Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

Đường cao trong tam giác vuông

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$\triangle AHB \sim \triangle CAB$ (g-g, chung $\widehat{B}$).
$\triangle AHC \sim \triangle BAC$ (g-g, chung $\widehat{C}$).
$\triangle AHB \sim \triangle CHA$.

Hệ quả (hệ thức lượng): $AB^2 = BH \cdot BC$, $AC^2 = CH \cdot CB$, $AH^2 = BH \cdot CH$, $AH \cdot BC = AB \cdot AC$.

§2. Phương pháp(2)

2.1

Đo đạc chiều cao gián tiếp

Đo chiều cao vật cao (cây, nhà, núi) bằng tam giác đồng dạng: Bước 1. Lập 2 tam giác đồng dạng (vd: cây thẳng đứng + cọc thẳng đứng cùng có bóng). Bước 2. Áp dụng tỉ số đồng dạng: $\dfrac{\text{chiều cao cây}}{\text{chiều cao cọc}} = \dfrac{\text{bóng cây}}{\text{bóng cọc}}$. Bước 3. Giải tìm chiều cao cây. Vd: cọc 1m có bóng 0.8m, bóng cây 4m → chiều cao cây = $\dfrac{1 \cdot 4}{0.8} = 5$ m.

2.2

Chứng minh đẳng thức dạng tích / tỉ số

Để chứng minh $AB \cdot CD = EF \cdot GH$ hoặc $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{EF}{GH}$: Bước 1. Đưa về dạng tỉ số: $\dfrac{AB}{EF} = \dfrac{GH}{CD}$. Bước 2. Tìm 2 tam giác chứa các cạnh này → chứng minh đồng dạng. Bước 3. Suy ra tỉ số tương ứng = đẳng thức cần. Mẹo: nhận dạng 2 tam giác có cùng góc / có đường thẳng song song.

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: dùng đường song song để tạo tam giác đồng dạng

Khi đề có $MN \parallel BC$ trong tam giác $ABC$: → Lập tức có $\triangle AMN \sim \triangle ABC$ (g-g, vì các góc bằng nhau do song song). → Áp dụng tỉ số đồng dạng = tỉ số Thales. Đây là kỹ thuật phổ biến nhất trong bài toán hình học có đường song song.

Bài tập

1. Ứng dụng tam giác đồng dạng: tính chiều cao của vật qua bóngTrắc nghiệm`height_via_shadow`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Một cây cọc cao $2$ m có bóng dài $2$ m. Cùng lúc đó, một cái cây có bóng dài $8$ m. Hỏi cây cao bao nhiêu mét?

A.$h = 7\text{ m}$

B.$h = 8\text{ m}$

C.$h = 9\text{ m}$

D.$h = 10\text{ m}$

Câu 2.Một cây cọc cao $1$ m có bóng dài $3$ m. Cùng lúc đó, một cái cây có bóng dài $12$ m. Hỏi cây cao bao nhiêu mét?

A.$h = 4\text{ m}$

B.$h = 36\text{ m}$

C.$h = 5\text{ m}$

D.$h = 13\text{ m}$

Câu 3.Một cây cọc cao $2$ m có bóng dài $2$ m. Cùng lúc đó, một cái cây có bóng dài $16$ m. Hỏi cây cao bao nhiêu mét?

A.$h = 17\text{ m}$

B.$h = 18\text{ m}$

C.$h = 16\text{ m}$

D.$h = 15\text{ m}$

2. Bản đồ tỉ lệ $1 : N$Trắc nghiệm`map_distance`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 4.Trên bản đồ tỉ lệ $1:10000$, khoảng cách giữa hai địa điểm là $20$ cm. Tính khoảng cách thực tế (theo km).

A.$20\text{ km}$

B.$10000\text{ km}$

C.$0.2\text{ km}$

D.$2\text{ km}$

Câu 5.Trên bản đồ tỉ lệ $1:100000$, khoảng cách giữa hai địa điểm là $4$ cm. Tính khoảng cách thực tế (theo km).

A.$100000\text{ km}$

B.$0.4\text{ km}$

C.$4\text{ km}$

D.$40\text{ km}$

Câu 6.Trên bản đồ tỉ lệ $1:25000$, khoảng cách giữa hai địa điểm là $14$ cm. Tính khoảng cách thực tế (theo km).

A.$14\text{ km}$

B.$0.35\text{ km}$

C.$3.5\text{ km}$

D.$35\text{ km}$

3. Bản đồ tỉ lệ $1:k$ với một đoạn cụ thể — kiểm tra cách quy đổiĐúng / Sai`app_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 7.Trên một bản đồ có tỉ lệ $1:100$, một đoạn đường dài $8$ cm. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trên bản đồ tỉ lệ $1:100$, $1$ cm trên bản đồ tương ứng với $100$ cm thực tế.

b)Bản đồ và thực địa là hai hình đồng dạng.

c)Bản đồ tỉ lệ $1:100$ (tỉ lệ lớn) thể hiện chi tiết hơn bản đồ tỉ lệ $1:1\,000\,000$.

d)Trên bản đồ tỉ lệ $1:1000$, đoạn dài $5$ cm tương ứng với $5$ km thực tế.

