Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Trong tam giác vuông có góc nhọn $\alpha$, gọi:

đối: cạnh đối diện $\alpha$.
kề: cạnh kề $\alpha$ (không phải cạnh huyền).
huyền: cạnh huyền.

Tỉ số lượng giác: $$\sin\alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}, \quad \cos\alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}.$$ $$\tan\alpha = \dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}, \quad \cot\alpha = \dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}.$$

§2. Tính chất(2)

2.1

Tính đơn điệu

Với $0° < \alpha_1 < \alpha_2 < 90°$:

$\sin$ và $\tan$: tăng ($\sin\alpha_1 < \sin\alpha_2$, $\tan\alpha_1 < \tan\alpha_2$).
$\cos$ và $\cot$: giảm ($\cos\alpha_1 > \cos\alpha_2$, $\cot\alpha_1 > \cot\alpha_2$).

2.2

Tính chất

$0 < \sin\alpha, \cos\alpha < 1$ (với $0° < \alpha < 90°$).
$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$.
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

§3. Công thức(1)

3.1

Tỉ số góc phụ nhau

Hai góc $\alpha, \beta$ phụ nhau ($\alpha + \beta = 90°$): $$\sin\alpha = \cos\beta, \quad \cos\alpha = \sin\beta.$$ $$\tan\alpha = \cot\beta, \quad \cot\alpha = \tan\beta.$$ Vd: $\sin 60° = \cos 30°, \tan 45° = \cot 45° = 1$.

Bài tập

1. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhauTrắc nghiệm`complementary_trig`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Hai góc $\alpha$ và $90^\circ - \alpha$ phụ nhau. Khẳng định nào sau đây đúng: $\cos(90^\circ - \alpha) = ?$

A.$\sin \alpha$

B.$\cot \alpha$

C.$\tan \alpha$

D.$\cos \alpha$

Câu 2.Hai góc $\alpha$ và $90^\circ - \alpha$ phụ nhau. Khẳng định nào sau đây đúng: $\cos(90^\circ - \alpha) = ?$

A.$\cos \alpha$

B.$\cot \alpha$

C.$\sin \alpha$

D.$\tan \alpha$

Câu 3.Hai góc $\alpha$ và $90^\circ - \alpha$ phụ nhau. Khẳng định nào sau đây đúng: $\sin(90^\circ - \alpha) = ?$

A.$\sin \alpha$

B.$\cot \alpha$

C.$\tan \alpha$

D.$\cos \alpha$

2. Cho $\sin\alpha + \cos\alpha$, tính $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$Trắc nghiệm`sum_to_cube_sum_via_identity`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{31}{25}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$.

A.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{29791}{15625}$

B.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{14167}{15625}$

C.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{24583}{15625}$

D.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{31}{25}$

Câu 5.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{47}{37}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$.

A.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{84083}{50653}$

B.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{103823}{50653}$

C.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{47}{37}$

D.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{44603}{50653}$

Câu 6.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{7}{5}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$.

A.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{91}{125}$

B.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{259}{125}$

C.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{7}{5}$

D.$\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \dfrac{343}{125}$

3. Tính sin/cos/tan của một góc nhọn trong tam giác vuông cho trước 3 cạnhTrắc nghiệm`trig_from_right_triangle`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 7.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh đối diện góc $B$ bằng $8$, cạnh kề bằng $15$, cạnh huyền bằng $17$. Tính $\cos B$.

A.$\cos\,B = \dfrac{15}{8}$

B.$\cos\,B = \dfrac{8}{15}$

C.$\cos\,B = \dfrac{15}{17}$

D.$\cos\,B = \dfrac{17}{8}$

Câu 8.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh đối diện góc $B$ bằng $3$, cạnh kề bằng $4$, cạnh huyền bằng $5$. Tính $\sin B$.

