Diện tích xung quanh và thể tích hình chóp đều

Công thức

§1. Công thức(3)

1.1

Diện tích xung quanh chóp đều

$$S_{xq} = \dfrac{p \cdot l}{2},$$ với $p$ = chu vi đáy, $l$ = trung đoạn (apothem từ đỉnh đến trung điểm cạnh đáy). (Tổng các tam giác cân làm mặt bên.)

1.2

Diện tích toàn phần

$$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = \dfrac{p l}{2} + S_{\text{đáy}}.$$

1.3

Thể tích hình chóp

$$V = \dfrac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h,$$ với $h$ = chiều cao chóp. (Bằng $\dfrac{1}{3}$ thể tích lăng trụ cùng đáy + chiều cao.)

§2. Mẹo(1)

2.1

Mẹo: tìm chiều cao chóp đều qua Pythagore

Trong chóp đều, biết cạnh bên $SA$ và cạnh đáy $a$: Tâm đáy $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy → $OA = R$ (bán kính ngoại tiếp đa giác đều). Áp dụng Pythagore trong tam giác vuông $SOA$ (vuông tại $O$): $$h = SO = \sqrt{SA^2 - OA^2}.$$ Vd chóp tứ giác đều cạnh $a$, cạnh bên $b$: $OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$, $h = \sqrt{b^2 - \dfrac{a^2}{2}}$.

Bài tập

1. Thể tích chóp $S.ABC$ đáy tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$, $SA$ cho theo $a$Trắc nghiệm`pyramid_volume_equilateral_base_perp_edge`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết $SA \perp (ABC)$ và $SA = 4a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

A.$V = \dfrac{\sqrt{3} a}{3}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$

C.$V = \sqrt{3} a^{3}$

D.$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Câu 2.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết $SA \perp (ABC)$ và $SA = 4a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

A.$V = a$

B.$V = 3 a^{3}$

C.$V = a^{3}$

D.$V = 2 a^{3}$

Câu 3.Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết $SA \perp (ABC)$ và $SA = 4a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

A.$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

B.$V = \dfrac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$

C.$V = \sqrt{3} a^{3}$

D.$V = \dfrac{\sqrt{3} a}{3}$

2. Thể tích hình chóp $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$Trắc nghiệm`pyramid_volume_general_formula`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Hình chóp có diện tích đáy $S = 9$ và chiều cao $h = 4$. Tính thể tích.

A.$V = 12$

B.$V = 11$

C.$V = 13$

D.$V = 36$

Câu 5.Hình chóp có diện tích đáy $S = 15$ và chiều cao $h = 4$. Tính thể tích.

A.$V = 60$

B.$V = 19$

C.$V = 21$

D.$V = 20$

Câu 6.Hình chóp có diện tích đáy $S = 24$ và chiều cao $h = 5$. Tính thể tích.

A.$V = 40$

B.$V = 41$

C.$V = 120$

D.$V = 29$

3. Thể tích khối chóp khi diện tích đáy & chiều cao cho dưới dạng ĐƠN THỨC theo $a$Trắc nghiệm`pyramid_volume_symbolic_base_height`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho khối chóp có diện tích đáy $B = a^{2}$ và chiều cao $h = 9 a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A.$V = 3 a^{2}$

B.$V = 9 a^{3}$

C.$V = 3 a^{3}$

D.$V = \dfrac{9 a^{3}}{2}$

Câu 8.Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 3 a^{2}$ và chiều cao $h = 10 a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A.$V = \dfrac{10 a^{3}}{3}$

B.$V = 10 a^{3}$

C.$V = 15 a^{3}$

D.$V = 30 a^{3}$

Câu 9.Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 3 a^{2}$ và chiều cao $h = 8 a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A.$V = \dfrac{8 a^{3}}{3}$

B.$V = 24 a^{3}$

C.$V = 8 a^{3}$

D.$V = 12 a^{3}$

4. Thể tích chóp = $\dfrac{1}{3}$ thể tích lăng trụ cùng đáy, cùng chiều caoTrắc nghiệm`pyramid_volume_third_of_prism`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Hình chóp và lăng trụ có cùng đáy, cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chóp / lăng trụ là?

