Phương trình và bất phương trình mũ

Công thức

§1. Công thức(2)

1.1

Phương trình mũ cơ bản

Cho $a > 0, a \neq 1$: $$a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x).$$ $$a^{f(x)} = b \, (b > 0) \Leftrightarrow f(x) = \log_a b.$$ $$a^{f(x)} = b \, (b \leq 0) \Rightarrow \text{vô nghiệm}.$$

1.2

Bất phương trình mũ cơ bản

Cho $a > 0, a \neq 1$:

$a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (giữ chiều).
$0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (đổi chiều).

Tương tự với $\geq, <, \leq$.

§2. Phương pháp(4)

2.1

Phương trình đẳng cấp $a^{2x} + b^{2x} + ab \cdot ?$

Phương trình $A \cdot a^{2x} + B \cdot (ab)^x + C \cdot b^{2x} = 0$: Bước 1. Chia 2 vế cho $b^{2x}$ (hoặc $a^{2x}$). Bước 2. Đặt $t = (a/b)^x > 0$. Bước 3. Quy về phương trình bậc 2 theo $t$.

2.2

Phương pháp logarit hoá

Khi không thể đưa về cùng cơ số: lấy log 2 vế. $a^{f(x)} = b^{g(x)} \Rightarrow f(x) \log a = g(x) \log b$. Vd: $3^x \cdot 5^{x+1} = 15 \Leftrightarrow \log(3^x \cdot 5^{x+1}) = \log 15$. Áp dụng tính chất logarit để biến đổi → phương trình đại số.

2.3

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Bước 1. Biến đổi 2 vế về dạng $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Bước 2. Suy ra $f(x) = g(x)$. Bước 3. Giải phương trình đại số. Vd: $4^x = 8^{x-1} \Leftrightarrow 2^{2x} = 2^{3(x-1)} \Leftrightarrow 2x = 3x - 3 \Leftrightarrow x = 3$.

2.4

Phương pháp đặt ẩn phụ

Dùng cho phương trình dạng $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$: Bước 1. Đặt $t = a^x$ với $t > 0$. Bước 2. Quy về phương trình bậc 2: $A t^2 + B t + C = 0$. Bước 3. Giải tìm $t$, loại nghiệm $t \leq 0$. Bước 4. Trở lại biến cũ: $x = \log_a t$. Vd: $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Đặt $t = 2^x > 0$: $t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1$ hoặc $t = 4 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

§3. Mẹo(2)

3.1

Mẹo: dấu BPT đổi theo cơ số

BPT mũ $a^{f(x)} \, \square \, a^{g(x)}$ với $\square \in \{<, >, \leq, \geq\}$:

$a > 1$ (đồng biến): giữ dấu → $f(x) \, \square \, g(x)$.
$0 < a < 1$ (nghịch biến): đổi dấu → $f(x) \, \square' \, g(x)$ ($\square'$ ngược).

Nếu quên: thử với $x = 1$ và cơ số mẫu (vd $a = 2$ hay $a = 1/2$) để kiểm tra dấu đúng.

3.2

Mẹo nhận dạng phương trình mũ

Hai vế cùng cơ số (hoặc dễ đưa về cùng cơ số) → cùng cơ số.
Có $a^{2x}$ và $a^x$ → đặt ẩn phụ $t = a^x$.
Có $a^{2x}, (ab)^x, b^{2x}$ → chia rồi đặt ẩn phụ $t = (a/b)^x$.
Không quy về cùng cơ số được → logarit hoá.

§4. Lưu ý(1)

4.1!

Lưu ý: $t = a^x > 0$

Khi đặt ẩn phụ $t = a^x$ phải kèm điều kiện $t > 0$. Giải phương trình bậc 2 theo $t$ → loại nghiệm $t \leq 0$ trước khi quay về $x$. Bài làm bỏ quên bước này thường bị trừ điểm hoặc sai số nghiệm.

Bài tập

1. Tài chính: thời gian để vốn $V_0$ với lãi suất kép $r$%/năm đạt mức $V$Trắc nghiệm`compound_interest_time_to_target`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 1.Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 5\%/năm tính theo thể thức lãi kép (lãi nhập gốc hằng năm). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó nhận được tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) ít nhất 200 triệu đồng?

A.$n = 17$

B.$n = 16$

C.$n = 14$

D.$n = 15$

Câu 2.Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 5\%/năm tính theo thể thức lãi kép (lãi nhập gốc hằng năm). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó nhận được tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) ít nhất 200 triệu đồng?

A.$n = 14$

B.$n = 16$

C.$n = 17$

D.$n = 15$

Câu 3.Một người gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6\%/năm tính theo thể thức lãi kép (lãi nhập gốc hằng năm). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì người đó nhận được tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) ít nhất 400 triệu đồng?

A.$n = 12$

B.$n = 13$

C.$n = 11$

D.$n = 14$

2. Giải $a^x = a^k$ → $x = k$Trắc nghiệm`exp_equation_basic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 4.Giải phương trình $3^x = 243$.

A.$x = 243$

B.$x = -5$

C.$x = 3$

D.$x = 5$

Câu 5.Giải phương trình $3^x = 81$.

A.$x = 4$

B.$x = -4$

C.$x = 81$

D.$x = 3$

Câu 6.Giải phương trình $5^x = 3125$.

A.$x = 0$

B.$x = 5$

C.$x = -5$

D.$x = 3125$

3. Giải $a^x = b^y$ dạng $2^x = 4$ → đưa về cùng cơ sốTrắc nghiệm`exp_equation_different_base`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Giải phương trình $2^x = \dfrac{1}{4}$.

A.$x = 2$

B.$x = 3$

C.$x = -3$

D.$x = -2$

Câu 8.Giải phương trình $4^x = 8$.

A.$x = \dfrac{3}{2}$

B.$x = -2$

C.$x = 2$

D.$x = 3$

Câu 9.Giải phương trình $9^x = 27$.

