Các trường hợp đồng dạng

Công thức

§1. Định lý(3)

1.1

Trường hợp g-g (góc-góc)

2 tam giác có 2 cặp góc tương ứng bằng nhau → đồng dạng: $$\widehat{A} = \widehat{A'}, \widehat{B} = \widehat{B'} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'.$$ → Trường hợp đơn giản nhất vì chỉ cần 2 góc.

1.2

Trường hợp c-g-c (cạnh-góc-cạnh)

2 tam giác có 1 cặp góc bằng nhau, 2 cặp cạnh kề tương ứng tỉ lệ → đồng dạng: $$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC} \text{ và } \widehat{A'} = \widehat{A} \Rightarrow \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC.$$

1.3

Trường hợp c-c-c (cạnh-cạnh-cạnh)

2 tam giác có 3 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ → đồng dạng: $$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC} \Rightarrow \triangle A'B'C' \sim \triangle ABC.$$

§2. Phương pháp(1)

2.1

Quy trình chứng minh đồng dạng

Bước 1. Xác định 2 tam giác cần chứng minh đồng dạng. Bước 2. Tìm các yếu tố bằng nhau / tỉ lệ:

2 góc bằng nhau → g-g.
3 cặp cạnh tỉ lệ → c-c-c.
2 cạnh tỉ lệ + góc xen giữa → c-g-c.

Bước 3. Khẳng định đồng dạng, ghi rõ các đỉnh tương ứng. Bước 4. Suy ra các tỉ số cạnh / góc bằng nhau theo yêu cầu.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng

Khi viết $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$: thứ tự đỉnh bắt buộc đúng thứ tự tương ứng. → $A \leftrightarrow A', B \leftrightarrow B', C \leftrightarrow C'$. Sai thứ tự = sai tương ứng cạnh/góc → các tỉ số sẽ sai.

Bài tập

1. Tỉ số diện tích = bình phương tỉ số đồng dạngTrắc nghiệm`area_ratio_squared`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k = \dfrac{2}{3}$. Tỉ số diện tích $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng?

A.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{9}{4}$

B.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{4}{9}$

C.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{5}{2}$

D.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{2}{3}$

Câu 2.Hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k = \dfrac{2}{5}$. Tỉ số diện tích $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng?

A.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{25}{4}$

B.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{7}{2}$

C.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{4}{25}$

D.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{2}{5}$

Câu 3.Hai tam giác đồng dạng với tỉ số $k = \dfrac{2}{5}$. Tỉ số diện tích $\dfrac{S_1}{S_2}$ bằng?

A.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{4}{25}$

B.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{2}{5}$

C.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{7}{2}$

D.$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{25}{4}$

2. Vận dụng: dùng trường hợp c-g-c (góc chung) tính cạnh $MN$Trắc nghiệm`cgc_common_angle_find_side`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 15$, $AC = 18$, $BC = 9$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = 6$, $AN = 5$. Tính độ dài đoạn $MN$.

A.$MN = 6$

B.$MN = 2$

C.$MN = 3$

D.$MN = 4$

Câu 5.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 10$, $AC = 15$, $BC = 10$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = 9$, $AN = 6$. Tính độ dài đoạn $MN$.

A.$MN = 5$

B.$MN = 7$

C.$MN = 6$

D.$MN = 9$

Câu 6.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8$, $AC = 12$, $BC = 8$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = 3$, $AN = 2$. Tính độ dài đoạn $MN$.

A.$MN = 8$

B.$MN = 3$

C.$MN = 2$

D.$MN = 1$

3. Cho 2 bộ 3 cạnh, kiểm tra 2 tam giác có đồng dạng không (qua c-c-c)Trắc nghiệm`check_two_triangles_similar`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $3, 9, 6$ và tam giác $A'B'C'$ có ba cạnh $6, 18, 12$. Hai tam giác có đồng dạng không?

A.Không xác định.

B.Không đồng dạng.

C.Đồng dạng.

D.Bằng nhau.

Câu 8.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $7, 9, 6$ và tam giác $A'B'C'$ có ba cạnh $21, 27, 19$. Hai tam giác có đồng dạng không?

A.Không đồng dạng.

B.Đồng dạng.

C.Bằng nhau.

