Phân phối nhị thức

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Định nghĩa phân phối nhị thức

Biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức với tham số $n \in \mathbb{N}^*$ và $p \in [0;1]$ (ký hiệu $X \sim B(n, p)$) nếu $X$ là số lần thành công trong $n$ phép thử Bernoulli độc lập, mỗi phép thử có xác suất thành công $p$. Tập giá trị: $\{0, 1, 2, \dots, n\}$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Giá trị có khả năng nhất (mode) của $B(n, p)$

$X \sim B(n, p)$:

Mode = $\lfloor (n+1)p \rfloor$ (nếu không nguyên).
Nếu $(n+1)p$ là số nguyên: 2 mode = $(n+1)p$ và $(n+1)p - 1$.

§3. Công thức(2)

3.1

Kỳ vọng + phương sai phân phối nhị thức

$X \sim B(n, p)$:

Kỳ vọng: $E(X) = np$.
Phương sai: $V(X) = np(1-p)$.
Độ lệch chuẩn: $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

3.2

Công thức xác suất nhị thức

$X \sim B(n, p)$: $$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \dots, n.$$ Với $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ là tổ hợp chập $k$ của $n$.

§4. Phương pháp(1)

4.1

Tính xác suất các sự kiện trên $X \sim B(n, p)$

Bước 1. Xác định $n$ (số phép thử), $p$ (xác suất thành công). Bước 2. Áp dụng công thức nhị thức cho từng giá trị $k$: $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$. Bước 3. Tính các xác suất bao tổ hợp:

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$.
$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$.
$P(a \leq X \leq b) = \sum_{i=a}^{b} P(X = i)$.

Bài tập

1. Cho $X \sim B(n, p)$, tính kì vọng $E(X) = np$ hoặc phương sai $V(X) = np(1-p)$Trắc nghiệm`binomial_mean_variance`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho biến ngẫu nhiên $X \sim B(20; \dfrac{7}{10})$. Tính phương sai $V(X)$.

A.$V(X) = 14$

B.$V(X) = \dfrac{21}{5}$

C.$V(X) = 20$

D.$V(X) = \dfrac{7}{10}$

Câu 2.Cho biến ngẫu nhiên $X \sim B(9; \dfrac{7}{10})$. Tính kì vọng $E(X)$.

A.$E(X) = \dfrac{63}{10}$

B.$E(X) = \dfrac{7}{10}$

C.$E(X) = \dfrac{189}{100}$

D.$E(X) = 9$

Câu 3.Cho biến ngẫu nhiên $X \sim B(9; \dfrac{1}{10})$. Tính phương sai $V(X)$.

A.$V(X) = 9$

B.$V(X) = \dfrac{9}{10}$

C.$V(X) = \dfrac{1}{10}$

D.$V(X) = \dfrac{81}{100}$

2. Vận dụng cao. Tìm số phép thử $n$ nhỏ nhất để xác suất có ÍT NHẤT một thành công vượt ngưỡng cho trướcTrắc nghiệm`binomial_min_n_threshold`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Một phép thử có xác suất thành công $\dfrac{1}{3}$ (tức $33{,}3333\%$), các lần thử độc lập. Cần thực hiện ÍT NHẤT bao nhiêu lần thử để xác suất có ít nhất một lần thành công không nhỏ hơn $95\%$?

A.$n = 8$

B.$n = 9$

C.$n = 6$

D.$n = 7$

Câu 5.Một phép thử có xác suất thành công $\dfrac{1}{4}$ (tức $25\%$), các lần thử độc lập. Cần thực hiện ÍT NHẤT bao nhiêu lần thử để xác suất có ít nhất một lần thành công không nhỏ hơn $99\%$?

A.$n = 18$

B.$n = 17$

C.$n = 15$

D.$n = 16$

Câu 6.Một phép thử có xác suất thành công $\dfrac{1}{4}$ (tức $25\%$), các lần thử độc lập. Cần thực hiện ÍT NHẤT bao nhiêu lần thử để xác suất có ít nhất một lần thành công không nhỏ hơn $99\%$?

