Hàm số mũ và hàm số logarit

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Hàm số mũ

Cho $a > 0, a \neq 1$. Hàm số mũ cơ số $a$ là $y = a^x$ với $x \in \mathbb{R}$.

TXĐ: $\mathbb{R}$.
Tập giá trị: $(0; +\infty)$.
$y > 0 \, \forall x$.

1.2

Hàm số logarit

Cho $a > 0, a \neq 1$. Hàm logarit cơ số $a$ là $y = \log_a x$ với $x > 0$.

TXĐ: $(0; +\infty)$.
Tập giá trị: $\mathbb{R}$.
$y = a^x$ và $y = \log_a x$ là hàm ngược của nhau, đồ thị đối xứng qua $y = x$.

§2. Tính chất(2)

2.1

Tính chất hàm số mũ $y = a^x$

$a > 1$: hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$; $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty, \lim_{x \to -\infty} a^x = 0$.
$0 < a < 1$: hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$; $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0, \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$.
Đồ thị luôn đi qua $(0; 1)$ và $(1; a)$.
Trục $Ox$ là tiệm cận ngang.

2.2

Tính chất hàm logarit $y = \log_a x$

$a > 1$: đồng biến trên $(0; +\infty)$; $\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty, \lim_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty$.
$0 < a < 1$: nghịch biến trên $(0; +\infty)$; $\lim_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty, \lim_{x \to +\infty} \log_a x = -\infty$.
Đồ thị luôn đi qua $(1; 0)$ và $(a; 1)$.
Trục $Oy$ là tiệm cận đứng.

§3. Công thức(1)

3.1

Đạo hàm của hàm mũ + logarit

$$\left(a^x\right)' = a^x \ln a, \quad \left(e^x\right)' = e^x.$$ $$\left(\log_a x\right)' = \dfrac{1}{x \ln a}, \quad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}.$$ Tổng quát (hàm hợp $u = u(x)$): $$\left(a^{u}\right)' = a^u \ln a \cdot u', \quad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}.$$

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: tìm TXĐ hàm chứa logarit

Hàm $y = \log_a f(x)$ xác định $\Leftrightarrow f(x) > 0$. Hàm $y = \sqrt[n]{\log_a f(x)}$ ($n$ chẵn) xác định $\Leftrightarrow \log_a f(x) \geq 0$. → Quy về bất phương trình logarit đơn giản, dùng tính đơn điệu của log để giải.

Bài tập

1. Đạo hàm của $y = a^x$ ($a > 0,\ a \neq 1$); đáp án ghi dạng $y' = \dots$Trắc nghiệm`derivative_exp_function_base_a_prefixed`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Đạo hàm của hàm số $y = 7^x$ là

A.$y' = 7^x \ln x$

B.$y' = 7^x$

C.$y' = x \cdot 7^{x-1}$

D.$y' = 7^x \ln 7$

Câu 2.Đạo hàm của hàm số $y = 7^x$ là

A.$y' = 7^x \ln 7$

B.$y' = 7^x \ln x$

C.$y' = 7^x$

D.$y' = x \cdot 7^{x-1}$

Câu 3.Đạo hàm của hàm số $y = 7^x$ là

A.$y' = 7^x \ln 7$

B.$y' = x \cdot 7^{x-1}$

C.$y' = 7^x \ln x$

D.$y' = 7^x$

2. Chọn công thức đạo hàm đúng của $y = a^x$ hoặc $y = \log_a x$Trắc nghiệm`derivative_exp_log_basic_formula`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Đạo hàm của hàm số $y = e^x$ là?

A.$x e^x$

B.$e^x \ln x$

C.$e^x$

D.$x e^{x-1}$

Câu 5.Đạo hàm của hàm số $y = \ln x$ là?

A.$\dfrac{1}{x}$

B.$\ln x$

C.$\dfrac{1}{x \ln x}$

D.$\dfrac{1}{\ln x}$

Câu 6.Đạo hàm của hàm số $y = 5^x$ là?

A.$5^x$

B.$5^x \ln 5$

C.$x \cdot 5^{x-1}$

D.$\dfrac{5^x}{\ln 5}$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là?

A.$\dfrac{1}{x \ln 10}$

B.$\dfrac{1}{x \ln 2}$

C.$\dfrac{1}{x}$

D.$\dfrac{\ln 2}{x}$

Câu 8.Đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là?

A.$\dfrac{1}{x \ln 10}$

B.$\dfrac{1}{x}$

C.$\dfrac{1}{x \ln 2}$

D.$\dfrac{\ln 2}{x}$

Câu 9.Đạo hàm của hàm số $y = 2^x$ là?

A.$\dfrac{2^x}{\ln 2}$

B.$x \cdot 2^{x-1}$

C.$2^x$

D.$2^x \ln 2$

3. Cho vài công thức đạo hàm mũ/log, chọn khẳng định ĐÚNGTrắc nghiệm`derivative_exp_log_identify_true_statement`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 10.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x \ln x}$

B.$\left(e^x\right)' = e^x$

C.$\left(3^x\right)' = x \cdot 3^{x-1}$

D.$\left(\log_{3} x\right)' = \dfrac{\ln 3}{x}$

Câu 11.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$\left(2^x\right)' = x \cdot 2^{x-1}$

B.$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$

C.$\left(\log_{2} x\right)' = \dfrac{\ln 2}{x}$

D.$\left(e^x\right)' = x e^{x-1}$

Câu 12.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$\left(3^x\right)' = 3^x$

B.$\left(\log_{10} x\right)' = \dfrac{1}{x}$

C.$\left(\log_{10} x\right)' = \dfrac{\ln 10}{x}$

D.$\left(3^x\right)' = 3^x \ln 3$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$\left(2^x\right)' = 2^x$

B.$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$

C.$\left(2^x\right)' = x \cdot 2^{x-1}$

D.$\left(\log_{3} x\right)' = \dfrac{1}{x}$

Câu 14.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$

B.$\left(3^x\right)' = 3^x$

C.$\left(e^x\right)' = x e^{x-1}$

D.$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x \ln x}$

Câu 15.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?

A.$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$

B.$\left(5^x\right)' = 5^x$

C.$\left(e^x\right)' = x e^{x-1}$

D.$\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x \ln x}$

4. Tính giá trị đạo hàm $f'(x_0)$ tại điểm cụ thể cho hàm mũ/logTrắc nghiệm`derivative_exp_value_at_point`(6 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 16.Cho hàm số $f(x) = \log_{2} x$. Tính $f'(2)$ (với $\ln$ là logarit tự nhiên).

