Giới hạn của dãy số

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

1.1

Định nghĩa giới hạn dãy số

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số $L$ (ký hiệu $\lim u_n = L$) nếu $|u_n - L|$ có thể nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn. Nếu $L$ là số thực hữu hạn: $(u_n)$ hội tụ về $L$. Nếu $L = \pm\infty$: $(u_n)$ phân kỳ tới $\pm\infty$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Tính chất phép toán giới hạn

Nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$ (hữu hạn):

$\lim(u_n \pm v_n) = a \pm b$.
$\lim(u_n \cdot v_n) = a \cdot b$.
$\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{a}{b}$ ($b \neq 0$).
$\lim |u_n| = |a|$, $\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$ ($u_n \geq 0$).

§3. Công thức(1)

3.1

Giới hạn cơ bản

$$\lim \dfrac{1}{n} = 0, \quad \lim \dfrac{1}{n^k} = 0 \, (k > 0), \quad \lim \dfrac{1}{\sqrt[k]{n}} = 0.$$ $$\lim q^n = \begin{cases} 0 & \text{nếu } |q| < 1 \\ 1 & \text{nếu } q = 1 \\ +\infty & \text{nếu } q > 1 \\ \text{không tồn tại} & \text{nếu } q \leq -1 \end{cases}.$$

§4. Phương pháp(1)

4.1

Tính giới hạn dãy phân thức

Dãy có dạng $u_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ với $P, Q$ đa thức: Bước 1. Tìm bậc cao nhất xuất hiện trong tử và mẫu. Bước 2. Chia tử và mẫu cho $n^k$ (lũy thừa cao nhất). Bước 3. Áp dụng $\lim \dfrac{1}{n^m} = 0$ cho $m > 0$. Bước 4. Tính giới hạn theo hệ số bậc cao nhất.

§5. Mẹo(1)

5.1

Mẹo: dùng số hạng "át"

Với $u_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$, $\deg P = m$, $\deg Q = k$, hệ số bậc cao nhất $a_m, b_k$:

$m < k$: $\lim u_n = 0$.
$m = k$: $\lim u_n = \dfrac{a_m}{b_k}$.
$m > k$ và $\dfrac{a_m}{b_k} > 0$: $\lim u_n = +\infty$.
$m > k$ và $\dfrac{a_m}{b_k} < 0$: $\lim u_n = -\infty$.

Bài tập

1. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = u_1 / (1 - q)$ với $|q| < 1$ — bài toán đoạn đườngTrắc nghiệm`infinite_geometric_sum_application`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Một quả bóng được thả rơi tự do từ độ cao $1$ m. Mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên đến độ cao bằng $\dfrac{1}{3}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được cho đến khi dừng lại (m).

A.$S = \dfrac{1}{2}$

B.$S = \dfrac{3}{2}$

C.$S = 1$

D.$S = 2 \, \text{m}$

Câu 2.Một quả bóng được thả rơi tự do từ độ cao $2$ m. Mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên đến độ cao bằng $\dfrac{1}{2}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được cho đến khi dừng lại (m).

A.$S = 2$

B.$S = 4$

C.$S = 6 \, \text{m}$

D.$S = 7$

Câu 3.Một quả bóng được thả rơi tự do từ độ cao $1$ m. Mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên đến độ cao bằng $\dfrac{1}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường mà quả bóng đi được cho đến khi dừng lại (m).

A.$S = 1$

B.$S = \dfrac{4}{3}$

C.$S = \dfrac{1}{3}$

D.$S = \dfrac{5}{3} \, \text{m}$

2. Giới hạn $\lim q^n$ với $|q| < 1$ và sử dụng tổng cấp số nhân lùi vô hạnTrắc nghiệm`limit_geometric_sequence`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tính $\displaystyle\lim \left[-5 + 5 \cdot \left(- \dfrac{1}{3}\right)^n\right]$.

A.$L = -5$

B.$L = 0$

C.$L = 5$

D.$L = +\infty$

Câu 5.Tính $\displaystyle\lim \left[2 - 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right]$.

