Hệ số góc của đường thẳng

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Hệ số góc + góc tạo với trục $Ox$

$y = a x + b$ có hệ số góc $a$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương $Ox$:

$a > 0$: $\alpha$ nhọn ($0° < \alpha < 90°$), $\tan\alpha = a$.
$a < 0$: $\alpha$ tù ($90° < \alpha < 180°$), $\tan\alpha = a$ (âm).
$a = 0$: đường thẳng song song $Ox$, $\alpha = 0$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Song song + vuông góc qua hệ số góc

Cho 2 đường thẳng $d: y = ax + b$ và $d': y = a'x + b'$:

$d \parallel d' \Leftrightarrow a = a'$ và $b \neq b'$.
$d \equiv d' \Leftrightarrow a = a'$ và $b = b'$.
$d \perp d' \Leftrightarrow a \cdot a' = -1$.
$d, d'$ cắt nhau $\Leftrightarrow a \neq a'$.

§3. Công thức(1)

3.1

Hệ số góc qua 2 điểm

Đường thẳng qua $A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)$ với $x_A \neq x_B$: $$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$$ Phương trình: $y - y_A = a (x - x_A)$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: tìm $y = ax + b$ từ điều kiện

Biết 2 điểm: tính $a$ qua công thức 2 điểm, thay 1 điểm tìm $b$. Biết hệ số góc + 1 điểm: thay vào tìm $b$. Song song / vuông góc với đường khác + 1 điểm: dùng quan hệ hệ số góc → tìm $a$, rồi thay điểm tìm $b$. Đi qua giao 2 đường khác + 1 điểm: tìm giao điểm trước (giải hệ), rồi như trên.

Bài tập

1. Kiểm tra tính song song của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệm`parallel_lines_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: y = 2x + 1$ và $d_2: y = -x - 1$ là:

A.Vuông góc

B.Trùng nhau

C.Song song

D.Cắt nhau

Câu 2.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: y = -2x - 3$ và $d_2: y = -2x - 7$ là:

A.Cắt nhau

B.Trùng nhau

C.Vuông góc

D.Song song

Câu 3.Vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_1: y = -4x - 1$ và $d_2: y = 5x + 4$ là:

A.Cắt nhau

B.Song song

C.Vuông góc

D.Trùng nhau

2. Tham số: tìm tung độ gốc từ điều kiện góc tạo với trục OxTrắc nghiệm`param_line_inclination_angle_find_intercept`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: y = (-m + 3)x + (-2m + 2)$ với $m$ là tham số. Biết đường thẳng $d$ tạo với trục $Ox$ một góc $135^\circ$. Tính tung độ gốc $b$ của đường thẳng $d$.

A.$b = 4$

B.$b = -1$

C.$b = -2$

D.$b = -6$

Câu 5.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: y = (-3m - 1)x + (-3m + 6)$ với $m$ là tham số. Biết đường thẳng $d$ tạo với trục $Ox$ một góc $135^\circ$. Tính tung độ gốc $b$ của đường thẳng $d$.

A.$b = 7$

B.$b = 6$

C.$b = 0$

D.$b = -1$

Câu 6.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: y = (-2m + 5)x + (-3m - 6)$ với $m$ là tham số. Biết đường thẳng $d$ tạo với trục $Ox$ một góc $135^\circ$. Tính tung độ gốc $b$ của đường thẳng $d$.

A.$b = -1$

B.$b = -15$

C.$b = -12$

D.$b = 3$

3. Hai đường vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$Trắc nghiệm`perpendicular_lines_slope`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Hai đường thẳng vuông góc, biết hệ số góc của đường thứ nhất là $k_1 = -4$. Tính $k_2$.

A.$k_2 = -4$

B.$k_2 = - \dfrac{1}{4}$

C.$k_2 = \dfrac{1}{4}$

D.$k_2 = 4$

Câu 8.Hai đường thẳng vuông góc, biết hệ số góc của đường thứ nhất là $k_1 = -4$. Tính $k_2$.

A.$k_2 = 4$

B.$k_2 = \dfrac{1}{4}$

C.$k_2 = -4$

D.$k_2 = - \dfrac{1}{4}$

Câu 9.Hai đường thẳng vuông góc, biết hệ số góc của đường thứ nhất là $k_1 = 2$. Tính $k_2$.

