Đề Thi Toán Math
Đề Thi Toán Math
Lớp 9 · Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức giữa cạnh và góc

33 câu hỏi

Câu hỏi & PDF học miễn phí — mở khoá để xem đáp án & lời giải chi tiết của chủ đề này.

Đáp án & lời giải
33 câu · đã gồm VAT
Các câu hỏi mới + dạng mới sẽ thường xuyên được cập nhật vào chủ đề. Lưu trang để xem câu mới mỗi ngày.

Công thức

§1. Định lý(2)

1.1

Định lý Pythagore

Trong tam giác vuông tại $A$: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 \Leftrightarrow a^2 = b^2 + c^2.$$ Đảo: nếu tam giác có $a^2 = b^2 + c^2$ thì vuông tại $A$ (đối diện cạnh $a$).
1.2

Hệ thức trong tam giác vuông

Tam giác vuông tại $A$, đường cao $AH$ kẻ từ $A$ xuống cạnh huyền $BC = a$. Đặt $AB = c, AC = b, BH = c', CH = b', AH = h$: $$b^2 = a \cdot b', \quad c^2 = a \cdot c'.$$ $$h^2 = b' \cdot c'.$$ $$b \cdot c = a \cdot h.$$ $$\dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}.$$

§2. Công thức(1)

2.1

Quan hệ cạnh và góc trong tam giác vuông

Tam giác vuông tại $A$, gọi $B = \beta, C = \gamma$ là 2 góc nhọn ($\beta + \gamma = 90°$): $$b = a \sin B = a \cos C, \quad c = a \sin C = a \cos B.$$ $$b = c \tan B = c \cot C, \quad c = b \tan C = b \cot B.$$

§3. Phương pháp(1)

3.1

Giải tam giác vuông

Cho 1 góc nhọn + 1 cạnh (hoặc 2 cạnh) — tính các yếu tố còn lại: Bước 1. Vẽ hình, ghi rõ các dữ kiện. Bước 2. Nếu biết 2 cạnh: dùng Pythagore tìm cạnh thứ 3, dùng $\tan$ để tính góc. Bước 3. Nếu biết 1 cạnh + 1 góc: dùng các tỉ số lượng giác để tìm các cạnh còn lại. Bước 4. Tính góc còn lại qua $\beta + \gamma = 90°$. Bước 5. Kết luận, làm tròn theo yêu cầu.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: chọn tỉ số phù hợp (SOH-CAH-TOA)

SOH: $\sin = \dfrac{\text{Đối}}{\text{Huyền}}$. CAH: $\cos = \dfrac{\text{Kề}}{\text{Huyền}}$. TOA: $\tan = \dfrac{\text{Đối}}{\text{Kề}}$. Tuỳ dữ kiện đề bài đã có (cạnh nào, góc nào) → chọn $\sin$, $\cos$, hay $\tan$ cho phù hợp.

Bài tập

1. Tính cạnh kề khi biết cạnh huyền và một góc nhọnTrắc nghiệmfind_adjacent_using_cos(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $BC = 6$, $\widehat{B} = 60^\circ$. Tính cạnh kề $AB$ của góc $B$.

A.$x = 4$
B.$x = 3$
C.$x = 6$
D.$x = 3 \sqrt{3}$

Câu 2.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $BC = 8$, $\widehat{B} = 45^\circ$. Tính cạnh kề $AB$ của góc $B$.

A.$x = 1 + 4 \sqrt{2}$
B.$x = 4 \sqrt{2}$
C.$x = 8$
D.$x = 8 \sqrt{2}$

Câu 3.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $BC = 10$, $\widehat{B} = 45^\circ$. Tính cạnh kề $AB$ của góc $B$.

A.$x = 10$
B.$x = 1 + 5 \sqrt{2}$
C.$x = 5 \sqrt{2}$
D.$x = 10 \sqrt{2}$

2. Tính cạnh đối khi biết cạnh huyền và một góc nhọnTrắc nghiệmfind_opposite_side_using_sin(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $BC = 8$, $\widehat{B} = 60^\circ$. Tính cạnh đối $AC$ của góc $B$.

x8ABC60°
Tam giác ABC vuông tại A, BC = 8, góc B = 60°
A.$x = 8$
B.$x = 4 \sqrt{3}$
C.$x = 4$
D.$x = 1 + 4 \sqrt{3}$

Câu 5.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $BC = 10$, $\widehat{B} = 60^\circ$. Tính cạnh đối $AC$ của góc $B$.

x10ABC60°
Tam giác ABC vuông tại A, BC = 10, góc B = 60°
A.$x = 5 \sqrt{3}$
B.$x = 5$
C.$x = 1 + 5 \sqrt{3}$
D.$x = 10$

Câu 6.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $BC = 20$, $\widehat{B} = 45^\circ$. Tính cạnh đối $AC$ của góc $B$.

x20ABC45°
Tam giác ABC vuông tại A, BC = 20, góc B = 45°
A.$x = 10 \sqrt{2}$
B.$x = 20$
C.$x = 10$
D.$x = 1 + 10 \sqrt{2}$

