Phương trình parabol

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Định nghĩa parabol (conic)

Cho điểm cố định $F$ và đường thẳng $\Delta$ không qua $F$. Parabol $(P)$ là tập hợp các điểm $M$ thoả: $$M F = d(M, \Delta).$$ $F$: tiêu điểm. $\Delta$: đường chuẩn. Khoảng cách $d(F, \Delta) = p > 0$ — tham số tiêu.

§2. Tính chất(1)

2.1

Các yếu tố của parabol

Đỉnh: $O(0; 0)$.
Trục đối xứng: $Ox$.
Tiêu điểm: $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right)$.
Đường chuẩn: $x + \dfrac{p}{2} = 0$.
Parabol nằm hoàn toàn ở $x \geq 0$ (mở sang phải).

§3. Công thức(2)

3.1

Phương trình chính tắc

Chọn hệ trục sao cho $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right)$, $\Delta: x = -\dfrac{p}{2}$: $$y^2 = 2 p x \, (p > 0).$$

3.2

Bán kính qua tiêu

$M(x; y) \in (P)$: $$M F = x + \dfrac{p}{2}.$$ (Bằng khoảng cách từ $M$ đến đường chuẩn.)

Bài tập

1. Viết phương trình chính tắc của elip qua một điểm, biết tiêu cựTrắc nghiệm`ellipse_from_point_and_focal_distance`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ đi qua điểm $M(5; -2)$ và có tiêu cự bằng $12$.

A.$\dfrac{x^2}{54} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

B.$\dfrac{x^2}{45} + \dfrac{y^2}{36} = 1$

C.$\dfrac{x^2}{45} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

D.$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{45} = 1$

Câu 2.Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ đi qua điểm $M(3; -1)$ và có tiêu cự bằng $8$.

A.$\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{y^2}{18} = 1$

B.$\dfrac{x^2}{18} + \dfrac{y^2}{2} = 1$

C.$\dfrac{x^2}{20} + \dfrac{y^2}{2} = 1$

D.$\dfrac{x^2}{18} + \dfrac{y^2}{16} = 1$

Câu 3.Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ đi qua điểm $M(-5; -2)$ và có tiêu cự bằng $12$.

A.$\dfrac{x^2}{54} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

B.$\dfrac{x^2}{45} + \dfrac{y^2}{36} = 1$

C.$\dfrac{x^2}{45} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

D.$\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{45} = 1$

2. Nhận diện parabol đỉnh $O$ trục đối xứng $Ox$Trắc nghiệm`parabola_canonical_recognize`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Đường cong $(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1)$ là?

A.Elip

B.Parabol đỉnh O, trục đối xứng Oy

C.Hypebol

D.Parabol đỉnh O, trục đối xứng Ox

Câu 5.Đường cong $(\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1)$ là?

A.Hypebol

B.Parabol đỉnh O, trục đối xứng Oy

C.Parabol đỉnh O, trục đối xứng Ox

D.Elip

Câu 6.Đường cong $(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1)$ là?

A.Elip

B.Hypebol

C.Parabol đỉnh O, trục đối xứng Ox

D.Parabol đỉnh O, trục đối xứng Oy

3. Đường chuẩn của parabol $y^2 = 2px$ là $x = -p/2$Trắc nghiệm`parabola_directrix_equation`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Phương trình đường chuẩn của parabol $y^2 = 8x$ là?

A.$x = 4$

B.$x = -4$

C.$x = 2$

D.$x = -2$

Câu 8.Phương trình đường chuẩn của parabol $y^2 = 12x$ là?

A.$x = 3$

B.$x = 6$

C.$x = -6$

D.$x = -3$

Câu 9.Phương trình đường chuẩn của parabol $y^2 = 4x$ là?

A.$x = -2$

B.$x = 2$

C.$x = 1$

D.$x = -1$

4. Parabol $y^2 = 2px$ có tiêu điểm $F(p/2; 0)$ và đường chuẩn $x = -p/2$Trắc nghiệm`parabola_focus_directrix`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tiêu điểm của parabol $y^2 = 16x$ là?

A.$F(8; 0)$

B.$F(0; 4)$

C.$F(4; 0)$

D.$F(-4; 0)$

Câu 11.Tiêu điểm của parabol $y^2 = 12x$ là?

A.$F(0; 3)$

B.$F(3; 0)$

C.$F(6; 0)$

D.$F(-3; 0)$

Câu 12.Tiêu điểm của parabol $y^2 = 8x$ là?

A.$F(2; 0)$

B.$F(4; 0)$

C.$F(-2; 0)$

D.$F(0; 2)$

5. Cho parabol $y^2 = 4x$ cụ thể — xét điểm trên parabol và tính chấtĐúng / Sai`parabola_conic_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho parabol $(P): y^2 = 4x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Điểm $(4; 4)$ thuộc parabol.

b)Điểm $(1; 2)$ thuộc parabol.

c)Đường chuẩn là $x = -1$.

d)Điểm $(1; 1)$ thuộc parabol.

