Giới hạn của hàm số tại một điểm

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Định nghĩa giới hạn hàm số tại 1 điểm

Hàm số $y = f(x)$ có giới hạn $L$ khi $x \to x_0$ (ký hiệu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$) nếu $|f(x) - L|$ nhỏ tùy ý khi $x$ đủ gần $x_0$ ($x \neq x_0$).

1.2

Giới hạn 1 phía

Giới hạn trái: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$ — $x$ tiến tới $x_0$ từ phía bên trái ($x < x_0$). Giới hạn phải: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$ — $x$ tiến tới $x_0$ từ phía bên phải ($x > x_0$). $\lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Giới hạn hàm đa thức

Nếu $f(x)$ là đa thức và $f$ xác định tại $x_0$: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. (Thay trực tiếp $x = x_0$.)

§3. Phương pháp(1)

3.1

Khử dạng $\dfrac{0}{0}$

Khi $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ tại $x_0$ cho dạng $\dfrac{0}{0}$: Bước 1. Phân tích $f(x), g(x)$ thành nhân tử có chứa $(x - x_0)$. Bước 2. Rút gọn $(x - x_0)$ khỏi tử và mẫu. Bước 3. Tính giới hạn của biểu thức rút gọn bằng cách thay $x = x_0$. Vd: $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: nhân liên hợp khi gặp căn

Khi tử/mẫu có dạng $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ (cho dạng $\dfrac{0}{0}$): Nhân tử + mẫu với liên hợp $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ → khử căn ở chỗ cần rút gọn: $(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$. Vd: $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \dfrac{1}{2}$.

Bài tập

1. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(ax)}{x^2}$ → $\dfrac{a^2}{2}$Trắc nghiệm`limit_one_minus_cos_over_x_squared`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Tính $L = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(3x)}{x^2}$.

A.$L = \dfrac{3}{2}$

B.$L = \dfrac{9}{2}$

C.$L = \dfrac{1}{2}$

D.$L = 9$

Câu 2.Tính $L = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(4x)}{x^2}$.

A.$L = 8$

B.$L = 2$

C.$L = \dfrac{1}{2}$

D.$L = 16$

Câu 3.Tính $L = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2}$.

A.$L = 4$

B.$L = 1$

C.$L = 2$

D.$L = \dfrac{1}{2}$

2. Tìm tham số $a$ để $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{x^2 + ax + b}{x - x_0}$ HỮU HẠN, rồi tính giới hạnTrắc nghiệm`limit_param_finite_zero_over_zero`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Cho giới hạn $L = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^2 + ax - 8}{x - 4}$ ($a$ là tham số). Biết $L$ HỮU HẠN. Tìm $a$ và giá trị $L$.

A.$a = -2,\ L = -6$

B.$a = -2,\ L = 2$

C.$a = -2,\ L = 6$

D.$a = 2,\ L = 6$

Câu 5.Cho giới hạn $L = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^2 + ax + 8}{x + 4}$ ($a$ là tham số). Biết $L$ HỮU HẠN. Tìm $a$ và giá trị $L$.

A.$a = 6,\ L = 2$

B.$a = 6,\ L = -2$

C.$a = 6,\ L = -6$

D.$a = -6,\ L = -2$

Câu 6.Cho giới hạn $L = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^2 + ax - 10}{x + 2}$ ($a$ là tham số). Biết $L$ HỮU HẠN. Tìm $a$ và giá trị $L$.

A.$a = -3,\ L = 3$

B.$a = -3,\ L = -7$

C.$a = 3,\ L = -7$

D.$a = -3,\ L = 7$

3. Giới hạn $\lim\limits_{x \to a} P(x)$ với $P$ đa thức bậc 2 — thay trực tiếpTrắc nghiệm`limit_polynomial_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tính giới hạn $\lim\limits_{x \to 1} (4 x^{2} - 2 x + 4)$.