A.$x = 2$

B.$x = -2$

C.$x = 3$

D.$x = \dfrac{3}{2}$

4. Trường hợp đặc biệt $b=1$: $a^{lx+m} - 1 = 0 \Leftrightarrow a^{lx+m}=1 \Leftrightarrow lx+m=0$Trắc nghiệm`exp_equation_equals_one_special`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tập nghiệm của phương trình $3^{x - 3} - 1 = 0$ là

A.x = -3

B.$x = 3$

C.\text{Phương trình vô nghiệm}

D.x = 0

Câu 11.Tập nghiệm của phương trình $5^{x - 1} - 1 = 0$ là

A.x = -1

B.\text{Phương trình vô nghiệm}

C.$x = 1$

D.x = 0

Câu 12.Tập nghiệm của phương trình $2^{2x - 2} - 1 = 0$ là

A.$x = 1$

B.x = 2

C.\text{Phương trình vô nghiệm}

D.x = -1

5. Phương trình $a^{lx+m} = a^k$ giải $x$Trắc nghiệm`exp_equation_linear_exponent`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 13.Nghiệm của phương trình $2^{2x + 3} = 128$ là

A.$x = \dfrac{4}{3}$

B.$x = 7$

C.$x = 2$

D.$x = 5$

Câu 14.Nghiệm của phương trình $5^{1x + 2} = 125$ là

A.$x = 1$

B.$x = \dfrac{1}{2}$

C.$x = 3$

D.$x = 5$

Câu 15.Nghiệm của phương trình $5^{1x + 2} = 125$ là

A.$x = 3$

B.$x = 5$

C.$x = 1$

D.$x = \dfrac{1}{2}$

6. Hỏi NGƯỢC: cho phương trình $a^{lx+m} - b = 0$ nhận $x_0$ làm nghiệm, xác định hằng số $b$Trắc nghiệm`exp_equation_move_constant_reverse`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Biết phương trình $5^{x} - b = 0$ nhận $x = 2$ làm nghiệm. Giá trị của hằng số $b$ là

A.b = \dfrac{1}{25}

B.b = 125

C.b = 5

D.$b = 25$

Câu 17.Biết phương trình $2^{x} - b = 0$ nhận $x = 0$ làm nghiệm. Giá trị của hằng số $b$ là

A.$b = 1$

B.b = \dfrac{1}{2}

C.b = 4

D.b = 2

Câu 18.Biết phương trình $2^{2x + 3} - b = 0$ nhận $x = -1$ làm nghiệm. Giá trị của hằng số $b$ là

A.$b = 2$

B.b = 4

C.b = \dfrac{1}{2}

D.b = \dfrac{1}{32}

7. Giải $a^{lx+m} - b = 0$ (chuyển vế $a^{lx+m}=b$, đưa cùng cơ số) — tìm $x$Trắc nghiệm`exp_equation_move_constant_solution`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Tập nghiệm của phương trình $5^{x + 3} - 25 = 0$ là

A.$x = -1$

B.x = 2

C.x = 22

D.x = 5

Câu 20.Tập nghiệm của phương trình $2^{x + 3} - 2 = 0$ là

A.x = -1

B.$x = -2$

C.x = 4

D.x = 1

Câu 21.Tập nghiệm của phương trình $2^{x + 3} - 8 = 0$ là

A.x = 5

B.x = 3

C.x = 6

D.$x = 0$

8. Giải $a^{2x} - 5 \cdot a^x + 4 = 0$ — đặt ẩn phụ $t = a^x$Trắc nghiệm`exp_equation_quadratic_substitution`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Giải phương trình $2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

A.$x = 0,\ x = 4$

B.$x = 1$

C.$x = 4$

D.$x = 0,\ x = 2$

Câu 23.Giải phương trình $2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

A.$x = 4$

B.$x = 0,\ x = 2$

C.$x = 0,\ x = 4$

D.$x = 1$

Câu 24.Giải phương trình $2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

A.$x = 1$

B.$x = 0,\ x = 4$

C.$x = 0,\ x = 2$

D.$x = 4$

9. Phương trình $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ — đặt $t = 2^x > 0$Trắc nghiệm`exp_equation_quadratic_via_substitution_t`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 25.Số nghiệm thực của phương trình $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$ là:

A.0 nghiệm

B.1 nghiệm

C.2 nghiệm

D.3 nghiệm

Câu 26.Số nghiệm thực của phương trình $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$ là:

A.1 nghiệm

B.0 nghiệm

C.2 nghiệm

D.3 nghiệm

Câu 27.Số nghiệm thực của phương trình $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$ là:

A.3 nghiệm

B.0 nghiệm

C.1 nghiệm

D.2 nghiệm

10. Phương trình mũ $a^{x-c} = b$ với $b$ KHÔNG là lũy thừa nguyên của $a$: $x - c = \log_a b \Rightarrow x = c + \log_a b = \log_a(a^c\,b)$Trắc nghiệm`exp_equation_shift_log_nonpower`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 28.Nghiệm của phương trình $2^{x - 3} = 7$ là

A.$x = 10$

B.$x = 3 + \log_{7} 2$

C.$x = \log_{2} 56$

D.$x = \log_{2} 7$

Câu 29.Nghiệm của phương trình $2^{x - 3} = 7$ là

A.$x = 10$

B.$x = \log_{2} 7$

C.$x = \log_{2} 56$

D.$x = 3 + \log_{7} 2$

Câu 30.Nghiệm của phương trình $5^{x - 1} = 3$ là

A.$x = \log_{5} 3$

B.$x = 1 + \log_{3} 5$

C.$x = \log_{5} 15$

D.$x = 4$

11. Phương trình mũ cơ bản $b^{x-c} = b^k$ — giải $x = k + c$ (hệ số $x$ = 1)Trắc nghiệm`exp_equation_simple_base_power_rhs`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Nghiệm của phương trình $2^{x - 3} = 4$ là

A.$x = -1$

B.$x = 5$

C.$x = 2$

D.$x = 4$

Câu 32.Nghiệm của phương trình $2^{x - 2} = 16$ là

A.$x = 16$

B.$x = 4$

C.$x = 6$

D.$x = 2$

Câu 33.Nghiệm của phương trình $3^{x - 1} = 27$ là

A.$x = 3$

B.$x = 27$

C.$x = 2$

D.$x = 4$

12. Giải $a^x = b$ ($b$ không phải lũy thừa nguyên của $a$) — $x = \log_a b$Trắc nghiệm`exp_equation_take_log`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 34.Giải phương trình $5^x = 11$.

