Định lí cosin

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

Định lý côsin

Trong tam giác $ABC$ với $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos A.$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos B.$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos C.$$ Trường hợp đặc biệt: $A = 90°$ → $\cos A = 0$ → $a^2 = b^2 + c^2$ (Pythagore).

§2. Công thức(1)

2.1

Hệ quả — tính cos góc

$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c}.$$ $$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2 a c}.$$ $$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a b}.$$

§3. Phương pháp(1)

3.1

Khi nào dùng định lý côsin

Dùng khi:

Biết 3 cạnh → tính các góc qua công thức cos.
Biết 2 cạnh và góc xen giữa → tính cạnh thứ 3.
Khi định lý sin không áp dụng (vì không có cặp cạnh-góc đối diện đã biết đủ).

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: dấu của cos quyết định góc nhọn / tù

Từ $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2 b c}$:

$\cos A > 0 \Leftrightarrow b^2 + c^2 > a^2$: góc $A$ nhọn.
$\cos A = 0 \Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$: góc $A$ = $90°$ (Pythagore).
$\cos A < 0 \Leftrightarrow b^2 + c^2 < a^2$: góc $A$ tù.

→ Chỉ cần so $a^2$ với $b^2 + c^2$ là biết tính chất góc.

Bài tập

1. Định lí cosin với $A = 90°$ thoái hóa thành Pytago: $a^2 = b^2 + c^2$Trắc nghiệm`cosine_right_angle_pythagoras`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Tam giác $ABC$ có $b = 9$, $c = 12$, $\widehat{A} = 90^\circ$. Tính $a$ (cạnh đối diện $\widehat{A}$).

A.$a = 3$

B.$a = 16$

C.$a = 21$

D.$a = 15$

Câu 2.Tam giác $ABC$ có $b = 6$, $c = 8$, $\widehat{A} = 90^\circ$. Tính $a$ (cạnh đối diện $\widehat{A}$).

A.$a = 2$

B.$a = 10$

C.$a = 14$

D.$a = 11$

Câu 3.Tam giác $ABC$ có $b = 6$, $c = 8$, $\widehat{A} = 90^\circ$. Tính $a$ (cạnh đối diện $\widehat{A}$).

A.$a = 11$

B.$a = 14$

C.$a = 10$

D.$a = 2$

2. Áp dụng định lí cosin với góc đặc biệt $A = 60°$ → $a^2 = b^2 + c^2 - bc$Trắc nghiệm`cosine_special_angle`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tam giác $ABC$ có $b = 7$, $c = 8$, $\widehat{A} = 120^\circ$. Tính $a$.

A.$a = 13$

B.$a = 12$

C.$a = 14$

D.$a = 15$

Câu 5.Tam giác $ABC$ có $b = 3$, $c = 8$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính $a$.

A.$a = 11$

B.$a = 8$

C.$a = 7$

D.$a = 6$

Câu 6.Tam giác $ABC$ có $b = 5$, $c = 8$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Tính $a$.

A.$a = 6$

B.$a = 13$

C.$a = 8$

D.$a = 7$

3. Biết 3 cạnh, tính số đo góc bằng hệ quả định lí cosinTrắc nghiệm`find_angle_from_three_sides`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 5, c = 8$. Tính số đo góc $\widehat{A}$.

A.$\widehat{A} = 60^\circ$

B.$\widehat{A} = 120^\circ$

C.$\widehat{A} = 90^\circ$

D.$\widehat{A} = 30^\circ$

Câu 8.Tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 5, c = 8$. Tính số đo góc $\widehat{A}$.

A.$\widehat{A} = 30^\circ$

B.$\widehat{A} = 120^\circ$

C.$\widehat{A} = 60^\circ$

D.$\widehat{A} = 90^\circ$

Câu 9.Tam giác $ABC$ có $a = 7, b = 3, c = 5$. Tính số đo góc $\widehat{A}$.

A.$\widehat{A} = 90^\circ$

B.$\widehat{A} = 30^\circ$

C.$\widehat{A} = 60^\circ$

D.$\widehat{A} = 120^\circ$

4. Cho hai cạnh và góc xen giữa, tìm cạnh thứ ba bằng định lí cosinTrắc nghiệm`find_third_side_law_cosines`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tam giác $ABC$ có $b = 5, c = 8$, góc $A = 120°$. Tính cạnh $a$ (với $a$ đối diện góc $A$).

