệm`sum_complex_roots`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 40.Phương trình $x^2 + 4x + 13 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $x_1 + x_2$.

A.$x_1 + x_2 = -4$

B.$x_1 + x_2 = 4$

C.$x_1 + x_2 = -13$

D.$x_1 + x_2 = 13$

Câu 41.Phương trình $x^2 - 4x + 5 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $x_1 + x_2$.

A.$x_1 + x_2 = 5$

B.$x_1 + x_2 = -5$

C.$x_1 + x_2 = 4$

D.$x_1 + x_2 = -4$

Câu 42.Phương trình $x^2 + 4x + 13 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $x_1 + x_2$.

A.$x_1 + x_2 = 4$

B.$x_1 + x_2 = 13$

C.$x_1 + x_2 = -4$

D.$x_1 + x_2 = -13$

12. Cho phương trình bậc 2 với $\Delta < 0$, tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$Trắc nghiệm`sum_modulus_squared_complex_roots`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 43.Phương trình $x^2 + 6x + 13 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$.

A.52

B.13

C.27

D.26

Câu 44.Phương trình $x^2 + 8x + 25 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$.

A.100

B.50

C.25

D.51

Câu 45.Phương trình $x^2 - 6x + 10 = 0$ có hai nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$.

A.21

B.10

C.20

D.40

13. Bẫy khái niệm: phương trình bậc 2 HỆ SỐ PHỨCĐúng / Sai`complex_coeff_roots_not_conjugate_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Cho phương trình $x^2 + (-1 - 4i)x + (-3 + 3i) = 0$ với hệ số phức trên $\mathbb{C}$ (gọi $z_1,\ z_2$ là hai nghiệm). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng hai nghiệm $z_1 + z_2 = -\dfrac{b}{a} = 1 + 4i$.

b)Hai nghiệm có cùng mô-đun: $|z_1| = |z_2|$.

c)$z_1 = 3i$ là một nghiệm của phương trình.

d)Vì phương trình có nghiệm phức (không thực) nên biệt thức $\Delta < 0$.

Câu 47.Cho phương trình $x^2 + (-2 - 2i)x + (-1 + 2i) = 0$ với hệ số phức trên $\mathbb{C}$ (gọi $z_1,\ z_2$ là hai nghiệm). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình bậc hai hệ số phức này có thể VÔ NGHIỆM trên $\mathbb{C}$.

b)Tích hai nghiệm $z_1 z_2 = \dfrac{c}{a} = -1 + 2i$.

c)Vì phương trình có nghiệm phức (không thực) nên biệt thức $\Delta < 0$.

d)$z_1 = i$ là một nghiệm của phương trình.

Câu 48.Cho phương trình $x^2 + (-1 - 3i)x + (-2 + 2i) = 0$ với hệ số phức trên $\mathbb{C}$ (gọi $z_1,\ z_2$ là hai nghiệm). Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai nghiệm có cùng mô-đun: $|z_1| = |z_2|$.

b)Áp dụng định lý cơ bản của đại số, phương trình có đúng 2 nghiệm phức (kể cả bội).

c)$z_1 = 2i$ là một nghiệm của phương trình.

d)Vì phương trình có nghiệm phức (không thực) nên biệt thức $\Delta < 0$.

14. Cho 1 phương trình hệ số thực bậc 2 cụ thể — xét tính chất chung của nghiệm phức (định lý cơ bản đại số, dấu của $\Delta$, …)Đúng / Sai`complex_quad_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 49.Cho phương trình $x^2 + 4 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình vô nghiệm trên $\mathbb{C}$.

b)Mô-đun mỗi nghiệm $= 4$.

c)Mô-đun mỗi nghiệm $= 2$.

d)Tổng 2 nghiệm $= 0$.

Câu 50.Cho phương trình $x^2 + 4 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mô-đun mỗi nghiệm $= 2$.

b)Tích 2 nghiệm $= 4$.

c)Phương trình có nghiệm thực.

d)Hai nghiệm là số thuần ảo.

Câu 51.Cho phương trình $x^2 + 1 = 0$ trên tập số phức $\mathbb{C}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng 2 nghiệm $= 0$.

b)Phương trình có nghiệm thực.

c)Phương trình vô nghiệm trên $\mathbb{C}$.

d)Mô-đun mỗi nghiệm $= 1$.

