Lũy thừa với số mũ thực

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

1.1

Lũy thừa số mũ nguyên

Cho $a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*$:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ lần}}$.
$a^0 = 1$ (với $a \neq 0$).
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (với $a \neq 0$).

1.2

Căn bậc $n$

Cho $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$. Căn bậc $n$ của $a$ là số $b$ thoả $b^n = a$.

$n$ lẻ: với mọi $a \in \mathbb{R}$ có đúng 1 căn bậc $n$, ký hiệu $\sqrt[n]{a}$.
$n$ chẵn, $a > 0$: có 2 căn $\pm \sqrt[n]{a}$ với $\sqrt[n]{a} > 0$.
$n$ chẵn, $a = 0$: $\sqrt[n]{0} = 0$.
$n$ chẵn, $a < 0$: không tồn tại căn bậc $n$ trên $\mathbb{R}$.

1.3

Lũy thừa số mũ hữu tỉ

Cho $a > 0$, $m, n$ nguyên, $n \geq 2$: $$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}.$$ Đặc biệt: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$.

Ghi chú. Với $a > 0$, mọi số mũ thực $\alpha$ đều xác định: $a^{\alpha}$.

§2. Tính chất(1)

2.1

So sánh lũy thừa cùng cơ số

Cho $a > 0, a \neq 1$, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$:

$a > 1$: $a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha > \beta$ (đồng biến theo mũ).
$0 < a < 1$: $a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha < \beta$ (nghịch biến).

§3. Công thức(2)

3.1

Tính chất lũy thừa

Cho $a, b > 0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$: $$a^{\alpha} \cdot a^{\beta} = a^{\alpha + \beta}, \quad \dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha - \beta}.$$ $$(a^{\alpha})^{\beta} = a^{\alpha \beta}, \quad (ab)^{\alpha} = a^{\alpha} b^{\alpha}.$$ $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\alpha} = \dfrac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}.$$

3.2

Tính chất căn bậc $n$

Với $a, b \geq 0$ (nếu $n$ chẵn), $a, b \in \mathbb{R}$ (nếu $n$ lẻ): $$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \quad \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}.$$ $$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}, \quad (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}.$$

§4. Mẹo(1)

4.1

Mẹo rút gọn biểu thức lũy thừa

1. Đưa mọi căn về dạng $a^{m/n}$. 2. Đưa mọi $\dfrac{1}{a^k}$ về $a^{-k}$. 3. Cộng/trừ các số mũ cùng cơ số. 4. Cuối cùng đưa kết quả về dạng yêu cầu (căn hoặc lũy thừa).

§5. Lưu ý(1)

5.1!

Lưu ý: cơ số âm + mũ không nguyên

Với $a \leq 0$, lũy thừa $a^{\alpha}$ với $\alpha$ không nguyên thường KHÔNG xác định trên $\mathbb{R}$. Ví dụ $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ không tồn tại. → Khi dùng quy tắc lũy thừa, luôn yêu cầu cơ số dương trừ khi số mũ là nguyên.

Bài tập

1. $a^{-n} = 1/a^n$Trắc nghiệm`negative_exponent_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 1.Tính $\,4^{-2}$.

A.$= \dfrac{1}{4}$

B.$= 16$

C.$= -16$

D.$= \dfrac{1}{16}$

Câu 2.Tính $\,4^{-3}$.

A.$= \dfrac{1}{64}$

B.$= \dfrac{1}{4}$

C.$= -64$

D.$= 64$

Câu 3.Tính $\,2^{-3}$.

A.$= -8$

B.$= 8$

C.$= \dfrac{1}{2}$

D.$= \dfrac{1}{8}$

2. VDC: rút gọn căn lồng ba tầng $\sqrt[p]{a^{c_1}\sqrt[q]{a^{c_2}\sqrt[r]{a^{c_3}}}}$ về $a^{m/n}$Trắc nghiệm`nested_radical_single_power`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng cao(3 câu)

Câu 4.Cho $a > 0$. Rút gọn biểu thức $P = \sqrt[3]{a \cdot \sqrt[2]{a \cdot \sqrt[2]{a}}}$ về dạng một luỹ thừa $a^{\alpha}$ (với $\alpha$ hữu tỉ tối giản). Khi đó $\alpha$ bằng

A.$a^{\dfrac{1}{4}}$

B.$a^{\dfrac{7}{12}}$

C.$a^{\dfrac{4}{3}}$

D.$a^{\dfrac{5}{6}}$

Câu 5.Cho $a > 0$. Rút gọn biểu thức $P = \sqrt[4]{a \cdot \sqrt[2]{a \cdot \sqrt[3]{a}}}$ về dạng một luỹ thừa $a^{\alpha}$ (với $\alpha$ hữu tỉ tối giản). Khi đó $\alpha$ bằng

