Diện tích tam giác

Công thức

§1. Công thức(5)

1.1

Diện tích — đáy × chiều cao

$$S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h_c.$$ $h_a$ = chiều cao ứng với cạnh $a$, ...

1.2

Diện tích qua $R$ (bán kính ngoại tiếp)

$$S = \dfrac{a b c}{4 R}.$$ Có thể suy ngược: $R = \dfrac{a b c}{4 S}$.

1.3

Công thức Heron (3 cạnh)

Đặt nửa chu vi $p = \dfrac{a + b + c}{2}$: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}.$$ Dùng khi chỉ biết 3 cạnh.

1.4

Diện tích qua $r$ (bán kính nội tiếp)

$$S = p \cdot r,$$ với $p$ = nửa chu vi, $r$ = bán kính đường tròn nội tiếp. Suy ra: $r = \dfrac{S}{p}$.

1.5

Diện tích — 2 cạnh và góc xen giữa

$$S = \dfrac{1}{2} a b \sin C = \dfrac{1}{2} b c \sin A = \dfrac{1}{2} a c \sin B.$$ Áp dụng nhanh khi biết 2 cạnh + góc giữa.

§2. Phương pháp(1)

2.1

Chọn công thức phù hợp

Biết	Dùng
Đáy + chiều cao	$S = \dfrac{1}{2} a h_a$
2 cạnh + góc xen giữa	$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$
3 cạnh	Heron $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
3 cạnh + $R$	$S = \dfrac{abc}{4R}$
3 cạnh + $r$	$S = pr$

§3. Mẹo(1)

3.1

Mẹo: tính diện tích qua toạ độ

Cho $A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C)$: $$S = \dfrac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|.$$ → Không cần tính độ dài cạnh, chỉ cần toạ độ.

Bài tập

1. Tìm cạnh (định lí cosin) → diện tích → bán kính đường tròn NGOẠI tiếpTrắc nghiệm`area_then_circumradius_via_cosines`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Tam giác $ABC$ có $b = 8$, $c = 3$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính diện tích $S$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác.

A.$S = 6 \sqrt{3},\ R = \dfrac{7 \sqrt{3}}{3}$

B.$S = 6 \sqrt{3},\ R = \dfrac{28 \sqrt{3}}{3}$

C.$S = 6 \sqrt{3},\ R = \dfrac{7 \sqrt{3}}{6}$

D.$S = 12 \sqrt{3},\ R = \dfrac{7 \sqrt{3}}{3}$

Câu 2.Tam giác $ABC$ có $b = 7$, $c = 8$, $\widehat{A} = 120^\circ$. Tính diện tích $S$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác.

A.$S = 14 \sqrt{3},\ R = \dfrac{13 \sqrt{3}}{3}$

B.$S = 14 \sqrt{3},\ R = \dfrac{13 \sqrt{3}}{6}$

C.$S = 28 \sqrt{3},\ R = \dfrac{13 \sqrt{3}}{3}$

D.$S = 14 \sqrt{3},\ R = \dfrac{52 \sqrt{3}}{3}$

Câu 3.Tam giác $ABC$ có $b = 8$, $c = 3$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính diện tích $S$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác.

A.$S = 6 \sqrt{3},\ R = \dfrac{7 \sqrt{3}}{6}$

B.$S = 6 \sqrt{3},\ R = \dfrac{28 \sqrt{3}}{3}$

C.$S = 6 \sqrt{3},\ R = \dfrac{7 \sqrt{3}}{3}$

D.$S = 12 \sqrt{3},\ R = \dfrac{7 \sqrt{3}}{3}$

2. Tính diện tích tam giác biết 3 cạnh bằng công thức HeronTrắc nghiệm`area_triangle_heron`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $a = 6, b = 8, c = 10$. Tính diện tích tam giác.

A.$S = 12$

B.$S = 24$

C.$S = 48$

D.$S = 480$

Câu 5.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $a = 5, b = 5, c = 6$. Tính diện tích tam giác.

A.$S = 12$

B.$S = 8$

C.$S = 150$

D.$S = 24$

Câu 6.Tam giác $ABC$ có ba cạnh $a = 5, b = 5, c = 8$. Tính diện tích tam giác.

A.$S = 9$

B.$S = 200$

C.$S = 12$

D.$S = 24$

3. Diện tích tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$Trắc nghiệm`area_triangle_two_sides_angle`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tam giác $ABC$ có hai cạnh $b = 3, c = 8$ và góc $A = 45^\circ$. Tính diện tích tam giác.