A.$x = \log_5 11$

B.$x = \log_11 5$

C.$x = 11$

D.$x = 5$

Câu 35.Giải phương trình $2^x = 5$.

A.$x = 5$

B.$x = \log_5 2$

C.$x = \log_2 5$

D.$x = 2$

Câu 36.Giải phương trình $2^x = 5$.

A.$x = \log_2 5$

B.$x = 5$

C.$x = \log_5 2$

D.$x = 2$

13. $4^x - m \cdot 2^x + (m-1) = 0$ — tìm $m$ để có 2 nghiệm phân biệtTrắc nghiệm`exp_equation_with_param_two_solutions`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 37.Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x - m\cdot 2^x + (m - 1) = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A.$m > 2$

B.$m \geq 1$

C.$m > 1$

D.$m > 1 \text{ và } m \neq 2$

Câu 38.Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x - m\cdot 2^x + (m - 1) = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A.$m > 1 \text{ và } m \neq 2$

B.$m > 2$

C.$m > 1$

D.$m \geq 1$

Câu 39.Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $4^x - m\cdot 2^x + (m - 1) = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

A.$m > 1$

B.$m > 1 \text{ và } m \neq 2$

C.$m > 2$

D.$m \geq 1$

14. Bất phương trình mũ số mũ tuyến tính, cơ số <1 hoặc >1, vế phải lũy thừa âm/phân số — tìm tập nghiệm $x$ (cơ số <1 ĐẢO chiều)Trắc nghiệm`exp_ineq_param_linear_solution`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 40.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(2\right)^{2x + 3} < 4$ là

A.x > \dfrac{-1}{2}

B.x < \dfrac{5}{2}

C.x < \dfrac{-5}{2}

D.$x < \dfrac{-1}{2}$

Câu 41.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 2} > \dfrac{1}{8}$ là

A.x > \dfrac{1}{2}

B.x < \dfrac{5}{2}

C.$x < \dfrac{1}{2}$

D.x < \dfrac{-5}{2}

Câu 42.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x - 3} \ge \dfrac{1}{2}$ là

A.x \le -1

B.x \le 1

C.x \ge 2

D.$x \le 2$

15. Hỏi NGƯỢC / ĐẾM: đếm số nghiệm NGUYÊN của bất phương trình mũ bậc hai (cơ số <1 đảo chiều ⇒ đoạn [r1;r2]) — đếm số nguyên trong đoạn nghiệmTrắc nghiệm`exp_ineq_param_reverse_or_count`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 43.Bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x} > \dfrac{1}{8}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$5$

B.$4$

C.$3$

D.Vô số

Câu 44.Bất phương trình $\left(2\right)^{x^2 - 2x} < 8$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$4$

B.$3$

C.Vô số

D.$5$

Câu 45.Bất phương trình $\left(2\right)^{x^2 + x} < 4$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$3$

B.$2$

C.$4$

D.$1$

16. Bất phương trình mũ số mũ BẬC HAI: $a^{x^2+bx} \,\mathrm{rel}\, a^m$Trắc nghiệm`exp_ineq_quadratic_exponent_solution`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 46.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(3\right)^{x^2 + 3x} > 1$ là

A.(-\infty;\,-3] \cup [0;\,+\infty)

B.(-3;\,0)

C.x > 0

D.$(-\infty;\,-3) \cup (0;\,+\infty)$

Câu 47.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(2\right)^{x^2} \le 2$ là

A.(-1;\,1)

B.x \le 1

C.(-\infty;\,-1] \cup [1;\,+\infty)

D.$[-1;\,1]$

Câu 48.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} < \dfrac{1}{27}$ là

A.(-\infty;\,-1] \cup [3;\,+\infty)

B.$(-\infty;\,-1) \cup (3;\,+\infty)$

C.(-1;\,3)

D.x > 3

17. Giải $a^x > a^k$ → $x > k$ (nếu $a > 1$)Trắc nghiệm`exp_inequality_basic`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 49.Giải bất phương trình $2^x > 2$.

A.$x \geq 1$

B.$x > 1$

C.$x < 1$

D.$x = 1$

Câu 50.Giải bất phương trình $3^x > 27$.

A.$x = 3$

B.$x \geq 3$

C.$x < 3$

D.$x > 3$

Câu 51.Giải bất phương trình $3^x > 27$.

A.$x > 3$

B.$x \geq 3$

C.$x < 3$

D.$x = 3$

18. Cùng bất phương trình mũ bậc hai nhưng hỏi SỐ NGHIỆM NGUYÊNTrắc nghiệm`exp_inequality_quadratic_count_integer_solutions`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 52.Bất phương trình $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - x} \ge 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$4$

B.$2$

C.$0$

D.$3$

Câu 53.Bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} > 1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$1$

B.$3$

C.$4$

D.$2$

Câu 54.Bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - x} > \dfrac{1}{4}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$1$

B.$4$

C.$3$

D.$2$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 55.Bất phương trình $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - x} \ge \dfrac{1}{9}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$5$

B.$4$

C.$2$

D.$6$

Câu 56.Bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 2} \ge \dfrac{1}{4}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$3$

B.$7$

C.$5$

D.$6$

Câu 57.Bất phương trình $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4} > 27$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A.$0$

B.$3$

C.$1$

D.$2$

19. Biến thể cơ số $a>1$ GIỮ chiều: $a^{P(x)}\,\mathrm{rel}\,a^q$ với $P$ bậc haiTrắc nghiệm`exp_inequality_quadratic_exponent_base_gt1`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 58.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(2\right)^{x^2 - 4} \le 1$ là

