Đề Thi Toán Math
Đề Thi Toán Math
Lớp 12 · Vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ

66 câu hỏi

Câu hỏi & PDF học miễn phí — mở khoá để xem đáp án & lời giải chi tiết của chủ đề này.

Đáp án & lời giải
66 câu · đã gồm VAT
Các câu hỏi mới + dạng mới sẽ thường xuyên được cập nhật vào chủ đề. Lưu trang để xem câu mới mỗi ngày.

Công thức

§1. Tính chất(1)

1.1

Tính chất tích vô hướng

  • $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (giao hoán).
  • $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
  • $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.
  • $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ → $|\vec{u}| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$.
  • $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (với $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$).

§2. Công thức(2)

2.1

Cosin góc giữa 2 vectơ

$$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}.$$ Góc giữa 2 vectơ $\in [0; 180°]$.
2.2

Tích vô hướng 2 vectơ

Cho $\vec{u} = (u_1; u_2; u_3)$, $\vec{v} = (v_1; v_2; v_3)$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$$ với $\theta = (\vec{u}, \vec{v})$.

§3. Phương pháp(1)

3.1

Tìm vectơ vuông góc với 1 hoặc nhiều vectơ cho trước

Vuông góc với 1 vectơ $\vec{a}$:
  • Giả sử $\vec{u} = (x; y; z)$, lập $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$.
  • Phương trình có vô số nghiệm — chọn tự do 2 biến.
Vuông góc với 2 vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ (không cùng phương):
  • Tích có hướng: $\vec{u} = [\vec{a}, \vec{b}]$ là vectơ cần tìm (cùng với mọi $k\vec{u}$).

Bài tập

1. VD cao: góc đặc biệt giữa 2 vectơ trong $Oxyz.$Trắc nghiệmangle_between_vectors_3d_special(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Trong $Oxyz$, tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (0; 1; 1).$

A.$60^\circ$
B.$30^\circ$
C.$90^\circ$
D.$45^\circ$

Câu 2.Trong $Oxyz$, tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (1; 0; 1).$

A.$45^\circ$
B.$60^\circ$
C.$90^\circ$
D.$30^\circ$

Câu 3.Trong $Oxyz$, tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{v} = (-1; 0; 1).$

A.$60^\circ$
B.$45^\circ$
C.$30^\circ$
D.$120^\circ$

2. Đảo: cho $\vec u\cdot\vec v, |\vec u|, |\vec v|$ → tìm số đo gócTrắc nghiệmangle_from_dot_and_norms(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 7$, $|\vec{v}| = 5$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{35}{2}$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$60^\circ$
B.$45^\circ$
C.$30^\circ$
D.$120^\circ$

Câu 5.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 5$, $|\vec{v}| = 7$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{35 \sqrt{2}}{2}$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$30^\circ$
B.$60^\circ$
C.$45^\circ$
D.$135^\circ$

Câu 6.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 7$, $|\vec{v}| = 6$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 21$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$45^\circ$
B.$30^\circ$
C.$60^\circ$
D.$120^\circ$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 4$, $|\vec{v}| = 5$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 10 \sqrt{2}$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$30^\circ$
B.$135^\circ$
C.$45^\circ$
D.$60^\circ$

Câu 8.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 4$, $|\vec{v}| = 3$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$90^\circ$
B.$60^\circ$
C.$30^\circ$
D.$45^\circ$

Câu 9.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 7$, $|\vec{v}| = 7$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

A.$45^\circ$
B.$30^\circ$
C.$60^\circ$
D.$90^\circ$

3. Tính cosin góc giữa hai vectơTrắc nghiệmcos_angle_two_vectors_3d(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$
C.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 11.Tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 1)$ và $\vec{v} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
B.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$
D.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Câu 12.Tính cosin góc giữa hai vectơ $\vec{u} = (1; 1; 1)$ và $\vec{v} = (1; 1; 0)$.

A.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1$
B.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

4. Tính $\vec{u} \wedge \vec{v}$ (tích có hướng)Trắc nghiệmcross_product_compute(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho $\vec{u} = (1; -1; -2)$, $\vec{v} = (-3; 3; 0)$. Tính tích có hướng $\vec{u} \wedge \vec{v}$.