Tam giác ABC: b=3, c=8, góc A=45°

A.$S = 6 \sqrt{2}$

B.$S = 12 \sqrt{2}$

C.$S = 24$

D.$S = 12$

Câu 8.Tam giác $ABC$ có hai cạnh $b = 7, c = 8$ và góc $A = 45^\circ$. Tính diện tích tam giác.

Tam giác ABC: b=7, c=8, góc A=45°

A.$S = 56$

B.$S = 14 \sqrt{2}$

C.$S = 28$

D.$S = 28 \sqrt{2}$

Câu 9.Tam giác $ABC$ có hai cạnh $b = 7, c = 3$ và góc $A = 45^\circ$. Tính diện tích tam giác.

Tam giác ABC: b=7, c=3, góc A=45°

A.$S = 21$

B.$S = \dfrac{21 \sqrt{2}}{2}$

C.$S = \dfrac{21 \sqrt{2}}{4}$

D.$S = \dfrac{21}{2}$

4. Quan sát tam giác trong hình với 2 cạnh và góc xen giữa được ghi, tính diện tíchTrắc nghiệm`area_triangle_two_sides_from_figure`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình với hai cạnh và góc xen giữa được ghi. Tính diện tích tam giác.

Tam giác ABC: b=4, c=10, góc A=60°

A.$S = 20$

B.$S = 10 \sqrt{3}$

C.$S = 20 \sqrt{3}$

D.$S = 40$

Câu 11.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình với hai cạnh và góc xen giữa được ghi. Tính diện tích tam giác.

Tam giác ABC: b=10, c=8, góc A=30°

A.$S = 80$

B.$S = 20$

C.$S = 40$

D.$S = 21$

Câu 12.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình với hai cạnh và góc xen giữa được ghi. Tính diện tích tam giác.

Tam giác ABC: b=8, c=4, góc A=30°

A.$S = 8$

B.$S = 32$

C.$S = 9$

D.$S = 16$

5. VD cao: tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác qua diện tích Heron và nửa chu vi: $r = S/p.$Trắc nghiệm`incircle_radius_via_heron`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho tam giác $ABC$ có $BC = a = 3$, $CA = b = 4$, $AB = c = 5$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác.

A.$r = 2$

B.$r = 1$

C.$r = 6$

D.$r = 3$

Câu 14.Cho tam giác $ABC$ có $BC = a = 9$, $CA = b = 40$, $AB = c = 41$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác.

A.$r = 4$

B.$r = 45$

C.$r = 180$

D.$r = \dfrac{45}{2}$

Câu 15.Cho tam giác $ABC$ có $BC = a = 8$, $CA = b = 15$, $AB = c = 17$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác.

A.$r = 20$

B.$r = 60$

C.$r = 3$

D.$r = 10$

6. Cho tam giác với 2 cạnh + góc xen giữa cụ thể — tính diện tíchĐúng / Sai`triangle_area_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $b = AC = 6$, $c = AB = 8$, $\widehat{A} = 90^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Diện tích $S = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 90^\circ = 24$.

b)$S = bc\sin A$ (không có hệ số $\dfrac{1}{2}$).

c)$S = pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp, $p$ là nửa chu vi.

d)$S = \dfrac{abc}{4R}$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Câu 17.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $b = AC = 4$, $c = AB = 6$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$S = \dfrac{abc}{4R}$ với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

b)$S = bc\sin A$ (không có hệ số $\dfrac{1}{2}$).

c)Diện tích $S = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{24\sqrt{3}}{4}$.

d)$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ là công thức tính diện tích theo hai cạnh và góc xen giữa.

Câu 18.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $b = AC = 6$, $c = AB = 8$, $\widehat{A} = 90^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$S = pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp, $p$ là nửa chu vi.

b)$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ là công thức tính diện tích theo hai cạnh và góc xen giữa.

c)Diện tích $S = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 90^\circ = 24$.

d)$S = bc\sin A$ (không có hệ số $\dfrac{1}{2}$).

