Phương trình đường tròn

Công thức

§1. Công thức(3)

1.1

Phương trình dạng khai triển

$$x^2 + y^2 - 2 a x - 2 b y + c = 0.$$ Là phương trình đường tròn khi $a^2 + b^2 - c > 0$. Khi đó: tâm $I(a; b)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$.

1.2

Phương trình chính tắc

Đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.$$

1.3

Tiếp tuyến với đường tròn tại điểm

Cho $(C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ và điểm $M_0(x_0; y_0) \in (C)$. Tiếp tuyến tại $M_0$: $$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = R^2.$$ Hoặc: vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến = $\vec{IM_0}$.

§2. Phương pháp(2)

2.1

Tìm tiếp tuyến qua điểm ngoài

Cho điểm $A$ ngoài đường tròn $(C)$ tâm $I$ bán kính $R$: Bước 1. Tiếp tuyến qua $A$ có dạng $\Delta: \alpha(x - x_A) + \beta(y - y_A) = 0$. Bước 2. Điều kiện tiếp xúc: $d(I, \Delta) = R$. Bước 3. Giải phương trình theo $\alpha, \beta$ (thường $\alpha^2 + \beta^2 = 1$) → 2 tiếp tuyến.

2.2

Cách viết phương trình đường tròn

1. Biết tâm + bán kính: thay trực tiếp. 2. Biết tâm + 1 điểm trên đường tròn: $R = $ khoảng cách tâm đến điểm đó. 3. Biết 3 điểm: lập hệ 3 phương trình theo $(a, b, c)$, giải. 4. Tâm + tiếp xúc đường thẳng $\Delta$: $R = d(I, \Delta)$. 5. Đi qua 2 điểm + tâm trên đường thẳng cho trước: tâm = giao của trung trực 2 điểm với đường thẳng đó.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: bù bình phương

Đưa $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ về chính tắc: $\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 = \dfrac{D^2}{4} + \dfrac{E^2}{4} - F$. → Tâm $I\left(-\dfrac{D}{2}; -\dfrac{E}{2}\right)$, bán kính $R = \sqrt{\dfrac{D^2 + E^2}{4} - F}$ (nếu vế phải dương).

Bài tập

1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$Trắc nghiệm`circle_center_from_general`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Đường tròn $(C)$: $x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0$ có tâm và bán kính là?

A.$I(3; 2),\ R = 25$

B.$I(-3; -2),\ R = 5$

C.$I(3; 2),\ R = 5$

D.$I(6; 4),\ R = 5$

Câu 2.Đường tròn $(C)$: $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 9 = 0$ có tâm và bán kính là?

A.$I(-6; 4),\ R = 2$

B.$I(3; -2),\ R = 2$

C.$I(-3; 2),\ R = 2$

D.$I(-3; 2),\ R = 4$

Câu 3.Đường tròn $(C)$: $x^2 + y^2 + 4x + 6y + 9 = 0$ có tâm và bán kính là?

A.$I(-2; -3),\ R = 4$

B.$I(-2; -3),\ R = 2$

C.$I(2; 3),\ R = 2$

D.$I(-4; -6),\ R = 2$

2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm cho trướcTrắc nghiệm`circle_through_three_points`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua ba điểm $A(-5; 0)$, $B(-4; -1)$, $C(-2; -1)$.

A.$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$

B.$x^2 + y^2 + 6x - 2y + 5 = 0$

C.$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 5 = 0$

D.$x^2 + y^2 + 6x - 2y - 5 = 0$

Câu 5.Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua ba điểm $A(-2; 0)$, $B(0; -2)$, $C(2; -2)$.

A.$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 8 = 0$

B.$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 8 = 0$

C.$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 8 = 0$

D.$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$

Câu 6.Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua ba điểm $A(-2; 0)$, $B(0; -2)$, $C(2; -2)$.

A.$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 8 = 0$

B.$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 8 = 0$

C.$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 8 = 0$

D.$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$

3. Đường tròn nhận $AB$ làm đường kính: tâm = trung điểm $AB$, $R = AB/2$Trắc nghiệm`circle_through_two_points_diameter`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Cho hai điểm $A(0; 0)$ và $B(6; -2)$. Viết phương trình đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.

A.$x^2 + y^2 = 40$

B.$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 10$

C.$(x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 40$

D.$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 40$

Câu 8.Cho hai điểm $A(2; 2)$ và $B(6; 0)$. Viết phương trình đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.

A.$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 5$

B.$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 20$

C.$(x - 6)^2 + y^2 = 20$

D.$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 20$

Câu 9.Cho hai điểm $A(2; 0)$ và $B(8; 0)$. Viết phương trình đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.

A.$(x - 2)^2 + y^2 = 36$

B.$(x - 8)^2 + y^2 = 36$

C.$(x - 5)^2 + y^2 = 36$

D.$(x - 5)^2 + y^2 = 9$

4. Viết phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$Trắc nghiệm`circle_via_center_radius`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Viết phương trình đường tròn tâm $I(-2; -1)$, bán kính $R = 6$.

A.$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 36$

B.$x^2 + y^2 = 36$

C.$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 6$

D.$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 36$

Câu 11.Viết phương trình đường tròn tâm $I(3; 5)$, bán kính $R = 1$.