A.$\dfrac{1}{2 \ln 10}$

B.$\dfrac{\ln 2}{2}$

C.$\dfrac{1}{2}$

D.$\dfrac{1}{2 \ln 2}$

Câu 17.Cho hàm số $f(x) = 2^x$. Tính $f'(3)$ (với $\ln$ là logarit tự nhiên).

A.$8$

B.$\dfrac{8}{\ln 2}$

C.$8 \ln 2$

D.$3 \cdot 2^{2}$

Câu 18.Cho hàm số $f(x) = \log_{10} x$. Tính $f'(100)$ (với $\ln$ là logarit tự nhiên).

A.$\dfrac{1}{100 \ln 2}$

B.$\dfrac{\ln 10}{100}$

C.$\dfrac{1}{100 \ln 10}$

D.$\dfrac{1}{100}$

Mẫu 2Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho hàm số $f(x) = \log_{10} x$. Tính $f'(100)$ (với $\ln$ là logarit tự nhiên).

A.$\dfrac{1}{100 \ln 10}$

B.$\dfrac{\ln 10}{100}$

C.$\dfrac{1}{100 \ln 2}$

D.$\dfrac{1}{100}$

Câu 20.Cho hàm số $f(x) = \log_{3} x$. Tính $f'(9)$ (với $\ln$ là logarit tự nhiên).

A.$\dfrac{\ln 3}{9}$

B.$\dfrac{1}{9 \ln 10}$

C.$\dfrac{1}{9}$

D.$\dfrac{1}{9 \ln 3}$

Câu 21.Cho hàm số $f(x) = \log_{3} x$. Tính $f'(9)$ (với $\ln$ là logarit tự nhiên).

A.$\dfrac{1}{9}$

B.$\dfrac{1}{9 \ln 10}$

C.$\dfrac{1}{9 \ln 3}$

D.$\dfrac{\ln 3}{9}$

5. Tập xác định và tập giá trị của $y = a^x$Trắc nghiệm`exp_function_domain_range`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Tập xác định của $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) là?

A.$[0; +\infty)$

B.$(0; +\infty)$

C.$(-\infty; 0)$

D.$\mathbb{R}$

Câu 23.Tập xác định của $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) là?

A.$\mathbb{R}$

B.$(0; +\infty)$

C.$[0; +\infty)$

D.$(-\infty; 0)$

Câu 24.Tập xác định của $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) là?

A.$\mathbb{R}$

B.$[0; +\infty)$

C.$(0; +\infty)$

D.$(-\infty; 0)$

6. Tính giá trị $f(x_0)$ của hàm $y = a^x$Trắc nghiệm`exp_function_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 25.Cho hàm số $f(x) = 2^x$. Tính $f(4)$.

A.$f(4) = 32$

B.$f(4) = 6$

C.$f(4) = 16$

D.$f(4) = 8$

Câu 26.Cho hàm số $f(x) = 2^x$. Tính $f(2)$.

A.$f(2) = 4$

B.$f(2) = 1$

C.$f(2) = 5$

D.$f(2) = 8$

Câu 27.Cho hàm số $f(x) = 2^x$. Tính $f(2)$.

A.$f(2) = 5$

B.$f(2) = 4$

C.$f(2) = 8$

D.$f(2) = 1$

7. Tính đơn điệu của hàm mũ và hàm logarit theo cơ sốTrắc nghiệm`exp_log_monotonicity`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 28.Hàm số $y = (1/2)^x$ có tính chất nào sau đây?

A.Đồng biến trên $(0; +\infty)$

B.Nghịch biến trên $\mathbb{R}$

C.Nghịch biến trên $(0; +\infty)$

D.Đồng biến trên $\mathbb{R}$

Câu 29.Hàm số $y = \log_2 x$ có tính chất nào sau đây?

A.Đồng biến trên $(0; +\infty)$

B.Nghịch biến trên $(0; +\infty)$

C.Đồng biến trên $\mathbb{R}$

D.Nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Câu 30.Hàm số $y = (1/2)^x$ có tính chất nào sau đây?

A.Đồng biến trên $\mathbb{R}$

B.Đồng biến trên $(0; +\infty)$

C.Nghịch biến trên $(0; +\infty)$

D.Nghịch biến trên $\mathbb{R}$

8. Cho đồ thị $y = a^x$ đi qua điểm $(1, a)$ — đọc cơ số $a$ từ hìnhTrắc nghiệm`identify_exp_base_from_graph`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Cho hàm số $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = 3^x đi qua điểm (1; 3)

A.$a = 3$

B.$a = 4$

C.$a = \dfrac{1}{3}$

D.$a = 5$

Câu 32.Cho hàm số $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = 2^x đi qua điểm (1; 2)

A.$a = \dfrac{1}{2}$

B.$a = 2$

C.$a = 3$

D.$a = 4$

Câu 33.Cho hàm số $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = 2^x đi qua điểm (1; 2)

A.$a = 4$

B.$a = 3$

C.$a = \dfrac{1}{2}$

D.$a = 2$

9. Cho đồ thị $y = \log_a x$ đi qua điểm $(a^k, k)$ — đọc cơ số $a$Trắc nghiệm`identify_log_base_from_graph`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_4(x) đi qua điểm (4; 1)

A.$a = 4$

B.$a = \dfrac{1}{4}$

C.$a = 5$

D.$a = 1$

Câu 35.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_3(x) đi qua điểm (9; 2)

A.$a = 2$

B.$a = 9$

C.$a = 3$

D.$a = 4$

Câu 36.Cho hàm số $y = \log_a x$ ($a > 0, a \neq 1$) có đồ thị như hình vẽ, đồ thị đi qua điểm được đánh dấu. Xác định cơ số $a$.

Đồ thị y = log_2(x) đi qua điểm (8; 3)

A.$a = \dfrac{1}{2}$

B.$a = 2$

C.$a = 3$

D.$a = 8$

10. VDC (TF): hàm hợp siêu việt của đa thức bậc ba $g(x)=x^3-3x+q$ — dạng $y=\log_b\big(g(x)\big)$ hoặc $y=a^{\,g(x)}$Đúng / Sai`composite_transcendental_cubic_extrema_facts_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Cho hàm số $y = \log\!\left(x^3 - 3x + 8\right)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm số xác định với mọi $x$ trên đoạn $[0; 2]$.

b)Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

c)$y' = \dfrac{3x^2 - 3}{\left(x^3 - 3x + 8\right)\ln 10}$

d)Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ bằng $\log 6$.