A.$(-2;\,2)$

B.$[-2;\,2]$

C.$[2;\,-2]$

D.$(-\infty;\,-2] \cup [2;\,+\infty)$

Câu 59.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(3\right)^{x^2 - 2x} < 27$ là

A.$(-\infty;\,-1) \cup (3;\,+\infty)$

B.$[-1;\,3]$

C.$(-1;\,3)$

D.$(3;\,-1)$

Câu 60.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(3\right)^{x^2 - 1} > 1$ là

A.$(-1;\,1)$

B.$(-\infty;\,-1] \cup [1;\,+\infty)$

C.$(-\infty;\,1) \cup (-1;\,+\infty)$

D.$(-\infty;\,-1) \cup (1;\,+\infty)$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(3\right)^{x^2 - 1} > 1$ là

A.$(-\infty;\,-1] \cup [1;\,+\infty)$

B.$(-\infty;\,-1) \cup (1;\,+\infty)$

C.$(-1;\,1)$

D.$(-\infty;\,1) \cup (-1;\,+\infty)$

Câu 62.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(3\right)^{x^2 - 2x} \ge 27$ là

A.$(-\infty;\,3] \cup [-1;\,+\infty)$

B.$(-\infty;\,-1] \cup [3;\,+\infty)$

C.$[-1;\,3]$

D.$(-\infty;\,-1) \cup (3;\,+\infty)$

Câu 63.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(2\right)^{x^2 - 3x} \ge 1$ là

A.$(-\infty;\,0) \cup (3;\,+\infty)$

B.$[0;\,3]$

C.$(-\infty;\,0] \cup [3;\,+\infty)$

D.$(-\infty;\,3] \cup [0;\,+\infty)$

20. Tập nghiệm của $a^{P(x)}\,\mathrm{rel}\,a^q$ với $P$ bậc hai ($x^2-sx$ hoặc $x^2-n$), cơ số $a\in(0;1)$ ĐẢO chiều ⇒ bất phương trình bậc haiTrắc nghiệm`exp_inequality_quadratic_exponent_solution_set`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 64.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 2x} > \dfrac{1}{27}$ là

A.$[-1;\,3]$

B.$(3;\,-1)$

C.$(-\infty;\,-1) \cup (3;\,+\infty)$

D.$(-1;\,3)$

Câu 65.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 6} \ge 9$ là

A.$(-\infty;\,-2] \cup [2;\,+\infty)$

B.$[2;\,-2]$

C.$[-2;\,2]$

D.$(-2;\,2)$

Câu 66.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4} < 1$ là

A.$(-\infty;\,2) \cup (-2;\,+\infty)$

B.$(-\infty;\,-2) \cup (2;\,+\infty)$

C.$(-\infty;\,-2] \cup [2;\,+\infty)$

D.$(-2;\,2)$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 67.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 1} > 1$ là

A.$(-1;\,1)$

B.$(1;\,-1)$

C.$(-\infty;\,-1) \cup (1;\,+\infty)$

D.$[-1;\,1]$

Câu 68.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 2} \ge \dfrac{1}{9}$ là

A.$(-\infty;\,-2] \cup [2;\,+\infty)$

B.$[-2;\,2]$

C.$(-2;\,2)$

D.$[2;\,-2]$

Câu 69.Tập nghiệm của bất phương trình $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} \ge 1$ là

A.$(0;\,3)$

B.$(-\infty;\,0] \cup [3;\,+\infty)$

C.$[0;\,3]$

D.$[3;\,0]$

21. Bất phương trình mũ cơ bản $a^x \,\mathrm{rel}\, \dfrac{1}{a^j}$ ($a>1$): đưa vế phải về $a^{-j}$, GIỮ chiều ⇒ $x \,\mathrm{rel}\, -j$Trắc nghiệm`exp_inequality_rhs_unit_fraction`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 70.Tập nghiệm của bất phương trình $2^x > \dfrac{1}{4}$ là

A.$(-\infty; 2)$

B.$(-\infty; -2)$

C.$(2; +\infty)$

D.$(-2; +\infty)$

Câu 71.Tập nghiệm của bất phương trình $3^x > \dfrac{1}{3}$ là

A.$(-\infty; 1)$

B.$(-\infty; -1)$

C.$(-1; +\infty)$

D.$(1; +\infty)$

Câu 72.Tập nghiệm của bất phương trình $2^x \le \dfrac{1}{8}$ là

A.$(-\infty; -3]$

B.$[-3; +\infty)$

C.$[3; +\infty)$

D.$(-\infty; 3]$

22. Advanced: dân số tăng theo mô hình liên tục $P(t) = P_0 \, e^{rt}$Trắc nghiệm`population_growth_continuous_advanced`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 73.Dân số một thành phố tăng theo mô hình $P(t) = P_0 \, e^{rt}$, trong đó $t$ là số năm tính từ năm gốc, $P_0$ là dân số tại năm gốc và $r$ là tốc độ tăng (theo năm). Năm gốc dân số là $1$ triệu người, tốc độ tăng $r = 2\%$/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm dân số đạt $1,5$ triệu người? (Đáp án giữ ở dạng đóng theo $\ln$.)

A.$t = 50 \, \ln \dfrac{3}{2}$

B.$t = \dfrac{1}{2} \, \ln \dfrac{3}{2}$

C.$t = 50 \, \log \dfrac{3}{2}$

D.$t = 50 \, \ln \dfrac{2}{3}$

Câu 74.Dân số một thành phố tăng theo mô hình $P(t) = P_0 \, e^{rt}$, trong đó $t$ là số năm tính từ năm gốc, $P_0$ là dân số tại năm gốc và $r$ là tốc độ tăng (theo năm). Năm gốc dân số là $1$ triệu người, tốc độ tăng $r = 3\%$/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm dân số đạt $2$ triệu người? (Đáp án giữ ở dạng đóng theo $\ln$.)