A.$L = +\infty$

B.$L = 2$

C.$L = 0$

D.$L = -2$

Câu 6.Tính $\displaystyle\lim \left[5 + 2 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right]$.

A.$L = 7$

B.$L = +\infty$

C.$L = 5$

D.$L = 2$

3. $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$, $= +\infty$ khi $q > 1$Trắc nghiệm`limit_geometric_zero`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tính $\lim 3^n$.

A.$1$

B.$+\infty$

C.$-\infty$

D.$0$

Câu 8.Tính $\lim (1/3)^n$.

A.$-\infty$

B.$+\infty$

C.$1$

D.$0$

Câu 9.Tính $\lim (-1/2)^n$.

A.$0$

B.$-\infty$

C.$+\infty$

D.$1$

4. Tính $\lim \dfrac{an + b}{cn + d}$ — bằng tỉ số hệ số bậc cao nhấtTrắc nghiệm`limit_rational_sequence`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính $\displaystyle\lim \dfrac{7n - 2}{-5n + 9}$.

A.$L = - \dfrac{7}{5}$

B.$L = +\infty$

C.$L = - \dfrac{2}{9}$

D.$L = - \dfrac{5}{7}$

Câu 11.Tính $\displaystyle\lim \dfrac{9n + 8}{-9n - 4}$.

A.$L = -2$

B.$L = 0$

C.$L = -1$

D.$L = +\infty$

Câu 12.Tính $\displaystyle\lim \dfrac{-5n + 3}{4n + 1}$.

A.$L = - \dfrac{5}{4}$

B.$L = - \dfrac{4}{5}$

C.$L = +\infty$

D.$L = 3$

5. Giới hạn cơ bản $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$, $\lim n = +\infty$Trắc nghiệm`limit_simple_n_to_inf`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Tính $\lim \dfrac{1}{n^2}$.

A.$+\infty$

B.$0$

C.$-\infty$

D.$1$

Câu 14.Tính $\lim \dfrac{1}{n^3}$.

A.$0$

B.$+\infty$

C.$-\infty$

D.$1$

Câu 15.Tính $\lim \dfrac{1}{n^2}$.

A.$1$

B.$0$

C.$+\infty$

D.$-\infty$

6. $\lim \dfrac{1 + 2 + \cdots + n}{an^2 + bn + c} = \dfrac{1}{2a}$Trắc nghiệm`limit_sum_first_n_over_quadratic`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Tính $L = \lim \dfrac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{5n^2 - 2n + 2}$.

A.$L = +\infty$

B.$L = \dfrac{1}{10}$

C.$L = \dfrac{1}{2}$

D.$L = \dfrac{1}{5}$

Câu 17.Tính $L = \lim \dfrac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{n^2 - 6n - 1}$.

A.$L = 1$

B.$L = \dfrac{1}{2}$

C.$L = +\infty$

D.$L = \dfrac{1}{4}$

Câu 18.Tính $L = \lim \dfrac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{3n^2 - 5n + 1}$.

A.$L = +\infty$

B.$L = \dfrac{1}{2}$

C.$L = \dfrac{1}{3}$

D.$L = \dfrac{1}{6}$

7. Cho dãy $u_n = q^n$ với $q$ cụ thể — xét hội tụ và giá trị giới hạnĐúng / Sai`seq_lim_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho dãy số $u_n = (\dfrac{1}{3})^n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim \dfrac{1}{3}^n = +\infty$.

b)$\lim q^n$ không tồn tại khi $q \leq -1$.

c)Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới có giới hạn hữu hạn.

d)Dãy $u_n = \dfrac{1}{3}^n$ là dãy hội tụ.

Câu 20.Cho dãy số $u_n = (\dfrac{1}{2})^n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim \dfrac{1}{2}^n = +\infty$.

b)$\lim q^n = 0$ với $|q| < 1$.

c)Quy tắc giới hạn của tổng: $\lim(u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n$ khi cả hai đều hữu hạn.

d)$\lim q^n$ không tồn tại khi $q \leq -1$.