A.$\sin\,B = \dfrac{3}{4}$

B.$\sin\,B = \dfrac{3}{5}$

C.$\sin\,B = \dfrac{4}{3}$

D.$\sin\,B = \dfrac{4}{5}$

Câu 9.Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có cạnh đối diện góc $B$ bằng $5$, cạnh kề bằng $12$, cạnh huyền bằng $13$. Tính $\cos B$.

A.$\cos\,B = \dfrac{12}{5}$

B.$\cos\,B = \dfrac{5}{12}$

C.$\cos\,B = \dfrac{13}{5}$

D.$\cos\,B = \dfrac{12}{13}$

4. Cho $\cos\alpha$, tính $\tan\alpha$ qua hệ thức $\sin^2+\cos^2=1$Trắc nghiệm`trig_ratios_from_cos_via_identity`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\cos\alpha = \dfrac{9}{41}$. Tính $\tan\alpha$.

A.$\tan\alpha = \dfrac{9}{41}$

B.$\tan\alpha = \dfrac{9}{40}$

C.$\tan\alpha = \dfrac{40}{9}$

D.$\tan\alpha = \dfrac{40}{41}$

Câu 11.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\cos\alpha = \dfrac{8}{17}$. Tính $\tan\alpha$.

A.$\tan\alpha = \dfrac{8}{17}$

B.$\tan\alpha = \dfrac{8}{15}$

C.$\tan\alpha = \dfrac{15}{17}$

D.$\tan\alpha = \dfrac{15}{8}$

Câu 12.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\cos\alpha = \dfrac{8}{17}$. Tính $\tan\alpha$.

A.$\tan\alpha = \dfrac{8}{15}$

B.$\tan\alpha = \dfrac{15}{8}$

C.$\tan\alpha = \dfrac{8}{17}$

D.$\tan\alpha = \dfrac{15}{17}$

5. Cho tam giác vuông biết $\sin\alpha$ — kiểm tra các tỉ số khácĐúng / Sai`trig_ratio_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\sin \alpha = \dfrac{8}{17}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\cos \alpha = \dfrac{8}{17}$.

b)Với $\alpha$ là góc nhọn, $\sin \alpha < 1$.

c)$\sin(90^\circ - \alpha) = \dfrac{15}{17}$.

d)$\tan \alpha = \dfrac{8}{15}$.

Câu 14.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\sin \alpha = \dfrac{3}{5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Với $\alpha$ là góc nhọn, $\sin \alpha < 1$.

b)$\cos \alpha = \dfrac{3}{5}$.

c)$\sin \alpha + \cos \alpha = 1$.

d)$\cot \alpha = \dfrac{4}{3}$.

Câu 15.Cho góc nhọn $\alpha$ thoả $\sin \alpha = \dfrac{6}{10}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sin \alpha + \cos \alpha = 1$.

b)$\sin(90^\circ - \alpha) = \dfrac{8}{10}$.

c)Với $\alpha$ là góc nhọn, $\sin \alpha < 1$.

d)$\cot \alpha = \dfrac{8}{6}$.

6. Cho tam giác vuông cụ thể — tính tỉ số lượng giácĐúng / Sai`trig_ratios_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 12$, $AC = 5$, $BC = 13$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\cos \widehat{B} = \dfrac{12}{13}$.

b)$\sin^2 \widehat{B} + \cos^2 \widehat{B} = 1$.

c)$\sin \widehat{B} > 1$.

d)$\sin \widehat{B} = \dfrac{12}{13}$.

Câu 17.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 4$, $AC = 3$, $BC = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\tan \widehat{B} = \dfrac{3}{4}$.

b)$\sin \widehat{B} = \cos \widehat{C}$.

c)$\sin \widehat{B} > 1$.

d)$\sin \widehat{B} = \dfrac{4}{5}$.

Câu 18.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 12$, $AC = 5$, $BC = 13$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sin \widehat{B} = \dfrac{12}{13}$.

b)$\sin \widehat{B} = \cos \widehat{C}$.

c)$\sin \widehat{B} > 1$.

d)$\cos \widehat{B} = \dfrac{12}{13}$.