A.$\lim\limits_{x \to 1} (4 x^{2} - 2 x + 4) = 7$

B.$\lim\limits_{x \to 1} (4 x^{2} - 2 x + 4) = 12$

C.$\lim\limits_{x \to 1} (4 x^{2} - 2 x + 4) = 6$

D.$\lim\limits_{x \to 1} (4 x^{2} - 2 x + 4) = -6$

Câu 8.Tính giới hạn $\lim\limits_{x \to -1} (- 3 x^{2} - 5 x - 3)$.

A.$\lim\limits_{x \to -1} (- 3 x^{2} - 5 x - 3) = 1$

B.$\lim\limits_{x \to -1} (- 3 x^{2} - 5 x - 3) = -2$

C.$\lim\limits_{x \to -1} (- 3 x^{2} - 5 x - 3) = -1$

D.$\lim\limits_{x \to -1} (- 3 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Câu 9.Tính giới hạn $\lim\limits_{x \to 3} (4 x^{2} + x - 4)$.

A.$\lim\limits_{x \to 3} (4 x^{2} + x - 4) = 35$

B.$\lim\limits_{x \to 3} (4 x^{2} + x - 4) = 38$

C.$\lim\limits_{x \to 3} (4 x^{2} + x - 4) = 70$

D.$\lim\limits_{x \to 3} (4 x^{2} + x - 4) = -35$

4. Vô định $0/0$ với tử bậc 2 chia mẫu bậc 1Trắc nghiệm`limit_quadratic_quotient_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Tính $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 1}$.

A.$-6$

B.$-4$

C.$-5$

D.$5$

Câu 11.Tính $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2} - 3 x - 4}{x - 4}$.

A.$6$

B.$5$

C.$4$

D.$-5$

Câu 12.Tính $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2} - 7 x + 12}{x - 4}$.

A.$-1$

B.$0$

C.$1$

D.$2$

5. Vô định $0/0$: $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $P, Q$ chia hết cho $(x - a)$Trắc nghiệm`limit_zero_over_zero_factor`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Tính giới hạn $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^{2} + 4 x + 3}{x^{2} - 4 x - 5}$.

A.$- \dfrac{4}{3}$

B.$- \dfrac{1}{3}$

C.$\dfrac{2}{3}$

D.$\dfrac{1}{3}$

Câu 14.Tính giới hạn $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^{2} - 3 x - 10}{x^{2} + 5 x + 6}$.

A.$7$

B.$-8$

C.$-7$

D.$-6$

Câu 15.Tính giới hạn $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + x - 2}$.

A.$- \dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{4}{3}$

C.$- \dfrac{2}{3}$

D.$\dfrac{1}{3}$

6. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt{x + b} - c}{x - a}$ — nhân liên hợpTrắc nghiệm`limit_zero_over_zero_with_sqrt_conjugate`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Tính $L = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + 13} - 4}{x - 3}$.

A.$L = \dfrac{1}{4}$

B.$L = \dfrac{1}{16}$

C.$L = \dfrac{1}{8}$

D.$L = 4$

Câu 17.Tính $L = \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5}$.

A.$L = 2$

B.$L = \dfrac{1}{8}$

C.$L = \dfrac{1}{2}$

D.$L = \dfrac{1}{4}$

Câu 18.Tính $L = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x + 12} - 4}{x - 4}$.

A.$L = 4$

B.$L = \dfrac{1}{16}$

C.$L = \dfrac{1}{8}$

D.$L = \dfrac{1}{4}$

7. $\lim\limits_{x \to a^\pm} \dfrac{1}{x - a}$ — giới hạn 1 bên cho hàm có TCĐTrắc nghiệm`one_sided_limit_simple`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tính $\lim\limits_{x \to -4^{-}} \dfrac{1}{x + 4}$.

A.$+\infty$

B.$1$

C.$-\infty$

D.$0$

Câu 20.Tính $\lim\limits_{x \to 4^{-}} \dfrac{1}{x - 4}$.

A.$-\infty$

B.$1$

C.$0$

D.$+\infty$

Câu 21.Tính $\lim\limits_{x \to -2^{+}} \dfrac{1}{x + 2}$.

