Tổng cấp số cộng

Công thức

§1. Công thức(1)

1.1

Tổng $n$ số hạng đầu CSC

Cho CSC $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$, công sai $d$: $$S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2} = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}.$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Tìm $n$ khi biết $S_n$ + $u_1, d$

Bước 1. Thay $u_1, d, S_n$ vào công thức $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$. Bước 2. Thu được phương trình bậc 2 với ẩn $n$. Bước 3. Giải, chọn nghiệm $n \in \mathbb{N}^*$.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo Gauss: $1 + 2 + \dots + n$

$$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}.$$ $$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2 \quad \text{(tổng } n \text{ số lẻ đầu)}.$$ $$2 + 4 + \dots + 2n = n(n+1) \quad \text{(tổng } n \text{ số chẵn đầu)}.$$

Bài tập

1. Bài toán bằng lời: biết $u_1$, số kỳ $n$ và TỔNG $S_n$ → tìm công sai $d$Trắc nghiệm`sum_arithmetic_find_d_from_total`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Một công trường vận chuyển vật liệu trong $9$ ngày, lượng vận chuyển mỗi ngày lập thành một cấp số cộng. Ngày đầu vận chuyển $24$ tấn và sau $9$ ngày vận chuyển được tổng cộng $468$ tấn. Hỏi mỗi ngày vận chuyển nhiều hơn ngày liền trước bao nhiêu tấn (tức công sai $d$)?

A.$d = 56$

B.$d = 7$

C.$d = 8$

D.$d = 6$

Câu 2.Một công trường vận chuyển vật liệu trong $9$ ngày, lượng vận chuyển mỗi ngày lập thành một cấp số cộng. Ngày đầu vận chuyển $10$ tấn và sau $9$ ngày vận chuyển được tổng cộng $342$ tấn. Hỏi mỗi ngày vận chuyển nhiều hơn ngày liền trước bao nhiêu tấn (tức công sai $d$)?

A.$d = 6$

B.$d = 7$

C.$d = 56$

D.$d = 8$

Câu 3.Một công trường vận chuyển vật liệu trong $15$ ngày, lượng vận chuyển mỗi ngày lập thành một cấp số cộng. Ngày đầu vận chuyển $19$ tấn và sau $15$ ngày vận chuyển được tổng cộng $810$ tấn. Hỏi mỗi ngày vận chuyển nhiều hơn ngày liền trước bao nhiêu tấn (tức công sai $d$)?

A.$d = 4$

B.$d = 5$

C.$d = 70$

D.$d = 6$

2. $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ — biết $u_1$ và $u_n$ của CSCTrắc nghiệm`sum_arithmetic_from_first_last`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho cấp số cộng có $u_1 = -9$ và $u_{10} = -27$. Tính tổng $S_{10}$.

A.$S_{10} = -270$

B.$S_{10} = -179$

C.$S_{10} = -180$

D.$S_{10} = -181$

Câu 5.Cho cấp số cộng có $u_1 = 5$ và $u_{8} = -9$. Tính tổng $S_{8}$.

A.$S_{8} = -15$

B.$S_{8} = -16$

C.$S_{8} = -72$

D.$S_{8} = -17$

Câu 6.Cho cấp số cộng có $u_1 = -6$ và $u_{6} = 4$. Tính tổng $S_{6}$.

A.$S_{6} = -7$

B.$S_{6} = -5$

C.$S_{6} = 24$

D.$S_{6} = -6$

3. Bài toán bằng LỜI lập tổng CSC (rạp hát / tiết kiệm / xếp gỗ)Trắc nghiệm`sum_arithmetic_word_problem`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Một khán phòng có $18$ hàng ghế. Hàng đầu tiên có $24$ ghế, mỗi hàng tiếp theo nhiều hơn hàng liền trước $2$ ghế. Hỏi khán phòng có tất cả bao nhiêu ghế?