A.$a^{\dfrac{13}{24}}$

B.$a^{\dfrac{5}{12}}$

C.$a^{\dfrac{13}{12}}$

D.$a^{\dfrac{1}{8}}$

Câu 6.Cho $a > 0$. Rút gọn biểu thức $P = \sqrt[3]{a \cdot \sqrt[2]{a^{3} \cdot \sqrt[2]{a}}}$ về dạng một luỹ thừa $a^{\alpha}$ (với $\alpha$ hữu tỉ tối giản). Khi đó $\alpha$ bằng

A.$a^{\dfrac{11}{12}}$

B.$a^{\dfrac{5}{12}}$

C.$a^{\dfrac{7}{3}}$

D.$a^{\dfrac{4}{3}}$

3. $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$Trắc nghiệm`rational_exponent_root`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 7.Tính $\,9^{\dfrac{1}{2}}$.

A.$= 4$

B.$= 6$

C.$= 9$

D.$= 3$

Câu 8.Tính $\,27^{\dfrac{1}{3}}$.

A.$= 4$

B.$= 6$

C.$= 27$

D.$= 3$

Câu 9.Tính $\,8^{\dfrac{2}{3}}$.

A.$= 5$

B.$= \dfrac{16}{3}$

C.$= 8$

D.$= 4$

4. Tính $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (số mũ nguyên)Trắc nghiệm`simplify_power_product`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 10.Tính $\,5^{2} \cdot 5^{2}$.

A.$5^{0}$

B.$5^{4} = 625$

C.$10^{4}$

D.$5^{4}$

Câu 11.Tính $\,3^{1} \cdot 3^{3}$.

A.$3^{3}$

B.$3^{4} = 81$

C.$6^{4}$

D.$3^{2}$

Câu 12.Tính $\,3^{3} \cdot 3^{3}$.

A.$3^{6} = 729$

B.$3^{9}$

C.$3^{0}$

D.$6^{6}$

5. Rút gọn $\dfrac{a^{p} \cdot a^{q}}{a^{r}}$ với số mũ hữu tỉ (nhiều bước)Trắc nghiệm`simplify_rational_exponent_multistep`(3 câu)

Mẫu 1Vận dụng(3 câu)

Câu 13.Rút gọn và tính $\,\dfrac{2^{\dfrac{5}{2}} \cdot 2^{\dfrac{1}{2}}}{2^{-1}}$.

A.$= 8$

B.$= 32$

C.$= 18$

D.$= 16$

Câu 14.Rút gọn và tính $\,\dfrac{3^{\dfrac{7}{3}} \cdot 3^{\dfrac{2}{3}}}{3^{0}}$.

A.$= 81$

B.$= 30$

C.$= 27$

D.$= 9$

Câu 15.Rút gọn và tính $\,\dfrac{5^{\dfrac{3}{2}} \cdot 5^{\dfrac{1}{2}}}{5^{0}}$.

A.$= 5$

B.$= 25$

C.$= 10$

D.$= 125$

6. Cho biểu thức $a^{p/q}$ với giá trị cụ thể — kiểm tra giá trị cănĐúng / Sai`exponent_extension_examples`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 16.Cho biểu thức $27^{1/3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$27^{1/3} = 27/3$.

b)$\sqrt[3]{27} = 3$ vì $3^{3} = 27$.

c)$27^0 = 1$.

d)$27^{2/3} = (27^{1/3})^2 = 3^2 = 9$.

Câu 17.Cho biểu thức $27^{1/3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ với $a > 0$, $n \in \mathbb{N}^*$.

b)$27^0 = 1$.

c)$5^0 = 5$.

d)$\sqrt[3]{27} = 3$ vì $3^{3} = 27$.

Câu 18.Cho biểu thức $16^{1/4}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$5^0 = 5$.

b)$16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$.

c)$16^{2/4} = (16^{1/4})^2 = 2^2 = 4$.

d)$16^{1/4} = 16/4$.

7. Cho biểu thức $a^m \cdot a^n$ với $a, m, n$ cụ thể — kiểm tra quy tắc lũy thừa cùng cơ sốĐúng / Sai`exponent_extension_facts`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 19.Cho biểu thức $5^{2} \cdot 5^{3}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$(ab)^n = a^n \cdot b^n$.

b)$5^{2} \cdot 5^{3} = 5^{6}$.

c)$5^{2} \cdot 5^{3} = 5^{5} = 3125$.

d)$(5^{2})^{3} = 5^{6} = 15625$.

