Khái niệm logarit

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

1.1

Định nghĩa logarit

Cho $a > 0, a \neq 1$ và $b > 0$. Logarit cơ số $a$ của $b$ là số $\alpha$ duy nhất thoả $a^{\alpha} = b$: $$\log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^{\alpha} = b.$$ Đặc biệt: $\log_a 1 = 0, \log_a a = 1, \log_a a^{\alpha} = \alpha$.

1.2

Logarit thập phân + tự nhiên

Logarit thập phân (cơ số 10): $\log b = \log_{10} b$.
Logarit tự nhiên (cơ số $e \approx 2.71828$): $\ln b = \log_e b$.

§2. Tính chất(2)

2.1

Tính chất cơ bản

Cho $a > 0, a \neq 1$ và $b, c > 0$:

$\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$.
$a^{\log_a b} = b$.
$\log_a a^{\alpha} = \alpha$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}$.

2.2

So sánh logarit cùng cơ số

Cho $a > 0, a \neq 1$, $b_1, b_2 > 0$:

$a > 1$: $\log_a b_1 > \log_a b_2 \Leftrightarrow b_1 > b_2$ (đồng biến).
$0 < a < 1$: $\log_a b_1 > \log_a b_2 \Leftrightarrow b_1 < b_2$ (nghịch biến).

§3. Công thức(2)

3.1

Công thức đổi cơ số

$$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \quad (a, b, c > 0; a, c \neq 1).$$ Hệ quả: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ (với $b \neq 1$). Hệ quả: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.

3.2

Công thức logarit — phép toán

Cho $a > 0, a \neq 1$, $b, c > 0$: $$\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c.$$ $$\log_a \dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c.$$ $$\log_a b^{\alpha} = \alpha \log_a b, \quad \log_a \sqrt[n]{b} = \dfrac{1}{n} \log_a b.$$ $$\log_{a^{\alpha}} b = \dfrac{1}{\alpha} \log_a b \, (\alpha \neq 0).$$

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo: gộp về 1 logarit

Để giải / so sánh nhiều logarit: 1. Dùng $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ để gộp tổng → 1 logarit. 2. Đưa hệ số vào số mũ: $\alpha \log_a b = \log_a b^{\alpha}$. 3. Đổi cơ số nếu cần để mọi logarit cùng cơ số.

§5. Lưu ý(1)

5.1!

Lưu ý: điều kiện xác định

Mọi công thức logarit chỉ áp dụng khi:

Cơ số $a > 0, a \neq 1$.
Đối số (biểu thức bên trong $\log$) dương.

Khi giải phương trình / bất phương trình logarit: luôn xét ĐKXĐ trước, rồi mới biến đổi.

Bài tập

1. $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$Trắc nghiệm`change_of_base`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 1.Công thức đổi cơ số nào sau đây là đúng?

A.$\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$

B.$\log_a b = \log a - \log b$

C.$\log_a b = \log a \cdot \log b$

D.$\log_a b = \dfrac{\log a}{\log b}$

Câu 2.Công thức đổi cơ số nào sau đây là đúng?

A.$\log_a b = \log a \cdot \log b$

B.$\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$

C.$\log_a b = \dfrac{\log a}{\log b}$

D.$\log_a b = \log a - \log b$

Câu 3.Công thức đổi cơ số nào sau đây là đúng?

A.$\log_a b = \log a - \log b$

B.$\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$

C.$\log_a b = \log a \cdot \log b$

D.$\log_a b = \dfrac{\log a}{\log b}$

2. Tính $\log_b(c\,x) - \log_b x$ với $c = b^k$ (biến $x>0$ tự triệt tiêu)Trắc nghiệm`log_diff_same_variable_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 4.Với mọi số thực dương $a$, $\log_{10} (10000a) - \log_{10} a$ bằng

A.$\log_{10} (9999a)$

B.$4$

C.$4 - 9\log_{10} a$

D.$1000$

Câu 5.Với mọi số thực dương $a$, $\log_{3} (9a) - \log_{3} a$ bằng

A.$\log_{3} (8a)$

B.$2$

C.$2 - 2\log_{3} a$

D.$3$

Câu 6.Với mọi số thực dương $a$, $\log_{3} (81a) - \log_{3} a$ bằng

A.$27$

B.$4$

C.$\log_{3} (80a)$

D.$4 - 2\log_{3} a$

3. Tính $P=\log_a\!\left(\sqrt[n]{a^m}\right)$Trắc nghiệm`log_radical_arg_root_of_power`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{a}\!\left(\sqrt{a^{1}}\right)$.