Câu 38.Cho hàm số $y = \log\!\left(x^3 - 3x + 8\right)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ bằng $\log 6$.

b)Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

c)$y' = \dfrac{3x^2 - 3}{x^3 - 3x + 8}$

d)$f(2) = 1$

Câu 39.Cho hàm số $y = \log_{2}\!\left(x^3 - 3x + 6\right)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$y' = \dfrac{3x^2 - 3}{\left(x^3 - 3x + 6\right)\ln 2}$

b)Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ bằng $\log_{2} 4$.

c)$y' = \dfrac{3x^2 - 3}{x^3 - 3x + 6}$

d)Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

11. TF (Vận dụng cao): nồng độ chất giảm theo hàm mũ $y(x) = A\,e^{-\lambda x}$ (x tính bằng giây)Đúng / Sai`concentration_log_linear_average_facts_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 40.Một phản ứng hoá học làm nồng độ của chất $A$ trong dung dịch giảm dần theo thời gian. Gọi $y(x)$ là nồng độ của chất $A$ (đơn vị mol/lít) tại thời điểm $x$ (giây). Biết $y(x) = \dfrac{1}{25}\,e^{-5\cdot 10^{-4}\,x}$ và đặt $f(x) = \ln y(x)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Nồng độ trung bình của chất $A$ từ thời điểm $10$ giây đến thời điểm $20$ giây bằng $0{,}04$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

b)$y(20) - y(10) = -3\cdot 10^{-4}$.

c)$f(x) = -5\cdot 10^{-4}\,x + \ln(0{,}04)$.

d)$f'(x) = -5\cdot 10^{-4}$.

Câu 41.Một phản ứng hoá học làm nồng độ của chất $A$ trong dung dịch giảm dần theo thời gian. Gọi $y(x)$ là nồng độ của chất $A$ (đơn vị mol/lít) tại thời điểm $x$ (giây). Biết $y(x) = \dfrac{1}{10}\,e^{-1\cdot 10^{-3}\,x}$ và đặt $f(x) = \ln y(x)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$f(x) = -1\cdot 10^{-3}\,x + \ln(0{,}1)$.

b)$f'(x) = -1\cdot 10^{-3}$.

c)$y(40) - y(20) = -2\cdot 10^{-3}$.

d)Nồng độ trung bình của chất $A$ từ thời điểm $20$ giây đến thời điểm $40$ giây bằng $0{,}1$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 42.Một phản ứng hoá học làm nồng độ của chất $A$ trong dung dịch giảm dần theo thời gian. Gọi $y(x)$ là nồng độ của chất $A$ (đơn vị mol/lít) tại thời điểm $x$ (giây). Biết $y(x) = \dfrac{1}{10}\,e^{-1\cdot 10^{-3}\,x}$ và đặt $f(x) = \ln y(x)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Nồng độ trung bình của chất $A$ từ thời điểm $20$ giây đến thời điểm $40$ giây bằng $0{,}1$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

b)$y(40) - y(20) = -2\cdot 10^{-3}$.

c)$f'(x) = -1\cdot 10^{-3}$.

d)$f(x) = -1\cdot 10^{-3}\,x + \ln(0{,}1)$.

12. Cho hàm $y = \log_a x$ với $a$ cụ thể — xét TXĐ, đơn điệu, đồ thị đối xứng qua $y = x$ với hàm mũ tương ứngĐúng / Sai`exp_log_function_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 43.Cho hàm số $y = \log_{3} x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Đồ thị $y = \log_{3} x$ và $y = 3^x$ đối xứng qua đường thẳng $y = x$.

b)Hàm số $y = \log_{3} x$ có TXĐ là $\mathbb{R}$.

c)Tập giá trị của hàm là $\mathbb{R}$.

d)Đồ thị đi qua điểm $(3; 1)$.

Câu 44.Cho hàm số $y = \log_{3} x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tập xác định của $y = \log_{3} x$ là $(0; +\infty)$.

b)Tập giá trị của hàm là $\mathbb{R}$.

c)Đồ thị đi qua điểm $(1; 0)$.

d)Hàm số $y = \log_{3} x$ có TXĐ là $\mathbb{R}$.

Câu 45.Cho hàm số $y = \log_{3} x$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\log_{3} 9 = 2$.

b)Tập xác định của $y = \log_{3} x$ là $(0; +\infty)$.

c)Đồ thị đi qua điểm $(1; 0)$.

d)Hàm số $y = \log_{3} x$ có TXĐ là $\mathbb{R}$.

13. VDC (TF): Mô hình tăng trưởng $N(t) = A \cdot e^{kt}$ thoả $N'(t) = k N(t)$Đúng / Sai`exponential_population_growth_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Trong một lò ấp công nghiệp, số lượng tế bào $N(t)$ (con) sau thời gian $t$ (giờ) sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng hiện có, tức là thoả mãn $N'(t) = k \cdot N(t)$ (với $k$ là hằng số sinh trưởng dương). Biết ban đầu ($t = 0$) có $200$ con tế bào, và sau $3$ giờ thì số lượng tăng lên thành $1600$ con. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm số $N(t)$ đồng biến với tốc độ tăng dần theo thời gian (đồ thị lõm hướng lên).

b)Hàm số có dạng $N(t) = A \cdot e^{kt}$ (với $A > 0$ là hằng số).

c)Chu kì gấp đôi của số lượng tế bào là $T = 1$ giờ.

d)Sau nửa ngày ($12$ giờ) nuôi cấy, số lượng tế bào vượt qua mốc $2$ triệu con.

Câu 47.Trong một môi trường nuôi cấy thí nghiệm, số lượng vi khuẩn $N(t)$ (con) sau thời gian $t$ (giờ) sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng hiện có, tức là thoả mãn $N'(t) = k \cdot N(t)$ (với $k$ là hằng số sinh trưởng dương). Biết ban đầu ($t = 0$) có $500$ con vi khuẩn, và sau $3$ giờ thì số lượng tăng lên thành $4000$ con. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Số lượng vi khuẩn sau $6$ giờ là $32000$ con.

b)Số lượng vi khuẩn sau $6$ giờ là $4000$ con.

c)Hệ số sinh trưởng $k = \ln 8$ (không chia cho $3$).

d)Hàm số $N(t)$ đồng biến với tốc độ tăng dần theo thời gian (đồ thị lõm hướng lên).