15. Tìm phần ảo dương của 1 nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ (Δ < 0)Trả lời ngắn`complex_roots_imag_part`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Phương trình $x^2 + 4x + 9 = 0$ có 2 nghiệm phức. Tìm phần ảo dương (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 53.Phương trình $x^2 - 4x + 9 = 0$ có 2 nghiệm phức. Tìm phần ảo dương (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 54.Phương trình $x^2 + 2x + 9 = 0$ có 2 nghiệm phức. Tìm phần ảo dương (số thập phân). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

16. Đếm số $m$ nguyên để $x^2 + 2mx + k = 0$ có hai nghiệm phức (Δ'=m²-k<0)Trả lời ngắn`param_m_quadratic_has_complex_roots`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^2 + 2mx + 12 = 0$ có hai nghiệm phức (không phải nghiệm thực)?

Câu 56.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^2 + 2mx + 8 = 0$ có hai nghiệm phức (không phải nghiệm thực)?

Câu 57.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^2 + 2mx + 17 = 0$ có hai nghiệm phức (không phải nghiệm thực)?

17. $|x_1|^2 + |x_2|^2$ với 2 nghiệm phức liên hợpTrả lời ngắn`sum_modulus_sq_complex_roots_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Phương trình $x^2 + 4x + 8 = 0$ có 2 nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$.

Câu 59.Phương trình $x^2 - 2x + 17 = 0$ có 2 nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$.

Câu 60.Phương trình $x^2 + 8x + 20 = 0$ có 2 nghiệm phức $x_1, x_2$. Tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$.

Công thức

§1. Định lý(2)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Đọc hình Argand → tìm hệ số PT bậc hai (đảo ngược + đa biểu diễn)Trắc nghiệmargand_read_roots_find_coeffs(3 câu)

2. VD-VDC THPT. Cho phương trình $z^2 + bz + c = 0$ (hệ số thực, $b, c \in \mathbb{Z}$) có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ (tức $\Delta = b^2 - 4c < 0$)Trắc nghiệmcomplex_quadratic_sum_cubed_roots(3 câu)

3. Cho $z^2 + bz + c = 0$ với $\Delta < 0$, tính $|z_1|^2 + |z_2|^2$Trắc nghiệmcomplex_quadratic_sum_modulus_squared_pair(3 câu)

4. VDC. PT $z^2+bz+c=0$ (hệ số thực, $\Delta<0$), tính biểu thức đối xứng bậc cao của hai nghiệm phức: $z_1^4+z_2^4$, hoặc $\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}$, hoặc $|z_1-z_2|$Trắc nghiệmcomplex_quadratic_symmetric_high_degree(3 câu)

5. Giải phương trình bậc hai hệ số thực với $\Delta < 0$ (nghiệm phức liên hợp)Trắc nghiệmcomplex_roots_quadratic(6 câu)

6. Giải PT $z^4 - a^4 = 0$ trên $\mathbb{C}$ — nghiệm $\{a, -a, ai, -ai\}$Trắc nghiệmcomplex_z4_minus_a4(3 câu)

7. Tính $\Delta$ của phương trình bậc 2 hệ số thực — kết luận có nghiệm phứcTrắc nghiệmdiscriminant_negative_simple(3 câu)

8. Đảo ngược (tham số). Cho $x^2 + bx + m = 0$ ($b$ cố định, $m$ là tham số ở vị trí HỆ SỐ TỰ DO)Trắc nghiệmfind_param_for_given_modulus(6 câu)

9. Tích hai nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ là $c$ (Vi-ét)Trắc nghiệmproduct_complex_roots(3 câu)

10. Đảo ngược. Lập phương trình bậc hai HỆ SỐ THỰC, monic, nhận một số phức $z = p + qi$ ($q \neq 0$) cho trước làm nghiệmTrắc nghiệmreconstruct_quadratic_from_complex_root(6 câu)

11. Tổng hai nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ là $-b$ (Vi-ét)Trắc nghiệmsum_complex_roots(3 câu)

12. Cho phương trình bậc 2 với $\Delta < 0$, tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$Trắc nghiệmsum_modulus_squared_complex_roots(3 câu)

13. Bẫy khái niệm: phương trình bậc 2 HỆ SỐ PHỨCĐúng / Saicomplex_coeff_roots_not_conjugate_tf(3 câu)

14. Cho 1 phương trình hệ số thực bậc 2 cụ thể — xét tính chất chung của nghiệm phức (định lý cơ bản đại số, dấu của $\Delta$, …)Đúng / Saicomplex_quad_facts2(3 câu)