A.$1$

B.$+\infty$

C.$0$

D.$-\infty$

8. Cho $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ — dạng $0/0$, khử bằng nhân tửĐúng / Sai`lim_poly_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Xét giới hạn $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 2 \cdot 3 = 6$.

b)Khi $x = 3$, tử và mẫu cùng bằng $0$ — dạng vô định $0/0$.

c)$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$.

d)Giới hạn $\dfrac{0}{0}$ luôn bằng $0$.

Câu 23.Xét giới hạn $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Để khử dạng $0/0$, không cần biến đổi mà có thể thay $x = a$ ngay.

b)Đa thức luôn liên tục, nên $\lim P(x)/Q(x) = P(a)/Q(a)$ khi $Q(a) \neq 0$.

c)Giới hạn $\dfrac{0}{0}$ luôn bằng $0$.

d)$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$.

Câu 24.Xét giới hạn $\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x - 5}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giới hạn $\dfrac{0}{0}$ luôn bằng $0$.

b)Để khử dạng $0/0$, không cần biến đổi mà có thể thay $x = a$ ngay.

c)$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x - 5} = 10$.

d)Đa thức luôn liên tục, nên $\lim P(x)/Q(x) = P(a)/Q(a)$ khi $Q(a) \neq 0$.

9. Cho hàm $f(x) = ax^2 + bx + c$ và $x_0$ — tính $\lim f(x)$ bằng thay trực tiếpĐúng / Sai`limit_poly_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 - 2x + 1$ và xét giới hạn tại $x_0 = -1$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giới hạn hàm số tại điểm luôn bằng giá trị hàm tại điểm đó.

b)Mọi đa thức bậc $n$ đều có giới hạn hữu hạn tại mọi $x_0 \in \mathbb{R}$.

c)Đa thức là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$.

d)$\lim\limits_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 5$.

Câu 26.Cho hàm số $f(x) = 3x^2 - 2x + 2$ và xét giới hạn tại $x_0 = 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Giới hạn hàm số tại điểm luôn bằng giá trị hàm tại điểm đó.

b)$\lim\limits_{x \to 3} f(x) = +\infty$.

c)$\lim\limits_{x \to 3} f(x) = f(3) = 23$.

d)$\lim\limits_{x \to a} P(x) = P(a)$ với $P$ đa thức và $a \in \mathbb{R}$.

Câu 27.Cho hàm số $f(x) = 2x^2 - 3x - 4$ và xét giới hạn tại $x_0 = -3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đa thức là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$.

b)$\lim\limits_{x \to a} P(x) = P(a)$ với $P$ đa thức và $a \in \mathbb{R}$.

c)Giới hạn hàm số tại điểm luôn bằng giá trị hàm tại điểm đó.

d)Mọi đa thức bậc $n$ đều có giới hạn hữu hạn tại mọi $x_0 \in \mathbb{R}$.

10. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{(x-a)(x-b)}{(x-a)(x-c)} = \dfrac{a-b}{a-c}$ (số thập phân)Trả lời ngắn`limit_factor_quotient`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Tính $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 - 16}$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 29.Tính $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 7x + 10}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 30.Tính $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9}$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

11. Tính $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{(x - a)(x + b)}{x - a} = a + b$Trả lời ngắn`limit_factored_zero_form`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Tính $\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{(x + 1)(x + 1)}{(x + 1)}$.

Câu 32.Tính $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x - 2)(x - 2)}{(x - 2)}$.

Câu 33.Tính $\lim\limits_{x \to -5} \dfrac{(x + 5)(x - 1)}{(x + 5)}$.

12. $\lim\limits_{x \to a} (px^2 + qx + r)$Trả lời ngắn`limit_poly_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Tính $\lim\limits_{x \to 2} (-3x^2 + x - 7)$.

Câu 35.Tính $\lim\limits_{x \to -1} (3x^2 + 5x + 5)$.

Câu 36.Tính $\lim\limits_{x \to -4} (x^2 + x + 7)$.

