Định lí sin

Công thức

§1. Định lý(1)

1.1

Định lý sin

Trong tam giác $ABC$ với độ dài cạnh $a = BC, b = CA, c = AB$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$: $$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R.$$

§2. Công thức(1)

2.1

Hệ quả định lý sin

$$a = 2R \sin A, \quad b = 2R \sin B, \quad c = 2R \sin C.$$ $$\sin A = \dfrac{a}{2R}, \quad \sin B = \dfrac{b}{2R}, \quad \sin C = \dfrac{c}{2R}.$$ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $$R = \dfrac{a}{2 \sin A} = \dfrac{b}{2 \sin B} = \dfrac{c}{2 \sin C}.$$

§3. Phương pháp(1)

3.1

Khi nào dùng định lý sin

Dùng khi biết các bộ dữ kiện:

Cạnh đối diện - Góc đối diện - Cạnh hoặc Góc khác: tìm phần còn lại.

Vd: biết $a, A, B$ → $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$.

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.
Đổi giữa độ dài cạnh và sin góc đối diện.

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: nhớ liên hệ $R$ ngay từ đầu

Mỗi cặp cạnh-góc đối diện cùng cho ra $2R$ — chỉ cần biết 1 cặp là biết $R$ luôn. Vd: tam giác đều cạnh $a$, $R = \dfrac{a}{2 \sin 60°} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Vd: tam giác vuông cân cạnh huyền $a$: $R = a/2$ (góc đối = $90°$, sin = 1).

Bài tập

1. Trường hợp nhập nhằng (SSA): tìm tất cả giá trị cạnh $c$ khi dữ kiện cho hai tam giácTrắc nghiệm`ambiguous_ssa_two_triangles_sines`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 1.Cho tam giác $ABC$ có $b = CA = 3 \sqrt{3}$, cạnh $a = BC = 9$ và $\widehat{B} = 30^\circ$. Biết rằng dữ kiện này có thể ứng với NHIỀU tam giác. Hãy tìm TẤT CẢ giá trị có thể của cạnh $c = AB$.

A.$c = 6 \sqrt{3}$ hoặc $c = 9$

B.$c = 3 \sqrt{3}$ (chỉ một tam giác)

C.$c = 6 \sqrt{3}$ (chỉ một tam giác)

D.$c = 6 \sqrt{3}$ hoặc $c = 3 \sqrt{3}$

Câu 2.Cho tam giác $ABC$ có $b = CA = \sqrt{3}$, cạnh $a = BC = 3$ và $\widehat{B} = 30^\circ$. Biết rằng dữ kiện này có thể ứng với NHIỀU tam giác. Hãy tìm TẤT CẢ giá trị có thể của cạnh $c = AB$.

A.$c = 2 \sqrt{3}$ hoặc $c = 3$

B.$c = \sqrt{3}$ (chỉ một tam giác)

C.$c = 2 \sqrt{3}$ hoặc $c = \sqrt{3}$

D.$c = 2 \sqrt{3}$ (chỉ một tam giác)

Câu 3.Cho tam giác $ABC$ có $b = CA = \sqrt{3}$, cạnh $a = BC = 3$ và $\widehat{B} = 30^\circ$. Biết rằng dữ kiện này có thể ứng với NHIỀU tam giác. Hãy tìm TẤT CẢ giá trị có thể của cạnh $c = AB$.

A.$c = 2 \sqrt{3}$ hoặc $c = 3$

B.$c = 2 \sqrt{3}$ hoặc $c = \sqrt{3}$

C.$c = 2 \sqrt{3}$ (chỉ một tam giác)

D.$c = \sqrt{3}$ (chỉ một tam giác)

2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \dfrac{a}{2\sin A}$Trắc nghiệm`circumradius_via_law_of_sines`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Tam giác $ABC$ có cạnh $a = 6$ đối diện góc $A = 45^\circ$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.

A.$R = 3$

B.$R = 3 \sqrt{2}$

C.$R = 6 \sqrt{2}$

D.$R = 6$

Câu 5.Tam giác $ABC$ có cạnh $a = 12$ đối diện góc $A = 60^\circ$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.

A.$R = 6 \sqrt{3}$

B.$R = 12$

C.$R = 4 \sqrt{3}$

D.$R = 6$

Câu 6.Tam giác $ABC$ có cạnh $a = 8$ đối diện góc $A = 30^\circ$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.

A.$R = 4$

B.$R = 9$

C.$R = 8$

D.$R = 16$

3. Cho $a$, $A$ và một góc khác $B$, tính cạnh $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$Trắc nghiệm`find_side_using_law_of_sines`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tam giác $ABC$ có $a = 8$, $A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$. Tính cạnh $b$.

A.$b = 4$

B.$b = 8$

C.$b = 4 \sqrt{2}$

D.$b = 8 \sqrt{2}$

Câu 8.Tam giác $ABC$ có $a = 4$, $A = 30^\circ$, $B = 60^\circ$. Tính cạnh $b$.

