Định lí đảo và hệ quả của Thalès

Công thức

§1. Định lý(2)

1.1

Tính chất đường phân giác trong

Trong tam giác $ABC$, đường phân giác từ $A$ cắt $BC$ tại $D$: $$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}.$$ Đường phân giác chia cạnh đối diện thành 2 phần tỉ lệ với 2 cạnh kề.

1.2

Định lý đảo Thales

Nếu đường thẳng cắt 2 cạnh của 1 tam giác và định ra trên 2 cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. Cụ thể: cho tam giác $ABC$, $M \in AB, N \in AC$. Nếu $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$ thì $MN \parallel BC$.

§2. Công thức(1)

2.1

Đường phân giác ngoài

Đường phân giác ngoài tại $A$ cắt $BC$ kéo dài tại $E$: $$\dfrac{EB}{EC} = \dfrac{AB}{AC}.$$ (Cùng tỉ số nhưng chia ngoài đoạn $BC$.)

§3. Phương pháp(1)

3.1

Chứng minh đường thẳng song song

Bước 1. Xác định 2 cạnh tam giác có 2 điểm chia tỉ lệ. Bước 2. Tính 2 tỉ số. Bước 3. Nếu 2 tỉ số bằng nhau → dùng định lý đảo Thales → 2 đường song song. Mẹo: tỉ số có thể là $\dfrac{AM}{MB}$ hoặc $\dfrac{AM}{AB}$ — chọn loại nào tương ứng.

Bài tập

1. Cho 4 đoạn, kiểm tra DE có song song với BC theo định lí Thalès đảo khôngTrắc nghiệm`check_thales_converse`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Tam giác $ABC$ có $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$ với $AD = 6, DB = 4, AE = 8, EC = 7$. Hỏi $DE$ có song song với $BC$ không?

A.Không. $DE$ KHÔNG song song với $BC$.

B.Có. $DE \parallel BC$.

C.Không xác định được.

D.Tỉ lệ $\dfrac{AD}{DB} \neq \dfrac{AE}{EC}$ ⇒ song song.

Câu 2.Tam giác $ABC$ có $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$ với $AD = 6, DB = 2, AE = 2, EC = 6$. Hỏi $DE$ có song song với $BC$ không?

A.Tỉ lệ $\dfrac{AD}{DB} \neq \dfrac{AE}{EC}$ ⇒ song song.

B.Có. $DE \parallel BC$.

C.Không xác định được.

D.Không. $DE$ KHÔNG song song với $BC$.

Câu 3.Tam giác $ABC$ có $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$ với $AD = 4, DB = 8, AE = 8, EC = 16$. Hỏi $DE$ có song song với $BC$ không?

A.Không. $DE$ KHÔNG song song với $BC$.

B.Không xác định được.

C.Tỉ lệ $\dfrac{AD}{DB} \neq \dfrac{AE}{EC}$ ⇒ song song.

D.Có. $DE \parallel BC$.

2. Cho $AD, DB, AE$, tìm $EC$ để $DE \parallel BC$Trắc nghiệm`ec_for_de_parallel`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tam giác $ABC$ có $D \in AB, E \in AC$ với $AD = 4, DB = 16, AE = 8$. Tìm $EC$ để $DE \parallel BC$.

A.$EC = 32$

B.$EC = 31$

C.$EC = 33$

D.$EC = 128$

Câu 5.Tam giác $ABC$ có $D \in AB, E \in AC$ với $AD = 7, DB = 21, AE = 5$. Tìm $EC$ để $DE \parallel BC$.

A.$EC = 14$

B.$EC = 16$

C.$EC = 15$

D.$EC = 105$

Câu 6.Tam giác $ABC$ có $D \in AB, E \in AC$ với $AD = 4, DB = 12, AE = 3$. Tìm $EC$ để $DE \parallel BC$.

A.$EC = 36$

B.$EC = 9$

C.$EC = 10$

D.$EC = 8$

3. Vận dụng cao: tìm $x$ để $DE \parallel BC$ — giải phương trình từ Thales đảoTrắc nghiệm`thales_converse_find_unknown_for_parallel`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 7.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 8$, $AC = 20$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD = x$, $AE = x + 3$ (với $0 < x < 8$). Tìm $x$ để $DE \parallel BC$.

