Hàm số liên tục

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Liên tục tại một điểm

Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ nếu: 1. $f$ xác định tại $x_0$. 2. Tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x)$. 3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Nếu không thoả thì $f$ gián đoạn tại $x_0$.

1.2

Liên tục trên khoảng / đoạn

$f$ liên tục trên khoảng $(a; b)$ nếu liên tục tại mọi điểm trong đó.
$f$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ nếu liên tục trên $(a; b)$ và

$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$, $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.

§2. Định lý(2)

2.1

Tính liên tục của hàm cơ bản

Đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$.
Phân thức liên tục trên TXĐ của nó.
Hàm lượng giác $\sin x, \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
$\tan x, \cot x$ liên tục trên TXĐ của chúng.
Tổng / hiệu / tích / thương (mẫu khác 0) của các hàm liên tục là hàm liên tục.

2.2

Định lý giá trị trung gian (IVT)

Nếu $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$ thì tồn tại $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$. → Ứng dụng: chứng minh phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm trên một khoảng.

§3. Phương pháp(2)

3.1

Xét tính liên tục tại $x_0$

Bước 1. Tính $f(x_0)$ (kiểm tra hàm xác định tại $x_0$). Bước 2. Tính $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Nếu hàm cho theo từng nhánh, tính giới hạn trái và phải rồi so sánh. Bước 3. So sánh $\lim_{x \to x_0} f(x)$ với $f(x_0)$:

Bằng nhau → liên tục.
Khác nhau → gián đoạn.

Vd: $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & x \neq 1 \\ m & x = 1 \end{cases}$. Liên tục $\Leftrightarrow m = 2$.

3.2

Chứng minh phương trình có nghiệm

Mục tiêu: chứng minh $f(x) = 0$ có nghiệm trên $(a; b)$. Bước 1. Xác nhận $f$ liên tục trên $[a; b]$. Bước 2. Tính $f(a), f(b)$ → chứng minh $f(a) \cdot f(b) < 0$. Bước 3. Áp dụng IVT → kết luận tồn tại nghiệm. Mẹo chọn $a, b$: thử các số nguyên nhỏ để dấu của $f$ đổi.

§4. Lưu ý(1)

4.1!

Lưu ý: hàm cho theo nhánh

Khi hàm cho theo từng nhánh và bài hỏi liên tục tại điểm chia $x_0$:

Phải tính cả 2 giới hạn một bên ($x \to x_0^-$ và $x \to x_0^+$).
Liên tục $\Leftrightarrow$ giới hạn trái = giới hạn phải = $f(x_0)$.

Đừng chỉ dùng 1 nhánh để tính → bài thường sai vì sót nhánh kia.

Bài tập

1. Hàm liên tục tại $x_0$ ⇔ $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$Trắc nghiệm`continuity_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi nào?

A.$f$ khả vi tại $x_0$

B.$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại

C.$f(x_0)$ xác định

D.$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Câu 2.Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi nào?

A.$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại

B.$f(x_0)$ xác định

C.$f$ khả vi tại $x_0$

D.$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Câu 3.Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi nào?

A.$f$ khả vi tại $x_0$

B.$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại

C.$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

D.$f(x_0)$ xác định

2. Tìm $m$ để hàm số ghép (piecewise) liên tục tại điểmTrắc nghiệm`continuity_param_at_point`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} - 9}{x + 3} & \text{khi } x \ne -3 \\[4pt] mx + 1 & \text{khi } x = -3 \end{cases}$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để $f$ liên tục tại $x = -3$.

A.$m = - \dfrac{7}{3}$

B.$m = \dfrac{7}{3}$

C.$m = - \dfrac{1}{3}$

D.$m = \dfrac{5}{3}$

Câu 5.Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} - 9}{x + 3} & \text{khi } x \ne -3 \\[4pt] mx - 1 & \text{khi } x = -3 \end{cases}$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để $f$ liên tục tại $x = -3$.