A.$b = 2 \sqrt{3}$

B.$b = 4$

C.$b = \dfrac{4 \sqrt{3}}{3}$

D.$b = 4 \sqrt{3}$

Câu 9.Tam giác $ABC$ có $a = 12$, $A = 60^\circ$, $B = 90^\circ$. Tính cạnh $b$.

A.$b = 12$

B.$b = 16 \sqrt{3}$

C.$b = 6 \sqrt{3}$

D.$b = 8 \sqrt{3}$

4. Nhận biết phát biểu đúng của định lí sinTrắc nghiệm`law_of_sines_recognize_statement`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Cho tam giác $ABC$ có $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hệ thức nào dưới đây là ĐỊNH LÍ SIN?

A.$\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c} = 2R$

B.$\dfrac{a}{\sin B} = \dfrac{b}{\sin C} = \dfrac{c}{\sin A} = 2R$

C.$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

D.$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = R$

Câu 11.Cho tam giác $ABC$ có $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hệ thức nào dưới đây là ĐỊNH LÍ SIN?

A.$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = R$

B.$\dfrac{a}{\sin B} = \dfrac{b}{\sin C} = \dfrac{c}{\sin A} = 2R$

C.$\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c} = 2R$

D.$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

Câu 12.Cho tam giác $ABC$ có $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hệ thức nào dưới đây là ĐỊNH LÍ SIN?

A.$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = R$

B.$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

C.$\dfrac{a}{\sin B} = \dfrac{b}{\sin C} = \dfrac{c}{\sin A} = 2R$

D.$\dfrac{\sin A}{a} = \dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin C}{c} = 2R$

5. Giải tam giác: tổng ba góc tìm góc thứ ba, định lí sin tìm cạnh & bán kính $R$Trắc nghiệm`solve_triangle_sines_angle_sum`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Tam giác $ABC$ có $a = 6$, $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$. Tính cạnh $c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.

A.$c = 6,\ R = 6$

B.$c = 12,\ R = 6$

C.$c = 6 \sqrt{3},\ R = 6$

D.$c = 12,\ R = 12$

Câu 14.Tam giác $ABC$ có $a = 6$, $\widehat{A} = 90^\circ$, $\widehat{B} = 30^\circ$. Tính cạnh $c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.

A.$c = 3 \sqrt{3},\ R = 3$

B.$c = \dfrac{3 \sqrt{3}}{2},\ R = 3$

C.$c = 3,\ R = 3$

D.$c = 3 \sqrt{3},\ R = 6$

Câu 15.Tam giác $ABC$ có $a = 4$, $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 90^\circ$. Tính cạnh $c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$.

A.$c = 2 \sqrt{3},\ R = 4$

B.$c = 4 \sqrt{3},\ R = 4$

C.$c = 4 \sqrt{3},\ R = 8$

D.$c = 8,\ R = 4$

6. Cho tam giác có 1 cạnh + 1 góc đối + 1 góc khác — áp dụng định lí sinĐúng / Sai`law_sines_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $a = BC = 6$, $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trong tam giác, cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn.

b)$2R = \dfrac{a}{\sin A} = 12$.

c)Định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$.

d)Định lí sin chỉ áp dụng cho tam giác nhọn.

Câu 17.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $a = BC = 6$, $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \dfrac{a}{2\sin A}$.

b)Định lí sin chỉ áp dụng cho tam giác nhọn.

c)$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$.

d)Có thể tính cạnh $b$ qua $\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{a}{\sin A}$.

Câu 18.Cho tam giác $\triangle ABC$ có $a = BC = 6$, $\widehat{A} = 30^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$2R = \dfrac{a}{\sin A} = 12$.

b)Định lí sin chỉ áp dụng cho tam giác nhọn.

c)Trong tam giác, cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn.

d)Định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$.

7. Cho tam giác vuông cụ thể — kiểm tra tính chất đường kính ngoại tiếpĐúng / Sai`los_facts2`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho tam giác $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $b = AC = 5$, $c = AB = 12$, $a = BC = 13$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$.

b)Định lí sin chỉ áp dụng cho tam giác có 1 góc tù.

c)Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \dfrac{13}{2}$.

d)Đường tròn ngoại tiếp tam giác có đường kính $2R = a = 13$.

Câu 20.Cho tam giác $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $b = AC = 3$, $c = AB = 4$, $a = BC = 5$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trong tam giác vuông, cạnh huyền đối với góc $90^\circ$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp.

b)Định lí sin chỉ áp dụng cho tam giác có 1 góc tù.

c)Định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$.

d)$\sin A = 1$.

Câu 21.Cho tam giác $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có $b = AC = 5$, $c = AB = 12$, $a = BC = 13$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Trong tam giác vuông, cạnh huyền đối với góc $90^\circ$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp.

b)$\sin A = 1$.

c)Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \dfrac{13}{2}$.

d)Định lí sin chỉ áp dụng cho tam giác có 1 góc tù.