Câu 21.Cho dãy số $u_n = (2)^n$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim 2^n = 0$.

b)Dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới có giới hạn hữu hạn.

c)$\lim q^n = +\infty$ với $q > 1$.

d)Dãy $u_n = 2^n$ là dãy hội tụ.

8. TF: cho 2 giới hạn $a, b$ — xét các khẳng định: dấu $a$, dấu $b$, nghiệm $\cos x = a$, $u_n$ của CSC ($d=b$, $u_1=a$)Đúng / Sai`seq_lim_mixed_with_trig_and_ap`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Biết giới hạn $\lim \dfrac{n + 1}{n - 1} = a$ và $\lim \dfrac{n\sqrt{n^2 + 1}}{\sqrt{4n^4 - n^2 + 3}} = b$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị $a$ nhỏ hơn $0$.

b)Giá trị $b$ lớn hơn $0$.

c)Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có nghiệm là $x = \dfrac{\pi}{2}$.

d)Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d = b$ và $u_1 = a$, thì $u_3 = \dfrac{5}{2}$.

Câu 23.Biết giới hạn $\lim \dfrac{-n^2 + 1}{2n^2 - 3n + 3} = a$ và $\lim \dfrac{n^2 + 1}{\sqrt{n^4 + n^2 + 3}} = b$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị $a$ nhỏ hơn $0$.

b)Giá trị $b$ lớn hơn $0$.

c)Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có nghiệm là $x = \dfrac{2\pi}{3}$.

d)Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d = b$ và $u_1 = a$, thì $u_3 = \dfrac{3}{2}$.

Câu 24.Biết giới hạn $\lim \dfrac{2n^2 + 1}{3n^2 - 3n + 3} = a$ và $\lim \dfrac{n^2 + 1}{\sqrt{n^4 - n^2 + 3}} = b$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị $a$ nhỏ hơn $0$.

b)Giá trị $b$ lớn hơn $0$.

c)Phương trình lượng giác $\cos x = a$ có nghiệm là $x = \dfrac{\pi}{3}$.

d)Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d = b$ và $u_1 = a$, thì $u_3 = \dfrac{8}{3}$.

9. Cho dãy $u_n = (an + b)/(cn + d)$ — xét giới hạn $\lim u_n$Đúng / Sai`seq_limit_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho dãy số $u_n = \dfrac{4n + 2}{2n + 2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Có thể chia tử và mẫu cho $n$ để tính giới hạn.

b)Khi $n \to +\infty$, $u_n$ tiến đến $+\infty$.

c)$\lim \dfrac{1}{n} = 0$.

d)Dãy $u_n$ là dãy hội tụ.

Câu 26.Cho dãy số $u_n = \dfrac{2n - 4}{1n + 3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi $n \to +\infty$, $u_n$ tiến đến $+\infty$.

b)$\lim u_n = 2$.

c)$\lim n = +\infty$.

d)Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều có giới hạn hữu hạn.

Câu 27.Cho dãy số $u_n = \dfrac{4n - 4}{2n - 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim u_n = \dfrac{4}{2}$.

b)$\lim n = +\infty$.

c)Mọi dãy bị chặn đều có giới hạn.

d)Dãy $u_n$ là dãy hội tụ.

10. Tính $\lim q^n$ với $|q| < 1$: kết quả là $0$Trả lời ngắn`limit_geometric_sequence_sa`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Tính $\lim \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

Câu 29.Tính $\lim \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.

Câu 30.Tính $\lim \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.