A.$a = \sqrt{89}$

B.$a = 13$

C.$a = \sqrt{129}$

D.$a = \sqrt{169}$

Câu 11.Tam giác $ABC$ có $b = 3, c = 4$, góc $A = 90°$. Tính cạnh $a$ (với $a$ đối diện góc $A$).

A.$a = \sqrt{25}$

B.$a = 7$

C.$a = 5$

D.$a = \sqrt{37}$

Câu 12.Tam giác $ABC$ có $b = 5, c = 7$, góc $A = 60°$. Tính cạnh $a$ (với $a$ đối diện góc $A$).

A.$a = 2$

B.$a = \sqrt{74}$

C.$a = 12$

D.$a = \sqrt{39}$

5. VD cao: tính cạnh $a$ và diện tích với góc $60°$ hoặc $120°$Trắc nghiệm`law_of_cosines_with_area_special_angle`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 13.Cho tam giác $ABC$ với $b = 3$, $c = 8$ và $\widehat{A} = 120^\circ.$ Tính cạnh $a$ và diện tích tam giác.

A.$a = \sqrt{97},\ S = 12$

B.$a = \sqrt{73},\ S = 6 \sqrt{3}$

C.$a = \sqrt{97},\ S = 6 \sqrt{3}$

D.$a = 5,\ S = 6 \sqrt{3}$

Câu 14.Cho tam giác $ABC$ với $b = 3$, $c = 5$ và $\widehat{A} = 120^\circ.$ Tính cạnh $a$ và diện tích tam giác.

A.$a = 2,\ S = \dfrac{15 \sqrt{3}}{4}$

B.$a = 7,\ S = \dfrac{15 \sqrt{3}}{4}$

C.$a = \sqrt{34},\ S = \dfrac{15 \sqrt{3}}{4}$

D.$a = 7,\ S = \dfrac{15}{2}$

Câu 15.Cho tam giác $ABC$ với $b = 5$, $c = 8$ và $\widehat{A} = 120^\circ.$ Tính cạnh $a$ và diện tích tam giác.

A.$a = \sqrt{129},\ S = 20$

B.$a = \sqrt{89},\ S = 10 \sqrt{3}$

C.$a = \sqrt{129},\ S = 10 \sqrt{3}$

D.$a = 3,\ S = 10 \sqrt{3}$

6. Tìm cạnh thứ ba (định lí cosin) rồi tính ĐỘ DÀI TRUNG TUYẾNTrắc nghiệm`solve_triangle_cosines_median`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Tam giác $ABC$ có $b = 3$, $c = 5$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Tính độ dài trung tuyến $AM = m_a$.

A.$m_a = \dfrac{7}{2}$

B.$m_a = \dfrac{\sqrt{87}}{2}$

C.$m_a = 7$

D.$m_a = \dfrac{\sqrt{19}}{2}$

Câu 17.Tam giác $ABC$ có $b = 3$, $c = 5$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Tính độ dài trung tuyến $AM = m_a$.

A.$m_a = \dfrac{\sqrt{87}}{2}$

B.$m_a = \dfrac{7}{2}$

C.$m_a = \dfrac{\sqrt{19}}{2}$

D.$m_a = 7$

Câu 18.Tam giác $ABC$ có $b = 3$, $c = 5$, $\widehat{A} = 60^\circ$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Tính độ dài trung tuyến $AM = m_a$.

A.$m_a = \dfrac{\sqrt{87}}{2}$

B.$m_a = 7$

C.$m_a = \dfrac{\sqrt{19}}{2}$

D.$m_a = \dfrac{7}{2}$

7. Quan sát tam giác trong hình với 2 cạnh và góc xen giữa được ghi, tính cạnh thứ ba bằng định lí cosinTrắc nghiệm`solve_triangle_from_figure_cosines`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình với hai cạnh và góc xen giữa được ghi. Tính độ dài cạnh $a$ (đối diện góc $A$).