8. Cho cạnh $a$ và góc đối $A$, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$Trả lời ngắn`circumradius`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 22.Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = BC = \sqrt{2}$ và góc đối $\widehat A = 45^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, a=\sqrt{2}, A=45°

Câu 23.Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = BC = 6,0$ và góc đối $\widehat A = 60^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, a=6,0, A=60°

Câu 24.Cho tam giác $ABC$ có cạnh $a = BC = 5,0$ và góc đối $\widehat A = 45^\circ$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, a=5,0, A=45°

9. Cho cạnh và góc đối, tính đường kính đường tròn ngoại tiếp $2R$Trả lời ngắn`diameter_circumcircle_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 7$ và $\widehat A = 45^\circ$. Tính đường kính $2R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn, BC=7, A=45°

Câu 26.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 5$ và $\widehat A = 30^\circ$. Tính đường kính $2R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn, BC=5, A=30°

Câu 27.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 10$ và $\widehat A = 60^\circ$. Tính đường kính $2R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. (Làm tròn đến hàng phần mười)

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn, BC=10, A=60°

10. Cho cạnh $a$, $A$, $B$, tính cạnh $b = a \sin B / \sin A$Trả lời ngắn`find_side_law_of_sines_sa`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 12$, $\widehat A = 90^\circ$, $\widehat B = 45^\circ$. Tính cạnh $b = CA$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC, BC=12, A=90°, B=45°

Câu 29.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 12$, $\widehat A = 90^\circ$, $\widehat B = 30^\circ$. Tính cạnh $b = CA$.

Tam giác ABC, BC=12, A=90°, B=30°

Câu 30.Cho tam giác $ABC$ có $a = BC = 6$, $\widehat A = 45^\circ$, $\widehat B = 30^\circ$. Tính cạnh $b = CA$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Tam giác ABC, BC=6, A=45°, B=30°

Công thức

§1. Định lý(1)

§2. Công thức(1)

§3. Phương pháp(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Trường hợp nhập nhằng (SSA): tìm tất cả giá trị cạnh $c$ khi dữ kiện cho hai tam giácTrắc nghiệmambiguous_ssa_two_triangles_sines(3 câu)

2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \dfrac{a}{2\sin A}$Trắc nghiệmcircumradius_via_law_of_sines(3 câu)

3. Cho $a$, $A$ và một góc khác $B$, tính cạnh $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$Trắc nghiệmfind_side_using_law_of_sines(3 câu)

4. Nhận biết phát biểu đúng của định lí sinTrắc nghiệmlaw_of_sines_recognize_statement(3 câu)

5. Giải tam giác: tổng ba góc tìm góc thứ ba, định lí sin tìm cạnh & bán kính $R$Trắc nghiệmsolve_triangle_sines_angle_sum(3 câu)

6. Cho tam giác có 1 cạnh + 1 góc đối + 1 góc khác — áp dụng định lí sinĐúng / Sailaw_sines_facts(3 câu)

7. Cho tam giác vuông cụ thể — kiểm tra tính chất đường kính ngoại tiếpĐúng / Sailos_facts2(3 câu)

8. Cho cạnh $a$ và góc đối $A$, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$Trả lời ngắncircumradius(3 câu)

9. Cho cạnh và góc đối, tính đường kính đường tròn ngoại tiếp $2R$Trả lời ngắndiameter_circumcircle_sa(3 câu)

10. Cho cạnh $a$, $A$, $B$, tính cạnh $b = a \sin B / \sin A$Trả lời ngắnfind_side_law_of_sines_sa(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Trường hợp nhập nhằng (SSA): tìm tất cả giá trị cạnh $c$ khi dữ kiện cho hai tam giácTrắc nghiệm`ambiguous_ssa_two_triangles_sines`(3 câu)

2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \dfrac{a}{2\sin A}$Trắc nghiệm`circumradius_via_law_of_sines`(3 câu)

3. Cho $a$, $A$ và một góc khác $B$, tính cạnh $b = \dfrac{a \sin B}{\sin A}$Trắc nghiệm`find_side_using_law_of_sines`(3 câu)

4. Nhận biết phát biểu đúng của định lí sinTrắc nghiệm`law_of_sines_recognize_statement`(3 câu)

5. Giải tam giác: tổng ba góc tìm góc thứ ba, định lí sin tìm cạnh & bán kính $R$Trắc nghiệm`solve_triangle_sines_angle_sum`(3 câu)

6. Cho tam giác có 1 cạnh + 1 góc đối + 1 góc khác — áp dụng định lí sinĐúng / Sai`law_sines_facts`(3 câu)

7. Cho tam giác vuông cụ thể — kiểm tra tính chất đường kính ngoại tiếpĐúng / Sai`los_facts2`(3 câu)

8. Cho cạnh $a$ và góc đối $A$, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$Trả lời ngắn`circumradius`(3 câu)

9. Cho cạnh và góc đối, tính đường kính đường tròn ngoại tiếp $2R$Trả lời ngắn`diameter_circumcircle_sa`(3 câu)

10. Cho cạnh $a$, $A$, $B$, tính cạnh $b = a \sin B / \sin A$Trả lời ngắn`find_side_law_of_sines_sa`(3 câu)