D.Không xác định.

Câu 9.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $5, 8, 9$ và tam giác $A'B'C'$ có ba cạnh $10, 16, 17$. Hai tam giác có đồng dạng không?

A.Không đồng dạng.

B.Không xác định.

C.Bằng nhau.

D.Đồng dạng.

4. Cho phát biểu, chọn tên trường hợp đồng dạng tương ứngTrắc nghiệm`identify_similarity_case`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Phát biểu sau đề cập đến trường hợp đồng dạng nào? "Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau."

A.c-c-c

B.c-g-c

C.g-g

D.g-g-g

Câu 11.Phát biểu sau đề cập đến trường hợp đồng dạng nào? "Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau."

A.g-g-g

B.g-g

C.c-c-c

D.c-g-c

Câu 12.Phát biểu sau đề cập đến trường hợp đồng dạng nào? "Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ."

A.g-g

B.c-g-c

C.c-c-c

D.g-g-g

5. Vận dụng cao: cho 3 cạnh △ nhỏ + 1 cạnh tương ứng △ lớn, tính 2 cạnh còn lại của △ lớnTrắc nghiệm`similar_triangle_remaining_sides`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho hai tam giác đồng dạng $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (theo thứ tự đỉnh), với $AB = 2$, $BC = 3$, $CA = 4$ và $A'B' = 6$. Tính độ dài hai cạnh còn lại của $\triangle A'B'C'$.

Hai tam giác đồng dạng với cạnh tương ứng (2,3,4) và (6,9,12).

A.$B'C' = 9,\ C'A' = 12$

B.$B'C' = 10,\ C'A' = 12$

C.$B'C' = 6,\ C'A' = 8$

D.$B'C' = 12,\ C'A' = 9$

Câu 14.Cho hai tam giác đồng dạng $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (theo thứ tự đỉnh), với $AB = 4$, $BC = 5$, $CA = 6$ và $A'B' = 8$. Tính độ dài hai cạnh còn lại của $\triangle A'B'C'$.

Hai tam giác đồng dạng với cạnh tương ứng (4,5,6) và (8,10,12).

A.$B'C' = 9,\ C'A' = 10$

B.$B'C' = 10,\ C'A' = 12$

C.$B'C' = 11,\ C'A' = 12$

D.$B'C' = 12,\ C'A' = 10$

Câu 15.Cho hai tam giác đồng dạng $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ (theo thứ tự đỉnh), với $AB = 6$, $BC = 8$, $CA = 10$ và $A'B' = 9$. Tính độ dài hai cạnh còn lại của $\triangle A'B'C'$.

Hai tam giác đồng dạng với cạnh tương ứng (6,8,10) và (9,12,15).

A.$B'C' = 15,\ C'A' = 12$

B.$B'C' = 13,\ C'A' = 15$

C.$B'C' = 12,\ C'A' = 15$

D.$B'C' = 16,\ C'A' = 20$

6. Tỉ số đồng dạng $k = a/a'$Trắc nghiệm`similarity_ratio_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Hai tam giác đồng dạng có hai cạnh tương ứng lần lượt là $4$ và $6$. Tỉ số đồng dạng $k$ (tỉ số cạnh tam giác đầu trên tam giác thứ hai) bằng?

A.$k = 24$

B.$k = \dfrac{3}{2}$

C.$k = \dfrac{2}{3}$

D.$k = 10$

Câu 17.Hai tam giác đồng dạng có hai cạnh tương ứng lần lượt là $5$ và $10$. Tỉ số đồng dạng $k$ (tỉ số cạnh tam giác đầu trên tam giác thứ hai) bằng?

A.$k = \dfrac{1}{2}$

B.$k = 15$

C.$k = 50$

D.$k = \dfrac{2}{1}$

Câu 18.Hai tam giác đồng dạng có hai cạnh tương ứng lần lượt là $3$ và $9$. Tỉ số đồng dạng $k$ (tỉ số cạnh tam giác đầu trên tam giác thứ hai) bằng?