A.$S_{18} = 432$

B.$S_{18} = 1044$

C.$S_{18} = 738$

D.$S_{18} = 1476$

Câu 8.Người ta xếp một đống gỗ thành $16$ lớp. Lớp dưới cùng có $14$ khúc gỗ, cứ lên một lớp lại nhiều hơn lớp ngay dưới $4$ khúc. Hỏi đống gỗ có tất cả bao nhiêu khúc?

A.$S_{16} = 1408$

B.$S_{16} = 1184$

C.$S_{16} = 704$

D.$S_{16} = 224$

Câu 9.Người ta xếp một đống gỗ thành $14$ lớp. Lớp dưới cùng có $21$ khúc gỗ, cứ lên một lớp lại nhiều hơn lớp ngay dưới $5$ khúc. Hỏi đống gỗ có tất cả bao nhiêu khúc?

A.$S_{14} = 1204$

B.$S_{14} = 1498$

C.$S_{14} = 294$

D.$S_{14} = 749$

4. Tính $S_n = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$Trắc nghiệm`sum_first_n_natural_numbers`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Tính tổng $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 5$.

A.$S = 25$

B.$S = 15$

C.$S = 10$

D.$S = 17$

Câu 11.Tính tổng $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 17$.

A.$S = 136$

B.$S = 289$

C.$S = 161$

D.$S = 153$

Câu 12.Tính tổng $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 16$.

A.$S = 120$

B.$S = 136$

C.$S = 256$

D.$S = 144$

5. Tính tổng $S_n = \dfrac{n(2u_1 + (n-1)d)}{2}$ của cấp số cộngTrắc nghiệm`sum_first_n_terms_ap`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1$, công sai $d = 5$. Tính $S_{17}$ — tổng $17$ số hạng đầu.

A.$S_{17} = 17$

B.$S_{17} = 697$

C.$S_{17} = 702$

D.$S_{17} = 1394$

Câu 14.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 8$, công sai $d = -1$. Tính $S_{12}$ — tổng $12$ số hạng đầu.

A.$S_{12} = 30$

B.$S_{12} = 60$

C.$S_{12} = 29$

D.$S_{12} = 96$

Câu 15.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 9$, công sai $d = -2$. Tính $S_{13}$ — tổng $13$ số hạng đầu.

A.$S_{13} = -39$

B.$S_{13} = -41$

C.$S_{13} = -78$

D.$S_{13} = 117$

6. Tính tổng $S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ của cấp số nhânTrắc nghiệm`sum_first_n_terms_gp`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 4$, công bội $q = \dfrac{1}{3}$. Tính $S_{5}$ — tổng $5$ số hạng đầu.

A.$S_{5} = \dfrac{4}{243}$

B.$S_{5} = - \dfrac{968}{243}$

C.$S_{5} = \dfrac{484}{81}$

D.$S_{5} = 20$

Câu 17.Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 2$, công bội $q = - \dfrac{1}{2}$. Tính $S_{5}$ — tổng $5$ số hạng đầu.

A.$S_{5} = \dfrac{11}{8}$

B.$S_{5} = - \dfrac{33}{16}$

C.$S_{5} = 10$

D.$S_{5} = - \dfrac{1}{16}$

Câu 18.Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 4$, công bội $q = 3$. Tính $S_{5}$ — tổng $5$ số hạng đầu.