A.$t = \dfrac{100}{3} \, \log 2$

B.$t = \dfrac{100}{3} \, \ln \dfrac{1}{2}$

C.$t = \dfrac{100}{3} \, \ln 2$

D.$t = \dfrac{1}{3} \, \ln 2$

Câu 75.Dân số một thành phố tăng theo mô hình $P(t) = P_0 \, e^{rt}$, trong đó $t$ là số năm tính từ năm gốc, $P_0$ là dân số tại năm gốc và $r$ là tốc độ tăng (theo năm). Năm gốc dân số là $5$ triệu người, tốc độ tăng $r = 4\%$/năm. Hỏi sau bao nhiêu năm dân số đạt $10$ triệu người? (Đáp án giữ ở dạng đóng theo $\ln$.)

A.$t = 25 \, \ln \dfrac{1}{2}$

B.$t = 25 \, \ln 2$

C.$t = \dfrac{1}{4} \, \ln 2$

D.$t = 25 \, \log 2$

23. Vật lí: phân rã phóng xạ $m(t) = m_0\,(1/2)^{t/T}$Trắc nghiệm`radioactive_decay_remaining`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 76.Chất phóng xạ Co-60 có chu kỳ bán rã $T = 5$ năm. Một mẫu ban đầu nặng $64$ g Co-60. Khối lượng Co-60 còn lại sau 10 năm là bao nhiêu? (Khối lượng phóng xạ giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$.)

A.$32 \text{ g}$

B.$48 \text{ g}$

C.$8 \text{ g}$

D.$16 \text{ g}$

Câu 77.Chất phóng xạ Cs-137 có chu kỳ bán rã $T = 30$ năm. Một mẫu ban đầu nặng $80$ g Cs-137. Khối lượng Cs-137 còn lại sau 60 năm là bao nhiêu? (Khối lượng phóng xạ giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$.)

A.$10 \text{ g}$

B.$60 \text{ g}$

C.$20 \text{ g}$

D.$40 \text{ g}$

Câu 78.Chất phóng xạ I-131 có chu kỳ bán rã $T = 8$ ngày. Một mẫu ban đầu nặng $200$ g I-131. Khối lượng I-131 còn lại sau 24 ngày là bao nhiêu? (Khối lượng phóng xạ giảm theo công thức $m(t) = m_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$.)

A.$12 \text{ g}$

B.$175 \text{ g}$

C.$50 \text{ g}$

D.$25 \text{ g}$

24. Cho bất phương trình $a^x > c$ — kiểm tra hướng và tập nghiệmĐúng / Sai`exp_equation_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 79.Cho bất phương trình $\dfrac{1}{2}^x > \dfrac{1}{4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bất phương trình tương đương $\dfrac{1}{2}^x > \dfrac{1}{2}^{2}$.

b)$a^x \leq 0$ có nghiệm.

c)Bất phương trình tương đương $x > 2$.

d)Vì cơ số $a = \dfrac{1}{2}$ nằm trong $(0; 1)$, bất phương trình tương đương $x < 2$.

Câu 80.Cho bất phương trình $2^x > 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Bất phương trình tương đương $2^x > 2^{2}$.

b)Vì cơ số $a = 2$ lớn hơn, bất phương trình tương đương $x > 2$.

c)Bất phương trình tương đương $x < 2$.

d)Tập nghiệm là $\{x > 2\}$.

Câu 81.Cho bất phương trình $\dfrac{1}{2}^x > \dfrac{1}{4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $a^x = 0$ vô nghiệm.

b)$a^x \leq 0$ có nghiệm.

c)Bất phương trình tương đương $x > 2$.

d)$a^x > a^k$ với $a > 1$ ⇔ $x > k$.

25. Cho phương trình $a^x = b$ với $b = a^k$ — đưa về cùng cơ sốĐúng / Sai`exp_equation_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 82.Cho phương trình $3^x = 81$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình mũ luôn có duy nhất 1 nghiệm.

b)$a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (với $a > 0, a \neq 1$) tương đương $f(x) = g(x)$.

c)Phương trình $3^x = -1$ có nghiệm $x = -1$.

d)Nghiệm phương trình là $x = 4$.

Câu 83.Cho phương trình $5^x = 25$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình $a^x = c$ với $c \leq 0$ vô nghiệm.

b)Nghiệm phương trình là $x = 2$.

c)Phương trình mũ luôn có duy nhất 1 nghiệm.

d)Có thể đặt $t = a^x$ với điều kiện $t > 0$ trong các phương trình phức tạp.

Câu 84.Cho phương trình $3^x = 9$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Phương trình tương đương $3^x = 3^{2}$.

b)Phương trình mũ luôn có duy nhất 1 nghiệm.

c)$a^0 = 1$ với mọi $a > 0, a \neq 1$.

d)Có thể đặt $t = a^x$ với điều kiện $t > 0$ trong các phương trình phức tạp.

26. VDC: Mô hình tăng trưởng tiệm cận ngưỡng (asymptotic / bounded growth) $P(t) = K \cdot (1 - e^{-kt})$Trả lời ngắn`bounded_growth_half_time`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 85.Trong quá trình khử nhiễm hồ ao bằng vi sinh vật, hàm lượng vi sinh $P(t)$ tăng dần theo công thức $P(t) = 200 \cdot \left(1 - e^{-k t}\right)$ (với $K = 200$ là giá trị tiệm cận tối đa và $t$ tính bằng giờ kể từ thời điểm khảo sát ban đầu, $t \ge 0$). Biết rằng sau $4$ giờ, $P(t)$ đạt $150$ (tức $\dfrac{3}{4}$ giá trị tiệm cận tối đa). Hỏi cần bao nhiêu giờ (kể từ thời điểm ban đầu) để $P(t)$ đạt một nửa giá trị tiệm cận tối đa?

Câu 86.Trong quá trình phổ cập ứng dụng đặt xe trong một thành phố, số lượng người dùng (nghìn người) $P(t)$ tăng dần theo công thức $P(t) = 300 \cdot \left(1 - e^{-k t}\right)$ (với $K = 300$ là giá trị tiệm cận tối đa và $t$ tính bằng ngày kể từ thời điểm khảo sát ban đầu, $t \ge 0$). Biết rằng sau $6$ ngày, $P(t)$ đạt $225$ (tức $\dfrac{3}{4}$ giá trị tiệm cận tối đa). Hỏi cần bao nhiêu ngày (kể từ thời điểm ban đầu) để $P(t)$ đạt một nửa giá trị tiệm cận tối đa?