Tam giác ABC với b=5, c=8, góc A = 120°

A.$a = \sqrt{129}$

B.$a = 13$

C.$a = 3$

D.$a = \sqrt{89}$

Câu 20.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình với hai cạnh và góc xen giữa được ghi. Tính độ dài cạnh $a$ (đối diện góc $A$).

Tam giác ABC với b=8, c=15, góc A = 90°

A.$a = \sqrt{289}$

B.$a = 7$

C.$a = 23$

D.$a = 17$

Câu 21.Quan sát tam giác $ABC$ trong hình với hai cạnh và góc xen giữa được ghi. Tính độ dài cạnh $a$ (đối diện góc $A$).

Tam giác ABC với b=3, c=5, góc A = 60°

A.$a = 2$

B.$a = 8$

C.$a = \sqrt{19}$

D.$a = \sqrt{34}$

8. Cho tam giác với 2 cạnh + góc xen giữa cụ thể — áp dụng định lí cosinĐúng / Sai`law_cosines_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $b = AC = 4$, $c = AB = 5$ và $\widehat{A} = 60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trong tam giác, $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos A$.

b)Khi $A = 90^\circ$ thì $a^2 = b^2 + c^2$ (Pytago).

c)Áp dụng định lí cosin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = 21$.

d)Định lí cosin chỉ áp dụng cho tam giác vuông.

Câu 23.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $b = AC = 4$, $c = AB = 6$ và $\widehat{A} = 120^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trong tam giác, $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos A$.

b)Hệ quả: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

c)Định lí cosin chỉ áp dụng cho tam giác vuông.

d)$a = \sqrt{76}$.

Câu 24.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $b = AC = 5$, $c = AB = 7$ và $\widehat{A} = 120^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Định lí cosin chỉ áp dụng cho tam giác vuông.

b)$a = \sqrt{109}$.

c)Khi $A = 90^\circ$ thì $a^2 = b^2 + c^2$ (Pytago).

d)Hệ quả: $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

9. Cho tam giác có 3 cạnh, tính $\cos A$ từ định lí cosin (số thập phân)Trả lời ngắn`cos_angle_three_sides_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 10$, $b = CA = 7$, $c = AB = 12$. Tính $\cos A$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC với cạnh 10, 7, 12, tìm cosA

Câu 26.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 6$, $b = CA = 6$, $c = AB = 8$. Tính $\cos A$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC với cạnh 6, 6, 8, tìm cosA

Câu 27.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 7$, $b = CA = 12$, $c = AB = 10$. Tính $\cos A$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC với cạnh 7, 12, 10, tìm cosA

10. Cho 2 cạnh và góc xen giữa, tính cạnh đối diện (số thập phân)Trả lời ngắn`find_third_side_via_cosine`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho tam giác $ABC$ có $b = AC = 7$, $c = AB = 8$ và $\widehat A = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $a = BC$ (đối diện $\widehat A$). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC, AB=8, AC=7, góc A=60°, BC cần tìm

Câu 29.Cho tam giác $ABC$ có $b = AC = 3$, $c = AB = 5$ và $\widehat A = 60^\circ$. Tính độ dài cạnh $a = BC$ (đối diện $\widehat A$). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC, AB=5, AC=3, góc A=60°, BC cần tìm

Câu 30.Cho tam giác $ABC$ có $b = AC = 5$, $c = AB = 7$ và $\widehat A = 30^\circ$. Tính độ dài cạnh $a = BC$ (đối diện $\widehat A$). (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC, AB=7, AC=5, góc A=30°, BC cần tìm

11. Cho 3 cạnh, tính số đo góc lớn nhất (đối diện cạnh lớn nhất, làm tròn độ)Trả lời ngắn`largest_angle_three_sides_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho tam giác có ba cạnh $7, 9, 12$. Tính số đo (theo độ, làm tròn đến độ) của góc lớn nhất trong tam giác. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Tam giác với cạnh 12 (lớn nhất), 9, 7

Câu 32.Cho tam giác có ba cạnh $5, 7, 9$. Tính số đo (theo độ, làm tròn đến độ) của góc lớn nhất trong tam giác. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Tam giác với cạnh 9 (lớn nhất), 7, 5