A.$m = \dfrac{7}{3}$

B.$m = - \dfrac{5}{3}$

C.$m = \dfrac{1}{3}$

D.$m = \dfrac{5}{3}$

Câu 6.Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} - 1}{x + 1} & \text{khi } x \ne -1 \\[4pt] mx - 5 & \text{khi } x = -1 \end{cases}$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để $f$ liên tục tại $x = -1$.

A.$m = 7$

B.$m = 3$

C.$m = -3$

D.$m = 5$

3. Tìm $a, b$ để hàm số ghép 3 nhánh liên tục trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệm`continuity_two_params_on_r`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 3 & \text{khi } x \le -2 \\[4pt] ax + b & \text{khi } -2 < x < 2 \\[4pt] 4 & \text{khi } x \ge 2 \end{cases}$. Tìm $a, b$ để $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, rồi tính $a + b$.

A.$a + b = \dfrac{7}{2}$

B.$a + b = \dfrac{15}{4}$

C.$a + b = \dfrac{1}{4}$

D.$a + b = \dfrac{19}{4}$

Câu 8.Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 3 & \text{khi } x \le -4 \\[4pt] ax + b & \text{khi } -4 < x < 3 \\[4pt] 6 & \text{khi } x \ge 3 \end{cases}$. Tìm $a, b$ để $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, rồi tính $a + b$.

A.$a + b = \dfrac{33}{7}$

B.$a + b = \dfrac{3}{7}$

C.$a + b = \dfrac{43}{7}$

D.$a + b = \dfrac{36}{7}$

Câu 9.Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{khi } x \le -4 \\[4pt] ax + b & \text{khi } -4 < x < 3 \\[4pt] -2 & \text{khi } x \ge 3 \end{cases}$. Tìm $a, b$ để $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$, rồi tính $a + b$.

A.$a + b = - \dfrac{8}{7}$

B.$a + b = - \dfrac{3}{7}$

C.$a + b = - \dfrac{1}{7}$

D.$a + b = - \dfrac{5}{7}$

4. Nhận diện hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệm`recognize_continuous`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Chọn phát biểu ĐÚNG về hàm số liên tục:

A.$f(x) = \tan x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

B.$f(x) = \dfrac{1}{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

C.$f(x) = \sqrt{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

D.$f(x) = x^2 + 3x + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 11.Chọn phát biểu ĐÚNG về hàm số liên tục:

A.$f(x) = x^2 + 3x + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

B.$f(x) = \dfrac{1}{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

C.$f(x) = \tan x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

D.$f(x) = \sqrt{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 12.Chọn phát biểu ĐÚNG về hàm số liên tục:

A.$f(x) = x^2 + 3x + 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

B.$f(x) = \sqrt{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

C.$f(x) = \tan x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

D.$f(x) = \dfrac{1}{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

5. Cho hàm cụ thể (đa thức, $\sin$, $\sqrt{x}$, $\tan$) — xét liên tụcĐúng / Sai`continuity_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Xét hàm số $f(x) = x^2 - 3x + 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{x}$ liên tục trên $[0; +\infty)$.

b)Hàm $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a) f(b) < 0$ thì có $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$.

c)$\tan x$ liên tục trên toàn $\mathbb{R}$.

d)Hàm $f$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ thì $f$ có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

Câu 14.Xét hàm số $f(x) = x^2 - x - 2$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\sqrt{x}$ liên tục trên $[0; +\infty)$.

b)$\tan x$ liên tục trên toàn $\mathbb{R}$.

c)Hàm $f(x) = x^2 - x - 2$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

d)$\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 15.Xét hàm số $f(x) = x^2 + x + 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\tan x$ liên tục trên toàn $\mathbb{R}$.

b)$\sqrt{x}$ liên tục trên $[0; +\infty)$.

c)Hàm gián đoạn tại $1$ điểm thì gián đoạn trên toàn $\mathbb{R}$.

d)$\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

6. Cho hàm phân thức $f(x) = (x^2 - a^2)/(x - a)$ — kiểm tra liên tục tại $x_0 = a$ (gián đoạn khử được)Đúng / Sai`continuity_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng, hiệu, tích các hàm liên tục là hàm liên tục.

b)Phân thức $P(x)/Q(x)$ liên tục trên tập xác định của nó.

c)Với $x \neq 4$, $f(x) = x + 4$ (rút gọn).

d)Hàm $f$ liên tục tại $x = 4$.