Câu 20.Cho biểu thức $2^{3} \cdot 2^{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$(ab)^n = a^n + b^n$.

b)$2^0 = 0$.

c)$(2^{3})^{2} = 2^{6} = 64$.

d)$2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5} = 32$.

Câu 21.Cho biểu thức $2^{2} \cdot 2^{2}$. Xét tính đúng/sai các khẳng định sau:

a)$(2^{2})^{2} = 2^{4} = 16$.

b)$2^0 = 0$.

c)$(ab)^n = a^n + b^n$.

d)$2^{2} \cdot 2^{2} = 2^{4} = 16$.

8. Tính $\sqrt[3]{a^3}$ — đáp số $a$Trả lời ngắn`cube_root_value`(3 câu)

Mẫu 1Nhận biết(3 câu)

Câu 22.Tính $\sqrt[3]{216}$.

Câu 23.Tính $\sqrt[3]{27}$.

Câu 24.Tính $\sqrt[3]{64}$.

9. Tính $a^m \cdot a^n / a^k$Trả lời ngắn`power_simplify_value`(3 câu)

Mẫu 1Thông hiểu(3 câu)

Câu 25.Tính giá trị $\dfrac{3^{2} \cdot 3^{4}}{3^{1}}$.

Câu 26.Tính giá trị $\dfrac{3^{5} \cdot 3^{4}}{3^{3}}$.

Câu 27.Tính giá trị $\dfrac{5^{4} \cdot 5^{4}}{5^{2}}$. (Kết quả chia cho 10, làm tròn đến hàng đơn vị)

Công thức

§1. Định nghĩa(3)

§2. Tính chất(1)

§3. Công thức(2)

§4. Mẹo(1)

§5. Lưu ý(1)

Bài tập

1. $a^{-n} = 1/a^n$Trắc nghiệmnegative_exponent_value(3 câu)

2. VDC: rút gọn căn lồng ba tầng $\sqrt[p]{a^{c_1}\sqrt[q]{a^{c_2}\sqrt[r]{a^{c_3}}}}$ về $a^{m/n}$Trắc nghiệmnested_radical_single_power(3 câu)

3. $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$Trắc nghiệmrational_exponent_root(3 câu)

4. Tính $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (số mũ nguyên)Trắc nghiệmsimplify_power_product(3 câu)

5. Rút gọn $\dfrac{a^{p} \cdot a^{q}}{a^{r}}$ với số mũ hữu tỉ (nhiều bước)Trắc nghiệmsimplify_rational_exponent_multistep(3 câu)

6. Cho biểu thức $a^{p/q}$ với giá trị cụ thể — kiểm tra giá trị cănĐúng / Saiexponent_extension_examples(3 câu)

7. Cho biểu thức $a^m \cdot a^n$ với $a, m, n$ cụ thể — kiểm tra quy tắc lũy thừa cùng cơ sốĐúng / Saiexponent_extension_facts(3 câu)

8. Tính $\sqrt[3]{a^3}$ — đáp số $a$Trả lời ngắncube_root_value(3 câu)

9. Tính $a^m \cdot a^n / a^k$Trả lời ngắnpower_simplify_value(3 câu)

Mở đáp án & Lời giải

1. $a^{-n} = 1/a^n$Trắc nghiệm`negative_exponent_value`(3 câu)

2. VDC: rút gọn căn lồng ba tầng $\sqrt[p]{a^{c_1}\sqrt[q]{a^{c_2}\sqrt[r]{a^{c_3}}}}$ về $a^{m/n}$Trắc nghiệm`nested_radical_single_power`(3 câu)

3. $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$Trắc nghiệm`rational_exponent_root`(3 câu)

4. Tính $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (số mũ nguyên)Trắc nghiệm`simplify_power_product`(3 câu)

5. Rút gọn $\dfrac{a^{p} \cdot a^{q}}{a^{r}}$ với số mũ hữu tỉ (nhiều bước)Trắc nghiệm`simplify_rational_exponent_multistep`(3 câu)

6. Cho biểu thức $a^{p/q}$ với giá trị cụ thể — kiểm tra giá trị cănĐúng / Sai`exponent_extension_examples`(3 câu)

7. Cho biểu thức $a^m \cdot a^n$ với $a, m, n$ cụ thể — kiểm tra quy tắc lũy thừa cùng cơ sốĐúng / Sai`exponent_extension_facts`(3 câu)

8. Tính $\sqrt[3]{a^3}$ — đáp số $a$Trả lời ngắn`cube_root_value`(3 câu)

9. Tính $a^m \cdot a^n / a^k$Trả lời ngắn`power_simplify_value`(3 câu)