15. Tìm phần ảo dương của 1 nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ (Δ < 0)Trả lời ngắncomplex_roots_imag_part(3 câu)

16. Đếm số $m$ nguyên để $x^2 + 2mx + k = 0$ có hai nghiệm phức (Δ'=m²-k<0)Trả lời ngắnparam_m_quadratic_has_complex_roots(3 câu)

17. $|x_1|^2 + |x_2|^2$ với 2 nghiệm phức liên hợpTrả lời ngắnsum_modulus_sq_complex_roots_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Đọc hình Argand → tìm hệ số PT bậc hai (đảo ngược + đa biểu diễn)Trắc nghiệm`argand_read_roots_find_coeffs`(3 câu)

2. VD-VDC THPT. Cho phương trình $z^2 + bz + c = 0$ (hệ số thực, $b, c \in \mathbb{Z}$) có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ (tức $\Delta = b^2 - 4c < 0$)Trắc nghiệm`complex_quadratic_sum_cubed_roots`(3 câu)

3. Cho $z^2 + bz + c = 0$ với $\Delta < 0$, tính $|z_1|^2 + |z_2|^2$Trắc nghiệm`complex_quadratic_sum_modulus_squared_pair`(3 câu)

4. VDC. PT $z^2+bz+c=0$ (hệ số thực, $\Delta<0$), tính biểu thức đối xứng bậc cao của hai nghiệm phức: $z_1^4+z_2^4$, hoặc $\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}$, hoặc $|z_1-z_2|$Trắc nghiệm`complex_quadratic_symmetric_high_degree`(3 câu)

5. Giải phương trình bậc hai hệ số thực với $\Delta < 0$ (nghiệm phức liên hợp)Trắc nghiệm`complex_roots_quadratic`(6 câu)

6. Giải PT $z^4 - a^4 = 0$ trên $\mathbb{C}$ — nghiệm $\{a, -a, ai, -ai\}$Trắc nghiệm`complex_z4_minus_a4`(3 câu)

7. Tính $\Delta$ của phương trình bậc 2 hệ số thực — kết luận có nghiệm phứcTrắc nghiệm`discriminant_negative_simple`(3 câu)

8. Đảo ngược (tham số). Cho $x^2 + bx + m = 0$ ($b$ cố định, $m$ là tham số ở vị trí HỆ SỐ TỰ DO)Trắc nghiệm`find_param_for_given_modulus`(6 câu)

9. Tích hai nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ là $c$ (Vi-ét)Trắc nghiệm`product_complex_roots`(3 câu)

10. Đảo ngược. Lập phương trình bậc hai HỆ SỐ THỰC, monic, nhận một số phức $z = p + qi$ ($q \neq 0$) cho trước làm nghiệmTrắc nghiệm`reconstruct_quadratic_from_complex_root`(6 câu)

11. Tổng hai nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ là $-b$ (Vi-ét)Trắc nghiệm`sum_complex_roots`(3 câu)

12. Cho phương trình bậc 2 với $\Delta < 0$, tính $|x_1|^2 + |x_2|^2$Trắc nghiệm`sum_modulus_squared_complex_roots`(3 câu)

13. Bẫy khái niệm: phương trình bậc 2 HỆ SỐ PHỨCĐúng / Sai`complex_coeff_roots_not_conjugate_tf`(3 câu)

14. Cho 1 phương trình hệ số thực bậc 2 cụ thể — xét tính chất chung của nghiệm phức (định lý cơ bản đại số, dấu của $\Delta$, …)Đúng / Sai`complex_quad_facts2`(3 câu)

15. Tìm phần ảo dương của 1 nghiệm phức của $x^2 + bx + c = 0$ (Δ < 0)Trả lời ngắn`complex_roots_imag_part`(3 câu)

16. Đếm số $m$ nguyên để $x^2 + 2mx + k = 0$ có hai nghiệm phức (Δ'=m²-k<0)Trả lời ngắn`param_m_quadratic_has_complex_roots`(3 câu)

17. $|x_1|^2 + |x_2|^2$ với 2 nghiệm phức liên hợpTrả lời ngắn`sum_modulus_sq_complex_roots_sa`(3 câu)