Phương trình đường thẳng

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Vectơ pháp tuyến + chỉ phương

Vectơ chỉ phương (VTCP) $\vec{u}$ của đường thẳng $\Delta$: có giá song song với $\Delta$.
Vectơ pháp tuyến (VTPT) $\vec{n}$: có giá vuông góc với $\Delta$.
$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$. Nếu $\vec{u} = (a; b)$ thì có thể chọn $\vec{n} = (-b; a)$ (hoặc $(b; -a)$).

§2. Công thức(6)

2.1

Góc giữa 2 đường thẳng

Cho $\Delta_1, \Delta_2$ có VTPT $\vec{n_1} = (a_1; b_1), \vec{n_2} = (a_2; b_2)$: $$\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}.$$ Góc giữa 2 đường thẳng $\in [0°; 90°]$.

2.2

Phương trình chính tắc

Với $a, b \neq 0$: $$\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b}.$$ Suy ra từ phương trình tham số bằng cách khử $t$.

2.3

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho $\Delta: a x + b y + c = 0$, điểm $M_0(x_0; y_0)$: $$d(M_0, \Delta) = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

2.4

Phương trình tổng quát

$\Delta$ qua $M(x_0; y_0)$ có VTPT $\vec{n} = (a; b)$: $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \Leftrightarrow a x + b y + c = 0,$$ với $c = -(a x_0 + b y_0)$. Điều kiện: $(a, b) \neq (0, 0)$.

2.5

Điều kiện song song + vuông góc

Cho $\Delta_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$, $\Delta_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$:

$\Delta_1 \parallel \Delta_2 \Leftrightarrow a_1 b_2 = a_2 b_1$ và $a_1 c_2 \neq a_2 c_1$ (hoặc tương đương).
$\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$.

2.6

Phương trình tham số

$\Delta$ qua $M(x_0; y_0)$ có VTCP $\vec{u} = (a; b)$: $$\begin{cases} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \end{cases}, \, t \in \mathbb{R}.$$

§3. Phương pháp(1)

3.1

Cách viết phương trình đường thẳng

1. Qua 1 điểm + 1 VTPT (hoặc VTCP) → phương trình tổng quát. 2. Qua 2 điểm $A, B$: VTCP $\vec{AB}$. 3. Qua $M$ song song $\Delta$: dùng cùng VTPT/VTCP với $\Delta$. 4. Qua $M$ vuông góc $\Delta$: VTPT của ta = VTCP của $\Delta$. 5. Trung trực $AB$: qua trung điểm $I$ của $AB$, VTPT $\vec{AB}$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: dùng hệ số góc cho bài đơn giản

$y = k x + m$: $k$ = hệ số góc.

$\Delta_1 \parallel \Delta_2 \Leftrightarrow k_1 = k_2$.
$\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2 = -1$ (cả 2 đều có hệ số góc).

Cẩn thận: đường thẳng đứng $x = c$ không có hệ số góc.

Bài tập

1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $ax + by + c = 0$Trắc nghiệm`distance_point_to_line_2d`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Khoảng cách từ điểm $M(3; 4)$ đến đường thẳng $3x + 4y + 5 = 0$ bằng?

A.$d = 30$

B.$d = 6$

C.$d = \dfrac{31}{5}$

D.$d = 150$

Câu 2.Khoảng cách từ điểm $M(5; -1)$ đến đường thẳng $4x + 3y - 1 = 0$ bằng?

A.$d = 80$

B.$d = 16$

C.$d = \dfrac{16}{5}$

D.$d = \dfrac{17}{5}$

Câu 3.Khoảng cách từ điểm $M(-4; -5)$ đến đường thẳng $8x + 15y + 5 = 0$ bằng?

A.$d = 6$

B.$d = 102$

C.$d = 1734$

D.$d = \dfrac{103}{17}$

2. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng để $MA + MB$ nhỏ nhất (đối xứng qua đường xiên)Trắc nghiệm`line_min_path_reflect_2d`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x - y + 2 = 0$ và hai điểm $A(-3; 3)$, $B(-6; -1)$ nằm cùng phía đối với $\Delta$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(-3; -1)$

B.$M(1; -1)$

C.$M(-1; -3)$

D.$M(-1; 1)$

Câu 5.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x - y - 1 = 0$ và hai điểm $A(4; -3)$, $B(-2; -4)$ nằm cùng phía đối với $\Delta$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(-2; -3)$

B.$M(-3; -2)$

C.$M(1; 0)$

D.$M(-2; 3)$

Câu 6.Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + y + 3 = 0$ và hai điểm $A(-4; -3)$, $B(-5; 1)$ nằm cùng phía đối với $\Delta$. Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.$M(-2; -1)$

B.$M(-4; 1)$

C.$M(0; 1)$

D.$M(1; -4)$

3. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quátTrắc nghiệm`line_parametric_to_general`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho đường thẳng có phương trình tham số $\begin{cases} x = -3 - 3t \\ y = 2 + t \end{cases}$. Viết phương trình tổng quát.