A.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (6; 7; 0)$
B.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-6; -6; 0)$
C.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (7; 6; 0)$
D.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (6; 6; 0)$

Câu 14.Cho $\vec{u} = (2; 3; -3)$, $\vec{v} = (-2; 0; 2)$. Tính tích có hướng $\vec{u} \wedge \vec{v}$.

A.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (7; 2; 6)$
B.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-6; -2; -6)$
C.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (6; 2; 6)$
D.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (2; 6; 6)$

Câu 15.Cho $\vec{u} = (0; -1; 2)$, $\vec{v} = (-2; -2; -3)$. Tính tích có hướng $\vec{u} \wedge \vec{v}$.

A.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-4; 7; -2)$
B.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (-7; 4; 2)$
C.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (7; -4; -2)$
D.$\vec{u} \wedge \vec{v} = (8; -4; -2)$

5. Góc giữa hai vectơ (cạnh / đường chéo) trong hình lập phương → số đo gócTrắc nghiệmcube_angle_between_vectors(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BA'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$30^\circ$
B.$90^\circ$
C.$60^\circ$
D.$120^\circ$

Câu 17.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AB'}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$135^\circ$
B.$90^\circ$
C.$45^\circ$
D.$60^\circ$

Câu 18.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{CB'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$120^\circ$
B.$30^\circ$
C.$90^\circ$
D.$60^\circ$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AD'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$90^\circ$
B.$30^\circ$
C.$120^\circ$
D.$60^\circ$

Câu 20.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AB'}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$60^\circ$
B.$45^\circ$
C.$135^\circ$
D.$90^\circ$

Câu 21.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$60^\circ$
B.$135^\circ$
C.$90^\circ$
D.$45^\circ$

6. Hỏi COSIN góc giữa hai vectơ trong lập phương (thay vì số đo góc)Trắc nghiệmcube_cos_between_vectors(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BA'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{1}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = - \dfrac{1}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 23.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AB}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AB}\right) = - \dfrac{1}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AB}\right) = \dfrac{1}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AB}\right) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AB}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 24.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AD'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AD'}\right) = - \dfrac{1}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AD'}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AD'}\right) = \dfrac{1}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AD'}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{BA'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AB}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{1}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AB}, \vec{BA'}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AB}, \vec{BA'}\right) = - \dfrac{1}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AB}, \vec{BA'}\right) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 26.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{AD'}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AD'}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AD'}\right) = - \dfrac{1}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AD'}\right) = \dfrac{1}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC}, \vec{AD'}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 27.Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\vec{AC'}$ và $\vec{A'B}$.

ABCDA'B'C'D'
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
A.$\cos\left(\vec{AC'}, \vec{A'B}\right) = 0$
B.$\cos\left(\vec{AC'}, \vec{A'B}\right) = \dfrac{1}{2}$
C.$\cos\left(\vec{AC'}, \vec{A'B}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\cos\left(\vec{AC'}, \vec{A'B}\right) = 1$

7. Cho $|\vec u|, |\vec v|$ và góc → tính $\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos(\vec u,\vec v)$Trắc nghiệmdot_from_norms_and_angle(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 8$, $|\vec{v}| = 8$ và góc giữa chúng bằng $135^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 4 \sqrt{2}$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 32 \sqrt{2}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 32 \sqrt{2}$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 64$

Câu 29.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 6$, $|\vec{v}| = 10$ và góc giữa chúng bằng $150^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 30$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 30 \sqrt{3}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 5 \sqrt{3}$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 30 \sqrt{3}$

Câu 30.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 10$, $|\vec{v}| = 6$ và góc giữa chúng bằng $60^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 30$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 30 \sqrt{3}$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 31.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 4$, $|\vec{v}| = 10$ và góc giữa chúng bằng $150^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 20 \sqrt{3}$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 20 \sqrt{3}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 20$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 5 \sqrt{3}$

Câu 32.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 10$, $|\vec{v}| = 10$ và góc giữa chúng bằng $30^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 50 \sqrt{3}$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 50$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 50 \sqrt{3}$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \sqrt{3}$

Câu 33.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 8$, $|\vec{v}| = 10$ và góc giữa chúng bằng $120^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 40$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 40 \sqrt{3}$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -5$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -40$

8. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$Trắc nghiệmdot_product_3d_compute(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ với $\vec{u} = (4; -3; -5)$ và $\vec{v} = (5; 2; -5)$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 40$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -39$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 39$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 38$

Câu 35.Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ với $\vec{u} = (-2; -1; -4)$ và $\vec{v} = (-5; 4; 2)$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -2$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -3$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2$

Câu 36.Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ với $\vec{u} = (-1; 5; 2)$ và $\vec{v} = (2; 3; -4)$.

