Khái niệm vectơ trong không gian

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

1.1

Hai vectơ cùng phương / cùng hướng

$\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại $k \in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{u} = k\vec{v}$ (hoặc $\vec{v} = \vec{0}$).

$k > 0$: cùng hướng.
$k < 0$: ngược hướng.

Điều kiện trên tọa độ: $\dfrac{u_1}{v_1} = \dfrac{u_2}{v_2} = \dfrac{u_3}{v_3}$ (các tỉ số có nghĩa).

1.2

Định nghĩa vectơ trong không gian

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, ký hiệu $\vec{AB}$ (gốc $A$, ngọn $B$). Trong không gian Oxyz: 1 vectơ $\vec{u}$ luôn biểu diễn được dưới dạng $\vec{u} = (a; b; c)$ tương ứng với phép phân tích $\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j} + c\vec{k}$ với $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ là vectơ đơn vị các trục Ox, Oy, Oz.

1.3

Hai vectơ bằng nhau

$\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$ và $\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)$ bằng nhau $\Leftrightarrow u_1 = v_1, u_2 = v_2, u_3 = v_3$.

§2. Tính chất(1)

2.1

Ba vectơ đồng phẳng

3 vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow$ tồn tại $m, n \in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương). Điều kiện qua tích hỗn tạp: $[\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} = 0$.

§3. Công thức(1)

3.1

Độ dài vectơ

$\vec{u} = (u_1; u_2; u_3) \Rightarrow |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}.$ Đặc biệt: $|\vec{AB}| = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Bài tập

1. Kiểm tra hai vectơ cùng phương trong không gianTrắc nghiệm`vector_3d_collinear_check`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 1)$ và $\vec{v} = (1; 2; 3)$. Hỏi hai vectơ có cùng phương hay không?

A.Vuông góc

B.Bằng nhau

C.Cùng phương

D.Không cùng phương

Câu 2.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 2; 3)$ và $\vec{v} = (2; 4; 6)$. Hỏi hai vectơ có cùng phương hay không?

A.Không cùng phương

B.Cùng phương

C.Bằng nhau

D.Vuông góc

Câu 3.Cho hai vectơ $\vec{u} = (-1; 2; -3)$ và $\vec{v} = (3; -6; 9)$. Hỏi hai vectơ có cùng phương hay không?

A.Không cùng phương

B.Cùng phương

C.Vuông góc

D.Bằng nhau

2. Tìm $m$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng trong không gian (vận dụng)Trắc nghiệm`vector_3d_collinear_find_param`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; -1; 1)$, $B(3; -4; 0)$, $C(-1; m; 4)$. Tìm $m$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

A.$m = 9$

B.$m = -10$

C.$m = 8$

D.$m = -4$

Câu 5.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-2; 3; -4)$, $B(-5; 5; -6)$, $C(-11; m; -10)$. Tìm $m$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

A.$m = -3$

B.$m = 9$

C.$m = 5$

D.$m = 6$

Câu 6.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-2; -1; -1)$, $B(1; 1; 1)$, $C(7; m; 5)$. Tìm $m$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

A.$m = -7$

B.$m = 5$

C.$m = 6$

D.$m = 1$

3. Ba điểm thẳng hàng chứa HAI tham số ở hai điểm khác nhau — tính biểu thứcTrắc nghiệm`vector_3d_collinear_two_params_combo`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-2; -3; -4)$, $B(-8; a; -13)$, $C(b; -9; 5)$ (với $a, b$ là các tham số thực). Biết ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng. Tính giá trị của biểu thức $T = 3a + 2b$.

A.$T = 29$

B.$T = 30$

C.$T = 17$

D.$T = 1$

Câu 8.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-3; -4; 1)$, $B(1; a; -3)$, $C(b; 4; -7)$ (với $a, b$ là các tham số thực). Biết ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng. Tính giá trị của biểu thức $T = a + 2b$.

A.$T = 10$

B.$T = 20$

C.$T = 30$

D.$T = -10$

Câu 9.Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3; -4; -4)$, $B(7; a; -2)$, $C(b; -19; 1)$ (với $a, b$ là các tham số thực). Biết ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng. Tính giá trị của biểu thức $T = 3a + 2b$.

A.$T = -4$

B.$T = 2$

C.$T = -56$

D.$T = -223$

4. Nhận diện định nghĩa vectơ trong không gianTrắc nghiệm`vector_3d_definition`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Vectơ-không trong không gian là?

A.Đường thẳng vô hướng

B.Vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối

C.Đoạn thẳng có hướng trong không gian

D.Cùng phương, cùng hướng và có cùng độ dài

Câu 11.Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi?

A.Cùng phương, cùng hướng và có cùng độ dài

B.Đường thẳng vô hướng

C.Vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối

D.Đoạn thẳng có hướng trong không gian

Câu 12.Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi?

