Công thức
§1. Định nghĩa(1)
Định nghĩa elip
§2. Tính chất(1)
Các yếu tố của elip
- Trục lớn: đoạn $A_1 A_2$ với $A_1(-a; 0), A_2(a; 0)$. Độ dài $2a$.
- Trục bé: đoạn $B_1 B_2$ với $B_1(0; -b), B_2(0; b)$. Độ dài $2b$.
- $a$ = bán trục lớn, $b$ = bán trục bé.
- Tâm đối xứng: $O(0; 0)$.
- Trục đối xứng: $Ox$ và $Oy$.
- Tâm sai: $e = \dfrac{c}{a}$, $0 < e < 1$. $e$ càng nhỏ → elip càng tròn; $e \to 1$ → elip dẹt.
§3. Công thức(2)
Phương trình chính tắc
Bán kính qua tiêu
Bài tập
1. Tìm độ dài trục lớn (2a) của elip $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$Trắc nghiệmellipse_axes_from_canonical(3 câu)
Câu 1.Cho elip $(E)$: $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{4} = 1$. Độ dài trục lớn $2a$ bằng?
Câu 2.Cho elip $(E)$: $\dfrac{x^2}{15} + \dfrac{y^2}{16} = 1$. Độ dài trục lớn $2a$ bằng?
Câu 3.Cho elip $(E)$: $\dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{4} = 1$. Độ dài trục lớn $2a$ bằng?
2. Tâm sai $e = c/a$ của elipTrắc nghiệmellipse_eccentricity(3 câu)
Câu 4.Tâm sai của elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ là?
Câu 5.Tâm sai của elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ là?
Câu 6.Tâm sai của elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ là?
3. Tiêu cự $2c$ của elip với $c^2 = a^2 - b^2$Trắc nghiệmellipse_focal_distance(3 câu)
Câu 7.Tiêu cự của elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ là?
Câu 8.Tiêu cự của elip $\dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{144} = 1$ là?
Câu 9.Tiêu cự của elip $\dfrac{x^2}{169} + \dfrac{y^2}{144} = 1$ là?
4. Cho elip cụ thể — tính tâm sai và đỉnhĐúng / Saiellipse_intro_examples(3 câu)
Câu 10.Cho elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 11.Cho elip $\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{64} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 12.Cho elip $\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{64} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
5. Cho elip $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ cụ thể — xét $a, b, c$, đỉnh, tiêu cựĐúng / Saiellipse_intro_facts(3 câu)
Câu 13.Cho elip $(E): \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 14.Cho elip $(E): \dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{64} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
Câu 15.Cho elip $(E): \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:
6. Tia từ $F_1$ vuông góc trục lớn chạm elip tại $M$ rồi phản xạ về $F_2$Trả lời ngắnellipse_far_focal_radius_reflection(3 câu)
Câu 16.Trong y học, máy tán sỏi ngoài cơ thể (Lithotripter) có một mặt phản xạ có mặt cắt là một nửa đường elip. Nguồn phát sóng đặt tại tiêu điểm $F_1$, viên sỏi ở tiêu điểm $F_2$; mọi tia phát ra từ $F_1$ sau khi phản xạ đều hội tụ tại $F_2$. Thiết bị có mặt cắt là nửa elip với độ dài trục lớn là $20$ cm và khoảng cách từ tiêu điểm đến tâm của elip là $6$ cm. Xét một tia sóng phát ra từ $F_1$, đi theo phương vuông góc với trục lớn tại chính vị trí $F_1$, chạm vào mặt phản xạ tại điểm $M$ rồi truyền đến viên sỏi tại $F_2$. Tính độ dài quãng đường $MF_2$ (đơn vị: cm). (Làm tròn đến hàng phần mười)
Câu 17.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 10$ và khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c = 4$. Từ tiêu điểm $F_1$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục lớn, cắt $(E)$ tại điểm $M$. Tính độ dài đoạn $MF_2$ (với $F_2$ là tiêu điểm còn lại). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 18.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 10$ và khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c = 3$. Từ tiêu điểm $F_1$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục lớn, cắt $(E)$ tại điểm $M$. Tính độ dài đoạn $MF_2$ (với $F_2$ là tiêu điểm còn lại). (Làm tròn đến hàng phần trăm)
7. REVERSE: cho $MF = b^2/a$ và $a$, tìm $b$ (hoặc $c$) của elipTrả lời ngắnellipse_focal_chord_reverse_b(3 câu)
Câu 19.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 50$. Từ một tiêu điểm $F_1$ kẻ đường vuông góc với trục lớn cắt $(E)$ tại $M$, biết $MF_1 = 9$. Tính độ dài bán trục bé $b$.
Câu 20.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 50$. Từ một tiêu điểm $F_1$ kẻ đường vuông góc với trục lớn cắt $(E)$ tại $M$, biết $MF_1 = 16$. Tính độ dài bán trục bé $b$.
Câu 21.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 50$. Từ một tiêu điểm $F_1$ kẻ đường vuông góc với trục lớn cắt $(E)$ tại $M$, biết $MF_1 = 9$. Tính tiêu cự bán phần $c$.
8. Số tiêu điểm của elip — luôn 2Trả lời ngắnellipse_focal_count(1 câu)
Câu 22.Một elip có bao nhiêu tiêu điểm?