Câu 48.Trong một phòng thí nghiệm sinh học, số lượng vi sinh vật $N(t)$ (con) sau thời gian $t$ (giờ) sinh sôi với tốc độ tỉ lệ thuận với số lượng hiện có, tức là thoả mãn $N'(t) = k \cdot N(t)$ (với $k$ là hằng số sinh trưởng dương). Biết ban đầu ($t = 0$) có $100$ con vi sinh vật, và sau $3$ giờ thì số lượng tăng lên thành $800$ con. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Sau nửa ngày ($12$ giờ) nuôi cấy, số lượng vi sinh vật vượt qua mốc $2$ triệu con.

b)$A = 100$ và $k = \ln 2$.

c)Hệ số sinh trưởng $k = \ln 8$ (không chia cho $3$).

d)Chu kì gấp đôi của số lượng vi sinh vật là $T = 1$ giờ.

14. VDC++ (TF): Mô hình suy giảm trí nhớ $f(t) = a - b \cdot \ln(c t + 1)$ — % kiến thức còn nhớ sau $t$ thángĐúng / Sai`knowledge_decay_log_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 49.Một nghiên cứu khả năng ghi nhớ kiến thức của người học sau khi kết thúc khoá học chỉ ra rằng càng về lâu thì khả năng ghi nhớ kiến thức càng giảm. Nếu xem $f(t)$ là phần trăm kiến thức người học còn nhớ sau $t$ tháng thì $f'(t)$ là tốc độ thay đổi kiến thức; độ lớn $|f'(t)|$ là tốc độ giảm sút. Hai bạn Thành và Công cùng tham gia một khoá học. Sau khi kết thúc khoá học, phần trăm kiến thức bạn Thành còn nhớ sau $t$ tháng được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = 94 - 12\,\ln(3t + 1)$, với $0 \le t \le 24$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tốc độ thay đổi kiến thức của bạn Thành ở thời điểm sau $t$ tháng là $f'(t) = -\dfrac{12}{3t + 1}$.

b)Sau $24$ tháng, bạn Thành nhớ được trên $70\%$ kiến thức (tức gần một nửa kiến thức ban đầu).

c)$f$ là hàm nghịch biến trên $[0; 24]$.

d)Biết rằng tại mọi thời điểm, tốc độ thay đổi kiến thức của bạn Thành luôn gấp $3$ lần tốc độ thay đổi của bạn Công. Tại thời điểm kết thúc khoá học, bạn Công nhớ được $96\%$ kiến thức. Sau $3$ tháng, lượng kiến thức bạn Công còn nhớ được nhiều hơn $85\%$.

Câu 50.Một nghiên cứu khả năng ghi nhớ kiến thức của người học sau khi kết thúc khoá học chỉ ra rằng càng về lâu thì khả năng ghi nhớ kiến thức càng giảm. Nếu xem $f(t)$ là phần trăm kiến thức người học còn nhớ sau $t$ tháng thì $f'(t)$ là tốc độ thay đổi kiến thức; độ lớn $|f'(t)|$ là tốc độ giảm sút. Hai bạn Thành và Công cùng tham gia một khoá học. Sau khi kết thúc khoá học, phần trăm kiến thức bạn Thành còn nhớ sau $t$ tháng được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = 94 - 12\,\ln(3t + 1)$, với $0 \le t \le 24$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tốc độ thay đổi kiến thức của bạn Thành ở thời điểm sau $t$ tháng là $f'(t) = -\dfrac{12}{3t + 1}$.

b)$f$ là hàm nghịch biến trên $[0; 24]$.

c)Biết rằng tại mọi thời điểm, tốc độ thay đổi kiến thức của bạn Thành luôn gấp $3$ lần tốc độ thay đổi của bạn Công. Tại thời điểm kết thúc khoá học, bạn Công nhớ được $96\%$ kiến thức. Sau $3$ tháng, lượng kiến thức bạn Công còn nhớ được nhiều hơn $85\%$.

d)Tại thời điểm sau $3$ tháng khoá học kết thúc, tốc độ giảm sút kiến thức của bạn Thành là $1,2\%/$tháng.

Câu 51.Một nghiên cứu khả năng ghi nhớ kiến thức của người học sau khi kết thúc khoá học chỉ ra rằng càng về lâu thì khả năng ghi nhớ kiến thức càng giảm. Nếu xem $f(t)$ là phần trăm kiến thức người học còn nhớ sau $t$ tháng thì $f'(t)$ là tốc độ thay đổi kiến thức; độ lớn $|f'(t)|$ là tốc độ giảm sút. Hai bạn Thành và Công cùng tham gia một khoá học. Sau khi kết thúc khoá học, phần trăm kiến thức bạn Thành còn nhớ sau $t$ tháng được mô hình hoá bởi hàm số $f(t) = 94 - 12\,\ln(3t + 1)$, với $0 \le t \le 24$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Tốc độ thay đổi kiến thức của bạn Thành ở thời điểm sau $t$ tháng là $f'(t) = -\dfrac{12}{3t + 1}$.

b)Tại thời điểm sau $3$ tháng khoá học kết thúc, tốc độ giảm sút kiến thức của bạn Thành là $1,2\%/$tháng.

c)$f$ là hàm nghịch biến trên $[0; 24]$.

d)Sau $24$ tháng, bạn Thành nhớ được trên $70\%$ kiến thức (tức gần một nửa kiến thức ban đầu).

15. VDC (TF): Hàm hợp $f(x) = \ln(4 e x - x^2)$Đúng / Sai`ln_quadratic_composition_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 52.Cho hàm số $y = f(x) = \ln(4 e x - x^2)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$f(e) = f(3e)$.

b)Phương trình $f'(x) = 0$ có một nghiệm $x = 2e$.

c)Hàm số có tập xác định là $[0; 4e]$.

d)Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0; 2e)$.

Câu 53.Cho hàm số $y = f(x) = \ln(4 e x - x^2)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)$f(2e) = 4$.

b)Phương trình $f'(x) = 0$ có một nghiệm $x = 2e$.

c)$f(e) = f(3e)$.

d)Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0; 2e)$.

Câu 54.Cho hàm số $y = f(x) = \ln(4 e x - x^2)$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(0; 2e)$.

b)Hàm số có tập xác định là $[0; 4e]$.

c)Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[e; 3e]$ có dạng $a \ln 2 + b$ với $a, b$ là các số nguyên dương. Khi đó $a + b = 4$.

d)$f(e) = f(3e)$.