Câu 87.Trong quá trình ngấm thuốc giảm đau vào máu, nồng độ hoạt chất $P(t)$ tăng dần theo công thức $P(t) = 400 \cdot \left(1 - e^{-k t}\right)$ (với $K = 400$ là giá trị tiệm cận tối đa và $t$ tính bằng phút kể từ thời điểm khảo sát ban đầu, $t \ge 0$). Biết rằng sau $8$ phút, $P(t)$ đạt $300$ (tức $\dfrac{3}{4}$ giá trị tiệm cận tối đa). Hỏi cần bao nhiêu phút (kể từ thời điểm ban đầu) để $P(t)$ đạt một nửa giá trị tiệm cận tối đa?

27. Tài chính: số tiền sau $n$ năm với lãi kép $V_n = V_0 (1 + r)^n$Trả lời ngắn`compound_interest_future_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 88.Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 20\%/năm tính theo thể thức lãi kép. Hỏi sau 2 năm tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng)?

Câu 89.Một người gửi 125 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 20\%/năm tính theo thể thức lãi kép. Hỏi sau 2 năm tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng)?

Câu 90.Một người gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 10\%/năm tính theo thể thức lãi kép. Hỏi sau 2 năm tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng)?

28. Số nghiệm của $a^x = c$ với $c > 0$ — luôn $1$Trả lời ngắn`exp_equation_count_roots`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 91.Số nghiệm của phương trình $5^x = 1$ là?

Câu 92.Số nghiệm của phương trình $2^x = 5$ là?

Câu 93.Số nghiệm của phương trình $3^x = -2$ là?

29. Giải $a^x = a^k$ — đáp số $x = k$Trả lời ngắn`exp_equation_solve_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 94.Tìm $x$ biết $3^x = 81$.

Câu 95.Tìm $x$ biết $3^x = 3$.

Câu 96.Tìm $x$ biết $5^x = 625$.

30. VDC: Bài toán trả góp — vay $P$ triệu đồng, lãi suất $r\%$/tháng (lãi tính trên dư nợ thực tế), mỗi tháng trả cố định $M$ triệu đồng vào cuối thángTrả lời ngắn`installment_loan_months_to_pay_off`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 97.Anh A vay ngân hàng $200$ triệu đồng để mua xe với lãi suất $1\%$/tháng (lãi suất tính theo dư nợ thực tế). Theo hợp đồng, vào cuối mỗi tháng anh A phải trả vào ngân hàng một khoản tiền cố định $5$ triệu đồng (cho cả gốc và lãi) đến khi trả hết nợ. Hỏi anh A phải trả trong bao nhiêu tháng thì hết nợ (làm tròn lên đến số nguyên dương)?

Câu 98.Anh A vay ngân hàng $300$ triệu đồng để mua xe với lãi suất $1\%$/tháng (lãi suất tính theo dư nợ thực tế). Theo hợp đồng, vào cuối mỗi tháng anh A phải trả vào ngân hàng một khoản tiền cố định $10$ triệu đồng (cho cả gốc và lãi) đến khi trả hết nợ. Hỏi anh A phải trả trong bao nhiêu tháng thì hết nợ (làm tròn lên đến số nguyên dương)?

Câu 99.Anh A vay ngân hàng $100$ triệu đồng để mua xe với lãi suất $0,5\%$/tháng (lãi suất tính theo dư nợ thực tế). Theo hợp đồng, vào cuối mỗi tháng anh A phải trả vào ngân hàng một khoản tiền cố định $10$ triệu đồng (cho cả gốc và lãi) đến khi trả hết nợ. Hỏi anh A phải trả trong bao nhiêu tháng thì hết nợ (làm tròn lên đến số nguyên dương)?

31. Dân số học: $P_n = P_0(1 + r)^n$Trả lời ngắn`population_growth_value`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 100.Dân số một thị trấn năm gốc là $1000$ nghìn người. Mỗi năm dân số tăng 10\% so với năm liền trước. Hỏi sau 2 năm dân số thị trấn là bao nhiêu (đơn vị: nghìn người)?

Câu 101.Dân số một thị trấn năm gốc là $500$ nghìn người. Mỗi năm dân số tăng 20\% so với năm liền trước. Hỏi sau 2 năm dân số thị trấn là bao nhiêu (đơn vị: nghìn người)?

Câu 102.Dân số một thị trấn năm gốc là $100$ nghìn người. Mỗi năm dân số tăng 20\% so với năm liền trước. Hỏi sau 2 năm dân số thị trấn là bao nhiêu (đơn vị: nghìn người)?

Công thức

§1. Công thức(2)

§2. Phương pháp(4)

§3. Mẹo(2)

§4. Lưu ý(1)

Bài tập

1. Tài chính: thời gian để vốn $V_0$ với lãi suất kép $r$%/năm đạt mức $V$Trắc nghiệmcompound_interest_time_to_target(3 câu)

2. Giải $a^x = a^k$ → $x = k$Trắc nghiệmexp_equation_basic(3 câu)

3. Giải $a^x = b^y$ dạng $2^x = 4$ → đưa về cùng cơ sốTrắc nghiệmexp_equation_different_base(3 câu)

4. Trường hợp đặc biệt $b=1$: $a^{lx+m} - 1 = 0 \Leftrightarrow a^{lx+m}=1 \Leftrightarrow lx+m=0$Trắc nghiệmexp_equation_equals_one_special(3 câu)

5. Phương trình $a^{lx+m} = a^k$ giải $x$Trắc nghiệmexp_equation_linear_exponent(3 câu)

6. Hỏi NGƯỢC: cho phương trình $a^{lx+m} - b = 0$ nhận $x_0$ làm nghiệm, xác định hằng số $b$Trắc nghiệmexp_equation_move_constant_reverse(3 câu)

