Đường thẳng song song và cắt nhau

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Vị trí tương đối 2 đường thẳng (lớp 9)

Cho $d: y = ax + b$ và $d': y = a'x + b'$:

Trùng nhau: $a = a'$ và $b = b'$.
Song song: $a = a'$ và $b \neq b'$.
Cắt nhau: $a \neq a'$ — có duy nhất 1 giao điểm.
Vuông góc: $a \cdot a' = -1$ (trường hợp đặc biệt của cắt).

§2. Phương pháp(2)

2.1

Tìm giao điểm 2 đường thẳng

Bước 1. Lập hệ phương trình $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$. Bước 2. Cho 2 vế phải bằng nhau: $ax + b = a'x + b' \Rightarrow x = \dfrac{b' - b}{a - a'}$. Bước 3. Thay $x$ vào 1 trong 2 phương trình để tìm $y$. Bước 4. Giao điểm $M(x; y)$.

2.2

Tìm $m$ để 2 đường song song / cắt / trùng

Cho $d: y = (m - 1)x + 3$ và $d': y = 2x + m$: Bước 1. Xác định $a, a', b, b'$ theo $m$. Bước 2. Áp dụng điều kiện:

Song song: $a = a'$ và $b \neq b'$ → tìm $m$ thoả phương trình + bất phương trình.
Cắt: $a \neq a'$ → bất phương trình theo $m$.
Trùng: $a = a'$ và $b = b'$ → hệ 2 phương trình.

Bước 3. Giải, đối chiếu điều kiện.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: kiểm tra nhanh 'đi qua điểm'

Đường thẳng $d: y = ax + b$ đi qua điểm $M(x_0; y_0) \Leftrightarrow y_0 = a x_0 + b$. Bài 'tìm $m$ để đường thẳng đi qua $M$': thay toạ độ → phương trình theo $m$ → giải.

Bài tập

1. Cho 2 đường thẳng, xác định: song song / cắt / trùngTrắc nghiệm`check_parallel_or_intersect`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $y = x + 5$ và $y = x - 6$ là:

A.Cắt nhau

B.Trùng nhau

C.Song song

D.Vuông góc

Câu 2.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $y = 4x - 3$ và $y = -5x + 6$ là:

A.Song song

B.Vuông góc

C.Trùng nhau

D.Cắt nhau

Câu 3.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $y = -4x + 5$ và $y = -4x + 5$ là:

A.Song song

B.Cắt nhau

C.Trùng nhau

D.Vuông góc

2. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệm`find_intersection_two_lines`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $d_1: y = 4x - 6$ và $d_2: y = -4x + 18$.

A.$(3; 6)$

B.$(0; -6)$

C.$(6; 3)$

D.$(-3; -6)$

Câu 5.Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $d_1: y = 2x - 3$ và $d_2: y = x - 2$.

A.$(1; -1)$

B.$(0; -3)$

C.$(1; 0)$

D.$(-1; 1)$

Câu 6.Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $d_1: y = 3x - 13$ và $d_2: y = -3x + 11$.

A.$(0; -13)$

B.$(-4; 1)$

C.$(4; -1)$

D.$(-1; 4)$

3. Quan sát đồ thị 2 đường thẳng giao nhau, đọc toạ độ điểm giao $I$Trắc nghiệm`read_intersection_from_graph`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Quan sát đồ thị hai đường thẳng cắt nhau trong hình. Toạ độ điểm giao $I$ là:

Hai đường thẳng y=3x+11 và y=2x+8

A.$I(-3; 2)$

B.$I(2; -3)$

C.$I(-3; 3)$

D.$I(3; -2)$

Câu 8.Quan sát đồ thị hai đường thẳng cắt nhau trong hình. Toạ độ điểm giao $I$ là:

Hai đường thẳng y=3x+7 và y=-1x+-5

A.$I(-3; -2)$

B.$I(3; 2)$

C.$I(-2; -3)$

D.$I(-3; -1)$

Câu 9.Quan sát đồ thị hai đường thẳng cắt nhau trong hình. Toạ độ điểm giao $I$ là:

Hai đường thẳng y=3x+2 và y=2x+1

A.$I(0; 2)$

B.$I(-1; -1)$

C.$I(1; 1)$

D.$I(-1; 0)$

4. VD cao: tìm $m$ để $d_3: y = mx + b_3$ đi qua giao điểm của $d_1, d_2$ (3 đường thẳng đồng quy)Trắc nghiệm`three_lines_concurrent_find_m`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba đường thẳng: $d_1: y = 3x + 0$, $d_2: y = -x + 4$ và $d_3: y = mx + 1$. Tìm giá trị của $m$ để ba đường thẳng đồng quy.

A.$m = 2$

B.$m = 3$

C.$m = 1$

D.$m = 4$

Câu 11.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba đường thẳng: $d_1: y = x + 2$, $d_2: y = -x + 4$ và $d_3: y = mx + 1$. Tìm giá trị của $m$ để ba đường thẳng đồng quy.