16. VDC++ (TF): Định luật Newton về làm lạnhĐúng / Sai`newton_cooling_facts`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 55.Một lò nướng tắt và bắt đầu nguội. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu nhiệt độ lò và phòng tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức $y'(t) = k \cdot y(t)$ ($t \ge 0$, $k < 0$). Người ta đo được $hiệu nhiệt độ lò và phòng$ tại thời điểm $t = 0$ phút là $80^\circ\text{C}$. Đến thời điểm $t = 10$ phút, $hiệu nhiệt độ lò và phòng$ giảm xuống còn $20^\circ\text{C}$. Cho biết $y(t) = e^{g(t)}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số $g(t) = kt + C$ ($t \ge 0$), với $C$ là một hằng số xác định.

b)Sau $40$ phút theo dõi, nhiệt độ chênh lệch lớn hơn $5^\circ\text{C}$.

c)Hàm số $y(t)$ là hàm đồng biến trên $[0; +\infty)$.

d)Giá trị của hằng số $k = -\dfrac{\ln 4}{10}$.

Câu 56.Một phòng thí nghiệm làm nguội mẫu vật. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức $y'(t) = k \cdot y(t)$ ($t \ge 0$, $k < 0$). Người ta đo được $hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng$ tại thời điểm $t = 5$ phút là $20^\circ\text{C}$. Đến thời điểm $t = 15$ phút, $hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng$ giảm xuống còn $5^\circ\text{C}$. Cho biết $y(t) = e^{g(t)}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Hàm số $y(t)$ là hàm đồng biến trên $[0; +\infty)$.

b)Để nhiệt độ chênh lệch $y(t)$ nhỏ hơn $1^\circ\text{C}$ thì cần ít nhất $27$ phút kể từ lúc bắt đầu theo dõi.

c)Hằng số $C$ (trong biểu thức $g(t) = kt + C$) có giá trị bằng $3\ln 2 + \ln 5$.

d)Giá trị của hằng số $k = -\dfrac{\ln 4}{10}$.

Câu 57.Một phòng thí nghiệm làm nguội mẫu vật. Độ chênh lệch nhiệt độ giữa vật và môi trường thay đổi theo thời gian. Gọi $y(t)$ là hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng tại thời điểm $t$ (phút). Theo định luật Newton về làm lạnh, tốc độ thay đổi của $y(t)$ tỉ lệ thuận với $y(t)$, tức $y'(t) = k \cdot y(t)$ ($t \ge 0$, $k < 0$). Người ta đo được $hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng$ tại thời điểm $t = 5$ phút là $20^\circ\text{C}$. Đến thời điểm $t = 15$ phút, $hiệu nhiệt độ giữa mẫu vật và phòng$ giảm xuống còn $5^\circ\text{C}$. Cho biết $y(t) = e^{g(t)}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Sau $40$ phút theo dõi, nhiệt độ chênh lệch lớn hơn $5^\circ\text{C}$.

b)Để nhiệt độ chênh lệch $y(t)$ nhỏ hơn $1^\circ\text{C}$ thì cần ít nhất $27$ phút kể từ lúc bắt đầu theo dõi.

c)Giá trị của hằng số $k = -\dfrac{\ln 4}{10}$.

d)Hàm số $y(t)$ là hàm đồng biến trên $[0; +\infty)$.

17. VDC (TF): phân rã phóng xạ $m'(t) = k\,m(t)$ (giảm) với $k < 0$Đúng / Sai`radioactive_decay_halflife_facts_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 58.Một mẫu đồng vị phóng xạ Polonium-210 có khối lượng ban đầu là $640$ mg. Sau $4$ ngày, khối lượng của mẫu chất này phân rã và chỉ còn lại $320$ mg. Gọi $m(t)$ là khối lượng (mg) của mẫu chất tại thời điểm $t$ (ngày). Biết tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có: $m'(t) = k\,m(t)$ với $k$ là hằng số ($k < 0$), $t \ge 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Khối lượng của mẫu chất phóng xạ được tính bởi công thức $m(t) = 640\,e^{kt}$ với $t \ge 0$.

b)Khối lượng của mẫu chất phóng xạ được tính bởi công thức $m(t) = 320\,e^{kt}$ với $t \ge 0$.

c)Hằng số tốc độ phân rã của mẫu chất là $k = -\dfrac{\ln 2}{4}$.

d)Để khối lượng mẫu chất phóng xạ chỉ còn $40$ mg, cần đúng $8$ ngày kể từ thời điểm ban đầu.

Câu 59.Một mẫu đồng vị phóng xạ Radon-222 có khối lượng ban đầu là $320$ mg. Sau $3$ ngày, khối lượng của mẫu chất này phân rã và chỉ còn lại $160$ mg. Gọi $m(t)$ là khối lượng (mg) của mẫu chất tại thời điểm $t$ (ngày). Biết tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có: $m'(t) = k\,m(t)$ với $k$ là hằng số ($k < 0$), $t \ge 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Khối lượng của mẫu chất phóng xạ được tính bởi công thức $m(t) = 160\,e^{kt}$ với $t \ge 0$.

b)Để khối lượng mẫu chất phóng xạ chỉ còn $40$ mg, cần đúng $6$ ngày kể từ thời điểm ban đầu.

c)Sau $9$ ngày kể từ thời điểm ban đầu, khối lượng mẫu chất còn lại là $40$ mg.

d)Để khối lượng mẫu chất phóng xạ chỉ còn $40$ mg, cần đúng $9$ ngày kể từ thời điểm ban đầu.

Câu 60.Một mẫu đồng vị phóng xạ Radon-222 có khối lượng ban đầu là $320$ mg. Sau $3$ ngày, khối lượng của mẫu chất này phân rã và chỉ còn lại $160$ mg. Gọi $m(t)$ là khối lượng (mg) của mẫu chất tại thời điểm $t$ (ngày). Biết tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có: $m'(t) = k\,m(t)$ với $k$ là hằng số ($k < 0$), $t \ge 0$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Khối lượng mẫu chất giảm dần và tiến về $0$ khi $t \to +\infty$ (phân rã không bao giờ kết thúc hoàn toàn).

b)Để khối lượng mẫu chất phóng xạ chỉ còn $40$ mg, cần đúng $6$ ngày kể từ thời điểm ban đầu.

c)Khối lượng của mẫu chất phóng xạ được tính bởi công thức $m(t) = 320\,e^{kt}$ với $t \ge 0$.

d)Khối lượng của mẫu chất phóng xạ được tính bởi công thức $m(t) = 160\,e^{kt}$ với $t \ge 0$.

