Khoảng tin cậy

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Cho tham số tổng thể $\theta$ chưa biết. Khoảng tin cậy với mức tin cậy $1 - \alpha$ (vd 95%, $\alpha = 0.05$) là khoảng $(\theta_1; \theta_2)$ ước lượng từ mẫu sao cho: $$P(\theta_1 < \theta < \theta_2) = 1 - \alpha.$$ Ý nghĩa: lặp lại nhiều mẫu, khoảng $(\theta_1; \theta_2)$ chứa $\theta$ thực với tỉ lệ $1 - \alpha$.

§2. Công thức(2)

2.1

Khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể $\mu$

Cho mẫu $n$ phần tử với trung bình mẫu $\bar{x}$ và độ lệch chuẩn $s$. Khoảng tin cậy mức $1 - \alpha$: $$\left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}; \, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}} \right).$$ Sai số $\varepsilon = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ — bán độ rộng khoảng.

2.2

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể $p$

Cho mẫu $n$ phần tử có $k$ phần tử thoả tính chất ($\hat{p} = k/n$). Khoảng tin cậy mức $1 - \alpha$ cho $p$: $$\left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}; \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right).$$ Giá trị $z_{\alpha/2}$ tra bảng chuẩn:

$1 - \alpha = 90\%$: $z = 1.645$.
$1 - \alpha = 95\%$: $z = 1.96$.
$1 - \alpha = 99\%$: $z = 2.575$.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Phương pháp tìm khoảng tin cậy

Bước 1. Xác định mức tin cậy $1 - \alpha$ → tra $z_{\alpha/2}$. Bước 2. Tính các thống kê mẫu: $\hat{p}$ hoặc $(\bar{x}, s)$. Bước 3. Tính sai số $\varepsilon$ theo công thức tương ứng. Bước 4. Khoảng tin cậy = $(\hat{p} - \varepsilon; \hat{p} + \varepsilon)$ hoặc $(\bar{x} - \varepsilon; \bar{x} + \varepsilon)$. Bước 5. Diễn giải: với độ tin cậy $1 - \alpha$, tham số tổng thể nằm trong khoảng.

Bài tập

1. Vận dụng cao. Tìm cỡ mẫu $n$ nhỏ nhất để bán kính (sai số) khoảng tin cậy cho tỉ lệ không vượt quá một độ chính xác $E$ cho trướcTrắc nghiệm`confidence_interval_min_sample_size`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Để ước lượng tỉ lệ $p$ của tổng thể với độ tin cậy $90\%$ ($z = 1{,}65$), người ta dự kiến tỉ lệ mẫu $\hat p = \dfrac{3}{10}$. Hỏi cần khảo sát ít nhất bao nhiêu cá thể để bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon$ không vượt quá $\dfrac{1}{20}$?

A.$n = 84$

B.$n = 228$

C.$n = 229$

D.$n = 230$

Câu 2.Để ước lượng tỉ lệ $p$ của tổng thể với độ tin cậy $90\%$ ($z = 1{,}65$), người ta dự kiến tỉ lệ mẫu $\hat p = \dfrac{7}{10}$. Hỏi cần khảo sát ít nhất bao nhiêu cá thể để bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon$ không vượt quá $\dfrac{1}{25}$?

A.$n = 359$

B.$n = 358$

C.$n = 132$

D.$n = 357$

Câu 3.Để ước lượng tỉ lệ $p$ của tổng thể với độ tin cậy $90\%$ ($z = 1{,}65$), người ta dự kiến tỉ lệ mẫu $\hat p = \dfrac{3}{10}$. Hỏi cần khảo sát ít nhất bao nhiêu cá thể để bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon$ không vượt quá $\dfrac{1}{100}$?

A.$n = 5718$

B.$n = 5717$

C.$n = 2100$

D.$n = 5719$

2. Nhận diện vai trò của bán kính khoảng tin cậyTrắc nghiệm`confidence_interval_radius_meaning`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Trong khoảng tin cậy đối xứng, độ dài khoảng bằng?

A.Tỉ lệ mẫu

B.Cỡ mẫu

C.Bán kính (sai số ước lượng) của khoảng tin cậy

D.$2\varepsilon$

Câu 5.Khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ $p$ có dạng $(\hat{p} - \varepsilon; \hat{p} + \varepsilon)$. Đại lượng $\varepsilon$ được gọi là?