7. Cho $\sin\alpha = a/c$, tính $\cos(90^\circ - \alpha)$ (= $\sin\alpha$, số thập phân)Trả lời ngắn`complementary_trig_ratio`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Cho $\sin\alpha = \dfrac{6}{10}$ ($\alpha$ nhọn). Tính $\cos(90^\circ - \alpha)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 20.Cho $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$ ($\alpha$ nhọn). Tính $\cos(90^\circ - \alpha)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 21.Cho $\sin\alpha = \dfrac{8}{17}$ ($\alpha$ nhọn). Tính $\cos(90^\circ - \alpha)$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

8. Cho tam giác vuông cạnh Pythagore, tính sin/cos/tan của 1 góc nhọn (số thập phân)Trả lời ngắn`compute_trig_from_triangle`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $BC = 3$, $AC = 4$, $AB = 5$. Tính $tan \widehat{B}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 23.Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $BC = 3$, $AC = 4$, $AB = 5$. Tính $cos \widehat{B}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 24.Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $BC = 8$, $AC = 15$, $AB = 17$. Tính $cos \widehat{B}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(2)

§3. Công thức(1)

Bài tập

1. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhauTrắc nghiệmcomplementary_trig(3 câu)

2. Cho $\sin\alpha + \cos\alpha$, tính $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$Trắc nghiệmsum_to_cube_sum_via_identity(3 câu)

3. Tính sin/cos/tan của một góc nhọn trong tam giác vuông cho trước 3 cạnhTrắc nghiệmtrig_from_right_triangle(3 câu)

4. Cho $\cos\alpha$, tính $\tan\alpha$ qua hệ thức $\sin^2+\cos^2=1$Trắc nghiệmtrig_ratios_from_cos_via_identity(3 câu)

5. Cho tam giác vuông biết $\sin\alpha$ — kiểm tra các tỉ số khácĐúng / Saitrig_ratio_facts2(3 câu)

6. Cho tam giác vuông cụ thể — tính tỉ số lượng giácĐúng / Saitrig_ratios_facts(3 câu)

7. Cho $\sin\alpha = a/c$, tính $\cos(90^\circ - \alpha)$ (= $\sin\alpha$, số thập phân)Trả lời ngắncomplementary_trig_ratio(3 câu)

8. Cho tam giác vuông cạnh Pythagore, tính sin/cos/tan của 1 góc nhọn (số thập phân)Trả lời ngắncompute_trig_from_triangle(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhauTrắc nghiệm`complementary_trig`(3 câu)

2. Cho $\sin\alpha + \cos\alpha$, tính $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$Trắc nghiệm`sum_to_cube_sum_via_identity`(3 câu)

3. Tính sin/cos/tan của một góc nhọn trong tam giác vuông cho trước 3 cạnhTrắc nghiệm`trig_from_right_triangle`(3 câu)

4. Cho $\cos\alpha$, tính $\tan\alpha$ qua hệ thức $\sin^2+\cos^2=1$Trắc nghiệm`trig_ratios_from_cos_via_identity`(3 câu)

5. Cho tam giác vuông biết $\sin\alpha$ — kiểm tra các tỉ số khácĐúng / Sai`trig_ratio_facts2`(3 câu)

6. Cho tam giác vuông cụ thể — tính tỉ số lượng giácĐúng / Sai`trig_ratios_facts`(3 câu)

7. Cho $\sin\alpha = a/c$, tính $\cos(90^\circ - \alpha)$ (= $\sin\alpha$, số thập phân)Trả lời ngắn`complementary_trig_ratio`(3 câu)

8. Cho tam giác vuông cạnh Pythagore, tính sin/cos/tan của 1 góc nhọn (số thập phân)Trả lời ngắn`compute_trig_from_triangle`(3 câu)