Câu 8.Trên một bản đồ có tỉ lệ $1:100$, một đoạn đường dài $10$ cm. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Khi tỉ lệ là $1:k$ thì hệ số đồng dạng giữa thực địa và bản đồ là $k$.

b)Bản đồ và thực địa là hai hình đồng dạng.

c)Bản đồ tỉ lệ $1:100$ (tỉ lệ lớn) thể hiện chi tiết hơn bản đồ tỉ lệ $1:1\,000\,000$.

d)Trên bản đồ tỉ lệ $1:1000$, đoạn dài $5$ cm tương ứng với $5$ km thực tế.

Câu 9.Trên một bản đồ có tỉ lệ $1:1000$, một đoạn đường dài $10$ cm. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$10$ cm trên bản đồ tương ứng với $10000$ cm thực tế.

b)Trên bản đồ tỉ lệ $1:1000$, đoạn dài $5$ cm tương ứng với $5$ km thực tế.

c)Trên bản đồ tỉ lệ $1:1000$, $1$ cm trên bản đồ tương ứng với $1000$ cm thực tế.

d)Bản đồ và thực địa là hai hình đồng dạng.

4. Đo chiều cao cây bằng bóng nắng — cho chiều cao cọc, bóng cọc, bóng cây và yêu cầu tính chiều cao câyĐúng / Sai`similar_application_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Để đo chiều cao một cây trong sân trường, một bạn cắm vuông góc một cọc cao $2$ m và đo được bóng cọc dài $3$ m, trong khi bóng cây dài $6$ m. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Chiều cao cây bằng $4$ m.

b)Có thể dùng tam giác đồng dạng để đo gián tiếp chiều cao một vật khó tiếp cận.

c)Tam giác đồng dạng chỉ có ý nghĩa lý thuyết, không có ứng dụng thực tế.

d)$\dfrac{h_{\text{cây}}}{h_{\text{cọc}}} = \dfrac{\text{bóng cây}}{\text{bóng cọc}} = \dfrac{6}{3}$.

Câu 11.Để đo chiều cao một cây trong sân trường, một bạn cắm vuông góc một cọc cao $2$ m và đo được bóng cọc dài $2$ m, trong khi bóng cây dài $10$ m. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trong cùng thời điểm và cùng vị trí, tỉ số chiều cao trên bóng luôn không đổi.

b)Hai tam giác tạo bởi tia nắng (qua đỉnh cọc/đỉnh cây) là hai tam giác đồng dạng.

c)Phương pháp này cần đo được tối thiểu $3$ đoạn thẳng (chiều cao cọc, bóng cọc, bóng cây).

d)Tam giác đồng dạng chỉ có ý nghĩa lý thuyết, không có ứng dụng thực tế.

Câu 12.Để đo chiều cao một cây trong sân trường, một bạn cắm vuông góc một cọc cao $2$ m và đo được bóng cọc dài $2$ m, trong khi bóng cây dài $4$ m. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Chiều cao cây bằng $6$ m.

b)Chiều cao cây bằng $4$ m.

c)$\dfrac{h_{\text{cây}}}{h_{\text{cọc}}} = \dfrac{\text{bóng cây}}{\text{bóng cọc}} = \dfrac{4}{2}$.

d)Có thể dùng tam giác đồng dạng để đo gián tiếp chiều cao một vật khó tiếp cận.

5. Trên bản đồ tỉ lệ $1:k$, đoạn dài $L$ cmTrả lời ngắn`map_real_distance_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Trên một bản đồ tỉ lệ $1:25000$, một đoạn đường dài $14$ cm. Tính khoảng cách thật của đoạn đường đó (theo mét).

Câu 14.Trên một bản đồ tỉ lệ $1:1000$, một đoạn đường dài $14$ cm. Tính khoảng cách thật của đoạn đường đó (theo mét).

Câu 15.Trên một bản đồ tỉ lệ $1:25000$, một đoạn đường dài $11$ cm. Tính khoảng cách thật của đoạn đường đó (theo mét).

6. VDC đo chiều cao gián tiếp bằng gương phẳng (đồng dạng)Trả lời ngắn`mirror_building_height_measurement`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 16.Để đo chiều cao của một tòa nhà mà không phải leo lên, bạn An sử dụng một chiếc gương phẳng nằm trên mặt đất tại điểm $M$ (giữa chân tòa nhà và bạn An, ba điểm thẳng hàng). Bạn An đứng cách gương $M$ một đoạn $MA = 1$ m sao cho nhìn thấy ảnh của đỉnh tòa nhà đúng tại tâm gương. Biết khoảng cách từ mắt bạn An đến mặt đất là $h = 1,5$ m (bạn An đứng thẳng) và chân tòa nhà cách gương $MB = 10$ m. Áp dụng định luật phản xạ ánh sáng và tính chất tam giác đồng dạng, hãy tính chiều cao tòa nhà $H$ (đơn vị: mét).