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Tính chất(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(ax)}{x^2}$ → $\dfrac{a^2}{2}$Trắc nghiệmlimit_one_minus_cos_over_x_squared(3 câu)

2. Tìm tham số $a$ để $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{x^2 + ax + b}{x - x_0}$ HỮU HẠN, rồi tính giới hạnTrắc nghiệmlimit_param_finite_zero_over_zero(3 câu)

3. Giới hạn $\lim\limits_{x \to a} P(x)$ với $P$ đa thức bậc 2 — thay trực tiếpTrắc nghiệmlimit_polynomial_at_point(3 câu)

4. Vô định $0/0$ với tử bậc 2 chia mẫu bậc 1Trắc nghiệmlimit_quadratic_quotient_at_point(3 câu)

5. Vô định $0/0$: $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $P, Q$ chia hết cho $(x - a)$Trắc nghiệmlimit_zero_over_zero_factor(3 câu)

6. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt{x + b} - c}{x - a}$ — nhân liên hợpTrắc nghiệmlimit_zero_over_zero_with_sqrt_conjugate(3 câu)

7. $\lim\limits_{x \to a^\pm} \dfrac{1}{x - a}$ — giới hạn 1 bên cho hàm có TCĐTrắc nghiệmone_sided_limit_simple(3 câu)

8. Cho $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ — dạng $0/0$, khử bằng nhân tửĐúng / Sailim_poly_facts2(3 câu)

9. Cho hàm $f(x) = ax^2 + bx + c$ và $x_0$ — tính $\lim f(x)$ bằng thay trực tiếpĐúng / Sailimit_poly_facts(3 câu)

10. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{(x-a)(x-b)}{(x-a)(x-c)} = \dfrac{a-b}{a-c}$ (số thập phân)Trả lời ngắnlimit_factor_quotient(3 câu)

11. Tính $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{(x - a)(x + b)}{x - a} = a + b$Trả lời ngắnlimit_factored_zero_form(3 câu)

12. $\lim\limits_{x \to a} (px^2 + qx + r)$Trả lời ngắnlimit_poly_at_point(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(ax)}{x^2}$ → $\dfrac{a^2}{2}$Trắc nghiệm`limit_one_minus_cos_over_x_squared`(3 câu)

2. Tìm tham số $a$ để $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{x^2 + ax + b}{x - x_0}$ HỮU HẠN, rồi tính giới hạnTrắc nghiệm`limit_param_finite_zero_over_zero`(3 câu)

3. Giới hạn $\lim\limits_{x \to a} P(x)$ với $P$ đa thức bậc 2 — thay trực tiếpTrắc nghiệm`limit_polynomial_at_point`(3 câu)

4. Vô định $0/0$ với tử bậc 2 chia mẫu bậc 1Trắc nghiệm`limit_quadratic_quotient_at_point`(3 câu)

5. Vô định $0/0$: $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ với $P, Q$ chia hết cho $(x - a)$Trắc nghiệm`limit_zero_over_zero_factor`(3 câu)

6. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\sqrt{x + b} - c}{x - a}$ — nhân liên hợpTrắc nghiệm`limit_zero_over_zero_with_sqrt_conjugate`(3 câu)

7. $\lim\limits_{x \to a^\pm} \dfrac{1}{x - a}$ — giới hạn 1 bên cho hàm có TCĐTrắc nghiệm`one_sided_limit_simple`(3 câu)

8. Cho $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$ — dạng $0/0$, khử bằng nhân tửĐúng / Sai`lim_poly_facts2`(3 câu)

9. Cho hàm $f(x) = ax^2 + bx + c$ và $x_0$ — tính $\lim f(x)$ bằng thay trực tiếpĐúng / Sai`limit_poly_facts`(3 câu)

10. $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{(x-a)(x-b)}{(x-a)(x-c)} = \dfrac{a-b}{a-c}$ (số thập phân)Trả lời ngắn`limit_factor_quotient`(3 câu)

11. Tính $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{(x - a)(x + b)}{x - a} = a + b$Trả lời ngắn`limit_factored_zero_form`(3 câu)

12. $\lim\limits_{x \to a} (px^2 + qx + r)$Trả lời ngắn`limit_poly_at_point`(3 câu)