Câu 33.Cho tam giác có ba cạnh $4, 6, 8$. Tính số đo (theo độ, làm tròn đến độ) của góc lớn nhất trong tam giác. (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Tam giác với cạnh 8 (lớn nhất), 6, 4

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Định lí cosin với $A = 90°$ thoái hóa thành Pytago: $a^2 = b^2 + c^2$Trắc nghiệmcosine_right_angle_pythagoras(3 câu)

2. Áp dụng định lí cosin với góc đặc biệt $A = 60°$ → $a^2 = b^2 + c^2 - bc$Trắc nghiệmcosine_special_angle(3 câu)

3. Biết 3 cạnh, tính số đo góc bằng hệ quả định lí cosinTrắc nghiệmfind_angle_from_three_sides(3 câu)

4. Cho hai cạnh và góc xen giữa, tìm cạnh thứ ba bằng định lí cosinTrắc nghiệmfind_third_side_law_cosines(3 câu)

5. VD cao: tính cạnh $a$ và diện tích với góc $60°$ hoặc $120°$Trắc nghiệmlaw_of_cosines_with_area_special_angle(3 câu)

6. Tìm cạnh thứ ba (định lí cosin) rồi tính ĐỘ DÀI TRUNG TUYẾNTrắc nghiệmsolve_triangle_cosines_median(3 câu)

7. Quan sát tam giác trong hình với 2 cạnh và góc xen giữa được ghi, tính cạnh thứ ba bằng định lí cosinTrắc nghiệmsolve_triangle_from_figure_cosines(3 câu)

8. Cho tam giác với 2 cạnh + góc xen giữa cụ thể — áp dụng định lí cosinĐúng / Sailaw_cosines_facts(3 câu)

9. Cho tam giác có 3 cạnh, tính $\cos A$ từ định lí cosin (số thập phân)Trả lời ngắncos_angle_three_sides_sa(3 câu)

10. Cho 2 cạnh và góc xen giữa, tính cạnh đối diện (số thập phân)Trả lời ngắnfind_third_side_via_cosine(3 câu)

11. Cho 3 cạnh, tính số đo góc lớn nhất (đối diện cạnh lớn nhất, làm tròn độ)Trả lời ngắnlargest_angle_three_sides_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Định lí cosin với $A = 90°$ thoái hóa thành Pytago: $a^2 = b^2 + c^2$Trắc nghiệm`cosine_right_angle_pythagoras`(3 câu)

2. Áp dụng định lí cosin với góc đặc biệt $A = 60°$ → $a^2 = b^2 + c^2 - bc$Trắc nghiệm`cosine_special_angle`(3 câu)

3. Biết 3 cạnh, tính số đo góc bằng hệ quả định lí cosinTrắc nghiệm`find_angle_from_three_sides`(3 câu)

4. Cho hai cạnh và góc xen giữa, tìm cạnh thứ ba bằng định lí cosinTrắc nghiệm`find_third_side_law_cosines`(3 câu)

5. VD cao: tính cạnh $a$ và diện tích với góc $60°$ hoặc $120°$Trắc nghiệm`law_of_cosines_with_area_special_angle`(3 câu)

6. Tìm cạnh thứ ba (định lí cosin) rồi tính ĐỘ DÀI TRUNG TUYẾNTrắc nghiệm`solve_triangle_cosines_median`(3 câu)

7. Quan sát tam giác trong hình với 2 cạnh và góc xen giữa được ghi, tính cạnh thứ ba bằng định lí cosinTrắc nghiệm`solve_triangle_from_figure_cosines`(3 câu)

8. Cho tam giác với 2 cạnh + góc xen giữa cụ thể — áp dụng định lí cosinĐúng / Sai`law_cosines_facts`(3 câu)

9. Cho tam giác có 3 cạnh, tính $\cos A$ từ định lí cosin (số thập phân)Trả lời ngắn`cos_angle_three_sides_sa`(3 câu)

10. Cho 2 cạnh và góc xen giữa, tính cạnh đối diện (số thập phân)Trả lời ngắn`find_third_side_via_cosine`(3 câu)

11. Cho 3 cạnh, tính số đo góc lớn nhất (đối diện cạnh lớn nhất, làm tròn độ)Trả lời ngắn`largest_angle_three_sides_sa`(3 câu)