A.$P = \dfrac{1}{2}$

B.$P = 1$

C.$P = 2$

D.$P = 3$

Câu 8.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{a}\!\left(\sqrt{a^{1}}\right)$.

A.$P = 2$

B.$P = 3$

C.$P = 1$

D.$P = \dfrac{1}{2}$

Câu 9.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{a}\!\left(\sqrt[3]{a^{1}}\right)$.

A.$P = 3$

B.$P = \dfrac{1}{3}$

C.$P = 4$

D.$P = 1$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 10.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{a}\!\left(\sqrt[3]{a^{3}}\right)$.

A.$P = 1$

B.$P = 3$

C.$P = 9$

D.$P = 6$

Câu 11.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{a}\!\left(\sqrt{a^{2}}\right)$.

A.$P = 4$

B.$P = 1$

C.$P = 2$

D.$P = \dfrac{1}{2}$

Câu 12.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{a}\!\left(\sqrt{a^{6}}\right)$.

A.$P = \dfrac{1}{3}$

B.$P = 3$

C.$P = 6$

D.$P = 12$

4. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a^k\cdot\sqrt{a}\right)$Trắc nghiệm`log_radical_base_power_arg_value`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 13.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a^{3}\cdot\sqrt{a}\right)$.

A.$P = 4$

B.$P = \dfrac{7}{4}$

C.$P = 7$

D.$P = 3$

Câu 14.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a\cdot\sqrt{a}\right)$.

A.$P = \dfrac{3}{4}$

B.$P = 2$

C.$P = 1$

D.$P = 3$

Câu 15.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a\cdot\sqrt{a}\right)$.

A.$P = 3$

B.$P = \dfrac{3}{4}$

C.$P = 2$

D.$P = 1$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 16.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a^{3}\cdot\sqrt{a}\right)$.

A.$P = 7$

B.$P = 3$

C.$P = 4$

D.$P = \dfrac{7}{4}$

Câu 17.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a\cdot\sqrt{a}\right)$.

A.$P = 3$

B.$P = 2$

C.$P = \dfrac{3}{4}$

D.$P = 1$

Câu 18.Cho $a>0,\,a\neq 1$. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a^{4}\cdot\sqrt{a}\right)$.

A.$P = 9$

B.$P = \dfrac{9}{4}$

C.$P = 4$

D.$P = 5$

5. Hỏi ngược: biết $\log_{\sqrt{a}}\left(a^m\cdot\sqrt{a}\right)=K$, tìm $m$Trắc nghiệm`log_radical_find_exponent_reverse`(6 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho $a>0,\,a\neq 1$ và số nguyên dương $m$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{a}}\left(a^{3}\cdot\sqrt{a}\right)=7$. Tìm $m$.

A.$m = 4$

B.$m = 3$

C.$m = 6$

D.$m = 7$

Câu 20.Cho $a>0,\,a\neq 1$ và số nguyên dương $m$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{a}}\left(a\cdot\sqrt{a}\right)=3$. Tìm $m$.

A.$m = \dfrac{3}{2}$

B.$m = 3$

C.$m = 2$

D.$m = 1$

Câu 21.Cho $a>0,\,a\neq 1$ và số nguyên dương $m$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{a}}\left(a\cdot\sqrt{a}\right)=3$. Tìm $m$.

A.$m = 1$

B.$m = 2$

C.$m = \dfrac{3}{2}$

D.$m = 3$

Mẫu 2Vận dụng(3 câu)

Câu 22.Cho $a>0,\,a\neq 1$ và số nguyên dương $m$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{a}}\left(a^{4}\cdot\sqrt{a}\right)=9$. Tìm $m$.

A.$m = 4$

B.$m = 9$

C.$m = 5$

D.$m = 8$

Câu 23.Cho $a>0,\,a\neq 1$ và số nguyên dương $m$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{a}}\left(a^{3}\cdot\sqrt{a}\right)=7$. Tìm $m$.

A.$m = 3$

B.$m = 4$

C.$m = 7$

D.$m = 6$

Câu 24.Cho $a>0,\,a\neq 1$ và số nguyên dương $m$ thỏa mãn $\log_{\sqrt{a}}\left(a^{4}\cdot\sqrt{a}\right)=9$. Tìm $m$.