Câu 14.Cho parabol $(P): y^2 = 4x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường chuẩn là $x = -1$.

b)Điểm $(1; 2)$ thuộc parabol.

c)Điểm $(1; 1)$ thuộc parabol.

d)Tham số tiêu $p = 2$.

Câu 15.Cho parabol $(P): y^2 = 4x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Điểm $(1; 1)$ thuộc parabol.

b)Điểm $(1; 2)$ thuộc parabol.

c)Tiêu điểm là $F(1; 0)$.

d)Parabol $x^2 = 4y$ có trục đối xứng là $Oy$.

6. Cho parabol $y^2 = 2px$ cụ thể — xét tham số, tiêu điểm, đường chuẩnĐúng / Sai`parabola_conic_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho parabol $(P): y^2 = 16x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Parabol có 2 tiêu điểm.

b)Mọi điểm trên parabol cách đều tiêu điểm và đường chuẩn.

c)Trục đối xứng của parabol $y^2 = 2px$ là trục $Ox$.

d)Tham số tiêu của parabol là $p = 8$.

Câu 17.Cho parabol $(P): y^2 = 8x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường chuẩn của parabol là $x = -\dfrac{p}{2} = -2$.

b)Trục đối xứng của parabol $y^2 = 2px$ là trục $Ox$.

c)Đường chuẩn của parabol là $x = 2$.

d)Tham số tiêu của parabol là $p = 4$.

Câu 18.Cho parabol $(P): y^2 = 8x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tham số tiêu của parabol là $p = 4$.

b)Parabol có 2 tiêu điểm.

c)Tiêu điểm của parabol là $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right) = (2; 0)$.

d)Đường chuẩn của parabol là $x = -\dfrac{p}{2} = -2$.

7. Hoành độ tiêu điểm của $y^2 = 2px$ là $p/2$Trả lời ngắn`parabola_focus_x_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Cho parabol $y^2 = 8x$. Tính hoành độ tiêu điểm $F$.

Câu 20.Cho parabol $y^2 = 4x$. Tính hoành độ tiêu điểm $F$.

Câu 21.Cho parabol $y^2 = 16x$. Tính hoành độ tiêu điểm $F$.

8. Cho parabol $y^2 = 2px$, tính $p$ từ phương trìnhTrả lời ngắn`parabola_p_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Cho parabol $y^2 = 10x$. Tính giá trị của $p$.

Câu 23.Cho parabol $y^2 = 4x$. Tính giá trị của $p$.

Câu 24.Cho parabol $y^2 = 12x$. Tính giá trị của $p$.

9. FORWARD kinh điển: ba điểm trên $y=x^2$ có hoành độ là 3 số nguyên liên tiếp (bất kỳ, kể cả lớn hơn 2026)Trả lời ngắn`parabola_triangle_area_consecutive_x`(1 câu)

Mẫu 1Vận dụng(1 câu)

Câu 25.Cho ba điểm $A,B,C$ nằm trên parabol $(P): y = x^2$ có hoành độ lần lượt là ba số nguyên liên tiếp đều lớn hơn $2026$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

10. REVERSE: cho diện tích $S$ và bước $d$ → tìm hệ số $k = S/d^3$; hoặc cho $S$ và $k$ → tìm bước $d = \sqrt[3]{S/k}$Trả lời ngắn`parabola_triangle_area_reverse_coef`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 26.Ba điểm $A,B,C$ nằm trên parabol $(P): y = k x^2$, có hoành độ lập thành cấp số cộng với $x_B = 2026$, $x_A = 2023$, $x_C = 2029$ (công sai $d = 3$). Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $\dfrac{27}{2}$ và diện tích đó không phụ thuộc vị trí, hãy tìm hệ số $k$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 27.Ba điểm $A,B,C$ nằm trên parabol $(P): y = k x^2$ với hệ số $k = 2$. Hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng có hoành độ ở giữa $x_B = 2099$ và công sai $d > 0$ (tức $x_A = 2099 - d$, $x_C = 2099 + d$). Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $16$, hãy tìm công sai $d$.

Câu 28.Ba điểm $A,B,C$ nằm trên parabol $(P): y = k x^2$, có hoành độ lập thành cấp số cộng với $x_B = 2026$, $x_A = 2023$, $x_C = 2029$ (công sai $d = 3$). Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $81$ và diện tích đó không phụ thuộc vị trí, hãy tìm hệ số $k$.