A.Cỡ mẫu

B.Tỉ lệ mẫu

C.$2\varepsilon$

D.Bán kính (sai số ước lượng) của khoảng tin cậy

Câu 6.Khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ $p$ có dạng $(\hat{p} - \varepsilon; \hat{p} + \varepsilon)$. Đại lượng $\varepsilon$ được gọi là?

A.$2\varepsilon$

B.Tỉ lệ mẫu

C.Bán kính (sai số ước lượng) của khoảng tin cậy

D.Cỡ mẫu

3. Quan hệ giữa cỡ mẫu / mức tin cậy và độ rộng khoảng tin cậyTrắc nghiệm`confidence_interval_width_change`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Khi cỡ mẫu $n$ tăng thì độ rộng khoảng tin cậy (giả định cố định mức tin cậy)?

A.Không đổi

B.Lớn nhất

C.Tăng

D.Giảm

Câu 8.Khi cỡ mẫu $n$ tăng thì độ rộng khoảng tin cậy (giả định cố định mức tin cậy)?

A.Lớn nhất

B.Không đổi

C.Giảm

D.Tăng

Câu 9.Khi $\hat{p}$ gần $0{,}5$ với $n$ cố định, độ rộng khoảng tin cậy?

A.Giảm

B.Không đổi

C.Tăng

D.Lớn nhất

4. Tính bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon = z \sqrt{\hat p (1-\hat p)/n}$ với $z$ cho trướcTrắc nghiệm`confidence_interval_with_z_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Khảo sát ngẫu nhiên $100$ sản phẩm thì có $60$ đạt yêu cầu. Với độ tin cậy tương ứng $z = 1{,}96$, tính bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon$ cho tỉ lệ đạt yêu cầu của tổng thể (làm tròn 3 chữ số thập phân).

A.$\varepsilon \approx 0{,}129$

B.$\varepsilon \approx 0{,}096$

C.$\varepsilon \approx 0{,}049$

D.$\varepsilon \approx 0{,}050$

Câu 11.Khảo sát ngẫu nhiên $100$ sản phẩm thì có $40$ đạt yêu cầu. Với độ tin cậy tương ứng $z = 1{,}96$, tính bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon$ cho tỉ lệ đạt yêu cầu của tổng thể (làm tròn 3 chữ số thập phân).

A.$\varepsilon \approx 0{,}129$

B.$\varepsilon \approx 0{,}096$

C.$\varepsilon \approx 0{,}049$

D.$\varepsilon \approx 0{,}050$

Câu 12.Khảo sát ngẫu nhiên $100$ sản phẩm thì có $60$ đạt yêu cầu. Với độ tin cậy tương ứng $z = 1{,}96$, tính bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon$ cho tỉ lệ đạt yêu cầu của tổng thể (làm tròn 3 chữ số thập phân).

A.$\varepsilon \approx 0{,}050$

B.$\varepsilon \approx 0{,}049$

C.$\varepsilon \approx 0{,}096$

D.$\varepsilon \approx 0{,}129$

5. Tính tỉ lệ mẫu $\hat{p} = m/n$Trắc nghiệm`sample_proportion_calculation`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Khảo sát $250$ học sinh có $198$ em ủng hộ một đề xuất. Tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ là bao nhiêu (viết phân số tối giản)?

A.$\hat{p} = \dfrac{99}{125}$

B.$\hat{p} = \dfrac{223}{250}$

C.$\hat{p} = \dfrac{125}{99}$

D.$\hat{p} = \dfrac{26}{125}$

Câu 14.Khảo sát $250$ học sinh có $106$ em ủng hộ một đề xuất. Tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ là bao nhiêu (viết phân số tối giản)?

A.$\hat{p} = \dfrac{131}{250}$

B.$\hat{p} = \dfrac{125}{53}$

C.$\hat{p} = \dfrac{53}{125}$

D.$\hat{p} = \dfrac{72}{125}$

Câu 15.Khảo sát $500$ học sinh có $214$ em ủng hộ một đề xuất. Tỉ lệ mẫu $\hat{p}$ là bao nhiêu (viết phân số tối giản)?