A.$n = 18$

B.$n = 16$

C.$n = 17$

D.$n = 15$

3. Tính $P(X = k)$ với $X \sim B(n, p)$Trắc nghiệm`binomial_probability`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Một biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(5; \dfrac{1}{2})$. Tính $P(X = 3)$.

A.$P = \dfrac{5}{16}$

B.$P = \dfrac{3}{5}$

C.$P = \dfrac{1}{8}$

D.$P = 10$

Câu 8.Một biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(4; \dfrac{7}{10})$. Tính $P(X = 1)$.

A.$P = 4$

B.$P = \dfrac{189}{2500}$

C.$P = \dfrac{7}{10}$

D.$P = \dfrac{1}{4}$

Câu 9.Một biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $B(5; \dfrac{1}{5})$. Tính $P(X = 2)$.

A.$P = \dfrac{2}{5}$

B.$P = \dfrac{1}{25}$

C.$P = 10$

D.$P = \dfrac{128}{625}$

4. Bài toán tình huống — nhị thức từ phép thử Bernoulli lặp lạiĐúng / Sai`binom_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Một người tung đồng xu $8$ lần độc lập, mỗi lần xác suất ngửa là $0,5$. Gọi $X$ là số lần ngửa. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$E(X) = 4$ (số lần ngửa kỳ vọng).

b)Phân phối của $X$ là phân phối liên tục.

c)Số lần ngửa $X \sim B(8, 0,5)$.

d)$V(X) = 2$.

Câu 11.Một người trả lời trắc nghiệm $25$ lần độc lập, mỗi lần xác suất đúng là $0,25$. Gọi $X$ là số lần đúng. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$X$ có thể nhận giá trị âm.

b)$E(X) = 6,25$ (số lần đúng kỳ vọng).

c)Số lần đúng $X \sim B(25, 0,25)$.

d)$V(X) = 4,6875$.

Câu 12.Một người trả lời trắc nghiệm $25$ lần độc lập, mỗi lần xác suất đúng là $0,25$. Gọi $X$ là số lần đúng. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$E(X) = 6,25$ (số lần đúng kỳ vọng).

b)Giá trị lớn nhất của $X$ là $25$.

c)Số lần đúng $X \sim B(25, 0,25)$.

d)Phân phối của $X$ là phân phối liên tục.

5. Cho $X \sim B(n, p)$ cụ thể — xét đúng/sai về kỳ vọng, phương sai, P(X=k)Đúng / Sai`binomial_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $X \sim B(5, 0,4)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$E(X) = 2$.

b)$E(X) = 5$.

c)$X$ chỉ nhận giá trị nguyên trong $\{0, 1, 2, \ldots, 5\}$.

d)$P(X = k) = C_{5}^k \cdot 0,4^k \cdot (1 - 0,4)^{5-k}$.

Câu 14.Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $X \sim B(20, 0,5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$X$ chỉ nhận giá trị nguyên trong $\{0, 1, 2, \ldots, 20\}$.

b)$P(X = k) = C_{20}^k \cdot 0,5^k \cdot (1 - 0,5)^{20-k}$.

c)$E(X) = 20$.

d)$P(X = 1) + P(X = 0) + ... + P(X = 20) = 1$.

Câu 15.Cho biến ngẫu nhiên $X$ tuân theo phân phối nhị thức $X \sim B(10, 0,3)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$E(X) = 10$.

b)$P(X = k) = C_{10}^k \cdot 0,3^k \cdot (1 - 0,3)^{10-k}$.

c)$E(X) = 3$.

d)$P(X = 10) + P(X = 0) + ... + P(X = 10) = 1$.

