Công thức
§1. Định nghĩa(1)
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
§2. Tính chất(1)
Tính chất kỳ vọng / phương sai
- $E(aX + b) = aE(X) + b$.
- $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (kể cả không độc lập).
- $V(aX + b) = a^2 V(X)$.
- $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ chỉ khi $X, Y$ độc lập.
§3. Công thức(1)
Phương sai + Độ lệch chuẩn
§4. Phương pháp(1)
Phương pháp tính $E(X), V(X)$
Bài tập
1. Vận dụng cao. Bài toán quyết định: so sánh KÌ VỌNG lợi nhuận của hai phương án (hai trò chơi / hai khoản đầu tư) để chọn phương án tối ưuTrắc nghiệmdecision_by_expectation(3 câu)
Câu 1.Một nhà đầu tư cân nhắc hai phương án (đơn vị: nghìn đồng): • Phương án $A$: lãi $30$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{2}{5}$, lỗ $30$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{3}{5}$. • Phương án $B$: lãi $60$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{1}{2}$, lỗ $50$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{1}{2}$. Dựa trên kì vọng lợi nhuận, nên chọn phương án nào và kì vọng tương ứng bằng bao nhiêu?
Câu 2.Một nhà đầu tư cân nhắc hai phương án (đơn vị: nghìn đồng): • Phương án $A$: lãi $40$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{3}{10}$, lỗ $10$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{7}{10}$. • Phương án $B$: lãi $80$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{7}{10}$, lỗ $60$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{3}{10}$. Dựa trên kì vọng lợi nhuận, nên chọn phương án nào và kì vọng tương ứng bằng bao nhiêu?
Câu 3.Một nhà đầu tư cân nhắc hai phương án (đơn vị: nghìn đồng): • Phương án $A$: lãi $30$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{1}{2}$, lỗ $30$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{1}{2}$. • Phương án $B$: lãi $50$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{3}{10}$, lỗ $40$ nghìn đồng với xác suất $\dfrac{7}{10}$. Dựa trên kì vọng lợi nhuận, nên chọn phương án nào và kì vọng tương ứng bằng bao nhiêu?
2. Vận dụng cao. Cho bảng phân phối xác suất của $X$ với 4–5 giá trịTrắc nghiệmdistribution_table_mean_variance(3 câu)
Câu 4.Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc $X$: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 2 & 6 & 7 & 9 & 10 \\ \hline P & \dfrac{3}{20} & \dfrac{10}{20} & \dfrac{2}{20} & \dfrac{4}{20} & \dfrac{1}{20} \\ \hline \end{array}$$ Khi đó $E(X)$ và $V(X)$ lần lượt bằng:
Câu 5.Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc $X$: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 4 & 7 & 9 \\ \hline P & \dfrac{9}{20} & \dfrac{7}{20} & \dfrac{2}{20} & \dfrac{2}{20} \\ \hline \end{array}$$ Khi đó $E(X)$ và $V(X)$ lần lượt bằng:
Câu 6.Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc $X$: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 6 & 10 \\ \hline P & \dfrac{1}{20} & \dfrac{6}{20} & \dfrac{10}{20} & \dfrac{3}{20} \\ \hline \end{array}$$ Khi đó $E(X)$ và $V(X)$ lần lượt bằng:
3. Tính $E(X) = \sum x_i p_i$Trắc nghiệmexpectation_discrete(3 câu)
Câu 7.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X=6) = \dfrac{5}{20}$, $P(X=9) = \dfrac{6}{20}$, $P(X=5) = \dfrac{5}{20}$, $P(X=9) = \dfrac{4}{20}$. Tính $E(X)$.
Câu 8.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X=9) = \dfrac{3}{10}$, $P(X=2) = \dfrac{1}{10}$, $P(X=3) = \dfrac{6}{10}$. Tính $E(X)$.
Câu 9.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X=2) = \dfrac{2}{10}$, $P(X=2) = \dfrac{3}{10}$, $P(X=4) = \dfrac{5}{10}$. Tính $E(X)$.
4. Cho bảng phân phối $X$ — tính độ lệch chuẩn $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$Trắc nghiệmstandard_deviation_from_table(3 câu)
Câu 10.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline P & \dfrac{5}{13} & \dfrac{2}{13} & \dfrac{3}{13} & \dfrac{3}{13} \\\hline\end{array}$$ Tính độ lệch chuẩn $\sigma(X)$ (làm gọn nếu được).
Câu 11.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline P & \dfrac{1}{3} & \dfrac{4}{15} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\\hline\end{array}$$ Tính độ lệch chuẩn $\sigma(X)$ (làm gọn nếu được).
Câu 12.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline P & \dfrac{2}{11} & \dfrac{2}{11} & \dfrac{4}{11} & \dfrac{3}{11} \\\hline\end{array}$$ Tính độ lệch chuẩn $\sigma(X)$ (làm gọn nếu được).