A.$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 1$

B.$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 2$

C.$(x + 3)^2 + (y + 5)^2 = 1$

D.$x^2 + y^2 = 1$

Câu 12.Viết phương trình đường tròn tâm $I(-3; -3)$, bán kính $R = 2$.

A.$(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 4$

B.$(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 2$

C.$x^2 + y^2 = 4$

D.$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 4$

5. Cho phương trình đường tròn dạng tổng quát $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ cụ thểĐúng / Sai`circle_equation_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho phương trình $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hệ số của $x^2$ và $y^2$ trong phương trình bằng nhau và bằng $1$.

b)Mọi phương trình $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ đều là đường tròn.

c)Bán kính $R = 2$.

d)Tâm đường tròn là $I(-1; 2)$.

Câu 14.Cho phương trình $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bán kính $R = 3$.

b)Mọi phương trình $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ đều là đường tròn.

c)Hệ số của $x^2$ và $y^2$ trong phương trình bằng nhau và bằng $1$.

d)Phương trình tiếp tuyến tại điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó.

Câu 15.Cho phương trình $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tâm đường tròn là $I(1; -2)$.

b)Phương trình tiếp tuyến tại điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó.

c)Mọi phương trình $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ đều là đường tròn.

d)Hệ số của $x^2$ và $y^2$ trong phương trình bằng nhau và bằng $1$.

6. Cho đường tròn $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ cụ thể — xét tâm, bán kính, kiểm tra điểmĐúng / Sai`circle_equation_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho đường tròn $(C): (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Điểm $(3; -2)$ nằm trên đường tròn.

b)Đường tròn có tâm $I(3; -2)$.

c)Đường tròn đi qua gốc tọa độ.

d)Đường tròn có bán kính $R = 4$.

Câu 17.Cho đường tròn $(C): (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường tròn có bán kính $R = 2$.

b)Điểm $(-1; -2)$ là tâm đường tròn.

c)Đường tròn có bán kính $R = 4$.

d)Đường tròn đi qua gốc tọa độ.

Câu 18.Cho đường tròn $(C): (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 16$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đường tròn có bán kính $R = 16$.

b)Điểm $(-2; -1)$ nằm trên đường tròn.

c)Điểm $(-2; -1)$ là tâm đường tròn.

d)Đường tròn có tâm $I(-2; -1)$.

7. Bán kính đường tròn đường kính $AB$ là $AB/2$Trả lời ngắn`circle_diameter_from_two_points`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho $A(0; 0)$, $B(6; 8)$. Tính bán kính đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.

Câu 20.Cho $A(0; 0)$, $B(3; 4)$. Tính bán kính đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.

Câu 21.Cho $A(0; 0)$, $B(4; 0)$. Tính bán kính đường tròn nhận $AB$ làm đường kính.

8. Bán kính của $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$Trả lời ngắn`circle_radius_from_general`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Đường tròn $(C)$: $x^2 + y^2 - 6x - 2y - 15 = 0$ có bán kính bằng?

Câu 23.Đường tròn $(C)$: $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 23 = 0$ có bán kính bằng?

Câu 24.Đường tròn $(C)$: $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ có bán kính bằng?

Công thức

§1. Công thức(3)

§2. Phương pháp(2)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$Trắc nghiệmcircle_center_from_general(3 câu)

2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm cho trướcTrắc nghiệmcircle_through_three_points(3 câu)

3. Đường tròn nhận $AB$ làm đường kính: tâm = trung điểm $AB$, $R = AB/2$Trắc nghiệmcircle_through_two_points_diameter(3 câu)

4. Viết phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$Trắc nghiệmcircle_via_center_radius(3 câu)

5. Cho phương trình đường tròn dạng tổng quát $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ cụ thểĐúng / Saicircle_equation_examples(3 câu)

6. Cho đường tròn $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ cụ thể — xét tâm, bán kính, kiểm tra điểmĐúng / Saicircle_equation_facts(3 câu)

7. Bán kính đường tròn đường kính $AB$ là $AB/2$Trả lời ngắncircle_diameter_from_two_points(3 câu)

8. Bán kính của $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$Trả lời ngắncircle_radius_from_general(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$Trắc nghiệm`circle_center_from_general`(3 câu)

2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm cho trướcTrắc nghiệm`circle_through_three_points`(3 câu)

3. Đường tròn nhận $AB$ làm đường kính: tâm = trung điểm $AB$, $R = AB/2$Trắc nghiệm`circle_through_two_points_diameter`(3 câu)

4. Viết phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$Trắc nghiệm`circle_via_center_radius`(3 câu)

5. Cho phương trình đường tròn dạng tổng quát $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ cụ thểĐúng / Sai`circle_equation_examples`(3 câu)

6. Cho đường tròn $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ cụ thể — xét tâm, bán kính, kiểm tra điểmĐúng / Sai`circle_equation_facts`(3 câu)

7. Bán kính đường tròn đường kính $AB$ là $AB/2$Trả lời ngắn`circle_diameter_from_two_points`(3 câu)

8. Bán kính của $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ là $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$Trả lời ngắn`circle_radius_from_general`(3 câu)