6. Ba xạ thủ (trạm bắn) độc lập — NHẤN biến cố đối: P(không trúng) & P(≥1 trúng)Đúng / Sai`tf_independent_at_least_one`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Ba xạ thủ $A$, $B$, $C$ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên độc lập với xác suất bắn trúng lần lượt là $0,9$, $0,7$, $0,4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{cả 3 đều trúng}) = 0,252$.

b)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) = 1 - 0,018 = 0,982$.

c)$P(\text{cả 3 đều KHÔNG trúng}) = 0,018$.

d)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) = 2$ (cộng $0,9+0,7+0,4$).

Câu 17.Ba xạ thủ $X$, $Y$, $Z$ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên độc lập với xác suất bắn trúng lần lượt là $0,8$, $0,5$, $0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{cả 3 đều KHÔNG trúng}) = 1 - 0,08$.

b)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) = 1 - 0,08 = 0,92$.

c)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) \ge P(\text{cả 3 đều trúng})$.

d)$P(\text{cả 3 đều trúng}) = 1,5$ (cộng các xác suất).

Câu 18.Ba xạ thủ $A$, $B$, $C$ cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 viên độc lập với xác suất bắn trúng lần lượt là $0,7$, $0,5$, $0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{cả 3 đều KHÔNG trúng}) = 1 - 0,07$.

b)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) = 1,4$ (cộng $0,7+0,5+0,2$).

c)$P(\text{có ít nhất 1 người trúng}) \ge P(\text{cả 3 đều trúng})$.

d)$P(\text{cả 3 đều trúng}) = 0,07$.

7. Ba môn thi độc lập, xác suất đạt khác nhau — NHẤN so sánh "đúng 2" vs "cả 3"Đúng / Sai`tf_independent_levels_probability`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Một thí sinh dự thi 3 môn $Toán$, $Văn$, $Anh$ độc lập với xác suất đạt lần lượt là $0,8$, $0,7$, $0,6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) > P(\text{đạt cả 3 môn})$.

b)$P(\text{đạt đúng 2 trong 3 môn}) = 0,452$.

c)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) < P(\text{đạt cả 3 môn})$.

d)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) = 0,441$ (coi 3 xác suất như nhau).

Câu 20.Một thí sinh dự thi 3 môn $Toán$, $Lí$, $Hoá$ độc lập với xác suất đạt lần lượt là $0,8$, $0,4$, $0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) < P(\text{đạt cả 3 môn})$.

b)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) > P(\text{đạt cả 3 môn})$.

c)$P(\text{trượt cả 3 môn}) = 1 - 0,064$.

d)$P(\text{đạt đúng 2 trong 3 môn}) = 0,368$.

Câu 21.Một thí sinh dự thi 3 môn $Toán$, $Văn$, $Anh$ độc lập với xác suất đạt lần lượt là $0,8$, $0,6$, $0,4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đạt ít nhất 1 môn}) = 0,952$.

b)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) < P(\text{đạt cả 3 môn})$.

c)$P(\text{đạt đúng 2 môn}) = 0,432$ (coi 3 xác suất như nhau).

d)$P(\text{trượt cả 3 môn}) = 1 - 0,192$.

8. Một học sinh làm 3 câu ĐỘC LẬP mức dễ/TB/khó, xác suất đúng p1>p2>p3Đúng / Sai`tf_independent_three_events_count`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Một học sinh làm 3 câu trắc nghiệm độc lập (mức dễ, trung bình, khó) với xác suất làm đúng lần lượt là $0,8$, $0,6$, $0,15$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) > P(\text{đúng cả 3 câu})$.

b)$P(\text{đúng cả 3 câu}) = 0,072$.

c)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 1,55$ (cộng $0,8+0,6+0,15$).

d)$P(\text{đúng cả 3 câu}) = 1,55$ (cộng các xác suất).

Câu 23.Một học sinh làm 3 câu trắc nghiệm độc lập (mức dễ, trung bình, khó) với xác suất làm đúng lần lượt là $0,8$, $0,6$, $0,5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đúng cả 3 câu}) = 1,9$ (cộng các xác suất).

b)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 1,9$ (cộng $0,8+0,6+0,5$).

c)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) > P(\text{đúng cả 3 câu})$.

d)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 0,96$.