A.$S_{5} = 972$

B.$S_{5} = 20$

C.$S_{5} = 968$

D.$S_{5} = 484$

7. Tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT $S_n$ (đa thức bậc 2 theo $n$) của CSCTrắc nghiệm`sum_formula_general_ap`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là $u_1 = -5$, công sai $d = 6$. Tổng $S_n$ của $n$ ($n \ge 1$) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A.$S_n = 3 n^{2} - 8 n$

B.$S_n = \dfrac{6 n^{2} - 11 n}{2}$

C.$S_n = 3 n^{2} - 9 n$

D.$S_n = \dfrac{-5 n^{2} + 17 n}{2}$

Câu 20.Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là $u_1 = -9$, công sai $d = 5$. Tổng $S_n$ của $n$ ($n \ge 1$) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A.$S_n = \dfrac{5 n^{2} - 25 n}{2}$

B.$S_n = \dfrac{5 n^{2} - 14 n}{2}$

C.$S_n = \dfrac{5 n^{2} - 23 n}{2}$

D.$S_n = \dfrac{-9 n^{2} + 19 n}{2}$

Câu 21.Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là $u_1 = 5$, công sai $d = 3$. Tổng $S_n$ của $n$ ($n \ge 1$) số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A.$S_n = \dfrac{3 n^{2} + 2 n}{2}$

B.$S_n = \dfrac{3 n^{2} + 5 n}{2}$

C.$S_n = \dfrac{5 n^{2} + n}{2}$

D.$S_n = \dfrac{3 n^{2} + 7 n}{2}$

8. Cho CSC với $u_1, d$ cụ thể — tính $u_n$ và $S_n$ tại $n$ cho trướcĐúng / Sai`ap_sum_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 3$ và công sai $d = 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $d = 0$, mọi số hạng bằng nhau và $S_n = n u_1$.

b)Công thức tổng: $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$.

c)Số hạng tổng quát $u_n = 3 + (n-1) \cdot 2$.

d)$S_n = u_1 + d \cdot n$ (sai).

Câu 23.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 1$ và công sai $d = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$S_n = u_1 + d \cdot n$ (sai).

b)Công thức tổng: $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$.

c)Số hạng tổng quát $u_n = 1 + (n-1) \cdot 4$.

d)$S_{10} = 190$.

Câu 24.Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 2$ và công sai $d = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$S_n = u_1 + d \cdot n$ (sai).

b)Khi $d = 0$, mọi số hạng bằng nhau và $S_n = n u_1$.

c)$S_{8} = 128$.

d)Số hạng tổng quát $u_n = 2 + (n-1) \cdot 4$.

9. Cho dãy số tự nhiên đặc biệt $1+2+\ldots+n$ hoặc dãy chẵn — kiểm tra công thức tổng và tính chấtĐúng / Sai`sum_ap_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Xét cấp số cộng các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$S_n = \dfrac{n(2u_1 + (n-1) d)}{2}$.

b)Tổng $1 + 2 + \ldots + 10 = \dfrac{10 \cdot 11}{2} = 55$.

c)Công thức $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ chỉ áp dụng cho CSC.

d)Tổng $n$ số hạng của CSC luôn là số tự nhiên.

Câu 26.Xét cấp số cộng các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng $2 + 4 + \ldots + 20 = 110 = 110$.

b)Công thức $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ chỉ áp dụng cho CSC.

c)$S_n$ trong CSC là hàm bậc 2 theo $n$.

d)Tổng $n$ số hạng của CSC luôn là số tự nhiên.

Câu 27.Xét cấp số cộng các số tự nhiên liên tiếp từ $1$ đến $100$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng $1 + 3 + \ldots + 199 = 100^2 = 10000$.

b)Tổng $n$ số hạng của CSC luôn là số tự nhiên.

c)Công thức $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ chỉ áp dụng cho CSC.

d)Tổng $1 + 2 + \ldots + 100 = \dfrac{100 \cdot 101}{2} = 5050$.

10. Tổng $n$ số hạng đầu CSCTrả lời ngắn`ap_sum`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Tổng $15$ số hạng đầu CSC có $u_1 = -3$, $d = 4$.

Câu 29.Tổng $8$ số hạng đầu CSC có $u_1 = 7$, $d = -5$.

Câu 30.Tổng $10$ số hạng đầu CSC có $u_1 = 4$, $d = -4$.

11. $S_n = u_1(1 - q^n)/(1 - q)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_first_n_gp_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.CSN $u_1 = -1$, $q = 2$. Tính $S_{4}$.