3. Vận dụng cao: cho HB, HC (đoạn cạnh huyền do đường cao chia), tính diện tích tam giác $ABC$Trắc nghiệmrt_area_via_height_and_segments(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Biết $HB = 4$ và $HC = 16$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

ABCH416
Tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH chia BC thành HB = 4 và HC = 16.
A.$S = 80$
B.$S = 100$
C.$S = 64$
D.$S = 320$

Câu 8.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Biết $HB = 8$ và $HC = 18$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

ABCH818
Tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH chia BC thành HB = 8 và HC = 18.
A.$S = 169$
B.$S = 156$
C.$S = 208$
D.$S = 144$

Câu 9.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Biết $HB = 8$ và $HC = 18$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

ABCH818
Tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH chia BC thành HB = 8 và HC = 18.
A.$S = 144$
B.$S = 169$
C.$S = 208$
D.$S = 156$

4. Vận dụng cao: cho đường cao $AH = h$ và $HB = p$, tính cạnh $AB$ (= $\sqrt{p^2 + h^2}$)Trắc nghiệmrt_hypotenuse_via_height_and_segment(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 10.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Biết $AH = 24$ và $HB = 10$. Tính độ dài cạnh $AB$.

ABCH1057
Tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH = 24, HB = 10.
A.$AB = 34$
B.$AB = 26$
C.$AB = 14$
D.$AB = 15$

Câu 11.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Biết $AH = 15$ và $HB = 8$. Tính độ dài cạnh $AB$.

ABCH828
Tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH = 15, HB = 8.
A.$AB = 23$
B.$AB = 10$
C.$AB = 17$
D.$AB = 7$

Câu 12.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H \in BC$). Biết $AH = 8$ và $HB = 6$. Tính độ dài cạnh $AB$.

ABCH610
Tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH = 8, HB = 6.
A.$AB = 10$
B.$AB = 2$
C.$AB = 14$
D.$AB = 6$

5. Vận dụng: bài toán thực tế thang dựa tường, tính chiều cao qua 2 bướcTrắc nghiệmrt_ladder_height_real_world(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Một chiếc thang dựa vào tường thẳng đứng, tạo với mặt đất một góc $30^\circ$. Biết chân thang cách chân tường $12$ m. Tính chiều cao $h$ (tính từ mặt đất) mà đầu thang chạm tới tường.

12hthangABC30°
Thang dựa tường tạo góc 30° với mặt đất, chân thang cách tường 12 m.
A.$h = 12 \text{ (m)}$
B.$h = 4 \sqrt{3} \text{ (m)}$
C.$h = 8 \sqrt{3} \text{ (m)}$
D.$h = 6 \sqrt{3} \text{ (m)}$

Câu 14.Một chiếc thang dựa vào tường thẳng đứng, tạo với mặt đất một góc $60^\circ$. Biết chân thang cách chân tường $3$ m. Tính chiều cao $h$ (tính từ mặt đất) mà đầu thang chạm tới tường.

3hthangABC60°
Thang dựa tường tạo góc 60° với mặt đất, chân thang cách tường 3 m.
A.$h = 3 \sqrt{3} \text{ (m)}$
B.$h = 6 \text{ (m)}$
C.$h = 6 \sqrt{3} \text{ (m)}$
D.$h = 3 \text{ (m)}$

Câu 15.Một chiếc thang dựa vào tường thẳng đứng, tạo với mặt đất một góc $60^\circ$. Biết chân thang cách chân tường $2$ m. Tính chiều cao $h$ (tính từ mặt đất) mà đầu thang chạm tới tường.

2hthangABC60°
Thang dựa tường tạo góc 60° với mặt đất, chân thang cách tường 2 m.
A.$h = 2 \text{ (m)}$
B.$h = 2 \sqrt{3} \text{ (m)}$
C.$h = 4 \text{ (m)}$
D.$h = 4 \sqrt{3} \text{ (m)}$

6. Quan sát tam giác vuông trong hình, đọc cạnh huyền và một góc nhọn, tính cạnh đối hoặc cạnh kềTrắc nghiệmsolve_right_triangle_from_figure(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình. Tính độ dài cạnh kề $AB$ ($x$) của góc $B$.

x20ABC45°
Tam giác vuông ABC, BC = 20, góc B = 45°
A.$x = 20 \sqrt{2}$
B.$x = 20$
C.$x = 10 \sqrt{2}$
D.$x = 1 + 10 \sqrt{2}$

Câu 17.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình. Tính độ dài cạnh kề $AB$ ($x$) của góc $B$.

x20ABC60°
Tam giác vuông ABC, BC = 20, góc B = 60°
A.$x = 10$
B.$x = 20$
C.$x = 10 \sqrt{3}$
D.$x = 11$

Câu 18.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình. Tính độ dài cạnh đối $AC$ ($x$) của góc $B$.

x10ABC30°
Tam giác vuông ABC, BC = 10, góc B = 30°
A.$x = 5$
B.$x = 10$
C.$x = 6$
D.$x = 5 \sqrt{3}$

7. Cho tam giác vuông biết 2 cạnh — tìm cạnh còn lại và gócĐúng / Saisolve_right_triangle_facts(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 12$, $AC = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$.
b)$BC = 13$ (Pythagore: $\sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{144 + 25} = 13$).
c)$\cos \widehat{B} = \dfrac{12}{13}$.
d)$BC = 17$ (cộng hai cạnh góc vuông).