A.$k = 12$

B.$k = 27$

C.$k = \dfrac{3}{1}$

D.$k = \dfrac{1}{3}$

7. Cho hai tam giác vuông cụ thể với 1 cặp góc nhọn bằng nhau — g.gĐúng / Sai`cases_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hai tam giác vuông $\Delta ABC$ (vuông tại $A$) và $\Delta A'B'C'$ (vuông tại $A'$) thoả $\widehat{B} = \widehat{B'} = 60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ đều có một góc vuông nên có $\widehat{A} = \widehat{A'} = 90^\circ$.

b)Hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau thì luôn bằng nhau.

c)$\widehat{C} = \widehat{C'} = 30^\circ$.

d)Hai tam giác có thêm $\widehat{B} = \widehat{B'} = 60^\circ$ nên có ít nhất 2 cặp góc bằng nhau.

Câu 20.Cho hai tam giác vuông $\Delta ABC$ (vuông tại $A$) và $\Delta A'B'C'$ (vuông tại $A'$) thoả $\widehat{B} = \widehat{B'} = 30^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau thì luôn bằng nhau.

b)Hai tam giác có thêm $\widehat{B} = \widehat{B'} = 30^\circ$ nên có ít nhất 2 cặp góc bằng nhau.

c)Để chứng minh hai tam giác đồng dạng cần ít nhất $3$ dữ kiện về cạnh / góc.

d)Theo trường hợp đồng dạng góc-góc (g.g), $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$.

Câu 21.Cho hai tam giác vuông $\Delta ABC$ (vuông tại $A$) và $\Delta A'B'C'$ (vuông tại $A'$) thoả $\widehat{B} = \widehat{B'} = 30^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Để chứng minh hai tam giác đồng dạng cần ít nhất $3$ dữ kiện về cạnh / góc.

b)Hai tam giác có ba cặp góc bằng nhau thì luôn bằng nhau.

c)$\widehat{C} = \widehat{C'} = 60^\circ$.

d)Hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng.

8. Cho 2 tam giác cụ thể: 3 cặp cạnh tỉ lệ — c.c.cĐúng / Sai`similarity_cases_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho $\Delta ABC$ có $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 5$ và $\Delta A'B'C'$ có $A'B' = 8$, $B'C' = 12$, $C'A' = 10$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trường hợp (c.g.g) — hai cặp cạnh tỉ lệ và một cặp góc bằng nhau (góc không xen giữa) — luôn cho hai tam giác đồng dạng.

b)Theo trường hợp đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$.

c)Hai tam giác này có cùng diện tích.

d)Tỉ số đồng dạng của $\Delta A'B'C'$ với $\Delta ABC$ bằng $2$.

Câu 23.Cho $\Delta ABC$ có $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 5$ và $\Delta A'B'C'$ có $A'B' = 12$, $B'C' = 18$, $C'A' = 15$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trường hợp đồng dạng (c.c.c) phát biểu: nếu ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì hai tam giác đồng dạng.

b)Theo trường hợp đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$.

c)Tỉ số đồng dạng của $\Delta A'B'C'$ với $\Delta ABC$ bằng $3$.

d)Trường hợp (c.g.g) — hai cặp cạnh tỉ lệ và một cặp góc bằng nhau (góc không xen giữa) — luôn cho hai tam giác đồng dạng.

Câu 24.Cho $\Delta ABC$ có $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 5$ và $\Delta A'B'C'$ có $A'B' = 12$, $B'C' = 18$, $C'A' = 15$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hai tam giác này có cùng diện tích.

b)Tỉ số đồng dạng của $\Delta A'B'C'$ với $\Delta ABC$ bằng $3$.

c)Trường hợp (c.g.g) — hai cặp cạnh tỉ lệ và một cặp góc bằng nhau (góc không xen giữa) — luôn cho hai tam giác đồng dạng.

d)Hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{C'A'}{CA} = 3$.

9. Tam giác đồng dạng — cạnh còn lại tam giác nhỏ (số thập phân)Trả lời ngắn`find_third_side_via_ratio`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tam giác lớn ba cạnh $8$, $7$, $6$ (đồng dạng tỉ số $2:2$ với tam giác nhỏ). Tam giác nhỏ có 2 cạnh $8$, $7$. Tính cạnh còn lại của tam giác nhỏ.

Câu 26.Tam giác lớn ba cạnh $8$, $8$, $10$ (đồng dạng tỉ số $2:1$ với tam giác nhỏ). Tam giác nhỏ có 2 cạnh $4$, $4$. Tính cạnh còn lại của tam giác nhỏ.