A.$m = 5$

B.$m = 8$

C.$m = 9$

D.$m = 4$

6. Cho $\log_a b = n$, tính $\log_{a^p}\dfrac{a^s}{\sqrt[r]{b}}$Trắc nghiệm`log_value_change_base_radical_from_given`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Biết $a, b$ là các số thực dương, khác $1$ thỏa mãn $\log_a b = 3$. Giá trị $\log_{a^{2}} \dfrac{a^{2}}{\sqrt{b}}$ bằng

A.\dfrac{7}{4}

B.\dfrac{1}{4}

C.\dfrac{1}{2}

D.1

Câu 26.Biết $a, b$ là các số thực dương, khác $1$ thỏa mãn $\log_a b = 5$. Giá trị $\log_{a^{2}} \dfrac{a}{\sqrt{b}}$ bằng

A.-3

B.- \dfrac{3}{2}

C.- \dfrac{3}{4}

D.\dfrac{7}{4}

Câu 27.Biết $a, b$ là các số thực dương, khác $1$ thỏa mãn $\log_a b = 5$. Giá trị $\log_{a^{2}} \dfrac{a}{\sqrt{b}}$ bằng

A.\dfrac{7}{4}

B.- \dfrac{3}{4}

C.-3

D.- \dfrac{3}{2}

7. Tính $\log_a (a^n) = n$Trắc nghiệm`logarithm_basic_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 28.Tính $\log_{5}(625)$.

A.$= 4$

B.$= 3$

C.$= 5$

D.$= 6$

Câu 29.Tính $\log_{5}(625)$.

A.$= 4$

B.$= 3$

C.$= 6$

D.$= 5$

Câu 30.Tính $\log_{5}(25)$.

A.$= 1$

B.$= 2$

C.$= 4$

D.$= 3$

8. $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$Trắc nghiệm`logarithm_product_rule`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 31.Tính $\log_2 4 + \log_2 2$.

A.$= 6$

B.$= 1$

C.$= 2$

D.$= 3$

Câu 32.Tính $\log_2 8 + \log_2 8$.

A.$= 0$

B.$= 6$

C.$= 9$

D.$= 16$

Câu 33.Tính $\log_2 16 + \log_2 4$.

A.$= 20$

B.$= 2$

C.$= 8$

D.$= 6$

9. Hóa học: pH = $-\log[H^+]$Trắc nghiệm`ph_value_from_concentration`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 34.Trong hoá học, độ pH của một dung dịch được tính bởi công thức $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H}^+]$, trong đó $[\mathrm{H}^+]$ là nồng độ ion hiđrô (đơn vị mol/L). Một dung dịch có $[\mathrm{H}^+] = 10^{-3}$ mol/L. Tính pH của dung dịch.

A.$\mathrm{pH} = 4$

B.$\mathrm{pH} = 2$

C.$\mathrm{pH} = 3$

D.$\mathrm{pH} = -3$

Câu 35.Trong hoá học, độ pH của một dung dịch được tính bởi công thức $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H}^+]$, trong đó $[\mathrm{H}^+]$ là nồng độ ion hiđrô (đơn vị mol/L). Một dung dịch có $[\mathrm{H}^+] = 10^{-8}$ mol/L. Tính pH của dung dịch.

A.$\mathrm{pH} = 7$

B.$\mathrm{pH} = 9$

C.$\mathrm{pH} = 8$

D.$\mathrm{pH} = -8$

Câu 36.Trong hoá học, độ pH của một dung dịch được tính bởi công thức $\mathrm{pH} = -\log[\mathrm{H}^+]$, trong đó $[\mathrm{H}^+]$ là nồng độ ion hiđrô (đơn vị mol/L). Một dung dịch có $[\mathrm{H}^+] = 10^{-3}$ mol/L. Tính pH của dung dịch.

A.$\mathrm{pH} = 2$

B.$\mathrm{pH} = 3$

C.$\mathrm{pH} = -3$

D.$\mathrm{pH} = 4$

10. Vật lí: cường độ trận động đất theo Richter $M = \log\dfrac{A}{A_0}$Trắc nghiệm`richter_magnitude_compare`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 37.Cường độ một trận động đất theo thang Richter được tính bởi $M = \log\dfrac{A}{A_0}$, với $A$ là biên độ tối đa ghi được tại địa chấn kế và $A_0$ là biên độ chuẩn. Trận động đất X có $M_X = 6$, trận Y có $M_Y = 5$. Hỏi biên độ trận X gấp bao nhiêu lần biên độ trận Y?