Câu 17.Để đo chiều cao của một tòa nhà mà không phải leo lên, bạn An sử dụng một chiếc gương phẳng nằm trên mặt đất tại điểm $M$ (giữa chân tòa nhà và bạn An, ba điểm thẳng hàng). Bạn An đứng cách gương $M$ một đoạn $MA = 2$ m sao cho nhìn thấy ảnh của đỉnh tòa nhà đúng tại tâm gương. Biết khoảng cách từ mắt bạn An đến mặt đất là $h = 1,4$ m (bạn An đứng thẳng) và chân tòa nhà cách gương $MB = 15$ m. Áp dụng định luật phản xạ ánh sáng và tính chất tam giác đồng dạng, hãy tính chiều cao tòa nhà $H$ (đơn vị: mét). (Làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 18.Để đo chiều cao của một tòa nhà mà không phải leo lên, bạn An sử dụng một chiếc gương phẳng nằm trên mặt đất tại điểm $M$ (giữa chân tòa nhà và bạn An, ba điểm thẳng hàng). Bạn An đứng cách gương $M$ một đoạn $MA = 1$ m sao cho nhìn thấy ảnh của đỉnh tòa nhà đúng tại tâm gương. Biết khoảng cách từ mắt bạn An đến mặt đất là $h = 1,6$ m (bạn An đứng thẳng) và chân tòa nhà cách gương $MB = 5$ m. Áp dụng định luật phản xạ ánh sáng và tính chất tam giác đồng dạng, hãy tính chiều cao tòa nhà $H$ (đơn vị: mét).

7. Bóng nắng: cọc cao h, bóng b1; cây có bóng b2 → tính chiều cao câyTrả lời ngắn`shadow_height`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 19.Để đo chiều cao cây, người ta đặt một cọc cao $1.5$ m thẳng đứng. Bóng của cọc dài $5$ m, bóng của cây dài $40$ m (tại cùng thời điểm). Tính chiều cao của cây (theo m, không kèm đơn vị).

Câu 20.Để đo chiều cao cây, người ta đặt một cọc cao $1.5$ m thẳng đứng. Bóng của cọc dài $2$ m, bóng của cây dài $12$ m (tại cùng thời điểm). Tính chiều cao của cây (theo m, không kèm đơn vị).

Câu 21.Để đo chiều cao cây, người ta đặt một cọc cao $1$ m thẳng đứng. Bóng của cọc dài $2$ m, bóng của cây dài $8$ m (tại cùng thời điểm). Tính chiều cao của cây (theo m, không kèm đơn vị).

Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Phương pháp(2)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Ứng dụng tam giác đồng dạng: tính chiều cao của vật qua bóngTrắc nghiệmheight_via_shadow(3 câu)

2. Bản đồ tỉ lệ $1 : N$Trắc nghiệmmap_distance(3 câu)

3. Bản đồ tỉ lệ $1:k$ với một đoạn cụ thể — kiểm tra cách quy đổiĐúng / Saiapp_facts2(3 câu)

4. Đo chiều cao cây bằng bóng nắng — cho chiều cao cọc, bóng cọc, bóng cây và yêu cầu tính chiều cao câyĐúng / Saisimilar_application_facts(3 câu)

5. Trên bản đồ tỉ lệ $1:k$, đoạn dài $L$ cmTrả lời ngắnmap_real_distance_sa(3 câu)

6. VDC đo chiều cao gián tiếp bằng gương phẳng (đồng dạng)Trả lời ngắnmirror_building_height_measurement(3 câu)

7. Bóng nắng: cọc cao h, bóng b1; cây có bóng b2 → tính chiều cao câyTrả lời ngắnshadow_height(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Ứng dụng tam giác đồng dạng: tính chiều cao của vật qua bóngTrắc nghiệm`height_via_shadow`(3 câu)

2. Bản đồ tỉ lệ $1 : N$Trắc nghiệm`map_distance`(3 câu)

3. Bản đồ tỉ lệ $1:k$ với một đoạn cụ thể — kiểm tra cách quy đổiĐúng / Sai`app_facts2`(3 câu)

4. Đo chiều cao cây bằng bóng nắng — cho chiều cao cọc, bóng cọc, bóng cây và yêu cầu tính chiều cao câyĐúng / Sai`similar_application_facts`(3 câu)

5. Trên bản đồ tỉ lệ $1:k$, đoạn dài $L$ cmTrả lời ngắn`map_real_distance_sa`(3 câu)

6. VDC đo chiều cao gián tiếp bằng gương phẳng (đồng dạng)Trả lời ngắn`mirror_building_height_measurement`(3 câu)

7. Bóng nắng: cọc cao h, bóng b1; cây có bóng b2 → tính chiều cao câyTrả lời ngắn`shadow_height`(3 câu)