A.$\hat{p} = \dfrac{143}{250}$

B.$\hat{p} = \dfrac{250}{107}$

C.$\hat{p} = \dfrac{66}{125}$

D.$\hat{p} = \dfrac{107}{250}$

6. Cho khảo sát $m$ thành công trong $n$ phép thử — xét đúng/sai về tỉ lệ mẫu $\hat{p}$, sai số ước lượng tỉ lệ, khoảng tin cậyĐúng / Sai`confidence_interval_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Khảo sát $n = 100$ người, có $m = 60$ người đồng ý với một ý kiến. Với mức tin cậy $95\%$ (tra $z = 1,96$), xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $\hat{p} = 0$ thì khoảng tin cậy có độ rộng $0$.

b)Sai số ước lượng tỉ lệ với mức tin cậy $95\%$ xấp xỉ $\varepsilon \approx 0,096$.

c)Khoảng tin cậy $95\%$ cho $p$ xấp xỉ $(0,504; 0,696)$.

d)$\hat{p}$ luôn nằm chính giữa khoảng tin cậy đối xứng.

Câu 17.Khảo sát $n = 100$ người, có $m = 40$ người đồng ý với một ý kiến. Với mức tin cậy $95\%$ (tra $z = 1,96$), xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng tin cậy $95\%$ cho $p$ xấp xỉ $(0,304; 0,496)$.

b)Khi $n$ tăng vô hạn, $\hat{p}$ tiến đến $p$ (luật số lớn).

c)$\hat{p}$ luôn nằm chính giữa khoảng tin cậy đối xứng.

d)Khi $\hat{p} = 0$ thì khoảng tin cậy có độ rộng $0$.

Câu 18.Khảo sát $n = 300$ người, có $m = 180$ người đồng ý với một ý kiến. Với mức tin cậy $99\%$ (tra $z = 2,576$), xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tỉ lệ mẫu $\hat{p} = \dfrac{180}{300} = 0,6$.

b)$\hat{p}$ luôn nằm chính giữa khoảng tin cậy đối xứng.

c)Khi $\hat{p} = 0$ thì khoảng tin cậy có độ rộng $0$.

d)Sai số ước lượng tỉ lệ với mức tin cậy $99\%$ xấp xỉ $\varepsilon \approx 0,073$.

7. Cho mẫu với $\bar{x}, \sigma, n$ cụ thể và mức tin cậy 95% — xét đúng/sai về sai số $\varepsilon = z \cdot \sigma / \sqrt{n}$ và khoảng tin cậyĐúng / Sai`confidence_interval_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Một mẫu kích thước $n = 100$ cho trung bình mẫu $\bar{x} = 100$, độ lệch chuẩn $\sigma = 10$. Với mức tin cậy $95\%$ (tra bảng $z = 1,96$), xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Sai số ước lượng (với mức tin cậy $95\%$) là $\varepsilon = 1,96$.

b)Khi $n$ tăng (giữ $\sigma$ và mức tin cậy), độ rộng khoảng tin cậy giảm.

c)Khoảng tin cậy $95\%$ cho $\mu$ là $(98,04; 101,96)$.

d)Khoảng tin cậy $95\%$ nghĩa là xác suất $\mu$ rơi vào khoảng đó là đúng $95\%$.

Câu 20.Một mẫu kích thước $n = 100$ cho trung bình mẫu $\bar{x} = 100$, độ lệch chuẩn $\sigma = 10$. Với mức tin cậy $95\%$ (tra bảng $z = 1,96$), xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khoảng tin cậy $95\%$ nghĩa là xác suất $\mu$ rơi vào khoảng đó là đúng $95\%$.

b)Sai số ước lượng (với mức tin cậy $95\%$) là $\varepsilon = 1,96$.

c)Khi $n$ tăng (giữ $\sigma$ và mức tin cậy), độ rộng khoảng tin cậy giảm.

d)Sai số $\varepsilon = 0,196$ (chia cho $n$ thay vì $\sqrt{n}$).

Câu 21.Một mẫu kích thước $n = 100$ cho trung bình mẫu $\bar{x} = 100$, độ lệch chuẩn $\sigma = 10$. Với mức tin cậy $95\%$ (tra bảng $z = 1,96$), xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Sai số $\varepsilon = 0,196$ (chia cho $n$ thay vì $\sqrt{n}$).

b)Khi mức tin cậy tăng từ $90\%$ lên $99\%$ (giữ $n$), độ rộng khoảng tin cậy tăng.

c)Khi $n$ tăng (giữ $\sigma$ và mức tin cậy), độ rộng khoảng tin cậy giảm.

d)Khoảng tin cậy $95\%$ nghĩa là xác suất $\mu$ rơi vào khoảng đó là đúng $95\%$.