A.$10 \text{ lần}$

B.$30 \text{ lần}$

C.$100 \text{ lần}$

D.$1 \text{ lần}$

Câu 38.Cường độ một trận động đất theo thang Richter được tính bởi $M = \log\dfrac{A}{A_0}$, với $A$ là biên độ tối đa ghi được tại địa chấn kế và $A_0$ là biên độ chuẩn. Trận động đất X có $M_X = 6$, trận Y có $M_Y = 5$. Hỏi biên độ trận X gấp bao nhiêu lần biên độ trận Y?

A.$1 \text{ lần}$

B.$100 \text{ lần}$

C.$10 \text{ lần}$

D.$30 \text{ lần}$

Câu 39.Cường độ một trận động đất theo thang Richter được tính bởi $M = \log\dfrac{A}{A_0}$, với $A$ là biên độ tối đa ghi được tại địa chấn kế và $A_0$ là biên độ chuẩn. Trận động đất X có $M_X = 7$, trận Y có $M_Y = 4$. Hỏi biên độ trận X gấp bao nhiêu lần biên độ trận Y?

A.$1000 \text{ lần}$

B.$10000 \text{ lần}$

C.$100 \text{ lần}$

D.$3 \text{ lần}$

11. Vật lí: mức cường độ âm $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ với $I_0 = 10^{-12}$ W/m²Trắc nghiệm`sound_intensity_decibel`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 40.Mức cường độ âm $L$ (đơn vị dB) của một âm thanh được xác định bởi $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$, trong đó $I$ là cường độ âm và $I_0 = 10^{-12}$ W/m² là cường độ âm chuẩn. Một âm thanh có cường độ $I = 10^{-2}$ W/m². Tính mức cường độ âm $L$.

A.$L = 10 \text{ dB}$

B.$L = 90 \text{ dB}$

C.$L = 110 \text{ dB}$

D.$L = 100 \text{ dB}$

Câu 41.Mức cường độ âm $L$ (đơn vị dB) của một âm thanh được xác định bởi $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$, trong đó $I$ là cường độ âm và $I_0 = 10^{-12}$ W/m² là cường độ âm chuẩn. Một âm thanh có cường độ $I = 10^{-4}$ W/m². Tính mức cường độ âm $L$.

A.$L = 80 \text{ dB}$

B.$L = 90 \text{ dB}$

C.$L = 70 \text{ dB}$

D.$L = 8 \text{ dB}$

Câu 42.Mức cường độ âm $L$ (đơn vị dB) của một âm thanh được xác định bởi $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$, trong đó $I$ là cường độ âm và $I_0 = 10^{-12}$ W/m² là cường độ âm chuẩn. Một âm thanh có cường độ $I = 10^{-10}$ W/m². Tính mức cường độ âm $L$.

A.$L = 30 \text{ dB}$

B.$L = 20 \text{ dB}$

C.$L = 10 \text{ dB}$

D.$L = 2 \text{ dB}$

12. Cho biểu thức tổng / hiệu logarit cụ thể — kiểm tra giá trị và biến đổiĐúng / Sai`logarithm_intro_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 43.Cho hai biểu thức $\log_{3} 9$ và $\log_{3} 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Logarit cơ số $a$ của số âm xác định.

b)$\log_{3} 3 = 1$.

c)$\log_{3} \dfrac{9}{3} = 1$.

d)$\log_{3} 3 = 1$.

Câu 44.Cho hai biểu thức $\log_{3} 9$ và $\log_{3} 3$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\log_a x^k = k \log_a x$ với $x > 0$.

b)$\log_{3} 9 = 9$.

c)$\log_{3} 9 + \log_{3} 3 = \log_{3} (9 \cdot 3) = 3$.

d)Logarit cơ số $a$ của số âm xác định.

Câu 45.Cho hai biểu thức $\log_{2} 4$ và $\log_{2} 4$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)Logarit cơ số $a$ của số âm xác định.

b)$\log_{2} 4 = 2$.

c)$\log_{2} 4 + \log_{2} 4 = \log_{2} (4 \cdot 4) = 4$.

d)$\log_a x^k = k \log_a x$ với $x > 0$.

13. Cho $\log_a b$ với $b = a^n$ — xét giá trị cụ thể và công thứcĐúng / Sai`logarithm_intro_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 46.Cho biểu thức $\log_{3} 81$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y$.

b)$\log_{3} 1 = 0$.

c)$\log_{3} 3 = 1$.

d)$\log_{3} 81 = 81$.

Câu 47.Cho biểu thức $\log_{3} 27$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\log_{3} 3 = 1$.

b)$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ với $x, y > 0$.

c)$\log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y$.

d)$\log_{3} 27 = 27$.