A.$AD = 2$

B.$AD = 1$

C.$AD = 3$

D.$AD = 6$

Câu 8.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 7$, $AC = 14$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD = x$, $AE = x + 3$ (với $0 < x < 7$). Tìm $x$ để $DE \parallel BC$.

A.$AD = 6$

B.$AD = 3$

C.$AD = 2$

D.$AD = 4$

Câu 9.Cho tam giác $ABC$ có $AB = 10$, $AC = 15$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD = x$, $AE = x + 2$ (với $0 < x < 10$). Tìm $x$ để $DE \parallel BC$.

A.$AD = 6$

B.$AD = 3$

C.$AD = 5$

D.$AD = 4$

4. Vận dụng: dùng Thales đảo chứng minh $DE \parallel BC$ rồi tính $DE$Trắc nghiệm`thales_converse_prove_then_length`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho tam giác $ABC$ có $BC = 16$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD = 5$, $DB = 3$, $AE = 10$, $EC = 6$. Tính độ dài đoạn $DE$.

A.$DE = 10$

B.$DE = 6$

C.$DE = 9$

D.$DE = 11$

Câu 11.Cho tam giác $ABC$ có $BC = 10$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD = 6$, $DB = 4$, $AE = 12$, $EC = 8$. Tính độ dài đoạn $DE$.

A.$DE = 7$

B.$DE = 6$

C.$DE = 4$

D.$DE = 5$

Câu 12.Cho tam giác $ABC$ có $BC = 14$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$, trên cạnh $AC$ lấy điểm $E$ sao cho $AD = 3$, $DB = 4$, $AE = 6$, $EC = 8$. Tính độ dài đoạn $DE$.

A.$DE = 8$

B.$DE = 6$

C.$DE = 5$

D.$DE = 7$

5. Phát biểu định lý Thales đảoTrắc nghiệm`thales_property_state`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì?

A.Đường thẳng đó trùng với cạnh còn lại

B.Đường thẳng đó vuông góc với cạnh còn lại

C.Đường thẳng đó song song với cạnh còn lại

D.$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$

Câu 14.Theo hệ quả định lý Thales, nếu $DE \parallel BC$ trong tam giác $ABC$ ($D \in AB$, $E \in AC$) thì?

A.Đường thẳng đó song song với cạnh còn lại

B.Đường thẳng đó vuông góc với cạnh còn lại

C.$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$

D.Đường thẳng đó trùng với cạnh còn lại

Câu 15.Theo hệ quả định lý Thales, nếu $DE \parallel BC$ trong tam giác $ABC$ ($D \in AB$, $E \in AC$) thì?

A.Đường thẳng đó song song với cạnh còn lại

B.$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$

C.Đường thẳng đó vuông góc với cạnh còn lại

D.Đường thẳng đó trùng với cạnh còn lại

6. Theo định lý Thales: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ → tính cạnhTrắc nghiệm`thales_proportion_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Tam giác $ABC$, $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$ với $DE \parallel BC$. Biết $AD = 4$, $DB = 8$, $AE = 5$. Tính $EC$.

A.$EC = 4$

B.$EC = 11$

C.$EC = 10$

D.$EC = 8$

Câu 17.Tam giác $ABC$, $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$ với $DE \parallel BC$. Biết $AD = 2$, $DB = 4$, $AE = 3$. Tính $EC$.

A.$EC = 2$

B.$EC = 4$

C.$EC = 6$

D.$EC = 7$

Câu 18.Tam giác $ABC$, $D$ trên $AB$, $E$ trên $AC$ với $DE \parallel BC$. Biết $AD = 4$, $DB = 8$, $AE = 5$. Tính $EC$.

A.$EC = 4$

B.$EC = 11$

C.$EC = 8$

D.$EC = 10$

7. Cho 4 đoạn $AM, MB, AN, NC$ cụ thể — kiểm tra Thales đảoĐúng / Sai`thales_converse_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho tam giác $ABC$ có $M \in AB$, $N \in AC$ với $AM = 2$, $MB = 5$, $AN = 2$, $NC = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{7}$.

b)Định lí Thales đảo dùng để CHỨNG MINH hai đường thẳng song song.

c)Để áp dụng định lí Thales đảo, chỉ cần một đoạn thẳng tỉ lệ là đủ.

d)$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Câu 20.Cho tam giác $ABC$ có $M \in AB$, $N \in AC$ với $AM = 3$, $MB = 4$, $AN = 3$, $NC = 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{AN}{NC} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4}$.

b)$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{7}$.

c)$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$ nên theo định lí Thales đảo, $MN \parallel BC$.

d)Định lí Thales đảo có thể dùng để tính độ dài đoạn thẳng.