A.$k_2 = - \dfrac{1}{2}$

B.$k_2 = -2$

C.$k_2 = 2$

D.$k_2 = \dfrac{1}{2}$

4. MCQ thực tế (đề vào 10 TPHCM 2024 dạng): hai gói dịch vụ — gói A có phí cố định + phụ thu vượt mức, gói B phí cố định không giới hạnTrắc nghiệm`service_plan_breakeven`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Một cửa hàng cho thuê xe máy điện cung cấp hai gói thuê pin cho khách hàng: — Gói A (linh hoạt): phí cố định $120.000$ đồng/tháng, được sử dụng tối đa $250$ ki-lô-mét; mỗi km sử dụng vượt mức phải trả thêm $200$ đồng/km. — Gói B (không giới hạn): phí cố định $240.000$ đồng/tháng, không phụ thu thêm. Bạn Bình dự định mỗi tháng sử dụng nhiều hơn $250$ ki-lô-mét. Hỏi với mức sử dụng bằng bao nhiêu ki-lô-mét/tháng thì chi phí của hai gói bằng nhau?

A.$2050$ km

B.$600$ km

C.$850$ km

D.$1450$ km

Câu 11.Một cửa hàng cho thuê xe máy điện cung cấp hai gói thuê pin cho khách hàng: — Gói A (linh hoạt): phí cố định $120.000$ đồng/tháng, được sử dụng tối đa $250$ ki-lô-mét; mỗi km sử dụng vượt mức phải trả thêm $200$ đồng/km. — Gói B (không giới hạn): phí cố định $240.000$ đồng/tháng, không phụ thu thêm. Bạn Bình dự định mỗi tháng sử dụng nhiều hơn $250$ ki-lô-mét. Hỏi với mức sử dụng bằng bao nhiêu ki-lô-mét/tháng thì chi phí của hai gói bằng nhau?

A.$2050$ km

B.$600$ km

C.$1450$ km

D.$850$ km

Câu 12.Một cửa hàng cho thuê xe máy điện cung cấp hai gói thuê pin cho khách hàng: — Gói A (linh hoạt): phí cố định $100.000$ đồng/tháng, được sử dụng tối đa $300$ ki-lô-mét; mỗi km sử dụng vượt mức phải trả thêm $250$ đồng/km. — Gói B (không giới hạn): phí cố định $200.000$ đồng/tháng, không phụ thu thêm. Bạn Bình dự định mỗi tháng sử dụng nhiều hơn $300$ ki-lô-mét. Hỏi với mức sử dụng bằng bao nhiêu ki-lô-mét/tháng thì chi phí của hai gói bằng nhau?

A.$400$ km

B.$700$ km

C.$1100$ km

D.$1500$ km

5. Hệ số góc của $y = ax + b$ là $a$Trắc nghiệm`slope_from_equation`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Hệ số góc $k$ của đường thẳng $y = 6x - 2$ bằng?

A.$k = 7$

B.$k = -6$

C.$k = 6$

D.$k = -2$

Câu 14.Hệ số góc $k$ của đường thẳng $y = 6x + 4$ bằng?

A.$k = -6$

B.$k = 6$

C.$k = 4$

D.$k = 7$

Câu 15.Hệ số góc $k$ của đường thẳng $y = 7x - 3$ bằng?

A.$k = 7$

B.$k = 8$

C.$k = -3$

D.$k = -7$

6. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$Trắc nghiệm`slope_from_two_points`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Đường thẳng đi qua hai điểm $A(-3; -8)$ và $B(4; 6)$. Hệ số góc của đường thẳng đó bằng:

Đường thẳng qua A(-3;-8), B(4;6)

A.$a = -2$

B.$a = 3$

C.$a = \dfrac{1}{2}$

D.$a = 2$

Câu 17.Đường thẳng đi qua hai điểm $A(4; -14)$ và $B(2; -10)$. Hệ số góc của đường thẳng đó bằng:

Đường thẳng qua A(4;-14), B(2;-10)

A.$a = -1$

B.$a = -2$

C.$a = - \dfrac{1}{2}$

D.$a = 2$

Câu 18.Đường thẳng đi qua hai điểm $A(2; -9)$ và $B(3; -12)$. Hệ số góc của đường thẳng đó bằng:

Đường thẳng qua A(2;-9), B(3;-12)

A.$a = -2$

B.$a = - \dfrac{1}{3}$

C.$a = 3$

D.$a = -3$

7. Cho 2 điểm — tính hệ số góc đường thẳng đi qua chúngĐúng / Sai`si_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai điểm $A(4; -4)$ và $B(-3; -1)$ trong mặt phẳng toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng có hệ số góc dương.

b)Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì luôn song song.

c)Hệ số góc của đường thẳng đi qua $A(4; -4)$ và $B(-3; -1)$ là $\dfrac{-3}{7}$.

d)Hệ số góc tính bằng $\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.