Câu 48.Cho biểu thức $\log_{3} 9$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$\log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y$.

b)$\log_{3} 3 = 1$.

c)$\log_a x^n = n \log_a x$ với $x > 0$.

d)$\log_{3} 9 = 9$.

14. Hỏi trực tiếp SỐ cặp có thứ tự $(c^i;c^j)$ làm $\log_x y$ nguyênTrả lời ngắn`count_pairs_log_xy_integer`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 49.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{15}\}$ với $c>1$ cho trước. Có bao nhiêu cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$) sao cho $\log_x y$ là một số nguyên?

Câu 50.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{20}\}$ với $c>1$ cho trước. Có bao nhiêu cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$) sao cho $\log_x y$ là một số nguyên?

Câu 51.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{19}\}$ với $c>1$ cho trước. Có bao nhiêu cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$) sao cho $\log_x y$ là một số nguyên?

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 52.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{27}\}$ với $c>1$ cho trước. Có bao nhiêu cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$) sao cho $\log_x y$ là một số nguyên?

Câu 53.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{21}\}$ với $c>1$ cho trước. Có bao nhiêu cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$) sao cho $\log_x y$ là một số nguyên?

Câu 54.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{28}\}$ với $c>1$ cho trước. Có bao nhiêu cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$) sao cho $\log_x y$ là một số nguyên?

15. Tính $\log_a x + \log_a y$ với $xy = a^k$Trả lời ngắn`log_combined_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 55.Tính $\log_2 4 + \log_2 2$.

Câu 56.Tính $\log_2 8 + \log_2 2$.

Câu 57.Tính $\log_2 4 + \log_2 16$.

16. Tính $\log_a (a^n)$Trả lời ngắn`log_value_basic`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 58.Tính $\log_{2}(4)$.

Câu 59.Tính $\log_{3}(27)$.

Câu 60.Tính $\log_{10}(10000)$.

17. Xác suất $\log_x y$ nguyên $=\dfrac{a}{b}$ tối giản; tính $a-b$Trả lời ngắn`prob_log_xy_integer_a_minus_b`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 61.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{11}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a-b$.

Câu 62.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{17}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a-b$.

Câu 63.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{19}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a-b$.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 64.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{24}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a-b$.

Câu 65.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{26}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a-b$.

Câu 66.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{21}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a-b$.

18. Cùng số liệu biến thể trên nhưng ghi $a+b$ thay vì $a-b$Trả lời ngắn`prob_log_xy_integer_a_plus_b`(6 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 67.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{20}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a+b$.

Câu 68.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{11}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a+b$.

Câu 69.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{12}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a+b$.

Mẫu 2Vận dụng cao(3 câu)

Câu 70.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{24}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a+b$.

Câu 71.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{20}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a+b$.

Câu 72.Cho tập $T=\{c; c^2; \dots; c^{23}\}$ với $c>1$ cho trước. Chọn ngẫu nhiên một cặp có thứ tự $(x;y)$ với $x,y \in T$ (có thể $x=y$). Xác suất để $\log_x y$ là số nguyên được viết dưới dạng phân số tối giản $P=\dfrac{a}{b}$. Tính giá trị của $a+b$.

Công thức

§1. Định nghĩa(2)

§2. Tính chất(2)

§3. Công thức(2)

§4. Mẹo(1)

§5. Lưu ý(1)

Bài tập

1. $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$Trắc nghiệmchange_of_base(3 câu)

2. Tính $\log_b(c\,x) - \log_b x$ với $c = b^k$ (biến $x>0$ tự triệt tiêu)Trắc nghiệmlog_diff_same_variable_value(3 câu)

3. Tính $P=\log_a\!\left(\sqrt[n]{a^m}\right)$Trắc nghiệmlog_radical_arg_root_of_power(6 câu)

4. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a^k\cdot\sqrt{a}\right)$Trắc nghiệmlog_radical_base_power_arg_value(6 câu)

5. Hỏi ngược: biết $\log_{\sqrt{a}}\left(a^m\cdot\sqrt{a}\right)=K$, tìm $m$Trắc nghiệmlog_radical_find_exponent_reverse(6 câu)

6. Cho $\log_a b = n$, tính $\log_{a^p}\dfrac{a^s}{\sqrt[r]{b}}$Trắc nghiệmlog_value_change_base_radical_from_given(3 câu)

7. Tính $\log_a (a^n) = n$Trắc nghiệmlogarithm_basic_value(3 câu)

8. $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$Trắc nghiệmlogarithm_product_rule(3 câu)