Câu 21.Cho tam giác $ABC$ có $M \in AB$, $N \in AC$ với $AM = 6$, $MB = 9$, $AN = 4$, $NC = 6$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\dfrac{AN}{NC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

b)Định lí Thales đảo chỉ áp dụng cho tam giác vuông.

c)$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.

d)$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{2}{5}$.

8. Cho $AM, MB, NC$, tìm $AN$ để $MN \parallel BC$Trả lời ngắn`solve_for_unknown_segment_thales_converse`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho tam giác $ABC$, $M$ trên $AB$ với $AM = 5$, $MB = 5$. $N$ trên $AC$ với $NC = 9$. Tìm $AN$ để $MN \parallel BC$.

Câu 23.Cho tam giác $ABC$, $M$ trên $AB$ với $AM = 4$, $MB = 2$. $N$ trên $AC$ với $NC = 12$. Tìm $AN$ để $MN \parallel BC$.

Câu 24.Cho tam giác $ABC$, $M$ trên $AB$ với $AM = 3$, $MB = 3$. $N$ trên $AC$ với $NC = 12$. Tìm $AN$ để $MN \parallel BC$.

Công thức

§1. Định lý(2)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

Bài tập

1. Cho 4 đoạn, kiểm tra DE có song song với BC theo định lí Thalès đảo khôngTrắc nghiệmcheck_thales_converse(3 câu)

2. Cho $AD, DB, AE$, tìm $EC$ để $DE \parallel BC$Trắc nghiệmec_for_de_parallel(3 câu)

3. Vận dụng cao: tìm $x$ để $DE \parallel BC$ — giải phương trình từ Thales đảoTrắc nghiệmthales_converse_find_unknown_for_parallel(3 câu)

4. Vận dụng: dùng Thales đảo chứng minh $DE \parallel BC$ rồi tính $DE$Trắc nghiệmthales_converse_prove_then_length(3 câu)

5. Phát biểu định lý Thales đảoTrắc nghiệmthales_property_state(3 câu)

6. Theo định lý Thales: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ → tính cạnhTrắc nghiệmthales_proportion_value(3 câu)

7. Cho 4 đoạn $AM, MB, AN, NC$ cụ thể — kiểm tra Thales đảoĐúng / Saithales_converse_facts(3 câu)

8. Cho $AM, MB, NC$, tìm $AN$ để $MN \parallel BC$Trả lời ngắnsolve_for_unknown_segment_thales_converse(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Cho 4 đoạn, kiểm tra DE có song song với BC theo định lí Thalès đảo khôngTrắc nghiệm`check_thales_converse`(3 câu)

2. Cho $AD, DB, AE$, tìm $EC$ để $DE \parallel BC$Trắc nghiệm`ec_for_de_parallel`(3 câu)

3. Vận dụng cao: tìm $x$ để $DE \parallel BC$ — giải phương trình từ Thales đảoTrắc nghiệm`thales_converse_find_unknown_for_parallel`(3 câu)

4. Vận dụng: dùng Thales đảo chứng minh $DE \parallel BC$ rồi tính $DE$Trắc nghiệm`thales_converse_prove_then_length`(3 câu)

5. Phát biểu định lý Thales đảoTrắc nghiệm`thales_property_state`(3 câu)

6. Theo định lý Thales: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ → tính cạnhTrắc nghiệm`thales_proportion_value`(3 câu)

7. Cho 4 đoạn $AM, MB, AN, NC$ cụ thể — kiểm tra Thales đảoĐúng / Sai`thales_converse_facts`(3 câu)

8. Cho $AM, MB, NC$, tìm $AN$ để $MN \parallel BC$Trả lời ngắn`solve_for_unknown_segment_thales_converse`(3 câu)