Câu 32.CSN $u_1 = 4$, $q = 3$. Tính $S_{5}$.

Câu 33.CSN $u_1 = 3$, $q = 3$. Tính $S_{5}$.

Công thức

§1. Công thức(1)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Bài toán bằng lời: biết $u_1$, số kỳ $n$ và TỔNG $S_n$ → tìm công sai $d$Trắc nghiệmsum_arithmetic_find_d_from_total(3 câu)

2. $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ — biết $u_1$ và $u_n$ của CSCTrắc nghiệmsum_arithmetic_from_first_last(3 câu)

3. Bài toán bằng LỜI lập tổng CSC (rạp hát / tiết kiệm / xếp gỗ)Trắc nghiệmsum_arithmetic_word_problem(3 câu)

4. Tính $S_n = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$Trắc nghiệmsum_first_n_natural_numbers(3 câu)

5. Tính tổng $S_n = \dfrac{n(2u_1 + (n-1)d)}{2}$ của cấp số cộngTrắc nghiệmsum_first_n_terms_ap(3 câu)

6. Tính tổng $S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ của cấp số nhânTrắc nghiệmsum_first_n_terms_gp(3 câu)

7. Tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT $S_n$ (đa thức bậc 2 theo $n$) của CSCTrắc nghiệmsum_formula_general_ap(3 câu)

8. Cho CSC với $u_1, d$ cụ thể — tính $u_n$ và $S_n$ tại $n$ cho trướcĐúng / Saiap_sum_facts(3 câu)

9. Cho dãy số tự nhiên đặc biệt $1+2+\ldots+n$ hoặc dãy chẵn — kiểm tra công thức tổng và tính chấtĐúng / Saisum_ap_facts2(3 câu)

10. Tổng $n$ số hạng đầu CSCTrả lời ngắnap_sum(3 câu)

11. $S_n = u_1(1 - q^n)/(1 - q)$ (số thập phân)Trả lời ngắnsum_first_n_gp_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Bài toán bằng lời: biết $u_1$, số kỳ $n$ và TỔNG $S_n$ → tìm công sai $d$Trắc nghiệm`sum_arithmetic_find_d_from_total`(3 câu)

2. $S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$ — biết $u_1$ và $u_n$ của CSCTrắc nghiệm`sum_arithmetic_from_first_last`(3 câu)

3. Bài toán bằng LỜI lập tổng CSC (rạp hát / tiết kiệm / xếp gỗ)Trắc nghiệm`sum_arithmetic_word_problem`(3 câu)

4. Tính $S_n = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$Trắc nghiệm`sum_first_n_natural_numbers`(3 câu)

5. Tính tổng $S_n = \dfrac{n(2u_1 + (n-1)d)}{2}$ của cấp số cộngTrắc nghiệm`sum_first_n_terms_ap`(3 câu)

6. Tính tổng $S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ của cấp số nhânTrắc nghiệm`sum_first_n_terms_gp`(3 câu)

7. Tìm CÔNG THỨC TỔNG QUÁT $S_n$ (đa thức bậc 2 theo $n$) của CSCTrắc nghiệm`sum_formula_general_ap`(3 câu)

8. Cho CSC với $u_1, d$ cụ thể — tính $u_n$ và $S_n$ tại $n$ cho trướcĐúng / Sai`ap_sum_facts`(3 câu)

9. Cho dãy số tự nhiên đặc biệt $1+2+\ldots+n$ hoặc dãy chẵn — kiểm tra công thức tổng và tính chấtĐúng / Sai`sum_ap_facts2`(3 câu)

10. Tổng $n$ số hạng đầu CSCTrả lời ngắn`ap_sum`(3 câu)

11. $S_n = u_1(1 - q^n)/(1 - q)$ (số thập phân)Trả lời ngắn`sum_first_n_gp_sa`(3 câu)