Câu 20.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 12$, $AC = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$BC = 17$ (cộng hai cạnh góc vuông).
b)$\tan \widehat{C} = \dfrac{12}{5}$.
c)$\cos \widehat{B} = \dfrac{12}{13}$.
d)$\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$.

Câu 21.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 15$, $AC = 8$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$BC = 23$ (cộng hai cạnh góc vuông).
b)$BC = 17$ (Pythagore: $\sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{225 + 64} = 17$).
c)$\widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.
d)$\cos \widehat{B} = \dfrac{15}{17}$.

8. Cho 2 cạnh tam giác vuông, tính góc nhọn (làm tròn đến độ)Trả lời ngắnacute_angle_from_sides_sa(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$ cm và $AC = 12$ cm. Tính số đo góc $\widehat C$ (làm tròn đến độ, theo độ).

51213ABC
Tam giác vuông tại A, AB=5, AC=12, BC=13

Câu 23.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$ cm và $AC = 4$ cm. Tính số đo góc $\widehat C$ (làm tròn đến độ, theo độ).

345ABC
Tam giác vuông tại A, AB=3, AC=4, BC=5

Câu 24.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 8$ cm và $AC = 15$ cm. Tính số đo góc $\widehat C$ (làm tròn đến độ, theo độ).

81517ABC
Tam giác vuông tại A, AB=8, AC=15, BC=17

9. Tam giác vuông biết góc nhọn $\alpha$ và cạnh đối, tính cạnh huyềnTrả lời ngắnhypotenuse_via_sin(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat C = 60^\circ$ và cạnh đối với góc $C$ là $AB = 8$ cm. Tính cạnh huyền $BC$ (cm). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

8?ABC60°
Tam giác ABC vuông tại A, AB=8, góc C=60°, BC cần tìm

Câu 26.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat C = 45^\circ$ và cạnh đối với góc $C$ là $AB = 11$ cm. Tính cạnh huyền $BC$ (cm). (Làm tròn đến hàng phần mười)

11?ABC45°
Tam giác ABC vuông tại A, AB=11, góc C=45°, BC cần tìm

Câu 27.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat C = 45^\circ$ và cạnh đối với góc $C$ là $AB = 6$ cm. Tính cạnh huyền $BC$ (cm). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

6?ABC45°
Tam giác ABC vuông tại A, AB=6, góc C=45°, BC cần tìm

10. Cạnh kề biết cạnh huyền và góc nhọn — dùng cosineTrả lời ngắnleg_via_cos_sa(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 13$ cm và $\widehat C = 60^\circ$. Tính cạnh $AC$ (cạnh kề với góc $C$) (cm). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

?13ABC60°
Tam giác ABC vuông tại A, BC=13 cm, góc C=60°, AC cần tìm

Câu 29.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 16$ cm và $\widehat C = 60^\circ$. Tính cạnh $AC$ (cạnh kề với góc $C$) (cm).

?16ABC60°
Tam giác ABC vuông tại A, BC=16 cm, góc C=60°, AC cần tìm

Câu 30.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh huyền $BC = 17$ cm và $\widehat C = 30^\circ$. Tính cạnh $AC$ (cạnh kề với góc $C$) (cm). (Làm tròn đến hàng phần mười)

?17ABC30°
Tam giác ABC vuông tại A, BC=17 cm, góc C=30°, AC cần tìm

11. Cho 1 góc nhọn của tam giác vuông, tính góc còn lạiTrả lời ngắnother_acute_angle(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat C = 52^\circ$. Tính số đo góc nhọn còn lại $\widehat B$ (theo độ).

Câu 32.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat C = 30^\circ$. Tính số đo góc nhọn còn lại $\widehat B$ (theo độ).

Câu 33.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat C = 75^\circ$. Tính số đo góc nhọn còn lại $\widehat B$ (theo độ).

Đáp án & lời giải

Mở đáp án & Lời giải

Mở toàn bộ đáp án + lời giải chi tiết của chủ đề "Hệ thức giữa cạnh và góc".

Mở đáp án chủ đề này

Chỉ mở đáp án + lời giải của riêng chủ đề này.

79.000 đ
đã gồm VAT
Mở đáp án cả chương

Mở đáp án & lời giải cho tất cả 4 chủ đề trong chương — gồm cả chủ đề cập nhật thêm sau.

256.000đ
179.000 đ
đã gồm VAT
Xem & mở khoá cả chương

Cần đăng nhập để mua.

Câu hỏi + PDF câu hỏi xem/tải miễn phí; chỉ đáp án & lời giải mở sau khi mua.

← Về danh sách chủ đề