Công thức
§1. Định nghĩa(1)
Định nghĩa hypebol
§2. Tính chất(1)
Các yếu tố của hypebol
- Trục thực: $A_1 A_2$ với $A_1(-a; 0), A_2(a; 0)$. Độ dài $2a$.
- Trục ảo: trên $Oy$, độ dài $2b$.
- Đỉnh: $A_1, A_2$ (giao với trục thực).
- Tâm sai: $e = \dfrac{c}{a} > 1$. $e$ càng lớn → 2 nhánh càng tách xa.
- Tiệm cận: $y = \pm \dfrac{b}{a} x$ — 2 đường thẳng đi qua $O$, hypebol tiến đến tiệm cận khi $x \to \pm\infty$.
- Tâm đối xứng: $O$. Trục đối xứng: $Ox, Oy$.
§3. Công thức(2)
Phương trình chính tắc
Bán kính qua tiêu
- Nhánh phải ($x > 0$): $M F_1 = a + \dfrac{c}{a} x$, $M F_2 = -a + \dfrac{c}{a} x$.
- Nhánh trái ($x < 0$): $M F_1 = -a - \dfrac{c}{a} x$, $M F_2 = a - \dfrac{c}{a} x$.
Bài tập
1. Tiệm cận của hypebol $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ là $y = \pm (b/a)x$Trắc nghiệmhyperbola_asymptote(3 câu)
Câu 1.Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ là?
Câu 2.Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ là?
Câu 3.Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ là?
2. Tiêu cự $2c$ của hypebol với $c^2 = a^2 + b^2$Trắc nghiệmhyperbola_focal_distance(3 câu)
Câu 4.Tiêu cự của hypebol $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ là?
Câu 5.Tiêu cự của hypebol $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{144} = 1$ là?
Câu 6.Tiêu cự của hypebol $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ là?
3. Trục thực của hypebol $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ là $2a$Trắc nghiệmhyperbola_real_axis(3 câu)
Câu 7.Cho hypebol $(H)$: $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$. Độ dài trục thực $2a$ bằng?
Câu 8.Cho hypebol $(H)$: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Độ dài trục thực $2a$ bằng?
Câu 9.Cho hypebol $(H)$: $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$. Độ dài trục thực $2a$ bằng?
4. Cho hypebol $x^2/9 - y^2/16 = 1$ — kiểm tra tiệm cận và đỉnh cụ thểĐúng / Saihyperbola_intro_examples(3 câu)
Câu 10.Cho hypebol $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 11.Cho hypebol $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 12.Cho hypebol $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
5. Cho hypebol $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ cụ thể — xét $a, b, c$, tiệm cậnĐúng / Saihyperbola_intro_facts(3 câu)
Câu 13.Cho hypebol $(H): \dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 14.Cho hypebol $(H): \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 15.Cho hypebol $(H): \dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{144} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
6. REVERSE: cho bán kính x, tính độ cao y = b*sqrt(x^2/a^2 - 1)Trả lời ngắnhyperbola_app_height_from_radius(6 câu)
Câu 16.Mặt cắt của đèn pha (đèn rọi) công suất lớn có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{40^2} - \dfrac{y^2}{40^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$ và độ cao $y$ tính từ eo thắt. Biết tại một vị trí bán kính (nửa bề rộng) của đèn bằng $58$ m, hỏi vị trí đó ở độ cao bao nhiêu mét so với eo thắt?
Câu 17.Mặt cắt của tháp làm nguội của một nhà máy điện có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{100^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$ và độ cao $y$ tính từ eo thắt. Biết tại một vị trí bán kính (nửa bề rộng) của tháp bằng $260$ m, hỏi vị trí đó ở độ cao bao nhiêu mét so với eo thắt?
Câu 18.Mặt cắt của ăng-ten parabol dạng đĩa (xét mặt cắt đi qua trục) có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{100^2} - \dfrac{y^2}{40^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$ và độ cao $y$ tính từ eo thắt. Biết tại một vị trí bán kính (nửa bề rộng) của ăng-ten bằng $125$ m, hỏi vị trí đó ở độ cao bao nhiêu mét so với eo thắt?
Câu 19.Mặt cắt của đèn pha (đèn rọi) công suất lớn có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{100^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$ và độ cao $y$ tính từ eo thắt. Biết tại một vị trí bán kính (nửa bề rộng) của đèn bằng $260$ m, hỏi vị trí đó ở độ cao bao nhiêu mét so với eo thắt?
Câu 20.Mặt cắt của ăng-ten parabol dạng đĩa (xét mặt cắt đi qua trục) có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{80^2} - \dfrac{y^2}{40^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$ và độ cao $y$ tính từ eo thắt. Biết tại một vị trí bán kính (nửa bề rộng) của ăng-ten bằng $208$ m, hỏi vị trí đó ở độ cao bao nhiêu mét so với eo thắt?