7. Giải $a^{lx+m} - b = 0$ (chuyển vế $a^{lx+m}=b$, đưa cùng cơ số) — tìm $x$Trắc nghiệmexp_equation_move_constant_solution(3 câu)

8. Giải $a^{2x} - 5 \cdot a^x + 4 = 0$ — đặt ẩn phụ $t = a^x$Trắc nghiệmexp_equation_quadratic_substitution(3 câu)

9. Phương trình $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ — đặt $t = 2^x > 0$Trắc nghiệmexp_equation_quadratic_via_substitution_t(3 câu)

10. Phương trình mũ $a^{x-c} = b$ với $b$ KHÔNG là lũy thừa nguyên của $a$: $x - c = \log_a b \Rightarrow x = c + \log_a b = \log_a(a^c\,b)$Trắc nghiệmexp_equation_shift_log_nonpower(3 câu)

11. Phương trình mũ cơ bản $b^{x-c} = b^k$ — giải $x = k + c$ (hệ số $x$ = 1)Trắc nghiệmexp_equation_simple_base_power_rhs(3 câu)

12. Giải $a^x = b$ ($b$ không phải lũy thừa nguyên của $a$) — $x = \log_a b$Trắc nghiệmexp_equation_take_log(3 câu)

13. $4^x - m \cdot 2^x + (m-1) = 0$ — tìm $m$ để có 2 nghiệm phân biệtTrắc nghiệmexp_equation_with_param_two_solutions(3 câu)

14. Bất phương trình mũ số mũ tuyến tính, cơ số <1 hoặc >1, vế phải lũy thừa âm/phân số — tìm tập nghiệm $x$ (cơ số <1 ĐẢO chiều)Trắc nghiệmexp_ineq_param_linear_solution(3 câu)

15. Hỏi NGƯỢC / ĐẾM: đếm số nghiệm NGUYÊN của bất phương trình mũ bậc hai (cơ số <1 đảo chiều ⇒ đoạn [r1;r2]) — đếm số nguyên trong đoạn nghiệmTrắc nghiệmexp_ineq_param_reverse_or_count(3 câu)

16. Bất phương trình mũ số mũ BẬC HAI: $a^{x^2+bx} \,\mathrm{rel}\, a^m$Trắc nghiệmexp_ineq_quadratic_exponent_solution(3 câu)

17. Giải $a^x > a^k$ → $x > k$ (nếu $a > 1$)Trắc nghiệmexp_inequality_basic(3 câu)

18. Cùng bất phương trình mũ bậc hai nhưng hỏi SỐ NGHIỆM NGUYÊNTrắc nghiệmexp_inequality_quadratic_count_integer_solutions(6 câu)

19. Biến thể cơ số $a>1$ GIỮ chiều: $a^{P(x)}\,\mathrm{rel}\,a^q$ với $P$ bậc haiTrắc nghiệmexp_inequality_quadratic_exponent_base_gt1(6 câu)

20. Tập nghiệm của $a^{P(x)}\,\mathrm{rel}\,a^q$ với $P$ bậc hai ($x^2-sx$ hoặc $x^2-n$), cơ số $a\in(0;1)$ ĐẢO chiều ⇒ bất phương trình bậc haiTrắc nghiệmexp_inequality_quadratic_exponent_solution_set(6 câu)

21. Bất phương trình mũ cơ bản $a^x \,\mathrm{rel}\, \dfrac{1}{a^j}$ ($a>1$): đưa vế phải về $a^{-j}$, GIỮ chiều ⇒ $x \,\mathrm{rel}\, -j$Trắc nghiệmexp_inequality_rhs_unit_fraction(3 câu)

22. Advanced: dân số tăng theo mô hình liên tục $P(t) = P_0 \, e^{rt}$Trắc nghiệmpopulation_growth_continuous_advanced(3 câu)

23. Vật lí: phân rã phóng xạ $m(t) = m_0\,(1/2)^{t/T}$Trắc nghiệmradioactive_decay_remaining(3 câu)

24. Cho bất phương trình $a^x > c$ — kiểm tra hướng và tập nghiệmĐúng / Saiexp_equation_examples(3 câu)

25. Cho phương trình $a^x = b$ với $b = a^k$ — đưa về cùng cơ sốĐúng / Saiexp_equation_facts(3 câu)

26. VDC: Mô hình tăng trưởng tiệm cận ngưỡng (asymptotic / bounded growth) $P(t) = K \cdot (1 - e^{-kt})$Trả lời ngắnbounded_growth_half_time(3 câu)

27. Tài chính: số tiền sau $n$ năm với lãi kép $V_n = V_0 (1 + r)^n$Trả lời ngắncompound_interest_future_value(3 câu)

28. Số nghiệm của $a^x = c$ với $c > 0$ — luôn $1$Trả lời ngắnexp_equation_count_roots(3 câu)

29. Giải $a^x = a^k$ — đáp số $x = k$Trả lời ngắnexp_equation_solve_value(3 câu)

30. VDC: Bài toán trả góp — vay $P$ triệu đồng, lãi suất $r\%$/tháng (lãi tính trên dư nợ thực tế), mỗi tháng trả cố định $M$ triệu đồng vào cuối thángTrả lời ngắninstallment_loan_months_to_pay_off(3 câu)

31. Dân số học: $P_n = P_0(1 + r)^n$Trả lời ngắnpopulation_growth_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. Tài chính: thời gian để vốn $V_0$ với lãi suất kép $r$%/năm đạt mức $V$Trắc nghiệm`compound_interest_time_to_target`(3 câu)

2. Giải $a^x = a^k$ → $x = k$Trắc nghiệm`exp_equation_basic`(3 câu)

3. Giải $a^x = b^y$ dạng $2^x = 4$ → đưa về cùng cơ sốTrắc nghiệm`exp_equation_different_base`(3 câu)

4. Trường hợp đặc biệt $b=1$: $a^{lx+m} - 1 = 0 \Leftrightarrow a^{lx+m}=1 \Leftrightarrow lx+m=0$Trắc nghiệm`exp_equation_equals_one_special`(3 câu)