A.$m = 0$

B.$m = 2$

C.$m = 3$

D.$m = 1$

Câu 12.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba đường thẳng: $d_1: y = 2x + 1$, $d_2: y = -x + 4$ và $d_3: y = mx + 2$. Tìm giá trị của $m$ để ba đường thẳng đồng quy.

A.$m = \dfrac{1}{2}$

B.$m = 2$

C.$m = 3$

D.$m = 1$

5. Cho 2 đường thẳng — xét vị trí tương đối (song song / cắt nhau)Đúng / Sai`parallel_intersect_independent_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hai đường thẳng $d_1: y = -2x + 3$ và $d_2: y = x + 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau thì luôn song song.

b)Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì song song hoặc trùng nhau.

c)Hai đường thẳng phân biệt có cùng tung độ gốc thì song song.

d)Hai đường thẳng $d_1: y = -2x + 3$ và $d_2: y = x + 3$ cắt nhau.

Câu 14.Cho hai đường thẳng $d_1: y = -x - 1$ và $d_2: y = 2x + 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì song song hoặc trùng nhau.

b)Hai đường thẳng $d_1: y = -x - 1$ và $d_2: y = 2x + 2$ cắt nhau.

c)Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau thì luôn song song.

d)Đường thẳng $d_3: y = -x - 2$ song song với $d_1$.

Câu 15.Cho hai đường thẳng $d_1: y = -2x + 2$ và $d_2: y = x - 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song với nhau.

b)Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau thì luôn song song.

c)Hai đường thẳng $d_1: y = -2x + 2$ và $d_2: y = x - 1$ cắt nhau.

d)Hai đường thẳng phân biệt có cùng tung độ gốc thì song song.

6. Hoành độ giao điểm hai đường thẳng (số thập phân)Trả lời ngắn`find_intersection_x_coord`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.$y = -3x + 2$ và $y = -4x + 5$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng?

Câu 17.$y = -3x + 6$ và $y = 3x - 7$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 18.$y = -4x - 1$ và $y = -5x - 6$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng?

7. Tìm $m$ để $y = (m-1)x + 3$ song song với $y = 2x - 1$Trả lời ngắn`find_m_for_parallel`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Tìm $m$ để hai đường thẳng $y = (m + 3)x + 5$ và $y = -4x - 3$ song song với nhau.

Câu 20.Tìm $m$ để hai đường thẳng $y = (m - 2)x + 7$ và $y = 3x - 3$ song song với nhau.

Câu 21.Tìm $m$ để hai đường thẳng $y = (m - 2)x + 5$ và $y = 2x + 6$ song song với nhau.

Công thức

§1. Tính chất(1)

§2. Phương pháp(2)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Cho 2 đường thẳng, xác định: song song / cắt / trùngTrắc nghiệmcheck_parallel_or_intersect(3 câu)

2. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệmfind_intersection_two_lines(3 câu)

3. Quan sát đồ thị 2 đường thẳng giao nhau, đọc toạ độ điểm giao $I$Trắc nghiệmread_intersection_from_graph(3 câu)

4. VD cao: tìm $m$ để $d_3: y = mx + b_3$ đi qua giao điểm của $d_1, d_2$ (3 đường thẳng đồng quy)Trắc nghiệmthree_lines_concurrent_find_m(3 câu)

5. Cho 2 đường thẳng — xét vị trí tương đối (song song / cắt nhau)Đúng / Saiparallel_intersect_independent_facts(3 câu)

6. Hoành độ giao điểm hai đường thẳng (số thập phân)Trả lời ngắnfind_intersection_x_coord(3 câu)

7. Tìm $m$ để $y = (m-1)x + 3$ song song với $y = 2x - 1$Trả lời ngắnfind_m_for_parallel(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho 2 đường thẳng, xác định: song song / cắt / trùngTrắc nghiệm`check_parallel_or_intersect`(3 câu)

2. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệm`find_intersection_two_lines`(3 câu)

3. Quan sát đồ thị 2 đường thẳng giao nhau, đọc toạ độ điểm giao $I$Trắc nghiệm`read_intersection_from_graph`(3 câu)

4. VD cao: tìm $m$ để $d_3: y = mx + b_3$ đi qua giao điểm của $d_1, d_2$ (3 đường thẳng đồng quy)Trắc nghiệm`three_lines_concurrent_find_m`(3 câu)

5. Cho 2 đường thẳng — xét vị trí tương đối (song song / cắt nhau)Đúng / Sai`parallel_intersect_independent_facts`(3 câu)

6. Hoành độ giao điểm hai đường thẳng (số thập phân)Trả lời ngắn`find_intersection_x_coord`(3 câu)

7. Tìm $m$ để $y = (m-1)x + 3$ song song với $y = 2x - 1$Trả lời ngắn`find_m_for_parallel`(3 câu)