Câu 21.Mặt cắt của tháp làm nguội của một nhà máy điện có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{80^2} - \dfrac{y^2}{40^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$ và độ cao $y$ tính từ eo thắt. Biết tại một vị trí bán kính (nửa bề rộng) của tháp bằng $116$ m, hỏi vị trí đó ở độ cao bao nhiêu mét so với eo thắt?
7. FORWARD: cho độ cao y0, tính bán kính x = a*sqrt(1 + y0^2/b^2)Trả lời ngắnhyperbola_app_radius_at_height(6 câu)
Câu 22.Mặt cắt của trụ đỡ cong của một cây cầu có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{100^2} - \dfrac{y^2}{40^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt (chỗ hẹp nhất) nằm ở $y = 0$. Tại độ cao $y = 96$ m so với eo thắt, bán kính (nửa bề rộng) của trụ cầu bằng bao nhiêu mét?
Câu 23.Mặt cắt của trụ đỡ cong của một cây cầu có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{100^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt (chỗ hẹp nhất) nằm ở $y = 0$. Tại độ cao $y = 15$ m so với eo thắt, bán kính (nửa bề rộng) của trụ cầu bằng bao nhiêu mét?
Câu 24.Mặt cắt của trụ đỡ cong của một cây cầu có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{40^2} - \dfrac{y^2}{40^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt (chỗ hẹp nhất) nằm ở $y = 0$. Tại độ cao $y = 75$ m so với eo thắt, bán kính (nửa bề rộng) của trụ cầu bằng bao nhiêu mét?
Câu 25.Mặt cắt của ăng-ten parabol dạng đĩa (xét mặt cắt đi qua trục) có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{60^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt (chỗ hẹp nhất) nằm ở $y = 0$. Tại độ cao $y = 48$ m so với eo thắt, bán kính (nửa bề rộng) của ăng-ten bằng bao nhiêu mét?
Câu 26.Mặt cắt của đèn pha (đèn rọi) công suất lớn có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{40^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt (chỗ hẹp nhất) nằm ở $y = 0$. Tại độ cao $y = 48$ m so với eo thắt, bán kính (nửa bề rộng) của đèn bằng bao nhiêu mét?
Câu 27.Mặt cắt của tháp làm nguội của một nhà máy điện có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{80^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt (chỗ hẹp nhất) nằm ở $y = 0$. Tại độ cao $y = 21$ m so với eo thắt, bán kính (nửa bề rộng) của tháp bằng bao nhiêu mét?
8. Hiệu hai bán kính: |x(y2) - x(y1)|; nếu không có 2 độ cao thì lấy hiệu so với eo thắtTrả lời ngắnhyperbola_app_radius_difference(6 câu)
Câu 28.Mặt cắt của tháp làm nguội của một nhà máy điện có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{40^2} - \dfrac{y^2}{40^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$. Bán kính (nửa bề rộng) của tháp tại độ cao $y$ là $x = 40\sqrt{1 + \dfrac{y^2}{40^2}}$. Hỏi bán kính tại độ cao $y = 42$ m lớn hơn bán kính tại độ cao $y = 30$ m bao nhiêu mét?
Câu 29.Mặt cắt của ăng-ten parabol dạng đĩa (xét mặt cắt đi qua trục) có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{80^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$. Bán kính (nửa bề rộng) của ăng-ten tại độ cao $y$ là $x = 80\sqrt{1 + \dfrac{y^2}{20^2}}$. Hỏi bán kính tại độ cao $y = 48$ m lớn hơn bán kính tại độ cao $y = 21$ m bao nhiêu mét?
Câu 30.Mặt cắt của đèn pha (đèn rọi) công suất lớn có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{80^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$. Bán kính (nửa bề rộng) của đèn tại độ cao $y$ là $x = 80\sqrt{1 + \dfrac{y^2}{20^2}}$. Hỏi bán kính tại độ cao $y = 48$ m lớn hơn bán kính tại độ cao $y = 21$ m bao nhiêu mét?
Câu 31.Mặt cắt của tháp làm nguội của một nhà máy điện có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{40^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$. Bán kính (nửa bề rộng) của tháp tại độ cao $y$ là $x = 40\sqrt{1 + \dfrac{y^2}{20^2}}$. Hỏi bán kính tại độ cao $y = 48$ m lớn hơn bán kính tại độ cao $y = 21$ m bao nhiêu mét?
Câu 32.Mặt cắt của ăng-ten parabol dạng đĩa (xét mặt cắt đi qua trục) có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{100^2} - \dfrac{y^2}{20^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$. Bán kính (nửa bề rộng) của ăng-ten tại độ cao $y$ là $x = 100\sqrt{1 + \dfrac{y^2}{20^2}}$. Hỏi bán kính tại độ cao $y = 21$ m lớn hơn bán kính tại độ cao $y = 15$ m bao nhiêu mét?