A.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$
B.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 6$
C.$\vec{u} \cdot \vec{v} = -5$
D.$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4$

9. Đảo: cho $\vec u\cdot\vec v, |\vec u|$ và góc → tìm $|\vec v|$Trắc nghiệmnorm_from_dot_and_angle(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 37.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 3$, góc giữa chúng bằng $135^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 3 \sqrt{2}$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = -2$
B.$|\vec{v}| = 1$
C.$|\vec{v}| = 2$
D.$|\vec{v}| = - \sqrt{2}$

Câu 38.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 4$, góc giữa chúng bằng $120^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = -12$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = 6$
B.$|\vec{v}| = -3$
C.$|\vec{v}| = -6$
D.$|\vec{v}| = \dfrac{3}{2}$

Câu 39.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 8$, góc giữa chúng bằng $30^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 20 \sqrt{3}$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = \dfrac{5 \sqrt{3}}{2}$
B.$|\vec{v}| = \dfrac{15}{4}$
C.$|\vec{v}| = 6$
D.$|\vec{v}| = 5$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 5$, góc giữa chúng bằng $45^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = 15 \sqrt{2}$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = 3 \sqrt{2}$
B.$|\vec{v}| = 6$
C.$|\vec{v}| = 3$
D.$|\vec{v}| = 7$

Câu 41.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 5$, góc giữa chúng bằng $120^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = -20$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = 8$
B.$|\vec{v}| = 2$
C.$|\vec{v}| = -4$
D.$|\vec{v}| = -8$

Câu 42.Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 5$, góc giữa chúng bằng $150^\circ$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 10 \sqrt{3}$. Tính độ dài $|\vec{v}|$.

A.$|\vec{v}| = - 2 \sqrt{3}$
B.$|\vec{v}| = 4$
C.$|\vec{v}| = 3$
D.$|\vec{v}| = -4$

10. Kiểm tra hai vectơ vuông góc dựa trên tích vô hướngTrắc nghiệmperpendicular_check_3d(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 43.Cho $\vec{u} = (1; 2; 3)$ và $\vec{v} = (3; 0; -1)$. Hỏi hai vectơ có vuông góc không?

A.Không vuông góc
B.Vuông góc
C.Bằng nhau
D.Cùng phương

Câu 44.Cho $\vec{u} = (1; 1; 1)$ và $\vec{v} = (1; 1; 1)$. Hỏi hai vectơ có vuông góc không?

A.Không vuông góc
B.Bằng nhau
C.Cùng phương
D.Vuông góc

Câu 45.Cho $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (0; 1; 0)$. Hỏi hai vectơ có vuông góc không?

A.Cùng phương
B.Không vuông góc
C.Vuông góc
D.Bằng nhau

11. Tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$ trong lăng trụ đứng đều cạnh $m$Trắc nghiệmprism_dot_two_vectors(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $m$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$\dfrac{m^2}{2}$
B.$-m^2$
C.$2m^2$
D.$m^2$

Câu 47.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $6$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$-36$
B.$72$
C.$36$
D.$18$

Câu 48.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $6$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$18$
B.$-36$
C.$36$
D.$72$
Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$\dfrac{a^2}{2}$
B.$2a^2$
C.$a^2$
D.$-a^2$

Câu 50.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $m$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$\dfrac{m^2}{2}$
B.$-m^2$
C.$m^2$
D.$2m^2$

Câu 51.Cho lăng trụ đứng tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ (đáy là tam giác đều, cạnh bên vuông góc với đáy). Tính tích vô hướng $\vec{AA'} \cdot \vec{BC'}$.