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$\dfrac{1}{3} S \cdot h$

C.$S \cdot h$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 11.Hình chóp và lăng trụ có cùng đáy, cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chóp / lăng trụ là?

A.$\dfrac{1}{3}$

B.$S \cdot h$

C.$\dfrac{1}{3} S \cdot h$

D.$\dfrac{1}{2}$

Câu 12.Hình chóp và lăng trụ có cùng đáy, cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chóp / lăng trụ là?

A.$S \cdot h$

B.$\dfrac{1}{2}$

C.$\dfrac{1}{3} S \cdot h$

D.$\dfrac{1}{3}$

5. Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều: $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot d$ với $p$ là chu vi đáy, $d$ là trung đoạnTrắc nghiệm`square_pyramid_lateral_area`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $10$ và trung đoạn $8$. Tính diện tích xung quanh.

A.$S_{xq} = 100$

B.$S_{xq} = 160$

C.$S_{xq} = 320$

D.$S_{xq} = 80$

Câu 14.Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $12$ và trung đoạn $15$. Tính diện tích xung quanh.

A.$S_{xq} = 180$

B.$S_{xq} = 720$

C.$S_{xq} = 144$

D.$S_{xq} = 360$

Câu 15.Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $6$ và trung đoạn $10$. Tính diện tích xung quanh.

A.$S_{xq} = 240$

B.$S_{xq} = 60$

C.$S_{xq} = 36$

D.$S_{xq} = 120$

6. Thể tích hình chóp đều có đáy là hình vuôngTrắc nghiệm`square_pyramid_volume`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Một hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh $3$ và chiều cao $9$. Thể tích của hình chóp bằng:

A.$V = 27$

B.$V = 9$

C.$V = 15$

D.$V = 81$

Câu 17.Một hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh $12$ và chiều cao $9$. Thể tích của hình chóp bằng:

A.$V = 33$

B.$V = 432$

C.$V = 36$

D.$V = 1296$

Câu 18.Một hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh $3$ và chiều cao $12$. Thể tích của hình chóp bằng:

A.$V = 108$

B.$V = 36$

C.$V = 18$

D.$V = 12$

7. Chóp tứ giác đều: biết cạnh đáy và trung đoạn, tìm chiều cao bằng Pythagore rồi tính thể tíchTrắc nghiệm`square_pyramid_volume_from_slant`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $8$ và trung đoạn bằng $5$. Tính thể tích của hình chóp.

A.$V = 64$

B.$V = 320/3$

C.$V = 8$

D.$V = 192$

Câu 20.Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $24$ và trung đoạn bằng $13$. Tính thể tích của hình chóp.

A.$V = 2496$

B.$V = 40$

C.$V = 2880$

D.$V = 960$

Câu 21.Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $24$ và trung đoạn bằng $15$. Tính thể tích của hình chóp.

A.$V = 5184$

B.$V = 72$

C.$V = 1728$

D.$V = 2880$

8. Lều chóp tứ giác đều: từ thể tích & cạnh đáy, suy ngược ra số tấm bạt phủ mặt bênTrắc nghiệm`tent_pyramid_fabric_rolls_from_volume`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 22.Một chiếc lều dạng hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $16$ m, chứa được thể tích không khí $1280$ m³. Người ta dùng bạt để phủ kín 4 mặt bên của lều (không phủ đáy). Mỗi tấm bạt phủ được $25$ m². Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu tấm bạt?

A.$22 \text{ tấm}$

B.$32 \text{ tấm}$

C.$21 \text{ tấm}$

D.$20 \text{ tấm}$

Câu 23.Một chiếc lều dạng hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $18$ m, chứa được thể tích không khí $1296$ m³. Người ta dùng bạt để phủ kín 4 mặt bên của lều (không phủ đáy). Mỗi tấm bạt phủ được $25$ m². Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu tấm bạt?

A.$21 \text{ tấm}$

B.$35 \text{ tấm}$

C.$22 \text{ tấm}$

D.$18 \text{ tấm}$

Câu 24.Một chiếc lều dạng hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh $18$ m, chứa được thể tích không khí $1296$ m³. Người ta dùng bạt để phủ kín 4 mặt bên của lều (không phủ đáy). Mỗi tấm bạt phủ được $25$ m². Hỏi cần mua ít nhất bao nhiêu tấm bạt?