Câu 20.Cho hai điểm $A(-1; 4)$ và $B(-2; -4)$ trong mặt phẳng toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ số góc của đường thẳng đi qua $A(-1; 4)$ và $B(-2; -4)$ là $8$.

b)Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì luôn song song.

c)Đường thẳng có hệ số góc dương.

d)Hai điểm $A, B$ phân biệt luôn xác định một đường thẳng duy nhất.

Câu 21.Cho hai điểm $A(1; -5)$ và $B(-4; 3)$ trong mặt phẳng toạ độ. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ số góc của đường thẳng đi qua $A(1; -5)$ và $B(-4; 3)$ là $\dfrac{-8}{5}$.

b)Hệ số góc tính bằng $\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$.

c)Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì luôn song song.

d)Đường thẳng có hệ số góc dương.

8. Cho hệ số góc $a$ và một điểm $(x_0, y_0)$, tìm $b$Trả lời ngắn`find_b_through_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Đường thẳng $y = -5x + b$ đi qua $A(-3; 1)$. Tìm $b$.

Câu 23.Đường thẳng $y = 5x + b$ đi qua $A(1; 3)$. Tìm $b$.

Câu 24.Đường thẳng $y = -5x + b$ đi qua $A(2; 9)$. Tìm $b$.

9. Hệ số góc đường thẳng qua 2 điểm (số thập phân)Trả lời ngắn`find_slope`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Đường thẳng qua $A(2; -9)$ và $B(3; -1)$ có hệ số góc bằng?

Câu 26.Đường thẳng qua $A(3; 1)$ và $B(-1; 8)$ có hệ số góc bằng? (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 27.Đường thẳng qua $A(6; -1)$ và $B(-1; -5)$ có hệ số góc bằng? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Kiểm tra tính song song của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệmparallel_lines_check(3 câu)

2. Tham số: tìm tung độ gốc từ điều kiện góc tạo với trục OxTrắc nghiệmparam_line_inclination_angle_find_intercept(3 câu)

3. Hai đường vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$Trắc nghiệmperpendicular_lines_slope(3 câu)

4. MCQ thực tế (đề vào 10 TPHCM 2024 dạng): hai gói dịch vụ — gói A có phí cố định + phụ thu vượt mức, gói B phí cố định không giới hạnTrắc nghiệmservice_plan_breakeven(3 câu)

5. Hệ số góc của $y = ax + b$ là $a$Trắc nghiệmslope_from_equation(3 câu)

6. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$Trắc nghiệmslope_from_two_points(3 câu)

7. Cho 2 điểm — tính hệ số góc đường thẳng đi qua chúngĐúng / Saisi_facts2(3 câu)

8. Cho hệ số góc $a$ và một điểm $(x_0, y_0)$, tìm $b$Trả lời ngắnfind_b_through_point(3 câu)

9. Hệ số góc đường thẳng qua 2 điểm (số thập phân)Trả lời ngắnfind_slope(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Kiểm tra tính song song của hai đường thẳng $y = a_1x + b_1$ và $y = a_2x + b_2$Trắc nghiệm`parallel_lines_check`(3 câu)

2. Tham số: tìm tung độ gốc từ điều kiện góc tạo với trục OxTrắc nghiệm`param_line_inclination_angle_find_intercept`(3 câu)

3. Hai đường vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$Trắc nghiệm`perpendicular_lines_slope`(3 câu)

4. MCQ thực tế (đề vào 10 TPHCM 2024 dạng): hai gói dịch vụ — gói A có phí cố định + phụ thu vượt mức, gói B phí cố định không giới hạnTrắc nghiệm`service_plan_breakeven`(3 câu)

5. Hệ số góc của $y = ax + b$ là $a$Trắc nghiệm`slope_from_equation`(3 câu)

6. Tính hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$Trắc nghiệm`slope_from_two_points`(3 câu)

7. Cho 2 điểm — tính hệ số góc đường thẳng đi qua chúngĐúng / Sai`si_facts2`(3 câu)

8. Cho hệ số góc $a$ và một điểm $(x_0, y_0)$, tìm $b$Trả lời ngắn`find_b_through_point`(3 câu)

9. Hệ số góc đường thẳng qua 2 điểm (số thập phân)Trả lời ngắn`find_slope`(3 câu)