11. Cho parabol $y=k x^2$ và ba điểm có hoành độ cách đều bước $d$ (quanh một mốc nguyên lớn bất kỳ)Trả lời ngắn`parabola_triangle_area_step_coef`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 29.Cho ba điểm $A,B,C$ nằm trên parabol $(P): y = 2x^2$. Hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng công sai $d = 2$, cụ thể $x_B = 5000$, $x_A = 4998$, $x_C = 5002$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Câu 30.Cho ba điểm $A,B,C$ nằm trên parabol $(P): y = \dfrac{1}{2}x^2$. Hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng công sai $d = 2$, cụ thể $x_B = 5000$, $x_A = 4998$, $x_C = 5002$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Câu 31.Cho ba điểm $A,B,C$ nằm trên parabol $(P): y = 3x^2$. Hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng công sai $d = 3$, cụ thể $x_B = 2027$, $x_A = 2024$, $x_C = 2030$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(2)

Bài tập

1. Viết phương trình chính tắc của elip qua một điểm, biết tiêu cựTrắc nghiệmellipse_from_point_and_focal_distance(3 câu)

2. Nhận diện parabol đỉnh $O$ trục đối xứng $Ox$Trắc nghiệmparabola_canonical_recognize(3 câu)

3. Đường chuẩn của parabol $y^2 = 2px$ là $x = -p/2$Trắc nghiệmparabola_directrix_equation(3 câu)

4. Parabol $y^2 = 2px$ có tiêu điểm $F(p/2; 0)$ và đường chuẩn $x = -p/2$Trắc nghiệmparabola_focus_directrix(3 câu)

5. Cho parabol $y^2 = 4x$ cụ thể — xét điểm trên parabol và tính chấtĐúng / Saiparabola_conic_examples(3 câu)

6. Cho parabol $y^2 = 2px$ cụ thể — xét tham số, tiêu điểm, đường chuẩnĐúng / Saiparabola_conic_facts(3 câu)

7. Hoành độ tiêu điểm của $y^2 = 2px$ là $p/2$Trả lời ngắnparabola_focus_x_value(3 câu)

8. Cho parabol $y^2 = 2px$, tính $p$ từ phương trìnhTrả lời ngắnparabola_p_value(3 câu)

9. FORWARD kinh điển: ba điểm trên $y=x^2$ có hoành độ là 3 số nguyên liên tiếp (bất kỳ, kể cả lớn hơn 2026)Trả lời ngắnparabola_triangle_area_consecutive_x(1 câu)

10. REVERSE: cho diện tích $S$ và bước $d$ → tìm hệ số $k = S/d^3$; hoặc cho $S$ và $k$ → tìm bước $d = \sqrt[3]{S/k}$Trả lời ngắnparabola_triangle_area_reverse_coef(3 câu)

11. Cho parabol $y=k x^2$ và ba điểm có hoành độ cách đều bước $d$ (quanh một mốc nguyên lớn bất kỳ)Trả lời ngắnparabola_triangle_area_step_coef(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Viết phương trình chính tắc của elip qua một điểm, biết tiêu cựTrắc nghiệm`ellipse_from_point_and_focal_distance`(3 câu)

2. Nhận diện parabol đỉnh $O$ trục đối xứng $Ox$Trắc nghiệm`parabola_canonical_recognize`(3 câu)

3. Đường chuẩn của parabol $y^2 = 2px$ là $x = -p/2$Trắc nghiệm`parabola_directrix_equation`(3 câu)

4. Parabol $y^2 = 2px$ có tiêu điểm $F(p/2; 0)$ và đường chuẩn $x = -p/2$Trắc nghiệm`parabola_focus_directrix`(3 câu)

5. Cho parabol $y^2 = 4x$ cụ thể — xét điểm trên parabol và tính chấtĐúng / Sai`parabola_conic_examples`(3 câu)

6. Cho parabol $y^2 = 2px$ cụ thể — xét tham số, tiêu điểm, đường chuẩnĐúng / Sai`parabola_conic_facts`(3 câu)

7. Hoành độ tiêu điểm của $y^2 = 2px$ là $p/2$Trả lời ngắn`parabola_focus_x_value`(3 câu)

8. Cho parabol $y^2 = 2px$, tính $p$ từ phương trìnhTrả lời ngắn`parabola_p_value`(3 câu)

9. FORWARD kinh điển: ba điểm trên $y=x^2$ có hoành độ là 3 số nguyên liên tiếp (bất kỳ, kể cả lớn hơn 2026)Trả lời ngắn`parabola_triangle_area_consecutive_x`(1 câu)

10. REVERSE: cho diện tích $S$ và bước $d$ → tìm hệ số $k = S/d^3$; hoặc cho $S$ và $k$ → tìm bước $d = \sqrt[3]{S/k}$Trả lời ngắn`parabola_triangle_area_reverse_coef`(3 câu)

11. Cho parabol $y=k x^2$ và ba điểm có hoành độ cách đều bước $d$ (quanh một mốc nguyên lớn bất kỳ)Trả lời ngắn`parabola_triangle_area_step_coef`(3 câu)