18. TF (Vận dụng): phân rã phóng xạ dạng TRỪU TƯỢNG theo hằng số phân rã $\lambda > 0$: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, chu kì bán rã $T$Đúng / Sai`radioactive_decay_lambda_constant_facts_tf`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Một chất phóng xạ có khối lượng ban đầu là $N_0$ và bị phân rã theo thời gian. Gọi $N(t)$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại tại thời điểm $t$. Biết tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có, $\lambda > 0$ là hằng số phân rã và $T$ (năm) là chu kì bán rã của chất (khoảng thời gian để khối lượng chất giảm còn một nửa). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Sau $T$ (năm) lượng chất phóng xạ còn lại một nửa so với lượng chất phóng xạ ban đầu.

b)Sau $3\,T$ lượng chất phóng xạ còn lại $25\%$.

c)$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.

d)Hằng số phân rã tính theo công thức $\lambda = \dfrac{T}{\ln 2}$.

Câu 62.Một chất phóng xạ có khối lượng ban đầu là $N_0$ và bị phân rã theo thời gian. Gọi $N(t)$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại tại thời điểm $t$. Biết tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có, $\lambda > 0$ là hằng số phân rã và $T$ (năm) là chu kì bán rã của chất (khoảng thời gian để khối lượng chất giảm còn một nửa). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Sau $T$ (năm) lượng chất phóng xạ còn lại một nửa so với lượng chất phóng xạ ban đầu.

b)Hằng số phân rã tính theo công thức $\lambda = \dfrac{T}{\ln 2}$.

c)$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.

d)Sau $4\,T$ lượng chất phóng xạ còn lại $10\%$.

Câu 63.Một chất phóng xạ có khối lượng ban đầu là $N_0$ và bị phân rã theo thời gian. Gọi $N(t)$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại tại thời điểm $t$. Biết tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có, $\lambda > 0$ là hằng số phân rã và $T$ (ngày) là chu kì bán rã của chất (khoảng thời gian để khối lượng chất giảm còn một nửa). Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

a)Hằng số phân rã tính theo công thức $\lambda = \dfrac{T}{\ln 2}$.

b)Sau $T$ (ngày) lượng chất phóng xạ còn lại một nửa so với lượng chất phóng xạ ban đầu.

c)Sau $2\,T$ lượng chất phóng xạ còn lại $50\%$.

d)$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.

19. Tăng trưởng mũ LIÊN TỤC $A = P\,e^{rt}$: cho $P$, tỉ lệ $r$/năm, sau $t$ năm tính dân số $A$ (làm tròn)Trả lời ngắn`continuous_growth_future_value_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 64.Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ $A = P\,e^{rt}$, trong đó $P$ là dân số năm lấy làm mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Dân số của một thành phố hiện đạt $4,5$ triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm được duy trì ổn định ở mức $1,32\%$ thì sau $10$ năm nữa, dân số của thành phố đó đạt bao nhiêu triệu người? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 65.Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ $A = P\,e^{rt}$, trong đó $P$ là dân số năm lấy làm mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Dân số của một thành phố hiện đạt $5,2$ triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm được duy trì ổn định ở mức $0,95\%$ thì sau $15$ năm nữa, dân số của thành phố đó đạt bao nhiêu triệu người?

Câu 66.Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ $A = P\,e^{rt}$, trong đó $P$ là dân số năm lấy làm mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Dân số của một thành phố hiện đạt $3,6$ triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm được duy trì ổn định ở mức $1,5\%$ thì sau $12$ năm nữa, dân số của thành phố đó đạt bao nhiêu triệu người? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

20. Hỏi NGƯỢC mô hình $A = P\,e^{rt}$: cho $P, A, t$ tìm tỉ lệ tăng trưởng $r$ (theo %/năm, làm tròn)Trả lời ngắn`continuous_growth_rate_reverse_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 67.Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức $A = P\,e^{rt}$, trong đó $P$ là dân số mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Một thành phố có dân số mốc $1,8$ triệu người, sau $10$ năm dân số đạt $2,14$ triệu người. Hỏi tỉ lệ tăng dân số hằng năm $r$ của thành phố đó bằng bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 68.Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức $A = P\,e^{rt}$, trong đó $P$ là dân số mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Một thành phố có dân số mốc $5,0$ triệu người, sau $15$ năm dân số đạt $5,79$ triệu người. Hỏi tỉ lệ tăng dân số hằng năm $r$ của thành phố đó bằng bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 69.Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức $A = P\,e^{rt}$, trong đó $P$ là dân số mốc, $A$ là dân số sau $t$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Một thành phố có dân số mốc $2,0$ triệu người, sau $8$ năm dân số đạt $2,43$ triệu người. Hỏi tỉ lệ tăng dân số hằng năm $r$ của thành phố đó bằng bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

21. Suy giảm mũ theo độ sâu $I = I_0\,a^d$: cho cường độ ở độ sâu $1$ m bằng $p\%$ ở mặt nước ($a = p/100$), tính TỈ LỆ cường độ ở độ sâu $d_2$ so với độ sâu $d_1$: $\dfrac{I(d_2)}{I(d_1)} = a^{\,d_2 - d_1}$ (làm tròn)Trả lời ngắn`exp_decay_ratio_two_depths_sa`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 70.Cường độ ánh sáng $I$ dưới mặt nước biển giảm dần theo độ sâu theo công thức $I = I_0\cdot a^{d}$, trong đó $I_0$ là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, $a$ là một hằng số dương, $d$ là độ sâu tính từ mặt nước biển (đơn vị mét). Ở một vùng biển, cường độ ánh sáng tại độ sâu $1$ m bằng $98\%$ cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Tính tỉ lệ giữa cường độ ánh sáng tại độ sâu $40$ m so với cường độ ánh sáng tại độ sâu $20$ m ở vùng biển đó. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 71.Cường độ ánh sáng $I$ dưới mặt nước biển giảm dần theo độ sâu theo công thức $I = I_0\cdot a^{d}$, trong đó $I_0$ là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, $a$ là một hằng số dương, $d$ là độ sâu tính từ mặt nước biển (đơn vị mét). Ở một vùng biển, cường độ ánh sáng tại độ sâu $1$ m bằng $90\%$ cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Tính tỉ lệ giữa cường độ ánh sáng tại độ sâu $10$ m so với cường độ ánh sáng tại độ sâu $5$ m ở vùng biển đó. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 72.Cường độ ánh sáng $I$ dưới mặt nước biển giảm dần theo độ sâu theo công thức $I = I_0\cdot a^{d}$, trong đó $I_0$ là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, $a$ là một hằng số dương, $d$ là độ sâu tính từ mặt nước biển (đơn vị mét). Ở một vùng biển, cường độ ánh sáng tại độ sâu $1$ m bằng $95\%$ cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Tính tỉ lệ giữa cường độ ánh sáng tại độ sâu $20$ m so với cường độ ánh sáng tại độ sâu $10$ m ở vùng biển đó. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

22. Tính $f(x_0)$ của $y = a^x$Trả lời ngắn`exp_function_eval`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 73.Cho $f(x) = 2^x$. Tính $f(1)$.