Câu 24.Một học sinh làm 3 câu trắc nghiệm độc lập (mức dễ, trung bình, khó) với xác suất làm đúng lần lượt là $0,9$, $0,6$, $0,2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) > P(\text{đúng cả 3 câu})$.

b)$P(\text{không câu nào đúng}) = 0,032$.

c)$P(\text{đúng ít nhất 1 câu}) = 0,968$.

d)$P(\text{đúng cả 3 câu}) = 1,7$ (cộng các xác suất).

9. SA: $X \sim B(n,p)$, tính $P(a \le X \le b)$ — xác suất tích lũy đoạnTrả lời ngắn`binomial_cumulative_between`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Gieo một con xúc xắc cân đối 8 lần, các lần gieo độc lập với nhau. Mỗi lần gieo, xác suất xuất hiện mặt được tính là "thành công" bằng $1/2$. Gọi $X$ là số lần thành công. Tính xác suất để $X$ nhận giá trị từ $3$ đến $5$ (tức $3 \le X \le 5$), làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 26.Một xạ thủ bắn 10 phát độc lập vào bia. Mỗi phát trúng đích với xác suất $3/10$. Gọi $X$ là số phát trúng đích. Tính xác suất để $X$ nhận giá trị từ $2$ đến $4$ (tức $2 \le X \le 4$), làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Câu 27.Gieo một con xúc xắc cân đối 9 lần, các lần gieo độc lập với nhau. Mỗi lần gieo, xác suất xuất hiện mặt được tính là "thành công" bằng $1/3$. Gọi $X$ là số lần thành công. Tính xác suất để $X$ nhận giá trị từ $2$ đến $4$ (tức $2 \le X \le 4$), làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

10. SA: HS đoán $n$ câu, đúng được $+plus$, sai bị $-minus$; tính $P(\text{điểm} \leq T)$Trả lời ngắn`binomial_guess_exam_score_threshold`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Một bài thi trắc nghiệm có $20$ câu hỏi, mỗi câu có $4$ phương án lựa chọn trong đó có $1$ đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được $2$ điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ $1$ điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tính xác suất để điểm của học sinh này không lớn hơn $5$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 29.Một bài thi trắc nghiệm có $12$ câu hỏi, mỗi câu có $4$ phương án lựa chọn trong đó có $1$ đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được $4$ điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ $1$ điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tính xác suất để điểm của học sinh này không lớn hơn $10$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 30.Một bài thi trắc nghiệm có $12$ câu hỏi, mỗi câu có $4$ phương án lựa chọn trong đó có $1$ đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được $5$ điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ $2$ điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tính xác suất để điểm của học sinh này không lớn hơn $4$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

11. $E(X) = np$ (số thập phân)Trả lời ngắn`binomial_mean_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 31.Cho $X \sim B(12, \dfrac{6}{10})$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 32.Cho $X \sim B(14, \dfrac{3}{10})$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 33.Cho $X \sim B(8, \dfrac{4}{10})$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

12. $X \sim B(n, p)$, tính $P(X = k)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`binomial_prob`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Cho $X \sim B(4, \dfrac{3}{5})$. Tính $P(X = 1)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 35.Cho $X \sim B(5, \dfrac{2}{5})$. Tính $P(X = 5)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 36.Cho $X \sim B(6, \dfrac{4}{5})$. Tính $P(X = 6)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(2)

§4. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Cho $X \sim B(n, p)$, tính kì vọng $E(X) = np$ hoặc phương sai $V(X) = np(1-p)$Trắc nghiệmbinomial_mean_variance(3 câu)

2. Vận dụng cao. Tìm số phép thử $n$ nhỏ nhất để xác suất có ÍT NHẤT một thành công vượt ngưỡng cho trướcTrắc nghiệmbinomial_min_n_threshold(3 câu)