A.$35 \text{ tấm}$

B.$22 \text{ tấm}$

C.$21 \text{ tấm}$

D.$18 \text{ tấm}$

9. Hình chóp tam giác đều — kiểm tra công thức $V$, $S_{xq}$, $S_{tp}$Đúng / Sai`pyramid_area_volume_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a = 6$, chiều cao $h = 9$ và trung đoạn $d = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Chu vi đáy của hình chóp bằng $18$.

b)Trung đoạn luôn nhỏ hơn chiều cao của hình chóp đều.

c)Diện tích toàn phần hình chóp $= S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

d)Trung đoạn của hình chóp đều là khoảng cách từ đỉnh chóp đến trung điểm cạnh đáy (đường cao mặt bên).

Câu 26.Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a = 6$, chiều cao $h = 9$ và trung đoạn $d = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích xung quanh hình chóp đều bằng $\dfrac{1}{2}$ chu vi đáy nhân với trung đoạn.

b)Chu vi đáy của hình chóp bằng $18$.

c)Thể tích hình chóp bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

d)Diện tích toàn phần hình chóp $= S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

Câu 27.Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a = 6$, chiều cao $h = 3$ và trung đoạn $d = 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích xung quanh hình chóp đều bằng $\dfrac{1}{2}$ chu vi đáy nhân với trung đoạn.

b)Diện tích toàn phần hình chóp $= S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

c)Trung đoạn luôn nhỏ hơn chiều cao của hình chóp đều.

d)Thể tích hình chóp bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

10. Hình chóp tứ giác đều cụ thể (đáy hình vuông) — tính $V$, $S_{xq}$Đúng / Sai`pyramid_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a = 4$, chiều cao $h = 6$ và trung đoạn (đường cao mặt bên) $d = 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Thể tích hình chóp bằng $96$.

b)Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn nối đỉnh chóp với trung điểm cạnh đáy.

c)Thể tích hình chóp bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

d)Thể tích hình chóp bằng $32$.

Câu 29.Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a = 4$, chiều cao $h = 6$ và trung đoạn (đường cao mặt bên) $d = 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích đáy của hình chóp bằng $16$.

b)Thể tích hình chóp bằng $32$.

c)Diện tích toàn phần hình chóp $= S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

d)Thể tích hình chóp bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

Câu 30.Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a = 4$, chiều cao $h = 3$ và trung đoạn (đường cao mặt bên) $d = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hình chóp đều có các mặt bên là các tam giác đều.

b)Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn nối đỉnh chóp với trung điểm cạnh đáy.

c)Thể tích hình chóp bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

d)Diện tích toàn phần hình chóp $= S_{xq} + S_{\text{đáy}}$.

11. Tìm chiều cao hình chóp tứ giác đều biết thể tích: $h = 3V/a^2$Trả lời ngắn`pyramid_height_from_volume`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Hình chóp tứ giác đều có thể tích $256$ cm³, cạnh đáy $8$ cm. Tính chiều cao (cm).

Câu 32.Hình chóp tứ giác đều có thể tích $25$ cm³, cạnh đáy $5$ cm. Tính chiều cao (cm).

Câu 33.Hình chóp tứ giác đều có thể tích $72$ cm³, cạnh đáy $6$ cm. Tính chiều cao (cm).

12. Thể tích chóp đáy vuông cạnh $a$, chiều cao $h$ (số thập phân)Trả lời ngắn`pyramid_volume_square_base`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $6$ cm, chiều cao $9$ cm. Tính thể tích (cm³).

Câu 35.Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $7$ cm, chiều cao $6$ cm. Tính thể tích (cm³).