11. $\lim \dfrac{a n + b}{c n + d}$ — đáp án a/c (số thập phân)Trả lời ngắn`rational_seq_limit`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Tính $\lim \dfrac{-4n + 7}{7n - 1}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 32.Tính $\lim \dfrac{3n - 1}{-5n + 9}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 33.Tính $\lim \dfrac{4n + 5}{-7n - 8}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Công thức

§1. Định nghĩa(1)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

§4. Phương pháp(1)

§5. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = u_1 / (1 - q)$ với $|q| < 1$ — bài toán đoạn đườngTrắc nghiệminfinite_geometric_sum_application(3 câu)

2. Giới hạn $\lim q^n$ với $|q| < 1$ và sử dụng tổng cấp số nhân lùi vô hạnTrắc nghiệmlimit_geometric_sequence(3 câu)

3. $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$, $= +\infty$ khi $q > 1$Trắc nghiệmlimit_geometric_zero(3 câu)

4. Tính $\lim \dfrac{an + b}{cn + d}$ — bằng tỉ số hệ số bậc cao nhấtTrắc nghiệmlimit_rational_sequence(3 câu)

5. Giới hạn cơ bản $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$, $\lim n = +\infty$Trắc nghiệmlimit_simple_n_to_inf(3 câu)

6. $\lim \dfrac{1 + 2 + \cdots + n}{an^2 + bn + c} = \dfrac{1}{2a}$Trắc nghiệmlimit_sum_first_n_over_quadratic(3 câu)

7. Cho dãy $u_n = q^n$ với $q$ cụ thể — xét hội tụ và giá trị giới hạnĐúng / Saiseq_lim_facts2(3 câu)

8. TF: cho 2 giới hạn $a, b$ — xét các khẳng định: dấu $a$, dấu $b$, nghiệm $\cos x = a$, $u_n$ của CSC ($d=b$, $u_1=a$)Đúng / Saiseq_lim_mixed_with_trig_and_ap(3 câu)

9. Cho dãy $u_n = (an + b)/(cn + d)$ — xét giới hạn $\lim u_n$Đúng / Saiseq_limit_facts(3 câu)

10. Tính $\lim q^n$ với $|q| < 1$: kết quả là $0$Trả lời ngắnlimit_geometric_sequence_sa(3 câu)

11. $\lim \dfrac{a n + b}{c n + d}$ — đáp án a/c (số thập phân)Trả lời ngắnrational_seq_limit(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = u_1 / (1 - q)$ với $|q| < 1$ — bài toán đoạn đườngTrắc nghiệm`infinite_geometric_sum_application`(3 câu)

2. Giới hạn $\lim q^n$ với $|q| < 1$ và sử dụng tổng cấp số nhân lùi vô hạnTrắc nghiệm`limit_geometric_sequence`(3 câu)

3. $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$, $= +\infty$ khi $q > 1$Trắc nghiệm`limit_geometric_zero`(3 câu)

4. Tính $\lim \dfrac{an + b}{cn + d}$ — bằng tỉ số hệ số bậc cao nhấtTrắc nghiệm`limit_rational_sequence`(3 câu)

5. Giới hạn cơ bản $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$, $\lim n = +\infty$Trắc nghiệm`limit_simple_n_to_inf`(3 câu)

6. $\lim \dfrac{1 + 2 + \cdots + n}{an^2 + bn + c} = \dfrac{1}{2a}$Trắc nghiệm`limit_sum_first_n_over_quadratic`(3 câu)

7. Cho dãy $u_n = q^n$ với $q$ cụ thể — xét hội tụ và giá trị giới hạnĐúng / Sai`seq_lim_facts2`(3 câu)

8. TF: cho 2 giới hạn $a, b$ — xét các khẳng định: dấu $a$, dấu $b$, nghiệm $\cos x = a$, $u_n$ của CSC ($d=b$, $u_1=a$)Đúng / Sai`seq_lim_mixed_with_trig_and_ap`(3 câu)

9. Cho dãy $u_n = (an + b)/(cn + d)$ — xét giới hạn $\lim u_n$Đúng / Sai`seq_limit_facts`(3 câu)

10. Tính $\lim q^n$ với $|q| < 1$: kết quả là $0$Trả lời ngắn`limit_geometric_sequence_sa`(3 câu)

11. $\lim \dfrac{a n + b}{c n + d}$ — đáp án a/c (số thập phân)Trả lời ngắn`rational_seq_limit`(3 câu)