Câu 27.Tam giác lớn ba cạnh $21$, $12$, $18$ (đồng dạng tỉ số $3:1$ với tam giác nhỏ). Tam giác nhỏ có 2 cạnh $7$, $6$. Tính cạnh còn lại của tam giác nhỏ.

10. Tỉ số chu vi $= k$Trả lời ngắn`similarity_ratio_perimeter`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Đồng dạng tỉ số $2:1$. Tam giác nhỏ chu vi $24$ cm. Chu vi tam giác lớn (cm)?

Câu 29.Đồng dạng tỉ số $3:2$. Tam giác nhỏ chu vi $24$ cm. Chu vi tam giác lớn (cm)?

Câu 30.Đồng dạng tỉ số $3:2$. Tam giác nhỏ chu vi $12$ cm. Chu vi tam giác lớn (cm)?

Công thức

§1. Định lý(3)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tỉ số diện tích = bình phương tỉ số đồng dạngTrắc nghiệmarea_ratio_squared(3 câu)

2. Vận dụng: dùng trường hợp c-g-c (góc chung) tính cạnh $MN$Trắc nghiệmcgc_common_angle_find_side(3 câu)

3. Cho 2 bộ 3 cạnh, kiểm tra 2 tam giác có đồng dạng không (qua c-c-c)Trắc nghiệmcheck_two_triangles_similar(3 câu)

4. Cho phát biểu, chọn tên trường hợp đồng dạng tương ứngTrắc nghiệmidentify_similarity_case(3 câu)

5. Vận dụng cao: cho 3 cạnh △ nhỏ + 1 cạnh tương ứng △ lớn, tính 2 cạnh còn lại của △ lớnTrắc nghiệmsimilar_triangle_remaining_sides(3 câu)

6. Tỉ số đồng dạng $k = a/a'$Trắc nghiệmsimilarity_ratio_value(3 câu)

7. Cho hai tam giác vuông cụ thể với 1 cặp góc nhọn bằng nhau — g.gĐúng / Saicases_facts2(3 câu)

8. Cho 2 tam giác cụ thể: 3 cặp cạnh tỉ lệ — c.c.cĐúng / Saisimilarity_cases_facts(3 câu)

9. Tam giác đồng dạng — cạnh còn lại tam giác nhỏ (số thập phân)Trả lời ngắnfind_third_side_via_ratio(3 câu)

10. Tỉ số chu vi $= k$Trả lời ngắnsimilarity_ratio_perimeter(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tỉ số diện tích = bình phương tỉ số đồng dạngTrắc nghiệm`area_ratio_squared`(3 câu)

2. Vận dụng: dùng trường hợp c-g-c (góc chung) tính cạnh $MN$Trắc nghiệm`cgc_common_angle_find_side`(3 câu)

3. Cho 2 bộ 3 cạnh, kiểm tra 2 tam giác có đồng dạng không (qua c-c-c)Trắc nghiệm`check_two_triangles_similar`(3 câu)

4. Cho phát biểu, chọn tên trường hợp đồng dạng tương ứngTrắc nghiệm`identify_similarity_case`(3 câu)

5. Vận dụng cao: cho 3 cạnh △ nhỏ + 1 cạnh tương ứng △ lớn, tính 2 cạnh còn lại của △ lớnTrắc nghiệm`similar_triangle_remaining_sides`(3 câu)

6. Tỉ số đồng dạng $k = a/a'$Trắc nghiệm`similarity_ratio_value`(3 câu)

7. Cho hai tam giác vuông cụ thể với 1 cặp góc nhọn bằng nhau — g.gĐúng / Sai`cases_facts2`(3 câu)

8. Cho 2 tam giác cụ thể: 3 cặp cạnh tỉ lệ — c.c.cĐúng / Sai`similarity_cases_facts`(3 câu)

9. Tam giác đồng dạng — cạnh còn lại tam giác nhỏ (số thập phân)Trả lời ngắn`find_third_side_via_ratio`(3 câu)

10. Tỉ số chu vi $= k$Trả lời ngắn`similarity_ratio_perimeter`(3 câu)