Câu 74.Cho $f(x) = 2^x$. Tính $f(3)$.

Câu 75.Cho $f(x) = 3^x$. Tính $f(2)$.

23. Tính $g(x_0) = \log_a x_0$Trả lời ngắn`log_function_eval`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 76.Cho $g(x) = \log_{3} x$. Tính $g(9)$.

Câu 77.Cho $g(x) = \log_{5} x$. Tính $g(25)$.

Câu 78.Cho $g(x) = \log_{2} x$. Tính $g(8)$.

24. Cùng cấu hình; hỏi hoành độ điểm B (hoặc của A)Trả lời ngắn`log_graph_midpoint_find_xB`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 79.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{3}(4x-3)$, trong đó $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Tìm hoành độ của điểm $B$.

Câu 80.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{2}(4x-8)$, trong đó $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Tìm hoành độ của điểm $B$.

Câu 81.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{3}(3x-3)$, trong đó $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Tìm hoành độ của điểm $A$.

25. A là trung điểm OB trên đồ thị logarit; AB=√a/b tối giản, tính a·bTrả lời ngắn`log_graph_midpoint_OB_segment_ab`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 82.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{3}(5x-3)$, trong đó $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Biết độ dài $AB=\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ ở dạng tối giản ($a$ không chính phương). Tính $a\cdot b$.

Câu 83.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{2}(4x-8)$, trong đó $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Biết độ dài $AB=\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ ở dạng tối giản ($a$ không chính phương). Tính $a\cdot b$.

Câu 84.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{3}(4x-3)$, trong đó $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Biết độ dài $AB=\dfrac{\sqrt{a}}{b}$ ở dạng tối giản ($a$ không chính phương). Tính $a\cdot b$.

26. Cùng cấu hình; hỏi trực tiếp độ dài AB hoặc OB (làm tròn)Trả lời ngắn`log_graph_midpoint_segment_length_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 85.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{3}(3x-3)$, với $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Tính độ dài đoạn $OB$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 86.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{3}(5x-3)$, với $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Tính độ dài đoạn $OB$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 87.Cho hai điểm $A,B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\log_{3}(2x-3)$, với $A$ là trung điểm của đoạn $OB$ ($O$ là gốc toạ độ). Tính độ dài đoạn $AB$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Tính chất(2)

§3. Công thức(1)

§4. Mẹo(1)

Bài tập

1. Đạo hàm của $y = a^x$ ($a > 0,\ a \neq 1$); đáp án ghi dạng $y' = \dots$Trắc nghiệmderivative_exp_function_base_a_prefixed(3 câu)

2. Chọn công thức đạo hàm đúng của $y = a^x$ hoặc $y = \log_a x$Trắc nghiệmderivative_exp_log_basic_formula(6 câu)

3. Cho vài công thức đạo hàm mũ/log, chọn khẳng định ĐÚNGTrắc nghiệmderivative_exp_log_identify_true_statement(6 câu)

4. Tính giá trị đạo hàm $f'(x_0)$ tại điểm cụ thể cho hàm mũ/logTrắc nghiệmderivative_exp_value_at_point(6 câu)

5. Tập xác định và tập giá trị của $y = a^x$Trắc nghiệmexp_function_domain_range(3 câu)

6. Tính giá trị $f(x_0)$ của hàm $y = a^x$Trắc nghiệmexp_function_value(3 câu)

7. Tính đơn điệu của hàm mũ và hàm logarit theo cơ sốTrắc nghiệmexp_log_monotonicity(3 câu)

8. Cho đồ thị $y = a^x$ đi qua điểm $(1, a)$ — đọc cơ số $a$ từ hìnhTrắc nghiệmidentify_exp_base_from_graph(3 câu)

9. Cho đồ thị $y = \log_a x$ đi qua điểm $(a^k, k)$ — đọc cơ số $a$Trắc nghiệmidentify_log_base_from_graph(3 câu)

10. VDC (TF): hàm hợp siêu việt của đa thức bậc ba $g(x)=x^3-3x+q$ — dạng $y=\log_b\big(g(x)\big)$ hoặc $y=a^{\,g(x)}$Đúng / Saicomposite_transcendental_cubic_extrema_facts_tf(3 câu)

11. TF (Vận dụng cao): nồng độ chất giảm theo hàm mũ $y(x) = A\,e^{-\lambda x}$ (x tính bằng giây)Đúng / Saiconcentration_log_linear_average_facts_tf(3 câu)

12. Cho hàm $y = \log_a x$ với $a$ cụ thể — xét TXĐ, đơn điệu, đồ thị đối xứng qua $y = x$ với hàm mũ tương ứngĐúng / Saiexp_log_function_examples(3 câu)

13. VDC (TF): Mô hình tăng trưởng $N(t) = A \cdot e^{kt}$ thoả $N'(t) = k N(t)$Đúng / Saiexponential_population_growth_facts(3 câu)

14. VDC++ (TF): Mô hình suy giảm trí nhớ $f(t) = a - b \cdot \ln(c t + 1)$ — % kiến thức còn nhớ sau $t$ thángĐúng / Saiknowledge_decay_log_facts(3 câu)

15. VDC (TF): Hàm hợp $f(x) = \ln(4 e x - x^2)$Đúng / Sailn_quadratic_composition_facts(3 câu)

16. VDC++ (TF): Định luật Newton về làm lạnhĐúng / Sainewton_cooling_facts(3 câu)

17. VDC (TF): phân rã phóng xạ $m'(t) = k\,m(t)$ (giảm) với $k < 0$Đúng / Sairadioactive_decay_halflife_facts_tf(3 câu)

18. TF (Vận dụng): phân rã phóng xạ dạng TRỪU TƯỢNG theo hằng số phân rã $\lambda > 0$: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, chu kì bán rã $T$Đúng / Sairadioactive_decay_lambda_constant_facts_tf(3 câu)