Câu 17.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\lim\limits_{x \to 4} f(x) = 8$.

b)Hàm $f$ liên tục tại $x = 4$.

c)Có thể bổ sung định nghĩa $f(4) = 8$ để $f$ liên tục tại $x = 4$.

d)Với $x \neq 4$, $f(x) = x + 4$ (rút gọn).

Câu 18.Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tổng, hiệu, tích các hàm liên tục là hàm liên tục.

b)Hàm $f$ liên tục tại $x = 3$.

c)Với $x \neq 3$, $f(x) = x + 3$ (rút gọn).

d)Hàm $f$ không xác định tại $x = 3$ (mẫu thức bằng $0$).

7. Tìm điểm gián đoạn của $\dfrac{1}{x - a}$ — trả về $a$Trả lời ngắn`discontinuity_point_rational`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x - (7)}$ gián đoạn tại điểm nào? (Trả lời số)

Câu 20.Hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$ gián đoạn tại điểm nào? (Trả lời số)

Câu 21.Hàm số $f(x) = \dfrac{1}{x + 3}$ gián đoạn tại điểm nào? (Trả lời số)

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Định lý(2)

§3. Phương pháp(2)

§4. Lưu ý(1)

Bài tập

1. Hàm liên tục tại $x_0$ ⇔ $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$Trắc nghiệmcontinuity_at_point(3 câu)

2. Tìm $m$ để hàm số ghép (piecewise) liên tục tại điểmTrắc nghiệmcontinuity_param_at_point(3 câu)

3. Tìm $a, b$ để hàm số ghép 3 nhánh liên tục trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệmcontinuity_two_params_on_r(3 câu)

4. Nhận diện hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệmrecognize_continuous(3 câu)

5. Cho hàm cụ thể (đa thức, $\sin$, $\sqrt{x}$, $\tan$) — xét liên tụcĐúng / Saicontinuity_examples(3 câu)

6. Cho hàm phân thức $f(x) = (x^2 - a^2)/(x - a)$ — kiểm tra liên tục tại $x_0 = a$ (gián đoạn khử được)Đúng / Saicontinuity_facts(3 câu)

7. Tìm điểm gián đoạn của $\dfrac{1}{x - a}$ — trả về $a$Trả lời ngắndiscontinuity_point_rational(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Hàm liên tục tại $x_0$ ⇔ $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$Trắc nghiệm`continuity_at_point`(3 câu)

2. Tìm $m$ để hàm số ghép (piecewise) liên tục tại điểmTrắc nghiệm`continuity_param_at_point`(3 câu)

3. Tìm $a, b$ để hàm số ghép 3 nhánh liên tục trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệm`continuity_two_params_on_r`(3 câu)

4. Nhận diện hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$Trắc nghiệm`recognize_continuous`(3 câu)

5. Cho hàm cụ thể (đa thức, $\sin$, $\sqrt{x}$, $\tan$) — xét liên tụcĐúng / Sai`continuity_examples`(3 câu)

6. Cho hàm phân thức $f(x) = (x^2 - a^2)/(x - a)$ — kiểm tra liên tục tại $x_0 = a$ (gián đoạn khử được)Đúng / Sai`continuity_facts`(3 câu)

7. Tìm điểm gián đoạn của $\dfrac{1}{x - a}$ — trả về $a$Trả lời ngắn`discontinuity_point_rational`(3 câu)