ABCA'B'C'
Lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A'B'C'
A.$-a^2$
B.$a^2$
C.$\dfrac{a^2}{2}$
D.$2a^2$

12. Thể tích tứ diện $ABCD$ = $\dfrac{1}{6}|[\vec{AB},\vec{AC}]\cdot\vec{AD}|$Trắc nghiệmtetrahedron_volume_via_cross_dot(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 52.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C(0;3;0)$, $D(0;0;1)$. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

A.$V = \dfrac{9}{2}$
B.$V = 3$
C.$V = \dfrac{3}{2}$
D.$V = 9$

Câu 53.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $C(0;1;0)$, $D(0;0;1)$. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

A.$V = \dfrac{1}{2}$
B.$V = 3$
C.$V = 1$
D.$V = \dfrac{3}{2}$

Câu 54.Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(0;1;0)$, $D(0;0;3)$. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

A.$V = 4$
B.$V = 12$
C.$V = 6$
D.$V = 2$

13. Cho 2 vectơ tạo góc đặc biệt (vuông / nhọn / tù) — xét đúng/saiĐúng / Saivector_3d_dot_product_examples(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 2; 3)$ và $\vec{v} = (3; 0; -1)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
b)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc tù.
c)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
d)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.

Câu 56.Cho hai vectơ $\vec{u} = (1; 0; 0)$ và $\vec{v} = (-1; 0; 0)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
b)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.
c)Tích vô hướng có thể nhận giá trị âm.
d)$\vec{u} \perp \vec{v}$.

Câu 57.Cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 1; 0)$ và $\vec{v} = (1; 2; 0)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tích vô hướng có thể nhận giá trị âm.
b)$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
c)Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là góc nhọn.
d)$\vec{u} \perp \vec{v}$.

14. Cho 2 vectơ cụ thể — tính tích vô hướng, kiểm tra vuông gócĐúng / Saivector_3d_dot_product_facts(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Cho hai vectơ $\vec{u} = (2; -1; -3)$ và $\vec{v} = (1; 2; -4)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{u} \cdot \vec{v} = -3$.
b)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 12$.
c)$\vec{u} \perp \vec{v}$.
d)$|\vec{v}|^2 = 21$.

Câu 59.Cho hai vectơ $\vec{u} = (-1; -4; -2)$ và $\vec{v} = (-4; 2; -2)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$.
b)$\vec{u} \cdot \vec{v} = -11$.
c)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
d)Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ là một vectơ.

Câu 60.Cho hai vectơ $\vec{u} = (-3; -3; -1)$ và $\vec{v} = (4; -4; -2)$ trong không gian $Oxyz$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$|\vec{v}|^2 = 36$.
b)$\vec{u} \cdot \vec{v} = -9$.
c)Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ là một vectơ.
d)$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2$.

15. Cosin góc giữa hai vectơ vuông góc — luôn 0Trả lời ngắncos_perpendicular_value(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 61.Hai vectơ ngược hướng (180°) có cosin góc bằng?

Câu 62.Hai vectơ cùng phương cùng hướng có cosin góc bằng?

Câu 63.Hai vectơ vuông góc có cosin góc giữa chúng bằng?

16. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$Trả lời ngắndot_product_3d_value(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 64.Cho $\vec{u} = (3; -4; -2)$ và $\vec{v} = (1; 3; 2)$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Câu 65.Cho $\vec{u} = (5; 5; -5)$ và $\vec{v} = (-5; 3; 3)$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Câu 66.Cho $\vec{u} = (5; 1; 3)$ và $\vec{v} = (-4; -2; -3)$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

Đáp án & lời giải

Mở đáp án & Lời giải

Mở toàn bộ đáp án + lời giải chi tiết của chủ đề "Tích vô hướng của hai vectơ".

Mở đáp án chủ đề này

Chỉ mở đáp án + lời giải của riêng chủ đề này.

99.000 đ
đã gồm VAT
Mở đáp án cả chương

Mở đáp án & lời giải cho tất cả 4 chủ đề trong chương — gồm cả chủ đề cập nhật thêm sau.

346.000đ
249.000 đ
đã gồm VAT
Xem & mở khoá cả chương

Cần đăng nhập để mua.

Câu hỏi + PDF câu hỏi xem/tải miễn phí; chỉ đáp án & lời giải mở sau khi mua.

← Về danh sách chủ đề