9. Cùng dữ kiện, hỏi ĐỘ DÀI CẢ DÂY cung qua tiêu vuông góc trục lớn $= 2b^2/a$Trả lời ngắnellipse_latus_rectum_full(3 câu)
Câu 23.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 50$ và tiêu cự $2c = 30$. Đường thẳng qua tiêu điểm $F_1$ và vuông góc với trục lớn cắt $(E)$ tại hai điểm $M, N$. Tính độ dài dây cung $MN$.
Câu 24.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 10$ và tiêu cự $2c = 8$. Đường thẳng qua tiêu điểm $F_1$ và vuông góc với trục lớn cắt $(E)$ tại hai điểm $M, N$. Tính độ dài dây cung $MN$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 25.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 40$ và độ dài trục bé $2b = 32$. Đường thẳng qua tiêu điểm $F_1$ và vuông góc với trục lớn cắt $(E)$ tại hai điểm $M, N$. Tính độ dài dây cung $MN$. (Làm tròn đến hàng phần mười)
10. Độ dài trục lớn của elip $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ là $2a$Trả lời ngắnellipse_major_axis_length(3 câu)
Câu 26.Cho elip $(E)$: $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. Tính độ dài trục lớn.
Câu 27.Cho elip $(E)$: $\dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{64} = 1$. Tính độ dài trục lớn.
Câu 28.Cho elip $(E)$: $\dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{25} = 1$. Tính độ dài trục lớn.
11. Cùng setup, hỏi khoảng cách LỚN NHẤT $= \sqrt{a^2+h^2}$ (đỉnh trục lớn)Trả lời ngắnellipse_max_distance_external_point(3 câu)
Câu 29.Trong không gian $Oxyz$, điểm $M$ chuyển động trên một elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, có hai tiêu điểm $A(4;0;0)$, $B(-4;0;0)$ và $MA + MB = 10$. Cho điểm $C(0;0;12)$. Tính khoảng cách LỚN NHẤT từ $C$ đến $M$.
Câu 30.Trong không gian $Oxyz$, điểm $M$ chuyển động trên một elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, có hai tiêu điểm $A(3;0;0)$, $B(-3;0;0)$ và $MA + MB = 10$. Cho điểm $C(0;0;12)$. Tính khoảng cách LỚN NHẤT từ $C$ đến $M$.
Câu 31.Trong không gian $Oxyz$, điểm $M$ chuyển động trên một elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, có hai tiêu điểm $A(9;0;0)$, $B(-9;0;0)$ và $MA + MB = 30$. Cho điểm $C(0;0;8)$. Tính khoảng cách LỚN NHẤT từ $C$ đến $M$.
12. FORWARD: cho tiêu điểm + tổng $MA+MB$ và $P(0;0;h)$, tính khoảng cách NGẮN NHẤT $= \sqrt{b^2+h^2}$Trả lời ngắnellipse_min_distance_external_point(3 câu)
Câu 32.Trong không gian $Oxyz$, vệ tinh $M$ chuyển động trên một elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, có hai tiêu điểm $A(3;0;0)$, $B(-3;0;0)$ và $MA + MB = 10$. Cho điểm $C(0;0;3)$. Tính khoảng cách NGẮN NHẤT từ $C$ đến $M$.
Câu 33.Trong không gian $Oxyz$, vệ tinh $M$ chuyển động trên một elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, có hai tiêu điểm $A(8;0;0)$, $B(-8;0;0)$ và $MA + MB = 34$. Cho điểm $C(0;0;8)$. Tính khoảng cách NGẮN NHẤT từ $C$ đến $M$.
Câu 34.Trong không gian $Oxyz$, vệ tinh $M$ chuyển động trên một elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, có hai tiêu điểm $A(8;0;0)$, $B(-8;0;0)$ và $MA + MB = 20$. Cho điểm $C(0;0;8)$. Tính khoảng cách NGẮN NHẤT từ $C$ đến $M$.
13. Cho phương trình chính tắc elip + điểm $P(0;0;h)$, tính khoảng cách min $= \sqrt{b^2+h^2}$Trả lời ngắnellipse_min_distance_from_canonical(3 câu)
Câu 35.Trong không gian $Oxyz$, điểm $M$ chạy trên elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Cho điểm $S(0;0;4)$. Tính khoảng cách NGẮN NHẤT từ $S$ đến $M$.
Câu 36.Trong không gian $Oxyz$, điểm $M$ chạy trên elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Cho điểm $S(0;0;3)$. Tính khoảng cách NGẮN NHẤT từ $S$ đến $M$.
Câu 37.Trong không gian $Oxyz$, điểm $M$ chạy trên elip $\dfrac{x^2}{225} + \dfrac{y^2}{81} = 1$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Cho điểm $S(0;0;12)$. Tính khoảng cách NGẮN NHẤT từ $S$ đến $M$.
14. FORWARD: cho 2a và c, tính bán kính qua tiêu vuông góc trục lớn $MF = b^2/a$Trả lời ngắnellipse_semi_latus_rectum(3 câu)
Câu 38.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 20$ và tiêu cự $2c = 12$. Từ tiêu điểm $F_1$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục lớn, cắt $(E)$ tại $M$. Tính độ dài đoạn $MF_1$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 39.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 20$ và tiêu cự $2c = 16$. Từ tiêu điểm $F_1$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục lớn, cắt $(E)$ tại $M$. Tính độ dài đoạn $MF_1$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 40.Cho elip $(E)$ có độ dài trục lớn $2a = 30$ và khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm $c = 9$. Từ tiêu điểm $F_1$ kẻ đường thẳng vuông góc với trục lớn, cắt $(E)$ tại $M$. Tính độ dài đoạn $MF_1$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)