Câu 36.Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $10$ cm, chiều cao $14$ cm. Tính thể tích (cm³). (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Diện tích xung quanh và thể tích hình chóp đều

Công thức

§1. Công thức(3)

§2. Mẹo(1)

Bài tập

1. Thể tích chóp $S.ABC$ đáy tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$, $SA$ cho theo $a$Trắc nghiệmpyramid_volume_equilateral_base_perp_edge(3 câu)

2. Thể tích hình chóp $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$Trắc nghiệmpyramid_volume_general_formula(3 câu)

3. Thể tích khối chóp khi diện tích đáy & chiều cao cho dưới dạng ĐƠN THỨC theo $a$Trắc nghiệmpyramid_volume_symbolic_base_height(3 câu)

4. Thể tích chóp = $\dfrac{1}{3}$ thể tích lăng trụ cùng đáy, cùng chiều caoTrắc nghiệmpyramid_volume_third_of_prism(3 câu)

5. Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều: $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot d$ với $p$ là chu vi đáy, $d$ là trung đoạnTrắc nghiệmsquare_pyramid_lateral_area(3 câu)

6. Thể tích hình chóp đều có đáy là hình vuôngTrắc nghiệmsquare_pyramid_volume(3 câu)

7. Chóp tứ giác đều: biết cạnh đáy và trung đoạn, tìm chiều cao bằng Pythagore rồi tính thể tíchTrắc nghiệmsquare_pyramid_volume_from_slant(3 câu)

8. Lều chóp tứ giác đều: từ thể tích & cạnh đáy, suy ngược ra số tấm bạt phủ mặt bênTrắc nghiệmtent_pyramid_fabric_rolls_from_volume(3 câu)

9. Hình chóp tam giác đều — kiểm tra công thức $V$, $S_{xq}$, $S_{tp}$Đúng / Saipyramid_area_volume_facts2(3 câu)

10. Hình chóp tứ giác đều cụ thể (đáy hình vuông) — tính $V$, $S_{xq}$Đúng / Saipyramid_facts(3 câu)

11. Tìm chiều cao hình chóp tứ giác đều biết thể tích: $h = 3V/a^2$Trả lời ngắnpyramid_height_from_volume(3 câu)

12. Thể tích chóp đáy vuông cạnh $a$, chiều cao $h$ (số thập phân)Trả lời ngắnpyramid_volume_square_base(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Thể tích chóp $S.ABC$ đáy tam giác đều cạnh $a$, $SA \perp (ABC)$, $SA$ cho theo $a$Trắc nghiệm`pyramid_volume_equilateral_base_perp_edge`(3 câu)

2. Thể tích hình chóp $V = \dfrac{1}{3} S \cdot h$Trắc nghiệm`pyramid_volume_general_formula`(3 câu)

3. Thể tích khối chóp khi diện tích đáy & chiều cao cho dưới dạng ĐƠN THỨC theo $a$Trắc nghiệm`pyramid_volume_symbolic_base_height`(3 câu)

4. Thể tích chóp = $\dfrac{1}{3}$ thể tích lăng trụ cùng đáy, cùng chiều caoTrắc nghiệm`pyramid_volume_third_of_prism`(3 câu)

5. Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều: $S_{xq} = \dfrac{1}{2} \cdot p \cdot d$ với $p$ là chu vi đáy, $d$ là trung đoạnTrắc nghiệm`square_pyramid_lateral_area`(3 câu)

6. Thể tích hình chóp đều có đáy là hình vuôngTrắc nghiệm`square_pyramid_volume`(3 câu)

7. Chóp tứ giác đều: biết cạnh đáy và trung đoạn, tìm chiều cao bằng Pythagore rồi tính thể tíchTrắc nghiệm`square_pyramid_volume_from_slant`(3 câu)

8. Lều chóp tứ giác đều: từ thể tích & cạnh đáy, suy ngược ra số tấm bạt phủ mặt bênTrắc nghiệm`tent_pyramid_fabric_rolls_from_volume`(3 câu)

9. Hình chóp tam giác đều — kiểm tra công thức $V$, $S_{xq}$, $S_{tp}$Đúng / Sai`pyramid_area_volume_facts2`(3 câu)

10. Hình chóp tứ giác đều cụ thể (đáy hình vuông) — tính $V$, $S_{xq}$Đúng / Sai`pyramid_facts`(3 câu)

11. Tìm chiều cao hình chóp tứ giác đều biết thể tích: $h = 3V/a^2$Trả lời ngắn`pyramid_height_from_volume`(3 câu)

12. Thể tích chóp đáy vuông cạnh $a$, chiều cao $h$ (số thập phân)Trả lời ngắn`pyramid_volume_square_base`(3 câu)