9. Hóa học: pH = $-\log[H^+]$Trắc nghiệmph_value_from_concentration(3 câu)

10. Vật lí: cường độ trận động đất theo Richter $M = \log\dfrac{A}{A_0}$Trắc nghiệmrichter_magnitude_compare(3 câu)

11. Vật lí: mức cường độ âm $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ với $I_0 = 10^{-12}$ W/m²Trắc nghiệmsound_intensity_decibel(3 câu)

12. Cho biểu thức tổng / hiệu logarit cụ thể — kiểm tra giá trị và biến đổiĐúng / Sailogarithm_intro_examples(3 câu)

13. Cho $\log_a b$ với $b = a^n$ — xét giá trị cụ thể và công thứcĐúng / Sailogarithm_intro_facts(3 câu)

14. Hỏi trực tiếp SỐ cặp có thứ tự $(c^i;c^j)$ làm $\log_x y$ nguyênTrả lời ngắncount_pairs_log_xy_integer(6 câu)

15. Tính $\log_a x + \log_a y$ với $xy = a^k$Trả lời ngắnlog_combined_value(3 câu)

16. Tính $\log_a (a^n)$Trả lời ngắnlog_value_basic(3 câu)

17. Xác suất $\log_x y$ nguyên $=\dfrac{a}{b}$ tối giản; tính $a-b$Trả lời ngắnprob_log_xy_integer_a_minus_b(6 câu)

18. Cùng số liệu biến thể trên nhưng ghi $a+b$ thay vì $a-b$Trả lời ngắnprob_log_xy_integer_a_plus_b(6 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$Trắc nghiệm`change_of_base`(3 câu)

2. Tính $\log_b(c\,x) - \log_b x$ với $c = b^k$ (biến $x>0$ tự triệt tiêu)Trắc nghiệm`log_diff_same_variable_value`(3 câu)

3. Tính $P=\log_a\!\left(\sqrt[n]{a^m}\right)$Trắc nghiệm`log_radical_arg_root_of_power`(6 câu)

4. Tính $P=\log_{\sqrt{a}}\left(a^k\cdot\sqrt{a}\right)$Trắc nghiệm`log_radical_base_power_arg_value`(6 câu)

5. Hỏi ngược: biết $\log_{\sqrt{a}}\left(a^m\cdot\sqrt{a}\right)=K$, tìm $m$Trắc nghiệm`log_radical_find_exponent_reverse`(6 câu)

6. Cho $\log_a b = n$, tính $\log_{a^p}\dfrac{a^s}{\sqrt[r]{b}}$Trắc nghiệm`log_value_change_base_radical_from_given`(3 câu)

7. Tính $\log_a (a^n) = n$Trắc nghiệm`logarithm_basic_value`(3 câu)

8. $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$Trắc nghiệm`logarithm_product_rule`(3 câu)

9. Hóa học: pH = $-\log[H^+]$Trắc nghiệm`ph_value_from_concentration`(3 câu)

10. Vật lí: cường độ trận động đất theo Richter $M = \log\dfrac{A}{A_0}$Trắc nghiệm`richter_magnitude_compare`(3 câu)

11. Vật lí: mức cường độ âm $L = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ với $I_0 = 10^{-12}$ W/m²Trắc nghiệm`sound_intensity_decibel`(3 câu)

12. Cho biểu thức tổng / hiệu logarit cụ thể — kiểm tra giá trị và biến đổiĐúng / Sai`logarithm_intro_examples`(3 câu)

13. Cho $\log_a b$ với $b = a^n$ — xét giá trị cụ thể và công thứcĐúng / Sai`logarithm_intro_facts`(3 câu)

14. Hỏi trực tiếp SỐ cặp có thứ tự $(c^i;c^j)$ làm $\log_x y$ nguyênTrả lời ngắn`count_pairs_log_xy_integer`(6 câu)

15. Tính $\log_a x + \log_a y$ với $xy = a^k$Trả lời ngắn`log_combined_value`(3 câu)

16. Tính $\log_a (a^n)$Trả lời ngắn`log_value_basic`(3 câu)

17. Xác suất $\log_x y$ nguyên $=\dfrac{a}{b}$ tối giản; tính $a-b$Trả lời ngắn`prob_log_xy_integer_a_minus_b`(6 câu)

18. Cùng số liệu biến thể trên nhưng ghi $a+b$ thay vì $a-b$Trả lời ngắn`prob_log_xy_integer_a_plus_b`(6 câu)