8. Độ dài khoảng tin cậy = $2\varepsilon$ (số thập phân)Trả lời ngắn`confidence_interval_length`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Khoảng tin cậy đối xứng có bán kính $\varepsilon = 0.05$. Độ dài khoảng tin cậy bằng? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 23.Khoảng tin cậy đối xứng có bán kính $\varepsilon = 0.03$. Độ dài khoảng tin cậy bằng? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 24.Khoảng tin cậy đối xứng có bán kính $\varepsilon = 0.02$. Độ dài khoảng tin cậy bằng? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

9. Tính $\hat{p} = m/n$ (số thập phân)Trả lời ngắn`proportion_estimate_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Khảo sát $200$ người, trong đó $60$ người ủng hộ. Tính tỉ lệ mẫu $\hat{p}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 26.Khảo sát $100$ người, trong đó $40$ người ủng hộ. Tính tỉ lệ mẫu $\hat{p}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Khảo sát $500$ người, trong đó $50$ người ủng hộ. Tính tỉ lệ mẫu $\hat{p}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Khoảng tin cậy

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(2)

§3. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Vận dụng cao. Tìm cỡ mẫu $n$ nhỏ nhất để bán kính (sai số) khoảng tin cậy cho tỉ lệ không vượt quá một độ chính xác $E$ cho trướcTrắc nghiệmconfidence_interval_min_sample_size(3 câu)

2. Nhận diện vai trò của bán kính khoảng tin cậyTrắc nghiệmconfidence_interval_radius_meaning(3 câu)

3. Quan hệ giữa cỡ mẫu / mức tin cậy và độ rộng khoảng tin cậyTrắc nghiệmconfidence_interval_width_change(3 câu)

4. Tính bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon = z \sqrt{\hat p (1-\hat p)/n}$ với $z$ cho trướcTrắc nghiệmconfidence_interval_with_z_value(3 câu)

5. Tính tỉ lệ mẫu $\hat{p} = m/n$Trắc nghiệmsample_proportion_calculation(3 câu)

6. Cho khảo sát $m$ thành công trong $n$ phép thử — xét đúng/sai về tỉ lệ mẫu $\hat{p}$, sai số ước lượng tỉ lệ, khoảng tin cậyĐúng / Saiconfidence_interval_examples(3 câu)

7. Cho mẫu với $\bar{x}, \sigma, n$ cụ thể và mức tin cậy 95% — xét đúng/sai về sai số $\varepsilon = z \cdot \sigma / \sqrt{n}$ và khoảng tin cậyĐúng / Saiconfidence_interval_facts(3 câu)

8. Độ dài khoảng tin cậy = $2\varepsilon$ (số thập phân)Trả lời ngắnconfidence_interval_length(3 câu)

9. Tính $\hat{p} = m/n$ (số thập phân)Trả lời ngắnproportion_estimate_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Vận dụng cao. Tìm cỡ mẫu $n$ nhỏ nhất để bán kính (sai số) khoảng tin cậy cho tỉ lệ không vượt quá một độ chính xác $E$ cho trướcTrắc nghiệm`confidence_interval_min_sample_size`(3 câu)

2. Nhận diện vai trò của bán kính khoảng tin cậyTrắc nghiệm`confidence_interval_radius_meaning`(3 câu)

3. Quan hệ giữa cỡ mẫu / mức tin cậy và độ rộng khoảng tin cậyTrắc nghiệm`confidence_interval_width_change`(3 câu)

4. Tính bán kính khoảng tin cậy $\varepsilon = z \sqrt{\hat p (1-\hat p)/n}$ với $z$ cho trướcTrắc nghiệm`confidence_interval_with_z_value`(3 câu)

5. Tính tỉ lệ mẫu $\hat{p} = m/n$Trắc nghiệm`sample_proportion_calculation`(3 câu)

6. Cho khảo sát $m$ thành công trong $n$ phép thử — xét đúng/sai về tỉ lệ mẫu $\hat{p}$, sai số ước lượng tỉ lệ, khoảng tin cậyĐúng / Sai`confidence_interval_examples`(3 câu)

7. Cho mẫu với $\bar{x}, \sigma, n$ cụ thể và mức tin cậy 95% — xét đúng/sai về sai số $\varepsilon = z \cdot \sigma / \sqrt{n}$ và khoảng tin cậyĐúng / Sai`confidence_interval_facts`(3 câu)

8. Độ dài khoảng tin cậy = $2\varepsilon$ (số thập phân)Trả lời ngắn`confidence_interval_length`(3 câu)

9. Tính $\hat{p} = m/n$ (số thập phân)Trả lời ngắn`proportion_estimate_value`(3 câu)