A.Đoạn thẳng có hướng trong không gian

B.Đường thẳng vô hướng

C.Vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối

D.Cùng phương, cùng hướng và có cùng độ dài

5. Cho 2 vectơ vuông góc cụ thể — xét đúng/sai về tích vô hướng, mô-đunĐúng / Sai`vector_3d_intro_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (0; 0; 1)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai vectơ cùng phương.

b)$\vec{u} \perp \vec{v}$.

c)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

d)Mô-đun mỗi vectơ luôn không âm.

Câu 14.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (0; 0; 1)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Mô-đun mỗi vectơ luôn không âm.

b)Hai vectơ cùng phương.

c)$\vec{u} \perp \vec{v}$.

d)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Câu 15.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (0; 1; 0)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vectơ đối của $\vec{u}$ và $\vec{u}$ vuông góc với nhau.

b)Hai vectơ cùng phương.

c)$\vec{u} \perp \vec{v}$.

d)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

6. Cho 2 vectơ cụ thể $\vec{u}, \vec{v}$ — xét đúng/sai khái niệm cùng phương / vuông góc / vectơ đối / mô-đunĐúng / Sai`vector_3d_intro_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hai vectơ $\vec{u} = (-3; 2; -3)$ và $\vec{v} = (-6; 4; -6)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vectơ-không $\vec{0} = (0; 0; 0)$.

b)Vectơ đối của $\vec{u}$ là $-\vec{u} = (3; -2; 3)$.

c)$|\vec{u}| = 22$.

d)$\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

Câu 17.Cho hai vectơ $\vec{u} = (-3; 3; -1)$ và $\vec{v} = (-6; 6; -2)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|\vec{u}| = 19$.

b)$\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng.

c)Vectơ đối của $\vec{u}$ là $-\vec{u} = (3; -3; 1)$.

d)$\vec{u}$ và $-\vec{u}$ là hai vectơ bằng nhau.

Câu 18.Cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 1; 2)$ và $\vec{v} = (4; 2; 4)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Vectơ đối của $\vec{u}$ là $-\vec{u} = (-2; -1; -2)$.

b)Vectơ-không $\vec{0} = (0; 0; 0)$.

c)$|\vec{u}| = 9$.

d)$\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

7. Số đỉnh của hình bình hành — luôn 4Trả lời ngắn`parallelogram_vertex_count`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 19.Một tứ diện có bao nhiêu cạnh?

Câu 20.Một hình bình hành trong không gian có bao nhiêu đỉnh?

Câu 21.Một hình hộp có bao nhiêu mặt?

8. Mô-đun của vectơ-khôngTrả lời ngắn`zero_vector_modulus`(1 câu)

Mẫu 1Nhận biết(1 câu)

Câu 22.Mô-đun (độ dài) của vectơ-không $\vec{0}$ bằng?

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(1)

Bài tập

1. Kiểm tra hai vectơ cùng phương trong không gianTrắc nghiệmvector_3d_collinear_check(3 câu)

2. Tìm $m$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng trong không gian (vận dụng)Trắc nghiệmvector_3d_collinear_find_param(3 câu)

3. Ba điểm thẳng hàng chứa HAI tham số ở hai điểm khác nhau — tính biểu thứcTrắc nghiệmvector_3d_collinear_two_params_combo(3 câu)

4. Nhận diện định nghĩa vectơ trong không gianTrắc nghiệmvector_3d_definition(3 câu)

5. Cho 2 vectơ vuông góc cụ thể — xét đúng/sai về tích vô hướng, mô-đunĐúng / Saivector_3d_intro_examples(3 câu)

6. Cho 2 vectơ cụ thể $\vec{u}, \vec{v}$ — xét đúng/sai khái niệm cùng phương / vuông góc / vectơ đối / mô-đunĐúng / Saivector_3d_intro_facts(3 câu)

7. Số đỉnh của hình bình hành — luôn 4Trả lời ngắnparallelogram_vertex_count(3 câu)

8. Mô-đun của vectơ-khôngTrả lời ngắnzero_vector_modulus(1 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Kiểm tra hai vectơ cùng phương trong không gianTrắc nghiệm`vector_3d_collinear_check`(3 câu)

2. Tìm $m$ để ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng trong không gian (vận dụng)Trắc nghiệm`vector_3d_collinear_find_param`(3 câu)

3. Ba điểm thẳng hàng chứa HAI tham số ở hai điểm khác nhau — tính biểu thứcTrắc nghiệm`vector_3d_collinear_two_params_combo`(3 câu)

4. Nhận diện định nghĩa vectơ trong không gianTrắc nghiệm`vector_3d_definition`(3 câu)

5. Cho 2 vectơ vuông góc cụ thể — xét đúng/sai về tích vô hướng, mô-đunĐúng / Sai`vector_3d_intro_examples`(3 câu)

6. Cho 2 vectơ cụ thể $\vec{u}, \vec{v}$ — xét đúng/sai khái niệm cùng phương / vuông góc / vectơ đối / mô-đunĐúng / Sai`vector_3d_intro_facts`(3 câu)

7. Số đỉnh của hình bình hành — luôn 4Trả lời ngắn`parallelogram_vertex_count`(3 câu)

8. Mô-đun của vectơ-khôngTrả lời ngắn`zero_vector_modulus`(1 câu)