A.$-x - 3y + 3 = 0$

B.$-x - 3y = 0$

C.$-3x + 2y + 3 = 0$

D.$-3x + y - 11 = 0$

Câu 8.Cho đường thẳng có phương trình tham số $\begin{cases} x = 3 - 3t \\ y = 2 + 2t \end{cases}$. Viết phương trình tổng quát.

A.$3x + 2y + 12 = 0$

B.$-3x + 2y + 5 = 0$

C.$-2x - 3y = 0$

D.$-2x - 3y + 12 = 0$

Câu 9.Cho đường thẳng có phương trình tham số $\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 - t \end{cases}$. Viết phương trình tổng quát.

A.$2x + y - 1 = 0$

B.$-x - y + 3 = 0$

C.$x - y - 1 = 0$

D.$x - y = 0$

4. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳngTrắc nghiệm`line_reflect_point_over_line`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + y - 3 = 0$ và điểm $M(-4; 3)$. Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $\Delta$.

A.$M'(4; -3)$

B.$M'(0; -7)$

C.$M'(0; 7)$

D.$M'(-2; 5)$

Câu 11.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: 2x + y - 3 = 0$ và điểm $M(-4; 1)$. Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $\Delta$.

A.$M'(4; -1)$

B.$M'(0; 3)$

C.$M'(4; 5)$

D.$M'(4; -5)$

Câu 12.Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: 2x - y - 3 = 0$ và điểm $M(-4; -1)$. Tìm toạ độ điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $\Delta$.

A.$M'(4; 5)$

B.$M'(4; -5)$

C.$M'(0; -3)$

D.$M'(4; 1)$

5. Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(x_0; y_0)$ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$Trắc nghiệm`line_via_point_normal_2d`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(4; -1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (4; 4)$.

A.$4x - y - 12 = 0$

B.$4x + 4y + 12 = 0$

C.$4x + 4y = 0$

D.$4x + 4y - 12 = 0$

Câu 14.Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(-3; -5)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-5; 5)$.

A.$-5x + 5y + 10 = 0$

B.$-5x + 5y - 10 = 0$

C.$-5x + 5y = 0$

D.$-3x - 5y + 10 = 0$

Câu 15.Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(5; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-2; -2)$.

A.$-2x - 2y = 0$

B.$5x + y + 12 = 0$

C.$-2x - 2y + 12 = 0$

D.$-2x - 2y - 12 = 0$

6. Cho 2 điểm cụ thể $A, B$ — viết phương trình đường thẳng $AB$ và xét tính chấtĐúng / Sai`line_equation_2d_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Trong $Oxy$ cho hai điểm $A(0, 1)$ và $B(2, 5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về đường thẳng $AB$ sau:

a)Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\vec{n} = (4; -2)$.

b)Phương trình tổng quát của $AB$ là $4x - 2y + 2 = 0$.

c)Mọi đường thẳng đều có thể viết dạng $y = kx + m$.

d)Điểm $B(2, 5)$ thoả phương trình đường thẳng $AB$.

Câu 17.Trong $Oxy$ cho hai điểm $A(0, 1)$ và $B(2, 5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về đường thẳng $AB$ sau:

a)Mọi đường thẳng đều có thể viết dạng $y = kx + m$.

b)Hệ số góc của đường thẳng $AB$ là $k = 2$.

c)Phương trình tổng quát của $AB$ là $4x - 2y + 2 = 0$.

d)Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là $\vec{n} = (4; -2)$.

Câu 18.Trong $Oxy$ cho hai điểm $A(0, 1)$ và $B(2, 5)$. Xét tính đúng/sai các khẳng định về đường thẳng $AB$ sau:

a)Phương trình tổng quát của $AB$ là $4x - 2y + 2 = 0$.

b)Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB} = (2; 4)$.

c)Mọi đường thẳng đều có thể viết dạng $y = kx + m$.

d)Điểm $B(2, 5)$ thoả phương trình đường thẳng $AB$.