19. Tăng trưởng mũ LIÊN TỤC $A = P\,e^{rt}$: cho $P$, tỉ lệ $r$/năm, sau $t$ năm tính dân số $A$ (làm tròn)Trả lời ngắncontinuous_growth_future_value_sa(3 câu)

20. Hỏi NGƯỢC mô hình $A = P\,e^{rt}$: cho $P, A, t$ tìm tỉ lệ tăng trưởng $r$ (theo %/năm, làm tròn)Trả lời ngắncontinuous_growth_rate_reverse_sa(3 câu)

22. Tính $f(x_0)$ của $y = a^x$Trả lời ngắnexp_function_eval(3 câu)

23. Tính $g(x_0) = \log_a x_0$Trả lời ngắnlog_function_eval(3 câu)

24. Cùng cấu hình; hỏi hoành độ điểm B (hoặc của A)Trả lời ngắnlog_graph_midpoint_find_xB(3 câu)

25. A là trung điểm OB trên đồ thị logarit; AB=√a/b tối giản, tính a·bTrả lời ngắnlog_graph_midpoint_OB_segment_ab(3 câu)

26. Cùng cấu hình; hỏi trực tiếp độ dài AB hoặc OB (làm tròn)Trả lời ngắnlog_graph_midpoint_segment_length_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Đạo hàm của $y = a^x$ ($a > 0,\ a \neq 1$); đáp án ghi dạng $y' = \dots$Trắc nghiệm`derivative_exp_function_base_a_prefixed`(3 câu)

2. Chọn công thức đạo hàm đúng của $y = a^x$ hoặc $y = \log_a x$Trắc nghiệm`derivative_exp_log_basic_formula`(6 câu)

3. Cho vài công thức đạo hàm mũ/log, chọn khẳng định ĐÚNGTrắc nghiệm`derivative_exp_log_identify_true_statement`(6 câu)

4. Tính giá trị đạo hàm $f'(x_0)$ tại điểm cụ thể cho hàm mũ/logTrắc nghiệm`derivative_exp_value_at_point`(6 câu)

5. Tập xác định và tập giá trị của $y = a^x$Trắc nghiệm`exp_function_domain_range`(3 câu)

6. Tính giá trị $f(x_0)$ của hàm $y = a^x$Trắc nghiệm`exp_function_value`(3 câu)

7. Tính đơn điệu của hàm mũ và hàm logarit theo cơ sốTrắc nghiệm`exp_log_monotonicity`(3 câu)

8. Cho đồ thị $y = a^x$ đi qua điểm $(1, a)$ — đọc cơ số $a$ từ hìnhTrắc nghiệm`identify_exp_base_from_graph`(3 câu)

9. Cho đồ thị $y = \log_a x$ đi qua điểm $(a^k, k)$ — đọc cơ số $a$Trắc nghiệm`identify_log_base_from_graph`(3 câu)

10. VDC (TF): hàm hợp siêu việt của đa thức bậc ba $g(x)=x^3-3x+q$ — dạng $y=\log_b\big(g(x)\big)$ hoặc $y=a^{\,g(x)}$Đúng / Sai`composite_transcendental_cubic_extrema_facts_tf`(3 câu)

11. TF (Vận dụng cao): nồng độ chất giảm theo hàm mũ $y(x) = A\,e^{-\lambda x}$ (x tính bằng giây)Đúng / Sai`concentration_log_linear_average_facts_tf`(3 câu)

12. Cho hàm $y = \log_a x$ với $a$ cụ thể — xét TXĐ, đơn điệu, đồ thị đối xứng qua $y = x$ với hàm mũ tương ứngĐúng / Sai`exp_log_function_examples`(3 câu)

13. VDC (TF): Mô hình tăng trưởng $N(t) = A \cdot e^{kt}$ thoả $N'(t) = k N(t)$Đúng / Sai`exponential_population_growth_facts`(3 câu)

14. VDC++ (TF): Mô hình suy giảm trí nhớ $f(t) = a - b \cdot \ln(c t + 1)$ — % kiến thức còn nhớ sau $t$ thángĐúng / Sai`knowledge_decay_log_facts`(3 câu)

15. VDC (TF): Hàm hợp $f(x) = \ln(4 e x - x^2)$Đúng / Sai`ln_quadratic_composition_facts`(3 câu)

16. VDC++ (TF): Định luật Newton về làm lạnhĐúng / Sai`newton_cooling_facts`(3 câu)

17. VDC (TF): phân rã phóng xạ $m'(t) = k\,m(t)$ (giảm) với $k < 0$Đúng / Sai`radioactive_decay_halflife_facts_tf`(3 câu)

18. TF (Vận dụng): phân rã phóng xạ dạng TRỪU TƯỢNG theo hằng số phân rã $\lambda > 0$: $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$, chu kì bán rã $T$Đúng / Sai`radioactive_decay_lambda_constant_facts_tf`(3 câu)

19. Tăng trưởng mũ LIÊN TỤC $A = P\,e^{rt}$: cho $P$, tỉ lệ $r$/năm, sau $t$ năm tính dân số $A$ (làm tròn)Trả lời ngắn`continuous_growth_future_value_sa`(3 câu)

20. Hỏi NGƯỢC mô hình $A = P\,e^{rt}$: cho $P, A, t$ tìm tỉ lệ tăng trưởng $r$ (theo %/năm, làm tròn)Trả lời ngắn`continuous_growth_rate_reverse_sa`(3 câu)

22. Tính $f(x_0)$ của $y = a^x$Trả lời ngắn`exp_function_eval`(3 câu)

23. Tính $g(x_0) = \log_a x_0$Trả lời ngắn`log_function_eval`(3 câu)

24. Cùng cấu hình; hỏi hoành độ điểm B (hoặc của A)Trả lời ngắn`log_graph_midpoint_find_xB`(3 câu)

25. A là trung điểm OB trên đồ thị logarit; AB=√a/b tối giản, tính a·bTrả lời ngắn`log_graph_midpoint_OB_segment_ab`(3 câu)

26. Cùng cấu hình; hỏi trực tiếp độ dài AB hoặc OB (làm tròn)Trả lời ngắn`log_graph_midpoint_segment_length_value`(3 câu)