Câu 33.Mặt cắt của đèn pha (đèn rọi) công suất lớn có dạng một phần của hypebol $\dfrac{x^2}{60^2} - \dfrac{y^2}{30^2} = 1$ (đơn vị: mét), eo thắt nằm ở $y = 0$. Bán kính (nửa bề rộng) của đèn tại độ cao $y$ là $x = 60\sqrt{1 + \dfrac{y^2}{30^2}}$. Hỏi bán kính tại độ cao $y = 72$ m lớn hơn bán kính tại độ cao $y = 16$ m bao nhiêu mét?
9. Số tiêu điểm của hypebol — luôn 2Trả lời ngắnhyperbola_focal_count(1 câu)
Câu 34.Một hypebol có bao nhiêu tiêu điểm?
10. Trục thực $2a$ của hypebol $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$Trả lời ngắnhyperbola_real_axis_value(3 câu)
Câu 35.Cho hypebol $(H)$: $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{5} = 1$. Tính độ dài trục thực.
Câu 36.Cho hypebol $(H)$: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. Tính độ dài trục thực.
Câu 37.Cho hypebol $(H)$: $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$. Tính độ dài trục thực.
11. Quỹ đạo f(x)=(ax^2+bx+c)/(x+d) qua O, cắt (x1;0), cực đại (xm;ym)Trả lời ngắnrational_quadratic_linear_balloon_x_at_height(6 câu)
Câu 38.Khi đặt trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với trục $Ox$ nằm ngang trên mặt đất, trục $Oy$ hướng thẳng lên trên, đơn vị trong hệ trục là $1$ kilômét thì đường đi của một quả bóng thám không bắt đầu xuất phát từ điểm $O$ được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$. Biết đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ $(8;0)$ và đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(6;4)$. Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm quả bóng cách mặt đất $3500$ mét thì hình chiếu của nó trên trục $Ox$ cách gốc tọa độ bao nhiêu kilômét?
Câu 39.Khi đặt trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với trục $Ox$ nằm ngang trên mặt đất, trục $Oy$ hướng thẳng lên trên, đơn vị trong hệ trục là $1$ kilômét thì đường đi của một thiết bị bay không người lái (drone) bắt đầu xuất phát từ điểm $O$ được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$. Biết đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ $(7;0)$ và đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(6;4)$. Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm drone cách mặt đất $3000$ mét thì hình chiếu của nó trên trục $Ox$ cách gốc tọa độ bao nhiêu kilômét?
Câu 40.Khi đặt trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với trục $Ox$ nằm ngang trên mặt đất, trục $Oy$ hướng thẳng lên trên, đơn vị trong hệ trục là $1$ kilômét thì đường đi của một khinh khí cầu bắt đầu xuất phát từ điểm $O$ được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$. Biết đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ $(8;0)$ và đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(6;4)$. Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất $3900$ mét thì hình chiếu của nó trên trục $Ox$ cách gốc tọa độ bao nhiêu kilômét?
Câu 41.Khi đặt trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với trục $Ox$ nằm ngang trên mặt đất, trục $Oy$ hướng thẳng lên trên, đơn vị trong hệ trục là $1$ kilômét thì đường đi của một khinh khí cầu bắt đầu xuất phát từ điểm $O$ được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$. Biết đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ $(8;0)$ và đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(6;4)$. Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất $3500$ mét thì hình chiếu của nó trên trục $Ox$ cách gốc tọa độ bao nhiêu kilômét?
Câu 42.Khi đặt trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với trục $Ox$ nằm ngang trên mặt đất, trục $Oy$ hướng thẳng lên trên, đơn vị trong hệ trục là $1$ kilômét thì đường đi của một quả bóng thám không bắt đầu xuất phát từ điểm $O$ được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$. Biết đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ $(8;0)$ và đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(6;4)$. Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm quả bóng cách mặt đất $3500$ mét thì hình chiếu của nó trên trục $Ox$ cách gốc tọa độ bao nhiêu kilômét?
Câu 43.Khi đặt trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với trục $Ox$ nằm ngang trên mặt đất, trục $Oy$ hướng thẳng lên trên, đơn vị trong hệ trục là $1$ kilômét thì đường đi của một khinh khí cầu bắt đầu xuất phát từ điểm $O$ được mô phỏng là một phần đồ thị của hàm số bậc hai trên bậc nhất $f(x) = \dfrac{ax^2 + bx + c}{x + d}$. Biết đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại điểm thứ hai có tọa độ $(11;0)$ và đạt cực đại tại điểm có tọa độ $(7;4)$. Sau khi đi qua điểm cực đại và đang trong quá trình hạ cánh, tại thời điểm khinh khí cầu cách mặt đất $3900$ mét thì hình chiếu của nó trên trục $Ox$ cách gốc tọa độ bao nhiêu kilômét?