5. Tính phương sai $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ của biến ngẫu nhiên rời rạcTrắc nghiệmvariance_discrete(3 câu)
Câu 13.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X=4) = \dfrac{4}{10}$, $P(X=3) = \dfrac{4}{10}$, $P(X=4) = \dfrac{2}{10}$. Tính phương sai $V(X)$.
Câu 14.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X=2) = \dfrac{2}{10}$, $P(X=4) = \dfrac{2}{10}$, $P(X=4) = \dfrac{6}{10}$. Tính phương sai $V(X)$.
Câu 15.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có bảng phân phối: $P(X=5) = \dfrac{1}{10}$, $P(X=3) = \dfrac{5}{10}$, $P(X=6) = \dfrac{4}{10}$. Tính phương sai $V(X)$.
6. Cho biến ngẫu nhiên $X$ với $E(X), V(X)$ cụ thể — xét đúng/sai về tính chất của $E(aX+b), V(aX+b)$Đúng / Saiexpect_facts2(3 câu)
Câu 16.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 2$ và $V(X) = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 17.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 3$ và $V(X) = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 18.Cho biến ngẫu nhiên $X$ có $E(X) = 3$ và $V(X) = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
7. Cho bảng phân phối $X$ cụ thể — xét đúng/sai về tổng $\sum p_i$, $E(X)$, $V(X)$, $P(X \geq k)$Đúng / Saiexpectation_facts(3 câu)
Câu 19.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0,5 & 0,3 & 0,2 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 20.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & 0,2 & 0,3 & 0,3 & 0,2 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 21.Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ có bảng phân phối: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0,1 & 0,3 & 0,4 & 0,2 \\ \hline \end{array}$$ Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
8. Tối ưu số cánh cửa mở để cực đại kỳ vọng tiền thắng (kỳ vọng, VDC)Trả lời ngắndoors_collector_expected_winnings_sa(2 câu)
Câu 22.Trước mặt bạn có $5$ cánh cửa. Trong đó có $4$ cánh cửa mà sau mỗi cánh có $100$ USD, và $1$ cánh cửa mà sau đó là một "người thu hồi". Bạn được chọn mở đồng thời một số cánh cửa tuỳ ý: nếu tất cả các cửa bạn mở đều có tiền thì bạn giữ được toàn bộ số tiền đó; nhưng nếu trong các cửa đã mở có cửa chứa "người thu hồi" thì bạn bị lấy hết và không nhận được gì. Nếu chọn số lượng cửa mở tối ưu thì số tiền thắng kỳ vọng lớn nhất bằng bao nhiêu USD?
Câu 23.Trước mặt bạn có $6$ cánh cửa. Trong đó có $5$ cánh cửa mà sau mỗi cánh có $120$ USD, và $1$ cánh cửa mà sau đó là một "người thu hồi". Bạn được chọn mở đồng thời một số cánh cửa tuỳ ý: nếu tất cả các cửa bạn mở đều có tiền thì bạn giữ được toàn bộ số tiền đó; nhưng nếu trong các cửa đã mở có cửa chứa "người thu hồi" thì bạn bị lấy hết và không nhận được gì. Nếu chọn số lượng cửa mở tối ưu thì số tiền thắng kỳ vọng lớn nhất bằng bao nhiêu USD?
9. Tính $E(X)$ (số thập phân)Trả lời ngắnexpectation_simple(3 câu)
Câu 24.$X$ nhận $4$ với $\dfrac{4}{10}$, $5$ với $\dfrac{2}{10}$, $2$ với $\dfrac{4}{10}$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 25.$X$ nhận $3$ với $\dfrac{4}{10}$, $5$ với $\dfrac{4}{10}$, $2$ với $\dfrac{2}{10}$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 26.$X$ nhận $4$ với $\dfrac{3}{10}$, $3$ với $\dfrac{4}{10}$, $3$ với $\dfrac{3}{10}$. Tính $E(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
10. Tính phương sai $V(X)$ (số thập phân)Trả lời ngắnvariance_discrete_sa(3 câu)
Câu 27.Cho $X$ có $P(X=5) = \dfrac{4}{10}$, $P(X=1) = \dfrac{2}{10}$, $P(X=6) = \dfrac{4}{10}$. Tính $V(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 28.Cho $X$ có $P(X=4) = \dfrac{4}{10}$, $P(X=1) = \dfrac{1}{10}$, $P(X=2) = \dfrac{5}{10}$. Tính $V(X)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 29.Cho $X$ có $P(X=6) = \dfrac{3}{10}$, $P(X=6) = \dfrac{3}{10}$, $P(X=6) = \dfrac{4}{10}$. Tính $V(X)$.