7. Cho tam giác có 3 cạnh, tính bán kính đường tròn nội tiếp $r = S/p$Trả lời ngắn`area_inradius_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $BC = 8$, $CA = 15$, $AB = 17$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác với 3 cạnh 8, 15, 17 và đường tròn nội tiếp

Câu 20.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $BC = 5$, $CA = 12$, $AB = 13$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác với 3 cạnh 5, 12, 13 và đường tròn nội tiếp

Câu 21.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $BC = 7$, $CA = 24$, $AB = 25$. Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác với 3 cạnh 7, 24, 25 và đường tròn nội tiếp

8. Diện tích = $\dfrac{1}{2} bc \sin A$ (số thập phân)Trả lời ngắn`area_two_sides_angle`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho tam giác $ABC$ có hai cạnh $b = AC = 3$, $c = AB = 10$ và góc xen giữa $\widehat A = 30^\circ$. Tính diện tích tam giác $ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC, AB=10, AC=3, góc A=30°

Câu 23.Cho tam giác $ABC$ có hai cạnh $b = AC = 4$, $c = AB = 6$ và góc xen giữa $\widehat A = 30^\circ$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Tam giác ABC, AB=6, AC=4, góc A=30°

Câu 24.Cho tam giác $ABC$ có hai cạnh $b = AC = 4$, $c = AB = 4$ và góc xen giữa $\widehat A = 60^\circ$. Tính diện tích tam giác $ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC, AB=4, AC=4, góc A=60°

9. Diện tích tam giác theo Heron khi biết 3 cạnhTrả lời ngắn`heron_area_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $BC = 6$, $CA = 8$, $AB = 10$. Tính diện tích tam giác $ABC$ bằng công thức Heron.

Tam giác có ba cạnh 6, 8, 10

Câu 26.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $BC = 3$, $CA = 4$, $AB = 5$. Tính diện tích tam giác $ABC$ bằng công thức Heron.

Tam giác có ba cạnh 3, 4, 5

Câu 27.Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh $BC = 7$, $CA = 24$, $AB = 25$. Tính diện tích tam giác $ABC$ bằng công thức Heron.

Tam giác có ba cạnh 7, 24, 25

Công thức

§1. Công thức(5)

§2. Phương pháp(1)

§3. Mẹo(1)

Bài tập

1. Tìm cạnh (định lí cosin) → diện tích → bán kính đường tròn NGOẠI tiếpTrắc nghiệmarea_then_circumradius_via_cosines(3 câu)

2. Tính diện tích tam giác biết 3 cạnh bằng công thức HeronTrắc nghiệmarea_triangle_heron(3 câu)

3. Diện tích tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$Trắc nghiệmarea_triangle_two_sides_angle(3 câu)

4. Quan sát tam giác trong hình với 2 cạnh và góc xen giữa được ghi, tính diện tíchTrắc nghiệmarea_triangle_two_sides_from_figure(3 câu)

5. VD cao: tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác qua diện tích Heron và nửa chu vi: $r = S/p.$Trắc nghiệmincircle_radius_via_heron(3 câu)

6. Cho tam giác với 2 cạnh + góc xen giữa cụ thể — tính diện tíchĐúng / Saitriangle_area_facts(3 câu)

7. Cho tam giác có 3 cạnh, tính bán kính đường tròn nội tiếp $r = S/p$Trả lời ngắnarea_inradius_sa(3 câu)

8. Diện tích = $\dfrac{1}{2} bc \sin A$ (số thập phân)Trả lời ngắnarea_two_sides_angle(3 câu)

9. Diện tích tam giác theo Heron khi biết 3 cạnhTrả lời ngắnheron_area_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tìm cạnh (định lí cosin) → diện tích → bán kính đường tròn NGOẠI tiếpTrắc nghiệm`area_then_circumradius_via_cosines`(3 câu)

2. Tính diện tích tam giác biết 3 cạnh bằng công thức HeronTrắc nghiệm`area_triangle_heron`(3 câu)

3. Diện tích tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$Trắc nghiệm`area_triangle_two_sides_angle`(3 câu)

4. Quan sát tam giác trong hình với 2 cạnh và góc xen giữa được ghi, tính diện tíchTrắc nghiệm`area_triangle_two_sides_from_figure`(3 câu)

5. VD cao: tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác qua diện tích Heron và nửa chu vi: $r = S/p.$Trắc nghiệm`incircle_radius_via_heron`(3 câu)

6. Cho tam giác với 2 cạnh + góc xen giữa cụ thể — tính diện tíchĐúng / Sai`triangle_area_facts`(3 câu)

7. Cho tam giác có 3 cạnh, tính bán kính đường tròn nội tiếp $r = S/p$Trả lời ngắn`area_inradius_sa`(3 câu)

8. Diện tích = $\dfrac{1}{2} bc \sin A$ (số thập phân)Trả lời ngắn`area_two_sides_angle`(3 câu)

9. Diện tích tam giác theo Heron khi biết 3 cạnhTrả lời ngắn`heron_area_sa`(3 câu)