5. Phương trình $a^{lx+m} = a^k$ giải $x$Trắc nghiệm`exp_equation_linear_exponent`(3 câu)

6. Hỏi NGƯỢC: cho phương trình $a^{lx+m} - b = 0$ nhận $x_0$ làm nghiệm, xác định hằng số $b$Trắc nghiệm`exp_equation_move_constant_reverse`(3 câu)

7. Giải $a^{lx+m} - b = 0$ (chuyển vế $a^{lx+m}=b$, đưa cùng cơ số) — tìm $x$Trắc nghiệm`exp_equation_move_constant_solution`(3 câu)

8. Giải $a^{2x} - 5 \cdot a^x + 4 = 0$ — đặt ẩn phụ $t = a^x$Trắc nghiệm`exp_equation_quadratic_substitution`(3 câu)

9. Phương trình $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ — đặt $t = 2^x > 0$Trắc nghiệm`exp_equation_quadratic_via_substitution_t`(3 câu)

10. Phương trình mũ $a^{x-c} = b$ với $b$ KHÔNG là lũy thừa nguyên của $a$: $x - c = \log_a b \Rightarrow x = c + \log_a b = \log_a(a^c\,b)$Trắc nghiệm`exp_equation_shift_log_nonpower`(3 câu)

11. Phương trình mũ cơ bản $b^{x-c} = b^k$ — giải $x = k + c$ (hệ số $x$ = 1)Trắc nghiệm`exp_equation_simple_base_power_rhs`(3 câu)

12. Giải $a^x = b$ ($b$ không phải lũy thừa nguyên của $a$) — $x = \log_a b$Trắc nghiệm`exp_equation_take_log`(3 câu)

13. $4^x - m \cdot 2^x + (m-1) = 0$ — tìm $m$ để có 2 nghiệm phân biệtTrắc nghiệm`exp_equation_with_param_two_solutions`(3 câu)

14. Bất phương trình mũ số mũ tuyến tính, cơ số <1 hoặc >1, vế phải lũy thừa âm/phân số — tìm tập nghiệm $x$ (cơ số <1 ĐẢO chiều)Trắc nghiệm`exp_ineq_param_linear_solution`(3 câu)

15. Hỏi NGƯỢC / ĐẾM: đếm số nghiệm NGUYÊN của bất phương trình mũ bậc hai (cơ số <1 đảo chiều ⇒ đoạn [r1;r2]) — đếm số nguyên trong đoạn nghiệmTrắc nghiệm`exp_ineq_param_reverse_or_count`(3 câu)

16. Bất phương trình mũ số mũ BẬC HAI: $a^{x^2+bx} \,\mathrm{rel}\, a^m$Trắc nghiệm`exp_ineq_quadratic_exponent_solution`(3 câu)

17. Giải $a^x > a^k$ → $x > k$ (nếu $a > 1$)Trắc nghiệm`exp_inequality_basic`(3 câu)

18. Cùng bất phương trình mũ bậc hai nhưng hỏi SỐ NGHIỆM NGUYÊNTrắc nghiệm`exp_inequality_quadratic_count_integer_solutions`(6 câu)

19. Biến thể cơ số $a>1$ GIỮ chiều: $a^{P(x)}\,\mathrm{rel}\,a^q$ với $P$ bậc haiTrắc nghiệm`exp_inequality_quadratic_exponent_base_gt1`(6 câu)

20. Tập nghiệm của $a^{P(x)}\,\mathrm{rel}\,a^q$ với $P$ bậc hai ($x^2-sx$ hoặc $x^2-n$), cơ số $a\in(0;1)$ ĐẢO chiều ⇒ bất phương trình bậc haiTrắc nghiệm`exp_inequality_quadratic_exponent_solution_set`(6 câu)

21. Bất phương trình mũ cơ bản $a^x \,\mathrm{rel}\, \dfrac{1}{a^j}$ ($a>1$): đưa vế phải về $a^{-j}$, GIỮ chiều ⇒ $x \,\mathrm{rel}\, -j$Trắc nghiệm`exp_inequality_rhs_unit_fraction`(3 câu)

22. Advanced: dân số tăng theo mô hình liên tục $P(t) = P_0 \, e^{rt}$Trắc nghiệm`population_growth_continuous_advanced`(3 câu)

23. Vật lí: phân rã phóng xạ $m(t) = m_0\,(1/2)^{t/T}$Trắc nghiệm`radioactive_decay_remaining`(3 câu)

24. Cho bất phương trình $a^x > c$ — kiểm tra hướng và tập nghiệmĐúng / Sai`exp_equation_examples`(3 câu)

25. Cho phương trình $a^x = b$ với $b = a^k$ — đưa về cùng cơ sốĐúng / Sai`exp_equation_facts`(3 câu)

26. VDC: Mô hình tăng trưởng tiệm cận ngưỡng (asymptotic / bounded growth) $P(t) = K \cdot (1 - e^{-kt})$Trả lời ngắn`bounded_growth_half_time`(3 câu)

27. Tài chính: số tiền sau $n$ năm với lãi kép $V_n = V_0 (1 + r)^n$Trả lời ngắn`compound_interest_future_value`(3 câu)

28. Số nghiệm của $a^x = c$ với $c > 0$ — luôn $1$Trả lời ngắn`exp_equation_count_roots`(3 câu)

29. Giải $a^x = a^k$ — đáp số $x = k$Trả lời ngắn`exp_equation_solve_value`(3 câu)

30. VDC: Bài toán trả góp — vay $P$ triệu đồng, lãi suất $r\%$/tháng (lãi tính trên dư nợ thực tế), mỗi tháng trả cố định $M$ triệu đồng vào cuối thángTrả lời ngắn`installment_loan_months_to_pay_off`(3 câu)

31. Dân số học: $P_n = P_0(1 + r)^n$Trả lời ngắn`population_growth_value`(3 câu)