7. Cho đường thẳng $ax + by + c = 0$ cụ thể — xét VTPT, VTCP, hệ số gócĐúng / Sai`line_equation_2d_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho đường thẳng $\Delta: 2x + 3y - 1 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường thẳng có vectơ pháp tuyến $(3; 2)$.

b)Điểm $(1; 1)$ nằm trên đường thẳng.

c)Khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến đường thẳng là $\dfrac{1}{\sqrt{13}}$.

d)Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\vec{n} = (2; 3)$.

Câu 20.Cho đường thẳng $\Delta: 3x - 2y - 1 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Điểm $(1; 1)$ nằm trên đường thẳng.

b)Đường thẳng có vectơ pháp tuyến $(-2; 3)$.

c)Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u} = (2; 3)$.

d)Hệ số góc của đường thẳng là $k = \dfrac{3}{2}$.

Câu 21.Cho đường thẳng $\Delta: -2x - 2y + 2 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\vec{n} = (-2; -2)$.

b)Khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến đường thẳng là $\dfrac{2}{\sqrt{8}}$.

c)Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u} = (2; -2)$.

d)Điểm $(1; 1)$ nằm trên đường thẳng.

8. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`distance_origin_to_line_2d`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $0 + y - 4 = 0$.

Câu 23.Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $5x + 12y - 6 = 0$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 24.Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $3x + 4y + 2 = 0$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

9. Hệ số góc của đường $ax + by + c = 0$ ($b \neq 0$) là $-a/b$ (số thập phân)Trả lời ngắn`line_slope_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Tính hệ số góc của đường thẳng $3x + 2y - 6 = 0$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 26.Tính hệ số góc của đường thẳng $2x + y - 3 = 0$.

Câu 27.Tính hệ số góc của đường thẳng $y = 2x + 5$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Công thức(6)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $ax + by + c = 0$Trắc nghiệmdistance_point_to_line_2d(3 câu)

2. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng để $MA + MB$ nhỏ nhất (đối xứng qua đường xiên)Trắc nghiệmline_min_path_reflect_2d(3 câu)

3. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quátTrắc nghiệmline_parametric_to_general(3 câu)

4. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳngTrắc nghiệmline_reflect_point_over_line(3 câu)

5. Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(x_0; y_0)$ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$Trắc nghiệmline_via_point_normal_2d(3 câu)

6. Cho 2 điểm cụ thể $A, B$ — viết phương trình đường thẳng $AB$ và xét tính chấtĐúng / Sailine_equation_2d_examples(3 câu)

7. Cho đường thẳng $ax + by + c = 0$ cụ thể — xét VTPT, VTCP, hệ số gócĐúng / Sailine_equation_2d_facts(3 câu)

8. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ (số thập phân)Trả lời ngắndistance_origin_to_line_2d(3 câu)

9. Hệ số góc của đường $ax + by + c = 0$ ($b \neq 0$) là $-a/b$ (số thập phân)Trả lời ngắnline_slope_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng $ax + by + c = 0$Trắc nghiệm`distance_point_to_line_2d`(3 câu)

2. Tìm điểm $M$ trên đường thẳng để $MA + MB$ nhỏ nhất (đối xứng qua đường xiên)Trắc nghiệm`line_min_path_reflect_2d`(3 câu)

3. Chuyển từ phương trình tham số sang phương trình tổng quátTrắc nghiệm`line_parametric_to_general`(3 câu)

4. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳngTrắc nghiệm`line_reflect_point_over_line`(3 câu)

5. Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $M(x_0; y_0)$ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$Trắc nghiệm`line_via_point_normal_2d`(3 câu)

6. Cho 2 điểm cụ thể $A, B$ — viết phương trình đường thẳng $AB$ và xét tính chấtĐúng / Sai`line_equation_2d_examples`(3 câu)

7. Cho đường thẳng $ax + by + c = 0$ cụ thể — xét VTPT, VTCP, hệ số gócĐúng / Sai`line_equation_2d_facts`(3 câu)

8. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ (số thập phân)Trả lời ngắn`distance_origin_to_line_2d`(3 câu)

9. Hệ số góc của đường $ax + by + c = 0$ ($b \neq 0$) là $-a/b$ (số thập phân)Trả lời ngắn`line_slope_value`(3 câu)