3. Tính $P(X = k)$ với $X \sim B(n, p)$Trắc nghiệmbinomial_probability(3 câu)

4. Bài toán tình huống — nhị thức từ phép thử Bernoulli lặp lạiĐúng / Saibinom_facts2(3 câu)

5. Cho $X \sim B(n, p)$ cụ thể — xét đúng/sai về kỳ vọng, phương sai, P(X=k)Đúng / Saibinomial_facts(3 câu)

6. Ba xạ thủ (trạm bắn) độc lập — NHẤN biến cố đối: P(không trúng) & P(≥1 trúng)Đúng / Saitf_independent_at_least_one(3 câu)

7. Ba môn thi độc lập, xác suất đạt khác nhau — NHẤN so sánh "đúng 2" vs "cả 3"Đúng / Saitf_independent_levels_probability(3 câu)

8. Một học sinh làm 3 câu ĐỘC LẬP mức dễ/TB/khó, xác suất đúng p1>p2>p3Đúng / Saitf_independent_three_events_count(3 câu)

9. SA: $X \sim B(n,p)$, tính $P(a \le X \le b)$ — xác suất tích lũy đoạnTrả lời ngắnbinomial_cumulative_between(3 câu)

10. SA: HS đoán $n$ câu, đúng được $+plus$, sai bị $-minus$; tính $P(\text{điểm} \leq T)$Trả lời ngắnbinomial_guess_exam_score_threshold(3 câu)

11. $E(X) = np$ (số thập phân)Trả lời ngắnbinomial_mean_sa(3 câu)

12. $X \sim B(n, p)$, tính $P(X = k)$ (số thập phân)Trả lời ngắnbinomial_prob(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho $X \sim B(n, p)$, tính kì vọng $E(X) = np$ hoặc phương sai $V(X) = np(1-p)$Trắc nghiệm`binomial_mean_variance`(3 câu)

2. Vận dụng cao. Tìm số phép thử $n$ nhỏ nhất để xác suất có ÍT NHẤT một thành công vượt ngưỡng cho trướcTrắc nghiệm`binomial_min_n_threshold`(3 câu)

3. Tính $P(X = k)$ với $X \sim B(n, p)$Trắc nghiệm`binomial_probability`(3 câu)

4. Bài toán tình huống — nhị thức từ phép thử Bernoulli lặp lạiĐúng / Sai`binom_facts2`(3 câu)

5. Cho $X \sim B(n, p)$ cụ thể — xét đúng/sai về kỳ vọng, phương sai, P(X=k)Đúng / Sai`binomial_facts`(3 câu)

6. Ba xạ thủ (trạm bắn) độc lập — NHẤN biến cố đối: P(không trúng) & P(≥1 trúng)Đúng / Sai`tf_independent_at_least_one`(3 câu)

7. Ba môn thi độc lập, xác suất đạt khác nhau — NHẤN so sánh "đúng 2" vs "cả 3"Đúng / Sai`tf_independent_levels_probability`(3 câu)

8. Một học sinh làm 3 câu ĐỘC LẬP mức dễ/TB/khó, xác suất đúng p1>p2>p3Đúng / Sai`tf_independent_three_events_count`(3 câu)

9. SA: $X \sim B(n,p)$, tính $P(a \le X \le b)$ — xác suất tích lũy đoạnTrả lời ngắn`binomial_cumulative_between`(3 câu)

10. SA: HS đoán $n$ câu, đúng được $+plus$, sai bị $-minus$; tính $P(\text{điểm} \leq T)$Trả lời ngắn`binomial_guess_exam_score_threshold`(3 câu)

11. $E(X) = np$ (số thập phân)Trả lời ngắn`binomial_mean_sa`(3 câu)

12. $X \sim B(n, p)$, tính $P(X = k)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`binomial_prob`(3 câu)